Нескінченні періодичні десяткові дроби. Записи з міткою "як записати число у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу"

Якщо вони знають теорію рядів, то без неї ніяких метаматичних понять вводити не можна. Більше того, ці люди вважають, що той, хто не використовує її повсюдно, - невіглас. Залишимо погляди цих людей на їхньому совісті. Давайте краще розберемося з тим, що таке нескінченний періодичний дріб і як з ним бути нам, неосвіченим людям, які не знають меж.

Розділимо 237 на 5. Ні, не потрібно запускати «Калькулятор». Давайте краще згадаємо середню (чи навіть початкову?) школу і просто поділимо стовпчиком:

Ну як, згадали? Тоді можна і до діла переходити.

Поняття «дроб» у математиці має два значення:

1. Неціле число.
2. Форма запису нецілого числа.

1. Прості (або вертикальні) дробу, на зразок 1/2 або 237/5.
2. Десяткові дроби, наприклад, 0,5 або 47,4.

В математиці, взагалі споконвіку прийнятий рахунок десятковий, а тому і десяткові дроби зручніше простих, тобто дріб з десятковим знаменником (Володимир Даль. Тлумачний словник живої мови. «Десять»).

Навіть зовсім неосвічений помітить: скільки ні поділи - не розділиться: так і трійки до нескінченності з'являтимуться. Так і запишемо: 0,33... Маємо на увазі при цьому число, яке виходить, коли ділиш 1 на 3, або, коротше, одна третя. Природно, що одна третя - дріб у першому значенні слова, а «1/3» і «0,33...» - дроби у другому значенні слова, тобто форми записучисла, яке знаходиться на числовій прямій на такій відстані від нуля, що якщо тричі його відкласти, вийде одиниця.

Тепер спробуємо розділити 5 на 6:

Знову запишемо: 0,833... Маємо на увазі число, яке виходить, коли ділиш 5 на 6, або, коротше, п'ять шостих. Проте, тут виникає плутанина: чи мають на увазі 0,83333 (і далі трійки повторюються), чи 0,833833 (і далі 833 повторюється). Тому запис з трьома крапками нас не влаштовує: незрозуміло, звідки починається частина (вона називається «період»). Тому період ми братимемо в дужки, ось так: 0, (3); 0,8 (3).

0,(3) не просто однооднієї третьої, це єодна третя, адже ми спеціально цей запис вигадали, щоб представляти це число у вигляді десяткового дробу.

Цей запис і називається нескінченним періодичним дробом, або просто періодичним дробом.

Завжди, коли ми ділимо одне число на інше, якщо не виходить дріб кінцевий, то виходить дріб нескінченний періодичний, тобто обов'язково колись послідовності цифр почнуть повторюватися. Чому це так можна зрозуміти суто умоглядно, уважно подивившись на алгоритм поділу стовпчиком:

У місцях, позначених галочками, що неспроможні постійно виходити різні пари чисел (бо таких пар у принципі кінцеве безліч). А як тільки там з'явиться така пара, яка вже була, різниця теж буде такою самою – і далі весь процес почне повторюватися. Немає потреби перевіряти це, адже цілком очевидно, що при повторенні тих самих дій результати будуть ті самі.

Тепер, коли ми добре розуміємо сутьперіодичного дробу, давайте спробуємо помножити одну третину на три. Так, вийде, звичайно, один, але давайте запишемо цей дріб у десятковій формі і помножимо стовпчиком (двозначності через крапки тут не виникає, тому що всі цифри після коми однакові):

І знову ми помічаємо, що весь час після коми з'являтимуться дев'ятки, дев'ятки та дев'ятки. Тобто, використовуючи, назад, скобочний запис, ми отримаємо 0(9). Оскільки ми знаємо, що твір однієї третини і трьох є одиниця, то 0, (9) - це ось химерна форма запису одиниці. Однак використовувати таку форму запису недоцільно, адже одиниця чудово записується і без використання періоду, так: 1.

Як бачимо, 0,(9) - це один із тих випадків, коли ціле число записано у формі дробу, на зразок 3/3 або 7,0. Тобто, 0,(9) - це дріб лише у другому значенні слова, але аж ніяк не в першому.

Ось так, без жодних меж і рядів ми розібралися з тим, що таке 0, (9) і як з ним боротися.

Але все ж таки згадаємо про те, що насправді ми розумні та вивчали аналіз. Справді, важко заперечувати, що:

Але, мабуть, ніхто не буде сперечатися і з тим, що:

Все це, звичайно, правильно. Справді, 0,(9) є сумою наведеного ряду, і подвоєним синусом зазначеного кута, і натуральним логарифмом числа Ейлера.

Але те, ні інше, ні третє не є визначенням.

Стверджувати, що 0,(9) - сума нескінченного ряду 9/(10 n), при n від одиниці - це все одно, що стверджувати, що синус - це сума нескінченного ряду Тейлора:

Це абсолютно правильно, і це є найважливішим фактом для обчислювальної математики, але це не визначення, і, що найголовніше, це анітрохи не наближає людину до розуміння сутісинусу. Суть синуса деякого кута полягає в тому, що це всього лишевідношення протилежного куту катета до гіпотенузи.

Так от, періодичний дріб - це всього лишедесятковий дріб, який виходить, коли при розподілі стовпчикомтой самий набір цифр повториться. Аналізу тут немає і близько.

І ось тут виникає питання: звідки взагаліми взяли число 0(9)? Що на що ми ділимо стовпчиком, щоби його отримати? Справді, немає таких чисел, при розподілі яких один на одного стовпчиком ми мали б нескінченно з'являються дев'ятки. Але ж нам вдалося отримати це число, помножуючи стовпчиком 0,(3) на 3? Не зовсім. Адже множити треба праворуч, щоб коректно враховувати переноси розрядів, а ми це робили зліва направо, хитро скориставшись тим, що переносів ніде все одно не виникає. Тому правомірність запису 0,(9) залежить від цього, чи визнаємо ми правомірність такого множення стовпчиком чи ні.

Отже, можна взагалі сказати, що запис 0, (9) некоректна - і певною мірою бути правим. Однак, оскільки нотація a, (b) прийнята, то просто негарно відмовлятися від неї при b = 9; краще визначитися з тим, що такий запис означає. Отже, якщо ми взагалі приймаємо запис 0, (9), цей запис, звичайно, означає число один.

Залишилося лише додати, що якби ми використовували, скажімо, трійкову систему числення, то при розподілі стовпчиком одиниці (1 3) на трійку (10 3) вийшло б 0,1 3 (читається «нуль цілих одна третя»), а при розподілі одиниці на двійку вийшло б 0(1) 3 .

Так що періодичність дробу-запису - це не об'єктивна якась характеристика дробу-числа, а лише побічний ефект використання тієї чи іншої системи числення.

Пам'ятаєте, як у самому першому уроці про десяткові дроби я казав, що існують числові дроби, які не представлені у вигляді десяткових дробів (див. урок «Десятичні дроби»)? Ми ще вчилися розкладати знаменники дробів на множники, щоб перевірити, чи немає там чисел відмінних від 2 і 5.

Так ось: я набрехав. І сьогодні ми навчимося переводити абсолютно будь-який числовий дріб у десятковий. Заодно познайомимося з цілим класом дробів із нескінченною значущою частиною.

Періодичний десятковий дріб - це будь-який десятковий дріб, у якого:

1. Значна частина складається з безлічі цифр;
2. Через певні інтервали цифри у значній частині повторюються.

Набір цифр, що повторюються, з яких складається значна частина, називається періодичною частиною дробу, а кількість цифр в цьому наборі - періодом дробу. Решта відрізку значущої частини, який не повторюється, називається неперіодичною частиною.

Оскільки визначень багато, варто докладно розглянути такі дроби:

Цей дріб зустрічається в завданнях найчастіше. Неперіодична частина: 0; періодична частина: 3; Довжина періоду: 1.

Неперіодична частина: 0,58; періодична частина: 3; Довжина періоду: знову 1.

Неперіодична частина: 1; періодична частина: 54; довжина періоду: 2.

Неперіодична частина: 0; періодична частина: 641025; довжина періоду: 6. Для зручності частини, що повторюються, відокремлені один від одного пробілом - у цьому рішенні так робити не обов'язково.

Неперіодична частина: 3066; періодична частина: 6; Довжина періоду: 1.

Як бачите, визначення періодичного дробу засноване на понятті значній частині числа. Тому якщо ви забули, що це таке, рекомендую повторити - див. урок « ».

Перехід до періодичного десяткового дробу

Розглянемо звичайний дріб виду a/b. Розкладемо її знаменник на прості множники. Можливі два варіанти:

1. У розкладанні присутні лише множники 2 та 5. Ці дроби легко наводяться до десяткових – див. урок «Десятичні дроби». Такі нас не цікавлять;
2. У розкладанні є щось ще, крім 2 і 5. У цьому випадку дріб непредставний у вигляді десяткового, зате з нього можна зробити періодичний десятковий дріб.

Щоб задати періодичний десятковий дріб, треба знайти його періодичну та неперіодичну частину. Як? Переведіть дріб у неправильний, а потім розділіть чисельник на знаменник куточком.

При цьому відбуватиметься таке:

1. Спочатку розділиться ціла частинаякщо вона є;
2. Можливо, буде кілька чисел після десяткової точки;
3. Через деякий час цифри почнуть повторюватися.

Ось і все! Повторювані цифри після десяткової точки позначаємо періодичною частиною, а те, що стоїть попереду – неперіодичною.

Завдання. Перекладіть звичайні дроби в періодичні десяткові:

Всі дроби без цілої частини, тому просто ділимо чисельник на знаменник «куточком»:

Як бачимо, залишки повторюються. Запишемо дріб у «правильному» вигляді: 1,733...=1,7(3).

Через війну виходить дріб: 0,5833 ... = 0,58(3).

Записуємо у нормальному вигляді: 4,0909...=4,(09).

Отримуємо дріб: 0,4141...=0,(41).

Перехід від періодичного десяткового дробу до звичайного

Розглянемо періодичний десятковий дріб X = abc (a 1 b 1 c 1). Потрібно перевести її в класичну «двоповерхову». Для цього виконаємо чотири прості кроки:

1. Знайдіть період дробу, тобто. підрахуйте, скільки цифр знаходиться у періодичній частині. Нехай це буде число k;
2. Знайдіть значення виразу X · 10 k. Це рівносильно зрушенню десяткової точки на повний період праворуч - див. урок «Множення та розподіл десяткових дробів»;
3. З отриманого числа треба відняти вихідний вираз. При цьому періодична частина «спалюється» і залишається звичайний дріб;
4. В отриманому рівнянні знайти X. Усі десяткові дроби переводимо у прості.

Завдання. Приведіть до звичайного неправильного дробу числа:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Працюємо з першим дробом: X = 9, (6) = 9,666.

У дужках міститься лише одна цифра, тому період k = 1. Далі множимо цей дріб на 10 k = 10 1 = 10. Маємо:

10X = 10 · 9,6666 ... = 96,666 ...

Віднімаємо вихідний дріб і розв'язуємо рівняння:

10X - X = 96,666 ... - 9,666 ... = 96 - 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Тепер розберемося з другим дробом. Отже, X = 32, (39) = 32,393939.

Період k = 2, тому множимо все на 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 · 32,393939 ... = 3239,3939 ...

Знову віднімаємо вихідний дріб і вирішуємо рівняння:

100X - X = 3239,3939 ... - 32,3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Приступаємо до третього дробу: X = 0,30(5) = 0,30555 ... Схема та сама, тому я просто наведу викладки:

Період k = 1 ⇒ множимо все на 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 · 0,30555 ... = 3,05555 ...
10X - X = 3,0555 ... - 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4): 9 = 11/36.

Нарешті, останній дріб: X = 0, (2475) = 0,2475 2475 ... Знову ж таки, для зручності періодичні частини відокремлені один від одного пробілами. Маємо:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10 000;
10000X = 10000 · 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10 000X - X = 2475,2475 ... - 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

Буває, що для зручності розрахунків потрібно перевести звичайний дріб у десятковий і навпаки. Про те, як це робити, ми поговоримо у цій статті. Розберемо правила переведення звичайних дробів у десяткові та назад, а також наведемо приклади.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ми розглядатимемо переведення звичайних дробів у десяткові, дотримуючись певної послідовності. По-перше, розглянемо, як у десяткові переводяться прості дроби зі знаменником, кратним 10: 10, 100, 1000 і т.д.Дроби з такими знаменниками, по суті, є, більш громіздким записом десяткових дробів.

Далі ми розглянемо, як переводити в десяткові дроби звичайні дроби з будь-яким, не лише кратним 10 знаменником. Зазначимо, що з обігу звичайних дробів у десяткові виходять як кінцеві десяткові, а й нескінченні періодичні десяткові дроби.

Почнемо!

Переклад звичайних дробів із знаменниками 10, 100, 1000 і т.д. у десяткові дроби

Насамперед, скажімо, що деякі дроби потребують певної підготовки перед зверненням до десяткового вигляду. У чому вона полягає? Перед цифрою, що стоїть у чисельнику, необхідно дописати стільки нулів, щоб кількість цифр чисельника дорівнювала числу нулів у знаменнику. Наприклад, для дробу 3100 число 0 необхідно один раз дописати ліворуч від 3 у чисельнику. Дроб 610, згідно з викладеним вище правилом, не потребує доопрацювання.

Розглянемо ще один приклад, після чого сформулюємо правило, яким особливо зручно користуватися спочатку, поки досвіду в обігу дробів не так багато. Так, дріб 1610000 після дописування нулів у чисельнику матиме вигляд 001510000.

Як перекласти звичайний дріб зі знаменником 10, 100, 1000 і т.д. у десяткову?

Правило переведення звичайних правильних дробів у десяткові

1. Записуємо 0 і ставимо після нього кому.
2. Записуємо число із чисельника, яке вийшло після дописування нулів.

Тепер перейдемо до прикладів.

Приклад 1. Переведення звичайних дробів у десяткові

Перекладемо звичайний дріб 39 100 у десятковий.

Спочатку дивимося на дріб і бачимо, що ніяких підготовчих дій проводити не потрібно – кількість цифр у чисельнику збігається з кількістю нулів у знаменнику.

Дотримуючись правила, записуємо 0, ставимо після нього десяткову кому і записуємо число з чисельника. Отримуємо десятковий дріб 0,39.

Розберемо рішення ще одного прикладу на цю тему.

Приклад 2. Переведення звичайних дробів у десяткові

Запишемо дріб 105 10000000 у вигляді десяткового дробу.

Кількість нулів у знаменнику дорівнює 7 , а чисельнику лише три цифри. Допишемо перед числом у чисельнику ще 4 нуля:

0000105 10000000

Тепер записуємо 0, ставимо після нього десяткову кому і записуємо число з чисельника. Отримуємо десятковий дріб 0,0000105.

Розглянуті у всіх прикладах дробу - прості правильні дроби. Але як перевести неправильний звичайний дріб у десятковий? Відразу скажемо, що необхідність підготовки з дописуванням нулів для таких дробів відпадає. Сформулюємо правило.

Правило переведення звичайних неправильних дробів у десяткові

1. Записуємо число, яке знаходиться у чисельнику.
2. Десятковою комою відокремлюємо стільки цифр праворуч, скільки нулів є у знаменнику вихідного звичайного дробу.

Нижче наведемо приклад використання цього правила.

Приклад 3. Переведення звичайних дробів у десяткові

Перекладемо дріб 56888038009 100000 із звичайної неправильної до десяткової.

Спочатку запишемо число з чисельника:

Тепер праворуч відокремимо десятковою комою п'ять цифр (кількість нулів у знаменнику – п'ять). Отримаємо:

Наступне питання, яке закономірно виникає: як перевести в десятковий дріб змішане число, якщо знаменником його дробової частини є число 10, 100, 1000 і т.д. Для звернення до десяткового дробу такого числа можна скористатися наступним правилом.

Правило переведення змішаних чисел у десяткові дроби

1. Виконуємо підготовку дробової частини числа, якщо це потрібно.
2. Записуємо цілу частину вихідного числа і ставимо після нього кому.
3. Записуємо число з чисельника дробової частини разом із дописаними нулями.

Звернемося, наприклад.

Приклад 4. Переведення змішаних чисел у десяткові дроби

Переведемо змішане число 23 17 10000 у десятковий дріб.

У дробовій частині маємо вираз 17 10000 . Виконаємо його підготовку і допишемо зліва від чисельника ще два нулі. Отримаємо: 0017 10000 .

Тепер записуємо цілу частину числа і ставимо після нього кому: 23 , . .

Після коми записуємо число з чисельника разом із нулями. Отримуємо результат:

23 17 10000 = 23 , 0017

Переведення звичайних дробів у кінцеві та нескінченні періодичні дроби

Звичайно, можна переводити в десяткові дроби та звичайні дроби зі знаменником, що не дорівнює 10, 100, 1000 і т.д.

Часто дріб можна легко привести до нового знаменника, а потім вже скористатися правилом, викладеним у першому пункті цієї статті. Наприклад, достатньо помножити чисельник і знаменник дробу 25 на 2, і ми отримаємо дріб 410, який легко наводиться до десяткового виду 0,4.

Однак такий спосіб переведення звичайного дробу в десятковий вдається використовувати не завжди. Нижче розглянемо, як чинити, якщо застосувати розглянутий спосіб неможливо.

Принципово новий метод обігу звичайного дробу в десятковий зводиться до поділу чисельника на знаменник стовпчиком. Ця операція дуже схожа на розподіл натуральних чисел стовпчиком, але має особливості.

Чисельник при розподілі представляється у вигляді десяткового дробу - праворуч від останньої цифри чисельника ставиться кома і дописуються нулі. У приватному, що вийшов, десяткова кома ставиться тоді, коли закінчується розподіл цілої частини чисельника. Як саме працює цей спосіб, стане зрозумілим після розгляду прикладів.

Приклад 5. Переведення звичайних дробів у десяткові

Перекладемо звичайний дріб 621 4 у десятковий вигляд.

Подаємо число 621 з чисельника у вигляді десяткового дробу, додавши після коми кілька нулів. 621 = 621, 00

Тепер розділимо стовпчиком 621 00 на 4 . Перші три кроки розподілу будуть такими ж, як при розподілі натуральних чисел, і ми отримаємо.

Коли ми дісталися до десяткової коми в ділимому, а залишок відмінний від нуля, ставимо в приватному десяткову кому, і продовжуємо ділити, не звертаючи більше уваги на кому в ділимому.

У результаті ми отримуємо десятковий дріб 155 , 25 , який і є результатом обігу звичайного дробу 621 4

621 4 = 155 , 25

Розглянемо рішення ще одного прикладу, щоб закріпити матеріал.

Приклад 6. Переведення звичайних дробів у десяткові

Обернемо звичайний дріб 21 800 .

Для цього в стовпчик розділимо дріб 21 000 на 800 . Розподіл цілої частини закінчиться на першому ж кроці, тому відразу після нього ставимо в приватному десяткову кому і продовжуємо поділ, не звертаючи уваги на кому в поділеному до того моменту, поки не отримаємо залишок, що дорівнює нулю.

В результаті ми отримали: 21800 = 0,02625.

Але як бути, якщо при розподілі ми так і не отримаємо в залишку 0. У таких випадках розподіл можна продовжувати нескінченно довго. Однак, починаючи з певного кроку, залишки періодично повторюватимуться. Відповідно, повторюватимуться і цифри у приватному. Це означає, що звичайний дріб переводиться в десятковий нескінченний періодичний дріб. Проілюструємо сказане з прикладу.

Приклад 7. Переведення звичайних дробів у десяткові

Обернемо звичайний дріб 19 44 в десятковий. Для цього виконаємо поділ стовпчиком.

Ми, що при розподілі повторюються залишки 8 і 36 . При цьому приватно повторюються цифри 1 і 8 . Це і є період десяткового дробу. Під час запису ці цифри беруться у дужки.

Таким чином, вихідний звичайний дріб переведений у нескінченний періодичний десятковий дріб.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Нехай перед нами нескорочний звичайний дріб. Якого вигляду вона приведеться? Які звичайні дроби перетворюються на кінцеві десяткові, а які - на нескінченні періодичні?

По-перше, скажімо, що якщо дріб вдається привести до одного із знаменників 10, 100, 1000.., то він матиме вигляд кінцевого десяткового дробу. Щоб дріб приводився до одного з таких знаменників, його знаменник має бути дільником хоча б одного з чисел 10, 100, 1000 і т.д. З правил розкладання чисел прості множники випливає, що дільник чисел 10, 100, 1000 тощо. повинен, при розкладанні на прості множники, містити лише числа 2 та 5.

Підсумуємо сказане:

1. Звичайний дріб можна привести до вигляду кінцевого десяткового дробу, якщо його знаменник можна розкласти на прості множники 2 та 5.
2. Якщо крім чисел 2 і 5 у розкладанні знаменника присутні інші прості числа, дріб приводиться до вигляду нескінченного періодичного десяткового дробу.

Наведемо приклад.

Приклад 8. Переведення звичайних дробів у десяткові

Який із цих дробів 47 20 , 7 12 , 21 56 , 31 17 переводиться в кінцевий десятковий дріб, а який - тільки в періодичний. Дамо відповідь на це питання, не виконуючи безпосередньо переведення звичайного дробу до десяткового.

Дроб 47 20 , як легко помітити, множенням чисельника та знаменника на 5 приводиться до нового знаменника 100 .

47 20 = 235 100 . Звідси робимо висновок, що цей дріб переводиться в кінцевий десятковий дріб.

Розкладання знаменника дробу 7 12 на множники дає 12 = 2 · 2 · 3 . Так як простий множник 3 відмінний від 2 і від 5 , цей дріб не може бути представлений у вигляді кінцевого десяткового дробу, а матиме вигляд нескінченного періодичного дробу.

По-перше, треба скоротити. Після скорочення на 7 отримаємо нескоротний дріб 3 8 розкладання знаменника якої на множники дає 8 = 2 · 2 · 2 . Отже, це кінцевий десятковий дріб.

У випадку з дробом 31 17 розкладання знаменника на множники є найпростішим числом 17 . Відповідно, цей дріб можна звернути в нескінченний періодичний десятковий дріб.

Звичайний дріб не можна перевести в нескінченний і неперіодичний десятковий дріб

Вище ми говорили тільки про кінцеві та нескінченні періодичні дроби. Але чи може якийсь звичайний дріб бути перетворений на вигляд нескінченного неперіодичного дробу?

Відповідаємо: ні!

Важливо!

При переведенні нескінченного дробу в десятковий виходить або кінцевий десятковий дріб, або нескінченний періодичний десятковий дріб.

Залишок від поділу завжди менший за дільник. Іншими словами, згідно з теоремою про ділимість, якщо ми ділимо якесь натуральне число на число q, то залишок поділу в жодному разі не може бути більшим, ніж q-1. Після закінчення поділу можлива одна з таких ситуацій:

1. Ми отримуємо в залишку 0, і на цьому поділ закінчується.
2. Ми отримуємо залишок, який при подальшому розподілі повторюється, в результаті ми маємо нескінченний періодичний дріб.

Інших варіантів при обігу звичайного дробу в десятковий не може бути. Скажімо також, що довжина періоду (кількість цифр) у нескінченному періодичному дробі завжди менша, ніж число цифр у знаменнику відповідного звичайного дробу.

Переведення десяткових дробів у звичайні дроби

Тепер настав час розглянути зворотний процес переведення десяткового дробу у звичайний. Сформулюємо правило перекладу, що включає три етапи. Як перевести десятковий дріб у звичайний?

Правило переведення десяткових дробів у звичайні дроби

1. У чисельник записуємо число з вихідного десяткового дробу, відкинувши кому і всі нулі зліва, якщо вони є.
2. До знаменника записуємо одиницю і за нею стільки нулів, скільки цифр є у вихідному десятковому дробі після коми.
3. При необхідності скорочуємо отриманий звичайний дріб.

Розглянемо застосування цього правила на прикладах.

Приклад 8. Переведення десяткових дробів у звичайні

Представимо число 3, 025 у вигляді звичайного дробу.

1. У чисельник записуємо самий десятковий дріб, відкинувши ком: 3025 .
2. У знаменнику пишемо одиницю, а після неї три нулі - саме стільки цифр міститься у вихідному дробі після коми: 3025 1000 .
3. Отриманий дріб 3025 1000 можна скоротити на 25 , у результаті ми отримаємо: 3025 1000 = 121 40 .

Приклад 9. Переведення десяткових дробів у звичайні

Перекладемо дріб 0,0017 з десяткових у прості.

1. У чисельнику запишемо дріб 0,0017, відкинувши кому і нулі зліва. Вийде 17 .
2. До знаменника записуємо одиницю, а після неї пишемо чотири нулі: 17 10000 . Цей дріб нескоротний.

Якщо в десятковому дробі є ціла частина, то такий дріб можна одразу перевести у змішане число. Як це зробити?

Сформулюємо ще одне правило.

Правило переведення десяткових дробів у змішані числа.

1. Число, що стоїть у дробі до коми, записуємо як цілу частину змішаного числа.
2. У чисельнику записуємо число, що стоїть у дробі після коми, відкинувши нулі зліва, якщо вони є.
3. У знаменнику дробової частини дописуємо одиницю і стільки нулів, скільки цифр є в дробовій частині після коми.

Звернемося до прикладу

Приклад 10. Переведення десяткового дробу в змішане число

Представимо дріб 155 06005 у вигляді змішаного числа.

1. Записуємо число 155 як цілу частину.
2. У чисельнику записуємо цифри після коми, відкинувши нуль.
3. У знаменнику записуємо одиницю та п'ять нулів

Повчаємо змішане число: 155 6005 100 000

Дробну частину можна зменшити на 5 . Скорочуємо і отримуємо фінальний результат:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Переведення нескінченних періодичних десяткових дробів у звичайні дроби

Розберемо на прикладах, як здійснювати переведення періодичних десяткових дробів у прості. Перш ніж почати, уточнимо: будь-який періодичний десятковий дріб можна перевести у звичайний.

Найпростіший випадок - період дробу дорівнює нулю. Періодична дріб з нульовим періодом замінюється на кінцевий десятковий дріб, а процес обігу такого дробу зводиться до обігу кінцевого десяткового дробу.

Приклад 11. Переведення періодичного десяткового дробу у звичайний

Обернемо періодичний дріб 3 , 75 (0) .

Відкинувши нулі праворуч, отримаємо кінцевий десятковий дріб 3 , 75 .

Звертаючи цей дріб у звичайний за алгоритмом, розібраним у попередніх пунктах, отримуємо:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Як бути, якщо період дробу відмінний від нуля? Періодичну частину слід розглядати як суму членів геометричної прогресії, яка зменшується. Пояснимо це на прикладі:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Для суми членів нескінченної спадної геометричної прогресії існує формула. Якщо перший член прогресії дорівнює b, а знаменник q такий, що 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Розглянемо кілька прикладів із застосуванням цієї формули.

Приклад 12. Переведення періодичного десяткового дробу у звичайний

Нехай у нас є періодичний дріб 0 , (8) і нам потрібно перевести його у звичайний.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Тут ми маємо нескінченну спадну геометричну прогресію з першим членом 0 , 8 і знаменником 0 , 1 .

Застосуємо формулу:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Це і є потрібний звичайний дріб.

Для закріплення матеріалу розглянемо ще один приклад.

Приклад 13. Переведення періодичного десяткового дробу у звичайний

Обернемо дріб 0 , 43 (18) .

Спочатку записуємо дріб у вигляді нескінченної суми:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Розглянемо доданки в дужках. Цю геометричну прогресію можна представити у такому вигляді:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Отримане додаємо до кінцевого дробу 0,43 = 43100 і отримуємо результат:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Після складання даних дробів та скорочення отримаємо остаточну відповідь:

0 , 43 (18) = 19 44

На завершення цієї статті скажемо, що неперіодичні нескінченні десяткові дроби не можна перевести у вигляд звичайних дробів.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Вже початковій школі учні зіштовхуються з дробами. І потім вони з'являються у кожній темі. Забувати дії із цими числами не можна. Тому потрібно знати всю інформацію про звичайні та десяткові дроби. Поняття ці нескладні, головне - розбиратися в усьому порядку.

Навіщо потрібні дроби?

Навколишній світ складається з цілих предметів. Тож у частках потреби немає. Натомість повсякденне життя постійно наштовхує людей працювати з частинами предметів і речей.

Наприклад, шоколад складається з кількох часточок. Розглянемо ситуацію, коли його плитка утворена дванадцятьма прямокутниками. Якщо її поділити на двох, то вийде по 6 частин. Вона добре розділиться і на трьох. А ось п'ятьом не вдасться дати за цілою кількістю часточок шоколаду.

До речі, ці часточки – вже дроби. А подальше їхнє поділ призводить до появи більш складних чисел.

Що таке «дроб»?

Це число, що складається із частин одиниці. Зовні воно виглядає як два числа, розділені горизонтальною або похилою межею. Ця характеристика зветься дробової. Число, записане зверху (ліворуч), називається чисельником. Те, що стоїть знизу (праворуч), є знаменником.

Насправді, дробова характеристика виявляється знаком поділу. Тобто чисельник можна назвати ділимим, а знаменник дільником.

Які існують дроби?

У математиці їх є лише два види: прості та десяткові дроби. З першими школярі знайомляться у початкових класах, називаючи їх просто «дробі». Другі дізнаються у 5 класі. Саме тоді з'являються ці назви.

Звичайні дроби - всі ті, що записуються у вигляді двох чисел, розділених рисою. Наприклад, 4/7. Десяткова - це число, в якому дробова частина має позиційний запис і відокремлюється від цілої за допомогою коми. Наприклад, 4,7. Учням потрібно чітко усвідомити, що два наведені приклади - це зовсім різні числа.

Кожен простий дріб можна записати у вигляді десяткового. Це твердження майже завжди є вірним і у зворотному напрямку. Існують правила, які дозволяють записати звичайним дробом десятковий дріб.

Які підвиди мають вказані види дробів?

Почати краще у хронологічному порядку, оскільки вони вивчаються. Першими йдуть прості дроби. Серед них можна виділити 5 підвидів.

Правильна. Її чисельник завжди менший за знаменник.

Неправильна. У неї чисельник більший або дорівнює знаменнику.

Скоротима/нескоротна. Вона може виявитися як правильною, так і неправильною. Важливо інше, чи є у чисельника зі знаменником спільні множники. Якщо є, то на них потрібно розділити обидві частини дробу, тобто скоротити його.

Змішана. До її звичної правильної (неправильної) дробової частини приписується ціле число. Причому воно завжди стоїть ліворуч.

Складова. Вона утворюється із двох розділених один на одного дробів. Тобто в ній налічується одразу три дробові риси.

У десяткових дробів є лише два підвиди:

кінцева, тобто та, у якої дрібна частина обмежена (має кінець);

нескінченна - число, у якого цифри після коми не закінчуються (їх можна писати нескінченно).

Як переводити десятковий дріб у звичайний?

Якщо це кінцеве число, то застосовується асоціація, заснована на правилі як чую, так пишу. Тобто потрібно правильно прочитати її та записати, але вже без коми, а з дробовою рисою.

Як підказка про необхідний знаменник, потрібно запам'ятати, що він завжди одиниця і кілька нулів. Останніх потрібно написати стільки, скільки цифр у дрібній частині розглянутого числа.

Як перевести десяткові дроби у звичайні, якщо їхня ціла частина відсутня, тобто дорівнює нулю? Наприклад, 0,9 або 0,05. Після застосування зазначеного правила виходить, що потрібно написати нуль цілих. Але він не вказується. Залишається записати лише дрібні частини. У першого числа знаменник дорівнюватиме 10, у другого — 100. Тобто зазначені приклади відповідями матимуть числа: 9/10, 5/100. Причому останнє можна скоротити на 5. Тому результатом для неї потрібно записати 1/20.

Як із десяткового дробу зробити звичайний, якщо його ціла частина відмінна від нуля? Наприклад, 5,23 чи 13,00108. В обох прикладах читається ціла частина та записується її значення. У першому випадку це 5, у другому 13. Потім потрібно переходити до дробової частини. З ними потрібно провести ту саму операцію. У першого числа з'являється 23/100, у другого – 108/100000. Друге значення потрібно знову скоротити. У відповіді виходять такі змішані дроби: 5 23/100 та 13 27/25000.

Як перевести нескінченний десятковий дріб у звичайний?

Якщо вона неперіодична, то таку операцію провести не вдасться. Цей факт пов'язаний з тим, що кожен десятковий дріб завжди переводиться або в кінцевий або періодичний.

Єдине, що допускається робити з таким дробом, це округлювати її. Але тоді десяткова буде приблизно такою, як і нескінченна. Її вже можна перетворити на звичайну. Але зворотний процес: переведення до десяткового — ніколи не дасть початкового значення. Тобто нескінченні неперіодичні дроби у звичайні не переводяться. Це слід запам'ятати.

Як записати нескінченний періодичний дріб у вигляді звичайного?

У цих числах після коми завжди з'являються одна або кілька повторюваних цифр. Їх називають періодом. Наприклад, 0,3 (3). Тут "3" у періоді. Їх відносять до класу раціональних, оскільки можуть бути перетворені на прості дроби.

Тим, хто зустрічався з періодичними дробами, відомо, що вони можуть бути чистими чи змішаними. У першому випадку період починається відразу від коми. У другому — дрібна частина починається з якихось цифр, а потім починається повтор.

Правило, яким потрібно записати як звичайного дробу нескінченну десяткову, буде різним для зазначених двох видів чисел. Чисті періодичні дроби записати звичайними досить легко. Як із кінцевими, їх треба перетворити: в чисельник записати період, а знаменником буде цифра 9, що повторюється стільки разів, скільки цифр містить період.

Наприклад, 0(5). Цілої частини у числа немає, тому відразу потрібно приступати до дробової. У чисельник записати 5, а знаменник одну 9. Тобто відповіддю буде дріб 5/9.

Правило про те, як записати звичайний десятковий періодичний дріб, що є змішаним.

Подивитися на довжину періоду. Стільки 9 матиме знаменник.

Записати знаменник: спочатку дев'ятки, потім нулі.

Щоб визначити чисельник, потрібно записати різницю двох чисел. Зменшуються всі цифри після коми, разом з періодом. Віднімається — воно ж без періоду.

Наприклад, 0,5(8) - запишіть періодичний десятковий дріб у вигляді звичайного. У дрібній частині до періоду стоїть одна цифра. Значить, нуль буде один. У періоді також лише одна цифра — 8. Тобто дев'ятка одна. Тобто у знаменнику треба написати 90.

Для визначення чисельника з 58 необхідно відняти 5. Виходить 53. Відповіддю наприклад доведеться записати 53/90.

Як переводять звичайні дроби до десяткових?

Найпростішим варіантом виявляється число, у знаменнику якого стоїть число 10, 100 та інше. Тоді знаменник просто відкидається, а між дробовою і цілою частинами ставиться кома.

Бувають ситуації, коли знаменник легко перетворюється на 10, 100 тощо. буд. Наприклад, числа 5, 20, 25. Їх досить помножити на 2, 5 і 4 відповідно. Тільки множити потрібно як знаменник, а й чисельник на те саме число.

Для решти випадків знадобиться просте правило: розділити чисельник на знаменник. У цьому випадку може вийти два варіанти відповідей: кінцевий або періодичний десятковий дріб.

Дії зі звичайними дробами

Додавання та віднімання

З ними учні знайомляться раніше за інших. Причому спочатку дроби мають однакові знаменники, а потім різні. Загальні правила можна звести до такого плану.

Знайти найменше загальне кратне знаменників.

Записати додаткові множники до всіх звичайних дробів.

Помножити чисельники та знаменники на певні для них множники.

Скласти (відняти) чисельники дробів, а загальний знаменник залишити без зміни.

Якщо чисельник меншого віднімається, то потрібно з'ясувати, перед нами змішане число або правильний дріб.

У першому випадку ціла частина повинна зайняти одиницю. До чисельника дробу додати знаменник. А потім виконувати віднімання.

У другому - необхідно застосувати правило віднімання з меншого числа більше. Тобто з модуля віднімається відняти модуль зменшуваного, а у відповідь поставити знак «-».

Уважно подивитися на результат додавання (віднімання). Якщо вийшов неправильний дріб, то потрібно виділити цілу частину. Тобто поділити чисельник на знаменник.

Множення та розподіл

Для виконання дробу не потрібно приводити до спільного знаменника. Це полегшує виконання дій. Але в них все одно слід дотримуватися правил.

При множенні звичайних дробів необхідно розглянути числа чисельників і знаменниках. Якщо якийсь чисельник та знаменник мають спільний множник, їх можна скоротити.

Перемножити чисельники.

Перемножити знаменники.

Якщо вийшов скоротитий дріб, то його потрібно спростити.

При розподілі потрібно спочатку замінити розподіл на множення, а дільник (другий дріб) - на зворотний дріб (поміняти місцями чисельник і знаменник).

Потім діяти, як із множенні (починаючи з пункту 1).

У завданнях, де помножити (ділити) потрібно ціле число, останнє потрібно записати як неправильної дробу. Тобто зі знаменником 1. Потім діяти, як описано вище.



Дії з десятковими дробами

Додавання та віднімання

Звичайно, завжди можна перетворити десятковий дріб на звичайний. І діяти за вже описаним планом. Але іноді зручніше діяти без перекладу. Тоді правила для їх складання та віднімання будуть абсолютно однаковими.

Зрівняти число цифр у дробовій частині числа, тобто після коми. Приписати в ній недостатню кількість нулів.

Записати дроби так, щоб кома опинилася під комою.

Скласти (відняти) як натуральні числа.

Знести кому.

Множення та розподіл

Важливо, що тут не слід дописувати нулі. Дроби потрібно залишати в тому вигляді, як вони дані в прикладі. А далі йти за планом.

Для множення потрібно написати дроби одна під одною, не звертаючи увагу на коми.

Помножити як натуральні числа.

Поставити у відповіді кому, відрахувавши від правого кінця відповіді стільки цифр, скільки їх коштує в дробових частинах обох множників.

Для поділу необхідно спочатку перетворити дільник: зробити його натуральним числом. Тобто помножити його на 10, 100 і т. д., залежно від того, скільки цифр у дрібній частині дільника.

На те число помножити поділене.

Розділити десятковий дріб на натуральне число.

Поставити у відповіді кому в той момент, коли закінчиться розподіл цілої частини.



Як бути, якщо в одному прикладі є обидва види дробів?

І в математиці нерідко зустрічаються приклади, у яких необхідно здійснити події над звичайними і десятковими дробами. У таких завданнях можливі два шляхи вирішення. Потрібно об'єктивно зважити числа та вибрати оптимальний.

Перший шлях: уявити звичайні десятковими

Він підходить, якщо при розподілі чи перекладі виходять кінцеві дроби. Якщо хоча б одне число дає періодичну частину, цей прийом застосовувати заборонено. Тому, навіть якщо не подобається працювати зі звичайними дробами, доведеться рахувати їх.

Другий шлях: записати десяткові дроби звичайними

Цей прийом виявляється зручним, якщо частини після коми коштують 1-2 цифри. Якщо їх більше, може вийти дуже великий звичайний дріб та десяткові записи дозволять порахувати завдання швидше та простіше. Тому завжди потрібно тверезо оцінювати завдання та вибирати найпростіший метод вирішення.

У цій статті ми розберемо, як здійснюється переведення звичайних дробів у десяткові дроби, і навіть розглянемо зворотний процес – переведення десяткових дробів у прості дроби. Тут ми озвучимо правила обігу дробів та наведемо докладні рішення характерних прикладів.

Навігація на сторінці.

Переведення звичайних дробів у десяткові дроби

Позначимо послідовність, в якій ми розбиратимемося з переведенням звичайних дробів у десяткові дроби.

Спочатку ми розглянемо, як прості дроби зі знаменниками 10, 100, 1 000, … уявити як десяткових дробів . Це тим, що десяткові дроби насправді є компактною формою запису звичайних дробів зі знаменниками 10, 100, … .

Після цього ми підемо далі і покажемо, як будь-який звичайний дріб (не тільки зі знаменниками 10, 100, …) записати у вигляді десяткового дробу. За такого обігу звичайних дробів виходять як кінцеві десяткові дроби, і нескінченні періодичні десяткові дроби.

Тепер про все по порядку.

Переклад звичайних дробів із знаменниками 10, 100, … у десяткові дроби

Деякі правильні звичайні дроби перед переведенням у десяткові дроби потребують «попередньої підготовки». Це стосується звичайних дробів, кількість цифр у чисельнику яких менша, ніж кількість нулів у знаменнику. Наприклад, звичайний дріб 2/100 потрібно попередньо підготувати до переведення в десятковий дріб, а дріб 9/10 підготовки не потребує.

«Попередня підготовка» правильних звичайних дробів до переведення в десяткові дроби полягає в дописуванні ліворуч у чисельнику такої кількості нулів, щоб там загальна кількість цифр дорівнювала кількості нулів у знаменнику. Наприклад, дріб після дописування нулів матиме вигляд .

Після підготовки правильного звичайного дробу можна приступати до його обігу в десятковий дріб.

Дамо правило переведення правильного звичайного дробу зі знаменником 10, або 100, або 1 000, … в десятковий дріб. Воно складається із трьох кроків:

• записуємо 0;
• після нього ставимо десяткову кому;
• записуємо число з чисельника (разом із дописаними нулями, якщо ми їх дописували).

Розглянемо застосування цього правила під час вирішення прикладів.

приклад.

Переведіть правильний звичайний дріб 37/100 у десятковий.

Рішення.

У знаменнику знаходиться число 100, у запису якого два нулі. У чисельнику знаходиться число 37, у його записі дві цифри, отже, цей дріб не потребує підготовки до переведення в десятковий дріб.

Тепер записуємо 0 , ставимо десятковий ком, і записуємо число 37 з чисельника, при цьому отримуємо десятковий дріб 0,37 .

Відповідь:

0,37 .

Для закріплення навичок перекладу правильних звичайних дробів із чисельниками 10, 100, … у десяткові дроби розберемо рішення ще одного прикладу.

приклад.

Запишіть правильний дріб 107/10 000 000 у вигляді десяткового дробу.

Рішення.

Кількість цифр у чисельнику дорівнює 3, а кількість нулів у знаменнику дорівнює 7, тому цей звичайний дріб потребує підготовки до переведення в десятковий. Нам потрібно дописати 7-3=4 нуля ліворуч у чисельнику, щоб загальна кількість цифр там дорівнювала кількості нулів у знаменнику. Отримуємо.

Залишилося скласти потрібний десятковий дріб. Для цього, по-перше, записуємо 0, по-друге, ставимо кому, по-третє, записуємо число з чисельника разом з нулями 0000107, в результаті маємо десятковий дріб 0,0000107.

Відповідь:

0,0000107 .

Неправильні звичайні дроби не потребують підготовки під час переведення в десяткові дроби. Слід дотримуватися наступного правила переведення неправильних звичайних дробів із знаменниками 10, 100, … у десяткові дроби:

• записуємо число із чисельника;
• відокремлюємо десятковою комою стільки цифр праворуч, скільки нулів у знаменнику вихідного дробу.

Розберемо застосування цього правила під час вирішення прикладу.

приклад.

Переведіть неправильний звичайний дріб 56 888 038 009/100 000 у десятковий дріб.

Рішення.

По-перше, записуємо число з чисельника 56888038009, по-друге, відокремлюємо десятковою комою 5 цифр праворуч, так як у знаменнику вихідного дробу 5 нулів. У результаті маємо десятковий дріб 568 880,38009.

Відповідь:

568 880,38009 .

Для звернення до десяткового дробу змішаного числа , знаменником дробової частини якого є число 10 , або 100 , або 1 000, ... , Можна виконати переведення змішаного числа в неправильний звичайний дріб, після чого отриманий дріб звернути в десятковий дріб. Але можна скористатися і наступним правилом переведення змішаних чисел зі знаменником дробової частини 10, або 100, або 1000, … у десяткові дроби:

• при необхідності виконуємо «попередню підготовку» дробової частини вихідного змішаного числа, дописавши необхідну кількість нулів зліва в чисельнику;
• записуємо цілу частину вихідного змішаного числа;
• ставимо десяткову кому;
• записуємо число з чисельника разом із дописаними нулями.

Розглянемо приклад, при вирішенні якого виконаємо всі необхідні кроки для представлення змішаного числа у вигляді десяткового дробу.

приклад.

Переведіть змішане число в десятковий дріб.

Рішення.

У знаменнику дробової частини 4 нуля, у чисельнику ж знаходиться число 17 , що складається з 2 цифр, тому, нам потрібно дописати два нулі зліва в чисельнику, щоб там число знаків дорівнювало числу нулів у знаменнику. Виконавши це, у чисельнику виявиться 0017 .

Тепер записуємо цілу частину вихідного числа, тобто, число 23 , ставимо десяткову кому, після якої записуємо число з чисельника разом з дописаними нулями, тобто, 0017 при цьому отримуємо шуканий десятковий дріб 23,0017 .

Запишемо все рішення коротко: .

Безперечно, можна було спочатку уявити змішане число у вигляді неправильного дробу, після чого перевести його в десятковий дріб. За такого підходу рішення виглядає так: .

Відповідь:

23,0017 .

Переведення звичайних дробів у кінцеві та нескінченні періодичні десяткові дроби

У десятковий дріб можна перевести як звичайні дроби зі знаменниками 10, 100, … , але звичайні дроби коїться з іншими знаменниками. Нині ми розберемося, як це робиться.

У деяких випадках вихідний звичайний дріб легко приводиться до одного із знаменників 10 , або 100 , або 1 000, … (дивіться приведення звичайного дробу до нового знаменника), після чого не складає труднощі отриманий дріб уявити у вигляді десяткового дробу. Наприклад, очевидно, що дріб 2/5 можна привести до дробу зі знаменником 10 , для цього потрібно чисельник і знаменник помножити на 2 , що дасть дріб 4/10 , який за правилами, розібраними в попередньому пункті, легко переводиться в десятковий дріб 0, 4 .

В інших випадках доводиться використовувати інший спосіб переведення звичайного дробу в десятковий, до розгляду якого ми переходимо.

Для обігу звичайного дробу в десятковий дріб виконується розподіл чисельника дробу на знаменник, чисельник попередньо замінюється рівним йому десятковим дробом з будь-якою кількістю нулів після десяткової коми (про це ми говорили в розділі рівні та нерівні десяткові дроби). У цьому розподіл виконується як і, як розподіл стовпчиком натуральних чисел , а приватному ставиться десяткова кома, коли закінчується розподіл цілої частини поділеного. Все це стане зрозуміло з рішень прикладів, наведених нижче.

приклад.

Переведіть звичайний дріб 621/4 у десятковий дріб.

Рішення.

Число в чисельнику 621 представимо у вигляді десяткового дробу, додавши десяткову кому і кілька нулів після неї. Для початку допишемо 2 цифри 0, пізніше, за потреби, ми завжди можемо додати ще нулів. Отже, маємо 621,00.

Тепер виконаємо поділ стовпчиком числа 621,000 на 4 . Перші три кроки нічим не відрізняються від поділу стовпчиком натуральних чисел, після них приходимо до наступної картини:

Так ми дісталися десяткової коми в ділимому, а залишок при цьому відмінний від нуля. У цьому випадку в приватному ставимо десяткову кому, і продовжуємо поділ стовпчиком, не звертаючи уваги на коми:

На цьому розподіл закінчено, а в результаті ми отримали десятковий дріб 155,25, який відповідає вихідному звичайному дробу.

Відповідь:

155,25 .

Для закріплення матеріалу розглянемо рішення ще одного прикладу.

приклад.

Переведіть звичайний дріб 21/800 у десятковий дріб.

Рішення.

Для переведення цього звичайного дробу в десятковий, виконаємо поділ стовпчиком десяткового дробу 21,000 ... на 800 . Нам після першого ж кроку доведеться поставити десяткову кому в приватному, після чого продовжити поділ:

Нарешті ми отримали залишок 0, на цьому переведення звичайного дробу 21/400 в десятковий дріб закінчено, і ми прийшли до десяткового дробу 0,02625.

Відповідь:

0,02625 .

Може статися, що при розподілі чисельника на знаменник звичайного дробу ми не отримаємо в залишку 0 . У цих випадках поділ можна продовжувати як завгодно довго. Проте, починаючи з певного кроку, залишки начитають періодично повторюватися, у своїй повторюються і цифри у приватному. Це означає, що вихідний звичайний дріб переводиться в нескінченний періодичний десятковий дріб . Покажемо на прикладі.

приклад.

Запишіть звичайний дріб 19/44 у вигляді десяткового дробу.

Рішення.

Для переведення звичайного дробу в десятковий виконаємо поділ стовпчиком:

Вже зараз видно, що при розподілі почали повторюватися залишки 8 і 36, при цьому в приватному повторюються цифри 1 і 8. Таким чином, вихідний звичайний дріб 19/44 переводиться в періодичний десятковий дріб 0,43181818 ... = 0,43 (18) .

Відповідь:

0,43(18) .

На закінчення цього пункту розберемося, які прості дроби можна перевести в кінцеві десяткові дроби, а які - тільки в періодичні.

Нехай перед нами знаходиться нескоротний звичайний дріб (якщо дріб скоротитий, то попередньо виконуємо скорочення дробу), і нам потрібно з'ясувати, в який десятковий дріб його можна перевести - в кінцевий або періодичний.

Зрозуміло, що якщо звичайний дріб можна привести до одного із знаменників 10, 100, 1 000, … , то отриманий дріб легко перевести в кінцевий десятковий дріб за правилами, розібраними в попередньому пункті. Але до знаменників 10, 100, 1000 і т.д. наводяться далеко не всі прості дроби. До таких знаменників можна привести лише дроби, знаменники яких є хоча б одного з чисел 10, 100, А які числа можуть бути дільниками 10, 100, ...? Відповісти це питання нам дозволять чисел 10, 100, … , які такі: 10=2·5 , 100=2·2·5·5 , 1 000=2·2·2·5·5·5, … . Звідси випливає, що дільниками 10, 100, 1000 і т.д. можуть бути лише числа, розкладання яких на прості множники містять лише числа 2 та (або) 5 .

Тепер ми можемо зробити загальний висновок про переведення звичайних дробів у десяткові дроби:

• якщо в розкладанні знаменника на прості множники присутні лише числа 2 і (або) 5, то цей дріб можна перевести в кінцевий десятковий дріб;
• якщо крім двох і п'ятірок у розкладанні знаменника присутні інші прості числа, то цей дріб перекладається до нескінченного десяткового періодичного дробу.

приклад.

Не виконуючи переведення звичайних дробів у десяткові, скажіть, які з дробів 47/20 , 7/12 , 21/56 , 31/17 можна перевести в кінцевий десятковий дріб, а які тільки в періодичний.

Рішення.

Розкладання на прості множники знаменника дробу 47/20 має вигляд 20 = 2 · 2 · 5 . У цьому розкладанні присутні лише двійки і п'ятірки, тому цей дріб може бути приведений до одного із знаменників 10, 100, 1 000, … (у цьому прикладі до знаменника 100), отже, може бути переведена в кінцевий десятковий дріб.

Розкладання на прості множники знаменника дробу 7/12 має вигляд 12 = 2 · 2 · 3 . Так як воно містить простий множник 3 , відмінний від 2 і 5 , то цей дріб не може бути представлений у вигляді кінцевого десяткового дробу, але може бути переведена в періодичний десятковий дріб.

Дріб 21/56 – скоротлива, після скорочення вона набуває вигляду 3/8 . Розкладання знаменника на прості множники містить три множники, рівних 2 , отже, звичайна дріб 3/8 , а отже і рівна їй дріб 21/56 може бути переведена в кінцевий десятковий дріб.

Нарешті, розкладання знаменника дробу 31/17 являє собою 17 , отже, цей дріб не можна звернути в кінцевий десятковий дріб, але можна звернути в нескінченну періодичну.

Відповідь:

47/20 і 21/56 можна перевести в кінцевий десятковий дріб, а 7/12 і 31/17 - тільки в періодичний.

Звичайні дроби не перетворюються на нескінченні неперіодичні десяткові дроби

Інформація попереднього пункту породжує питання: «Чи може при розподілі чисельника дробу на знаменник вийти нескінченний неперіодичний дріб»?

Відповідь: ні. При перекладі звичайного дробу може вийти або кінцевий десятковий дріб, або нескінченний періодичний десятковий дріб. Пояснимо, чому це так.

З теореми про ділимості з залишком ясно, що залишок завжди менший за дільник, тобто, якщо ми виконуємо розподіл деякого цілого числа на ціле число q , то залишком може бути лише одне з чисел 0, 1, 2, …, q−1 . Звідси випливає, що після завершення поділу стовпчиком цілої частини чисельника звичайного дробу на знаменник q , не більше ніж через крок q виникне одна з двох наступних ситуацій:

• або ми отримаємо залишок 0 , у цьому розподіл закінчиться, ми отримаємо кінцевий десятковий дріб;
• або ми отримаємо залишок, який вже з'являвся раніше, після цього залишки почнуть повторюватися як у попередньому прикладі (оскільки при розподілі рівних чисел на q виходять рівні залишки, що випливає з вже згаданої теореми про подільність), так буде отримано нескінченний періодичний десятковий дріб.

Інших варіантів бути не може, отже, при зверненні звичайного дробу в десятковий дріб не може вийти нескінченна неперіодична десяткова дріб.

З наведених у цьому пункті міркувань також випливає, що довжина періоду десяткового дробу завжди менше, ніж значення знаменника відповідного звичайного дробу.

Переведення десяткових дробів у звичайні дроби

Тепер розберемося, як перевести десятковий дріб у звичайний. Почнемо з переведення кінцевих десяткових дробів у звичайні дроби. Після цього розглянемо метод обігу нескінченних періодичних десяткових дробів. На закінчення скажемо про неможливість переведення нескінченних неперіодичних десяткових дробів у звичайні дроби.

Переведення кінцевих десяткових дробів у звичайні дроби

Отримати звичайний дріб, який записаний у вигляді кінцевого десяткового дробу, досить просто. Правило переведення кінцевого десяткового дробу у звичайний дрібскладається з трьох кроків:

• по-перше, записати цей десятковий дріб у чисельник, попередньо відкинувши десятковий ком і всі нулі зліва, якщо вони є;
• по-друге, у знаменник записати одиницю і до неї дописати стільки нулів, скільки цифр знаходиться після коми у вихідному десятковому дробі;
• по-третє, за необхідності виконати скорочення отриманого дробу.

Розглянемо рішення прикладів.

приклад.

Зверніть десятковий дріб 3,025 у звичайний дріб.

Рішення.

Якщо вихідного десяткового дробу прибрати десяткову кому, ми отримаємо число 3 025 . У ньому немає нулів зліва, які б ми відкинули. Отже, у чисельник дробу, що шукається, записуємо 3 025 .

У знаменник записуємо цифру 1 і праворуч до неї дописуємо 3 нуля, тому що у вихідному десятковому дробі після коми знаходяться 3 цифри.

Так ми отримали звичайний дріб 3025/1000 . Цей дріб можна скоротити на 25 .

Відповідь:

.

приклад.

Виконайте переведення десяткового дробу 0,0017 у звичайний дріб.

Рішення.

Без десяткової коми вихідний десятковий дріб має вигляд 00017 , відкинувши нулі зліва отримуємо число 17 , яке і є чисельником потрібного звичайного дробу.

У знаменник записуємо одиницю з чотирма нулями, тому що у вихідному десятковому дробі після коми 4 цифри.

Через війну маємо звичайну дріб 17/10 000 . Цей дріб нескоримий, і переведення десяткового дробу в звичайний закінчено.

Відповідь:

.

Коли ціла частина вихідного кінцевого десяткового дробу відмінна від нуля, то його можна відразу перевести в змішане число, минаючи звичайний дріб. Дамо правило переведення кінцевого десяткового дробу в змішане число:

• число до десяткової коми треба записати як цілу частину змішаного числа, що шукається;
• у чисельник дробової частини потрібно записати число, отримане з дробової частини вихідного десяткового дробу після відкидання в ньому всіх нулів зліва;
• у знаменнику дробової частини потрібно записати цифру 1 , до якої праворуч дописати стільки нулів, скільки цифр знаходиться в записі вихідного десяткового дробу після коми;
• при необхідності виконати скорочення дробової частини одержаного змішаного числа.

Розглянемо приклад переведення десяткового дробу в змішане число.

приклад.

Подайте десятковий дріб 152,06005 у вигляді змішаного числа