Миттєва швидкість руху. Середня швидкість руху. Середня шляхова швидкість

У загальних цілях знаходження швидкості об'єкта (v) - просте завдання: потрібно розділити переміщення (s) протягом певного часу (s) на цей час (t), тобто скористатися формулою v = s/t. Однак у такий спосіб отримують середню швидкість тіла. Використовуючи деякі обчислення, можна знайти швидкість тіла у будь-якій точці шляху. Така швидкість називається миттєвою швидкістюта обчислюється за формулою v = (ds)/(dt), тобто є похідною від формули для обчислення середньої швидкості тіла. .

Кроки

Частина 1

1. Для обчислення миттєвої швидкості необхідно знати рівняння, що описує переміщення тіла (його позицію у певний момент часу), тобто таке рівняння, з одного боку якого перебуває s (переміщення тіла), але в іншому боці – члени зі змінною t (час). Наприклад:
   

   s = -1.5t 2 + 10t + 4

   • У цьому рівнянні: Переміщення = s. Переміщення - пройдений об'єктом шлях. Наприклад, якщо тіло перемістилося на 10 м вперед і 7 м назад, то загальне переміщення тіла дорівнює 10 - 7 = 3 м (а на 10 + 7 = 17 м). Час = t. Зазвичай вимірюється за секунди.

2. Щоб знайти миттєву швидкість тіла, чиї переміщення описуються наведеним вище рівнянням, ви повинні обчислити похідну цього рівняння. Похідна - це рівняння, що дозволяє обчислити нахил графіка у будь-якій точці (у будь-який момент часу). Щоб знайти похідну, продиференціюйте функцію так: якщо y = a*x n , то похідна = a*n*x n-1 . Це правило застосовується до кожного члена багаточлена.

   • Іншими словами, похідна кожного члена зі змінною t дорівнює добутку множника (який стоїть перед змінною) і ступеня змінної, помноженому на змінну в ступеню, рівну вихідному ступеню мінус 1. Вільний член (член без змінної, тобто число) зникає, тому що множиться на 0. У нашому прикладі:
     

     s = -1.5t 2 + 10t + 4
     (2)-1.5t (2-1) + (1)10t 1 - 1 + (0)4t 0
     -3t 1 + 10t 0
     -3t+10

3. Замініть "s" на "ds/dt", щоб показати, що нове рівняння – це похідна від вихідного рівняння (тобто похідна s від t). Похідна - це нахил графіка у певній точці (у певний момент часу). Наприклад, щоб знайти нахил лінії, що описується функцією s = -1.5t 2 + 10t + 4 при t = 5, просто підставте 5 рівняння похідної.

   • У прикладі рівняння похідної має виглядати так:
     

     ds/dt = -3t + 10

4. Для рівняння похідної підставте відповідне значення t, щоб знайти миттєву швидкість у певний момент часу. Наприклад, якщо ви хочете знайти миттєву швидкість при t = 5, просто підставте 5 (замість t) до рівняння похідної ds/dt = -3 + 10. Потім розв'яжіть рівняння:
   

   ds/dt = -3t + 10
   ds/dt = -3(5) + 10
   ds/dt = -15 + 10 = -5 м/с

   • Зверніть увагу на одиницю виміру миттєвої швидкості: м/с. Оскільки нам дано значення переміщення у метрах, а час – у секундах, і швидкість дорівнює відношенню переміщення часу, то одиниця виміру м/с – правильна.

   Частина 2

   Графічна оцінка миттєвої швидкості

   1. Побудуйте графік руху тіла.У попередньому розділі ви обчислювали миттєву швидкість за формулою (рівнянню похідної, що дозволяє знайти нахил графіка у певній точці). Побудувавши графік переміщення тіла, ви можете знайти його нахил у будь-якій точці, а відтак визначити миттєву швидкість у певний момент часу.

      • По осі Y відкладайте переміщення, а осі Х - час. Координати точок (х,у) отримаєте через підстановку різних значень t вихідне рівняння переміщення та обчислення відповідних значень s.
      • Графік може опускатися нижче осі Х. Якщо графік переміщення тіла опускається нижче осі Х, це означає, що тіло рухається у напрямку від точки початку руху. Як правило, графік не буде поширюватися за вісь Y (негативні значення х) – ми не вимірюємо швидкість об'єктів, що рухаються назад у часі!

   2. Виберіть на графіці (кривий) точку Р та близьку до неї точку Q.Щоб знайти нахил графіка у точці Р, використовуємо поняття межі. Межа - стан, при якому величина січної, проведеної через 2 точки P і Q, що лежать на кривій, прагне нуля.

      • Наприклад, розглянемо точки Р(1,3) і Q(4,7) та обчислимо миттєву швидкість у точці Р.

   3. Знайдіть нахил відрізка РQ.Нахил відрізка РQ дорівнює відношенню різниці значень координат «у» точок P і Q до різниці значень координат «х» точок P і Q. Тобто H = (y Q - y P)/(x Q - x P), де H – нахил відрізка PQ. У нашому прикладі нахил відрізка PQ дорівнює:
      

      H = (y Q - y P)/(x Q - x P)
      H = (7 - 3) / (4 - 1)
      H = (4)/(3) = 1.33

   4. Повторіть процес кілька разів, наближаючи точку Q до точки Р.Чим менша відстань між двома точками, тим ближче значення нахилу отриманих відрізків до нахилу графіка в точці Р. У нашому прикладі зробимо обчислення точки Q з координатами (2,4.8), (1.5,3.95) і (1.25,3.49) (координати точки Р залишаються колишніми):
      

      Q = (2,4.8): H = (4.8 - 3) / (2 - 1)
      H = (1.8) / (1) = 1.8

      Q = (1.5,3.95): H = (3.95 – 3)/(1.5 – 1)
      H = (.95)/(.5) = 1.9

      Q = (1.25,3.49): H = (3.49 – 3)/(1.25 – 1)
      H = (.49)/(.25) = 1.96

   5. Чим менша відстань між точками Р і Q, тим ближчі значення Н до нахилу графіка в точці Р.При гранично малій відстані між точками Р і Q, значення Н дорівнюватиме нахилу графіка в точці Р. Так як ми не можемо виміряти або обчислити гранично малу відстань між двома точками, графічний спосіб дає оцінне значення нахилу графіка в точці Р.

      • У прикладі при наближенні Q до P ми отримали такі значення Н: 1.8; 1.9 та 1.96. Оскільки ці числа прагнуть 2, можна сказати, що нахил графіка у точці Р дорівнює 2.
      • Пам'ятайте, що нахил графіка в даній точці дорівнює похідній функції (за якою побудовано цей графік) у цій точці. Графік відображає переміщення тіла з часом і, як зазначалося у попередньому розділі, миттєва швидкість тіла дорівнює похідній від рівняння переміщення цього тіла. Отже, можна сказати, що з t = 2 миттєва швидкість дорівнює 2 м/с (це оцінне значення).

   Частина 3

   Приклади

   1. Обчисліть миттєву швидкість при t = 4, якщо рух тіла описується рівнянням s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9.Цей приклад схожий завдання з першого розділу з тією лише різницею, що тут дано рівняння третього порядку (а чи не другого).

      • Спочатку обчислимо похідну цього рівняння:
        

        s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9
        s = (3)5t (3 - 1) - (2)3t (2 - 1) + (1)2t (1 - 1) + (0)9t 0 - 1
        15t(2) - 6t(1) + 2t(0)
        15t (2) - 6t + 2

        t = 1.01: s = 4(1.01) 2 - (1.01)
        4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, so Q = (1.01,3.0704)

      • Тепер обчислимо H:
        

        Q = (2,14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
        H = (11)/(1) = 11

        Q = (1.5,7.5): H = (7.5 – 3)/(1.5 – 1)
        H = (4.5)/(.5) = 9

        Q = (1.1,3.74): H = (3.74 – 3)/(1.1 – 1)
        H = (.74)/(.1) = 7.3

        Q = (1.01,3.0704): H = (3.0704 - 3) / (1.01 - 1)
        H = (.0704)/(.01) = 7.04

      • Оскільки отримані значення H прагнуть 7, можна сказати, що миттєва швидкість тіла у точці (1,3) дорівнює 7 м/с (оціночне значення).
   • Щоб знайти прискорення (зміна швидкості з часом), використовуйте метод у частині першій, щоб отримати похідну функцію переміщення. Потім візьміть ще раз похідну від отриманої похідної. Це дасть вам рівняння, щоб знайти прискорення в даний момент часу - все, що вам потрібно зробити, це підставити значення для часу.
   • Рівняння, яке описує залежність у (переміщення) від х (час), може бути дуже простим, наприклад: у = 6x + 3. У цьому випадку нахил є постійним і не треба брати похідну, щоб його знайти. Відповідно до теорії лінійних графіків, їх нахил дорівнює коефіцієнту при змінній х, тобто у прикладі =6.
   • Переміщення подібне до відстані, але воно має певний напрямок, що робить його векторною величиною. Переміщення може бути негативним, тоді як відстань буде лише позитивною.

Швидкість у фізиці означає швидкість переміщення будь-якого об'єкта у просторі. Ця величина буває різною: лінійною, кутовою, середньою, космічною і навіть надсвітловою. До всіх існуючих різновидів входить також і миттєва швидкість. Що це за величина, яка її формула і які дії необхідні для її розрахунку - про це якраз і йтиметься у нашій статті.

Миттєва швидкість: сутність та поняття

Про те, як визначити швидкість переміщення об'єкта прямою, відомо навіть учневі початкових класів: досить пройдену відстань розділити на час, який було витрачено на таке переміщення. Однак варто пам'ятати, що результат, отриманий у такий спосіб, дозволяє судити про Якщо об'єкт рухається нерівномірно, то на певних ділянках його шляху швидкість переміщення може помітно змінюватись. Тому часом потрібна така величина як миттєва швидкість. Вона дозволяє судити про швидкість переміщення матеріальної точки у будь-який момент руху.

Миттєва швидкість: формула розрахунку

Даний параметр дорівнює межі (позначається limit, скорочено lim) відношення переміщення (різниці координат) до проміжку часу, протягом якого ця зміна відбулася, за умови, що цей проміжок часу прагне досягти нуля. Це визначення можна записати у вигляді наступної формули:

v = Δs/Δt при Δt → 0 або так v = lim Δt → 0 (Δs/Δt)

Відзначимо, що миттєва швидкість є Якщо рух відбувається по прямій лінії, то вона змінюється лише за величиною, а напрямок залишається постійним. В іншому випадку вектор швидкості миттєвої спрямований по дотичній по відношенню до траєкторії переміщення в кожній точці, що розглядається. Який сенс несе цей показник? Миттєва швидкість дозволяє з'ясувати, яке переміщення здійснить об'єкт за одиницю часу, якщо з моменту, що розглядається, він рухається рівномірно і прямолінійно.

У разі жодних складнощів немає: потрібно просто знайти відношення відстані до часу, за який вона була об'єктом подолана. У цьому випадку середня та миттєва швидкість тіла рівні. Якщо ж рух відбувається непостійно, то цьому випадку слід дізнатися величину прискорення і визначати миттєву швидкість у кожний певний момент часу. При вертикальному переміщенні слід враховувати вплив Миттєва швидкість автомобіля можна визначити за допомогою радара або спідометра. Слід пам'ятати, що переміщення деяких ділянках шляху може приймати негативне значення.

Щоб знайти прискорення, можна скористатися акселерометром чи скласти функцію руху й скористатися формулою v=v0+a.t. Якщо переміщення починається зі стану спокою, то v0 = 0. При розрахунках слід враховувати те що, що з гальмуванні тіла (зменшенні швидкості) величина прискорення буде зі знаком " мінус " . Якщо об'єкт здійснює миттєва швидкість його переміщення розраховується за формулою v = g.t. У цьому випадку початкова швидкість дорівнює 0.

Наприклад, автомобіль, який рушає з місця, рухається прискорено, оскільки збільшує швидкість руху. У точці початку руху швидкість автомобіля дорівнює нулю. Розпочавши рух, автомобіль розганяється до деякої швидкості. При необхідності загальмувати автомобіль не зможе зупинитися миттєво, а за якийсь час. Тобто швидкість автомобіля буде прагнути до нуля – автомобіль почне рухатись уповільнено доти, доки не зупиниться повністю. Але фізика немає терміна «уповільнення». Якщо тіло рухається, зменшуючи швидкість, цей процес також називається прискорення, але зі знаком "-".

Середнім прискореннямназивається відношення зміни швидкості до проміжку часу, за який ця зміна відбулася. Обчислюють середнє прискорення за допомогою формули:

де - це. Напрямок вектора прискорення такий самий, як у напрямку зміни швидкості Δ = - 0

де 0 є початковою швидкістю. У момент часу t 1(див. Мал. Нижче) у тіла 0 . У момент часу t 2тіло має швидкість. З правила віднімання векторів, визначимо вектор зміни швидкості Δ = - 0 . Звідси обчислюємо прискорення:

.

У системі СІ одиницею прискоренняназивається 1 метр на секунду за секунду (або метр на секунду у квадраті):

.

Метр на секунду в квадраті - це прискорення точки, що прямолінійно рухається, при якому за 1 зі швидкість цієї точки зростає на 1 м/с. Іншими словами, прискорення визначає міру зміни швидкості тіла за 1 с. Наприклад, якщо прискорення становить 5 м/с 2 , отже, швидкість тіла щомиті зростає 5 м/с.

Миттєве прискорення тіла (матеріальної точки)Зараз часу - це фізична величина , яка дорівнює межі, якого прагне середнє прискорення при прагненні проміжку часу до 0. Іншими словами - це прискорення, що розвивається тілом за дуже короткий період:

.

Прискорення має такий самий напрямок, як і зміна швидкості Δ в украй маленьких проміжках часу, за які швидкість змінюється. Вектор прискорення можна встановити за допомогою проекцій на відповідні осі координат у заданій системі відліку (проекціями а Х, a Y , a Z).

При прискореному прямолінійному русі швидкість тіла зростає по модулю, тобто. v 2 > v 1 , а вектор прискорення має такий самий напрямок, як і вектор швидкості 2 .

Якщо швидкість тіла за модулем зменшується (v 2< v 1), значит, у вектора ускорения направление противоположно направлению вектора скорости 2 . Другими словами, в таком случае наблюдаем уповільнення руху(прискорення негативно, а< 0). На рисунке ниже изображено направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Якщо відбувається рух криволінійною траєкторією, то змінюється модуль і напрямок швидкості. Значить вектор прискорення зображують у вигляді 2х складових.

Тангенційним (дотичним) прискореннямназивають ту складову вектора прискорення, яка спрямована по дотичній траєкторії в даній точці траєкторії руху. Тангенціальне прискорення визначає ступінь зміни швидкості за модулем під час здійснення криволінійного руху.

У вектор тангенціального прискоренняτ (див. рис. вище) напрям такий, як і в лінійної швидкості або протилежно йому. Тобто. вектор тангенціального прискорення знаходиться в одній осі з дотичного кола, що є траєкторією руху тіла.

« Фізика – 10 клас»

Яку швидкість показує спідометр?
Чи може міський транспорт рухатися рівномірно та прямолінійно?

Реальні тіла (людина, автомобіль, ракета, теплохід тощо. буд.), зазвичай, не рухаються з постійною швидкістю. Вони починають рухатися зі стану спокою, і їхня швидкість збільшується поступово, при зупинці швидкість зменшується також поступово, таким чином, реальні тіла рухаються нерівномірно.

Нерівномірний рух може бути як прямолінійним, і криволінійним.

Щоб повністю описати нерівномірний рух точки, треба знати її положення та швидкість у кожний момент часу.

Швидкість точки в даний момент називається миттєвою швидкістю.

Що розуміють під миттєвою швидкістю?

Нехай точка, рухаючись нерівномірно і кривою лінії, у певний момент часу t займає положення М (рис. 1.24). Після часу Δt 1 від цього моменту точка займе положення М 1 , здійснивши переміщення Δ 1 . Поділивши вектор Δ 1 на проміжок часу Δt 1 знайдемо таку швидкість рівномірного прямолінійного руху з якою мала б рухатися точка, щоб за час Δt потрапити з положення М в положення М 1 . Цю швидкість називають середньою швидкістю переміщення точки за Δt 1 .

Позначивши її через ср1 , запишемо: Середня швидкість спрямована вздовж сік ММ 1 . За тією ж формулою знаходимо швидкість точки при рівномірному прямолінійному русі.

Швидкість, з якою повинна рівномірно і прямолінійно рухатися точка, щоб потрапити з початкового положення в кінцеве за певний проміжок часу, називається середньою швидкістюпереміщення.

Для того щоб визначити швидкість в даний момент часу, коли точка займає положення М, знайдемо середні швидкості за менші і менші проміжки часу:

Цікаво, чи таке визначення миттєвої швидкості: «Швидкість тіла в даній точці траєкторії називається миттєвою швидкістю»?

При зменшенні проміжку часу Δt переміщення точки зменшуються за модулем і змінюються у напрямку. Відповідно до цього середні швидкості також змінюються як за модулем, так і за напрямом. Але з наближенням проміжку часу Δt до нуля середні швидкості все менше і менше відрізнятимуться один від одного. А це означає, що при прагненні проміжку часу Δt до нуля ставлення прагне певного вектора як свого граничного значення. У механіці таку величину називають швидкістю точки на даний момент часу або просто миттєвою швидкістюі позначають

Миттєва швидкістьточки є величина, що дорівнює межі відношення переміщення Δ до проміжку часу Δt, протягом якого це переміщення відбулося, при прагненні проміжку Δt до нуля.

З'ясуємо тепер, як спрямований вектор миттєвої швидкості. У будь-якій точці траєкторії вектор миттєвої швидкості спрямований так, як у межі, при прагненні проміжку часу Δt до нуля, спрямована середня швидкість переміщення. Ця середня швидкість протягом проміжку часу Δt спрямована так, як спрямований вектор переміщення Δ З малюнка 1.24 видно, що при зменшенні проміжку часу Δt вектор зменшуючи довжину, одночасно повертається. Чим коротшим стає вектор Δ, тим ближчим він до дотичної, проведеної до траєкторії в даній точці М, тобто січна переходить у дотичну. Отже,

миттєва швидкість спрямована щодо траєкторії (див. рис. 1.24).

Зокрема, швидкість точки, що рухається по колу, спрямована по дотичній до цього кола. У цьому неважко переконатись. Якщо маленькі частинки відокремлюються від диска, що обертається, то вони летять по дотичній, так як мають в момент відриву швидкість, рівну швидкості точок на колі диска. Ось чому бруд з-під коліс автомашини, що буксує, летить по дотичній до кола коліс (рис. 1.25).

Поняття миттєвої швидкості – одне з основних понять кінематики. Це поняття відноситься до точки. Тому надалі, говорячи про швидкість руху тіла, яке не можна вважати точкою, ми можемо говорити про швидкість якоїсь його точки.

Крім середньої швидкості переміщення, для опису руху частіше користуються середньою швидкістю cps .

Середня шляхова швидкістьвизначається ставленням шляху до проміжку часу, за який цей шлях пройдено:

Коли ми кажемо, що шлях від Москви до Санкт-Петербурга поїзд пройшов зі швидкістю 80 км/год, ми маємо на увазі саме середню швидкість руху поїзда між цими містами. Модуль середньої швидкості переміщення при цьому буде меншим за середню колійну швидкість, оскільки s > |Δ|.

Для нерівномірного руху також справедливий закон складання швидкостей. І тут складаються миттєві швидкості.

Це векторна фізична величина, чисельно рівна межі, якого прагне середня швидкість за нескінченно малий проміжок часу:

Іншими словами, миттєва швидкість - це радіус-вектор у часі.

Вектор миттєвої швидкості завжди спрямований по траєкторії тіла в бік руху тіла.

Миттєва швидкість дає точну інформацію про рух у певний час. Наприклад, при їзді в автомобілі в деякий час водій дивиться на спідометр і бачить, що прилад показує 100 км/год. Через деякий час стрілка спідометра вказує на величину 90 км/год, а через кілька хвилин – на величину 110 км/год. Всі перелічені показання спідометра – це значення миттєвої швидкості автомобіля у певні моменти часу. Швидкість у кожний момент часу та у кожній точці траєкторії необхідно знати при стиковці космічних станцій, при посадці літаків тощо.

Чи має поняття «миттєвої швидкості» фізичне значення? Швидкість – це характеристика зміни простору. Однак для того, щоб визначити, як змінилося переміщення, необхідно спостерігати за рухом протягом деякого часу. Навіть найдосконаліші прилади для вимірювання швидкості, такі як радарні установки, вимірюють швидкість за проміжок часу - нехай досить малий, проте це все-таки кінцевий часовий інтервал, а не момент часу. Вираз «швидкість тіла у час» з погляду фізики перестав бути коректним. Проте, поняття миттєвої швидкості дуже зручне у математичних розрахунках, і вони постійно користуються.

Приклади розв'язання задач на тему «Миттєва швидкість»

ПРИКЛАД 1

ПРИКЛАД 2

ПРИКЛАД 3