Як перетворити дробове число на ціле. Переведення десяткового дробу у звичайний і навпаки: правило, приклади

У цій статті ми розберемо, як здійснюється переведення звичайних дробів у десяткові дроби, і навіть розглянемо зворотний процес – переведення десяткових дробів у прості дроби. Тут ми озвучимо правила обігу дробів та наведемо докладні рішення характерних прикладів.

Навігація на сторінці.

Переведення звичайних дробів у десяткові дроби

Позначимо послідовність, в якій ми розбиратимемося з переведенням звичайних дробів у десяткові дроби.

Спочатку ми розглянемо, як прості дроби зі знаменниками 10, 100, 1 000, … уявити як десяткових дробів . Це тим, що десяткові дроби насправді є компактною формою запису звичайних дробів зі знаменниками 10, 100, … .

Після цього ми підемо далі і покажемо, як будь-який звичайний дріб (не тільки зі знаменниками 10, 100, …) записати у вигляді десяткового дробу. За такого обігу звичайних дробів виходять як кінцеві десяткові дроби, і нескінченні періодичні десяткові дроби.

Тепер про все по порядку.

Переклад звичайних дробів із знаменниками 10, 100, … у десяткові дроби

Деякі правильні звичайні дроби перед переведенням у десяткові дроби потребують «попередньої підготовки». Це стосується звичайних дробів, кількість цифр у чисельнику яких менша, ніж кількість нулів у знаменнику. Наприклад, звичайний дріб 2/100 потрібно попередньо підготувати до переведення в десятковий дріб, а дріб 9/10 підготовки не потребує.

«Попередня підготовка» правильних звичайних дробів до переведення в десяткові дроби полягає в дописуванні ліворуч у чисельнику такої кількості нулів, щоб там загальна кількість цифр дорівнювала кількості нулів у знаменнику. Наприклад, дріб після дописування нулів матиме вигляд .

Після підготовки правильного звичайного дробу можна приступати до його обігу в десятковий дріб.

Дамо правило переведення правильного звичайного дробу зі знаменником 10, або 100, або 1 000, … в десятковий дріб. Воно складається із трьох кроків:

• записуємо 0;
• після нього ставимо десяткову кому;
• записуємо число з чисельника (разом із дописаними нулями, якщо ми їх дописували).

Розглянемо застосування цього правила під час вирішення прикладів.

приклад.

Переведіть правильний звичайний дріб 37/100 у десятковий.

Рішення.

У знаменнику знаходиться число 100, у запису якого два нулі. У чисельнику знаходиться число 37, у його записі дві цифри, отже, цей дріб не потребує підготовки до переведення в десятковий дріб.

Тепер записуємо 0 , ставимо десятковий ком, і записуємо число 37 з чисельника, при цьому отримуємо десятковий дріб 0,37 .

Відповідь:

0,37 .

Для закріплення навичок перекладу правильних звичайних дробів із чисельниками 10, 100, … у десяткові дроби розберемо рішення ще одного прикладу.

приклад.

Запишіть правильний дріб 107/10 000 000 у вигляді десяткового дробу.

Рішення.

Кількість цифр у чисельнику дорівнює 3, а кількість нулів у знаменнику дорівнює 7, тому цей звичайний дріб потребує підготовки до переведення в десятковий. Нам потрібно дописати 7-3=4 нуля ліворуч у чисельнику, щоб загальна кількість цифр там дорівнювала кількості нулів у знаменнику. Отримуємо.

Залишилося скласти потрібний десятковий дріб. Для цього, по-перше, записуємо 0, по-друге, ставимо кому, по-третє, записуємо число з чисельника разом з нулями 0000107, в результаті маємо десятковий дріб 0,0000107.

Відповідь:

0,0000107 .

Неправильні звичайні дроби не потребують підготовки під час переведення в десяткові дроби. Слід дотримуватися наступного правила переведення неправильних звичайних дробів із знаменниками 10, 100, … у десяткові дроби:

• записуємо число із чисельника;
• відокремлюємо десятковою комою стільки цифр праворуч, скільки нулів у знаменнику вихідного дробу.

Розберемо застосування цього правила під час вирішення прикладу.

приклад.

Переведіть неправильний звичайний дріб 56 888 038 009/100 000 у десятковий дріб.

Рішення.

По-перше, записуємо число з чисельника 56888038009, по-друге, відокремлюємо десятковою комою 5 цифр праворуч, так як у знаменнику вихідного дробу 5 нулів. У результаті маємо десятковий дріб 568 880,38009.

Відповідь:

568 880,38009 .

Для звернення до десяткового дробу змішаного числа , знаменником дробової частини якого є число 10 , або 100 , або 1 000, ... , Можна виконати переведення змішаного числа в неправильний звичайний дріб, після чого отриманий дріб звернути в десятковий дріб. Але можна скористатися і наступним правилом переведення змішаних чисел зі знаменником дробової частини 10, або 100, або 1000, … у десяткові дроби:

• при необхідності виконуємо «попередню підготовку» дробової частини вихідного змішаного числа, дописавши необхідну кількість нулів зліва в чисельнику;
• записуємо цілу частину вихідного змішаного числа;
• ставимо десяткову кому;
• записуємо число з чисельника разом із дописаними нулями.

Розглянемо приклад, при вирішенні якого виконаємо всі необхідні кроки для представлення змішаного числа у вигляді десяткового дробу.

приклад.

Переведіть змішане число в десятковий дріб.

Рішення.

У знаменнику дробової частини 4 нуля, у чисельнику ж знаходиться число 17 , що складається з 2 цифр, тому, нам потрібно дописати два нулі зліва в чисельнику, щоб там число знаків дорівнювало числу нулів у знаменнику. Виконавши це, у чисельнику виявиться 0017 .

Тепер записуємо цілу частину вихідного числа, тобто, число 23 , ставимо десяткову кому, після якої записуємо число з чисельника разом з дописаними нулями, тобто, 0017 при цьому отримуємо шуканий десятковий дріб 23,0017 .

Запишемо все рішення коротко: .

Безперечно, можна було спочатку уявити змішане число у вигляді неправильного дробу, після чого перевести його в десятковий дріб. За такого підходу рішення виглядає так: .

Відповідь:

23,0017 .

Переведення звичайних дробів у кінцеві та нескінченні періодичні десяткові дроби

У десятковий дріб можна перевести як звичайні дроби зі знаменниками 10, 100, … , але звичайні дроби коїться з іншими знаменниками. Нині ми розберемося, як це робиться.

У деяких випадках вихідний звичайний дріб легко приводиться до одного із знаменників 10 , або 100 , або 1 000, … (дивіться приведення звичайного дробу до нового знаменника), після чого не складає труднощі отриманий дріб уявити у вигляді десяткового дробу. Наприклад, очевидно, що дріб 2/5 можна привести до дробу зі знаменником 10 , для цього потрібно чисельник і знаменник помножити на 2 , що дасть дріб 4/10 , який за правилами, розібраними в попередньому пункті, легко переводиться в десятковий дріб 0, 4 .

В інших випадках доводиться використовувати інший спосіб переведення звичайного дробу в десятковий, до розгляду якого ми переходимо.

Для обігу звичайного дробу в десятковий дріб виконується розподіл чисельника дробу на знаменник, чисельник попередньо замінюється рівним йому десятковим дробом з будь-якою кількістю нулів після десяткової коми (про це ми говорили в розділі рівні та нерівні десяткові дроби). У цьому розподіл виконується як і, як розподіл стовпчиком натуральних чисел , а приватному ставиться десяткова кома, коли закінчується розподіл цілої частини поділеного. Все це стане зрозуміло з рішень прикладів, наведених нижче.

приклад.

Переведіть звичайний дріб 621/4 у десятковий дріб.

Рішення.

Число в чисельнику 621 представимо у вигляді десяткового дробу, додавши десяткову кому і кілька нулів після неї. Для початку допишемо 2 цифри 0, пізніше, за потреби, ми завжди можемо додати ще нулів. Отже, маємо 621,00.

Тепер виконаємо поділ стовпчиком числа 621,000 на 4 . Перші три кроки нічим не відрізняються від поділу стовпчиком натуральних чисел, після них приходимо до наступної картини:

Так ми дісталися десяткової коми в ділимому, а залишок при цьому відмінний від нуля. У цьому випадку в приватному ставимо десяткову кому, і продовжуємо поділ стовпчиком, не звертаючи уваги на коми:

На цьому розподіл закінчено, а в результаті ми отримали десятковий дріб 155,25, який відповідає вихідному звичайному дробу.

Відповідь:

155,25 .

Для закріплення матеріалу розглянемо рішення ще одного прикладу.

приклад.

Переведіть звичайний дріб 21/800 у десятковий дріб.

Рішення.

Для переведення цього звичайного дробу в десятковий, виконаємо поділ стовпчиком десяткового дробу 21,000 ... на 800 . Нам після першого ж кроку доведеться поставити десяткову кому в приватному, після чого продовжити поділ:

Нарешті ми отримали залишок 0, на цьому переведення звичайного дробу 21/400 в десятковий дріб закінчено, і ми прийшли до десяткового дробу 0,02625.

Відповідь:

0,02625 .

Може статися, що при розподілі чисельника на знаменник звичайного дробу ми не отримаємо в залишку 0 . У цих випадках поділ можна продовжувати як завгодно довго. Проте, починаючи з певного кроку, залишки начитають періодично повторюватися, у своїй повторюються і цифри у приватному. Це означає, що вихідний звичайний дріб переводиться в нескінченний періодичний десятковий дріб . Покажемо на прикладі.

приклад.

Запишіть звичайний дріб 19/44 у вигляді десяткового дробу.

Рішення.

Для переведення звичайного дробу в десятковий виконаємо поділ стовпчиком:

Вже зараз видно, що при розподілі почали повторюватися залишки 8 і 36 при цьому в приватному повторюються цифри 1 і 8 . Таким чином, вихідний звичайний дріб 19/44 переводиться в періодичний десятковий дріб 0,43181818 ... = 0,43 (18) .

Відповідь:

0,43(18) .

На закінчення цього пункту розберемося, які прості дроби можна перевести в кінцеві десяткові дроби, а які - тільки в періодичні.

Нехай перед нами знаходиться нескоротний звичайний дріб (якщо дріб скоротитий, то попередньо виконуємо скорочення дробу), і нам потрібно з'ясувати, в який десятковий дріб його можна перевести - в кінцевий або періодичний.

Зрозуміло, що якщо звичайний дріб можна привести до одного із знаменників 10, 100, 1 000, … , то отриманий дріб легко перевести в кінцевий десятковий дріб за правилами, розібраними в попередньому пункті. Але до знаменників 10, 100, 1000 і т.д. наводяться далеко не всі прості дроби. До таких знаменників можна привести лише дроби, знаменники яких є хоча б одного з чисел 10, 100, А які числа можуть бути дільниками 10, 100, ...? Відповісти це питання нам дозволять чисел 10, 100, … , які такі: 10=2·5 , 100=2·2·5·5 , 1 000=2·2·2·5·5·5, … . Звідси випливає, що дільниками 10, 100, 1000 і т.д. можуть бути лише числа, розкладання яких на прості множники містять лише числа 2 та (або) 5 .

Тепер ми можемо зробити загальний висновок про переведення звичайних дробів у десяткові дроби:

• якщо в розкладанні знаменника на прості множники присутні лише числа 2 і (або) 5, то цей дріб можна перевести в кінцевий десятковий дріб;
• якщо крім двох і п'ятірок у розкладанні знаменника присутні інші прості числа, то цей дріб перекладається до нескінченного десяткового періодичного дробу.

приклад.

Не виконуючи переведення звичайних дробів у десяткові, скажіть, які з дробів 47/20 , 7/12 , 21/56 , 31/17 можна перевести в кінцевий десятковий дріб, а які - тільки в періодичний.

Рішення.

Розкладання на прості множники знаменника дробу 47/20 має вигляд 20 = 2 · 2 · 5 . У цьому розкладанні присутні лише двійки і п'ятірки, тому цей дріб може бути приведений до одного із знаменників 10, 100, 1 000, … (у цьому прикладі до знаменника 100), отже, може бути переведена в кінцевий десятковий дріб.

Розкладання на прості множники знаменника дробу 7/12 має вигляд 12 = 2 · 2 · 3 . Так як воно містить простий множник 3 , відмінний від 2 і 5 , то цей дріб не може бути представлений у вигляді кінцевого десяткового дробу, але може бути переведена в періодичний десятковий дріб.

Дріб 21/56 – скоротлива, після скорочення вона набуває вигляду 3/8 . Розкладання знаменника на прості множники містить три множники, рівних 2 , отже, звичайна дріб 3/8 , а отже і рівна їй дріб 21/56 може бути переведена в кінцевий десятковий дріб.

Нарешті, розкладання знаменника дробу 31/17 являє собою 17 , отже, цей дріб не можна звернути в кінцевий десятковий дріб, але можна звернути в нескінченну періодичну.

Відповідь:

47/20 і 21/56 можна перевести в кінцевий десятковий дріб, а 7/12 і 31/17 - тільки в періодичний.

Звичайні дроби не перетворюються на нескінченні неперіодичні десяткові дроби

Інформація попереднього пункту породжує питання: «Чи може при розподілі чисельника дробу на знаменник вийти нескінченний неперіодичний дріб»?

Відповідь: ні. При перекладі звичайного дробу може вийти або кінцевий десятковий дріб, або нескінченний періодичний десятковий дріб. Пояснимо, чому це так.

З теореми про ділимості з залишком ясно, що залишок завжди менший за дільник, тобто, якщо ми виконуємо розподіл деякого цілого числа на ціле число q , то залишком може бути лише одне з чисел 0, 1, 2, …, q−1 . Звідси випливає, що після завершення поділу стовпчиком цілої частини чисельника звичайного дробу на знаменник q , не більше ніж через крок q виникне одна з двох наступних ситуацій:

• або ми отримаємо залишок 0 , у цьому розподіл закінчиться, ми отримаємо кінцевий десятковий дріб;
• або ми отримаємо залишок, який вже з'являвся раніше, після цього залишки почнуть повторюватися як у попередньому прикладі (оскільки при розподілі рівних чисел на q виходять рівні залишки, що випливає з вже згаданої теореми про подільність), так буде отримано нескінченний періодичний десятковий дріб.

Інших варіантів бути не може, отже, при зверненні звичайного дробу в десятковий дріб не може вийти нескінченна неперіодична десяткова дріб.

З наведених у цьому пункті міркувань також випливає, що довжина періоду десяткового дробу завжди менше, ніж значення знаменника відповідного звичайного дробу.

Переведення десяткових дробів у звичайні дроби

Тепер розберемося, як перевести десятковий дріб у звичайний. Почнемо з переведення кінцевих десяткових дробів у звичайні дроби. Після цього розглянемо метод обігу нескінченних періодичних десяткових дробів. На закінчення скажемо про неможливість переведення нескінченних неперіодичних десяткових дробів у звичайні дроби.

Переведення кінцевих десяткових дробів у звичайні дроби

Отримати звичайний дріб, який записаний у вигляді кінцевого десяткового дробу, досить просто. Правило переведення кінцевого десяткового дробу у звичайний дрібскладається з трьох кроків:

• по-перше, записати цей десятковий дріб у чисельник, попередньо відкинувши десятковий ком і всі нулі зліва, якщо вони є;
• по-друге, у знаменник записати одиницю і до неї дописати стільки нулів, скільки цифр знаходиться після коми у вихідному десятковому дробі;
• по-третє, за необхідності виконати скорочення отриманого дробу.

Розглянемо рішення прикладів.

приклад.

Зверніть десятковий дріб 3,025 у звичайний дріб.

Рішення.

Якщо вихідного десяткового дробу прибрати десяткову кому, ми отримаємо число 3 025 . У ньому немає нулів зліва, які б ми відкинули. Отже, у чисельник дробу, що шукається, записуємо 3 025 .

У знаменник записуємо цифру 1 і праворуч до неї дописуємо 3 нуля, тому що у вихідному десятковому дробі після коми знаходяться 3 цифри.

Так ми отримали звичайний дріб 3025/1000 . Цей дріб можна скоротити на 25 .

Відповідь:

.

приклад.

Виконайте переведення десяткового дробу 0,0017 у звичайний дріб.

Рішення.

Без десяткової коми вихідний десятковий дріб має вигляд 00017 , відкинувши нулі зліва отримуємо число 17 , яке і є чисельником потрібного звичайного дробу.

У знаменник записуємо одиницю з чотирма нулями, тому що у вихідному десятковому дробі після коми 4 цифри.

Через війну маємо звичайну дріб 17/10 000 . Цей дріб нескоримий, і переведення десяткового дробу до звичайного закінчено.

Відповідь:

.

Коли ціла частина вихідного кінцевого десяткового дробу відмінна від нуля, то його можна відразу перевести в змішане число, минаючи звичайний дріб. Дамо правило переведення кінцевого десяткового дробу в змішане число:

• число до десяткової коми треба записати як цілу частину змішаного числа, що шукається;
• у чисельник дробової частини потрібно записати число, отримане з дробової частини вихідного десяткового дробу після відкидання в ньому всіх нулів зліва;
• у знаменнику дробової частини потрібно записати цифру 1 , до якої праворуч дописати стільки нулів, скільки цифр знаходиться в записі вихідного десяткового дробу після коми;
• при необхідності виконати скорочення дробової частини одержаного змішаного числа.

Розглянемо приклад переведення десяткового дробу в змішане число.

приклад.

Подайте десятковий дріб 152,06005 у вигляді змішаного числа

Дроб є числом, яке складається з однієї або декількох часток одиниці. У математиці існує три види дробів: прості, змішані та десяткові.

• 
  Звичайні дроби

Звичайна дріб записується як співвідношення, у якому чисельнику відбивається, скільки взято частин від числа, а знаменник показує, скільки частин розділена одиниця. Якщо чисельник менший за знаменник, то перед нами правильний дріб. Наприклад: ½, 3/5, 8/9.

Якщо чисельник дорівнює знаменнику чи більше його, ми маємо справу з неправильним дробом. Наприклад: 5/5, 9/4, 5/2 При розподілі чисельника може вийти кінцеве число. Наприклад, 40/8 = 5. Отже, будь-яке ціле число може бути записане у вигляді звичайного неправильного дробу або ряду таких дробів. Розглянемо записи однієї й тієї числа у вигляді низки різних .

• Змішані дроби

У загальному вигляді змішаний дріб може бути представлений формулою:

Таким чином, змішаний дріб записується як ціле число і звичайний правильний дріб, а під таким записом розуміють суму цілого та його дробової частини.

• Десяткові дроби

Десятковий дріб – це особливий різновид дробу, у якого знаменник може бути представлений як ступінь числа 10. Існують нескінченні та кінцеві десяткові дроби. При записі цього різновиду дробу спочатку вказується ціла частина, потім через роздільник (крапку або кому) фіксується дробова частина.

Запис дробової частини завжди визначається її розмірністю. Десятковий запис виглядає так:

Правила перекладу між різними видами дробів

• Переведення змішаного дробу у звичайний

Змішаний дріб можна перевести лише в неправильний. Для перекладу необхідно цілу частину навести тому ж знаменнику, що і дробову. Загалом це виглядатиме так:
Розглянемо використання цього правила на конкретних прикладах:

• Переклад звичайного дробу на змішану

Неправильний звичайний дріб можна перетворити на змішану шляхом простого поділу, в результаті якого знаходиться ціла частина та залишок (дрібна частина).

Для прикладу переведемо дріб 439/31 у змішану:
​​

• Переклад звичайного дробу

У деяких випадках перевести дріб у десятковий досить просто. У цьому випадку застосовується основна властивість дробу, чисельник і знаменник множаться на те саме число, для того, щоб привести дільник до ступеня числа 10.

Наприклад:

У деяких випадках може знадобитися приватне шляхом розподілу куточком або за допомогою калькулятора. А деякі дроби неможливо призвести до кінцевого десяткового дробу. Наприклад, дріб 1/3 при розподілі ніколи не дасть кінцевого результату.

У школі VIII виду учні знайомляться з такими перетвореннями дробів: виразом дробу у більших частках (6-й клас), виразом неправильного дробу цілим чи змішаним числом (6-й клас), виразом дробів у однакових частках (7-й клас), виразом змішаного числа неправильним дробом (7-й клас).

Вираз неправильного дробу цілимабо змішаним числом

I Вивчення даного матеріалу слід почати із завдання: взяти 2 шитих кола і кожен з них розділити на 4 рівні частки, підрахувати кількість четвертих часток (рис. 25). Далі пропонується Писати цю кількість дробом (т) Потім четверті частки додаються один до одного і учні переконуються, що вийшов

Перше коло. Отже, -Т = 1 . До чотирьох чвертей додає-послідовно ще по -Т,та учні записують: т=1, -7=1 6 2 7 3 8 9

Вчитель звертає увагу учнів те що, що у всіх розглянутих випадках вони брали неправильну дріб, а результаті перетворення отримували чи ціле, чи змішане число, т. е. висловлювали неправильну дріб цілим чи змішаним числом. Далі треба прагнути до того, щоб учні самостійно визначили, яким арифметичним дією це перетворення можна виконати. Яскравими прикладами, що призводять до відповіді

4 . 8 0 5 ,1 7 ,3 „Л

питанням, є: -2-=! і т = 2, 4" = 1т і т Т " ВИВ °Д : щоб

висловити неправильний дріб цілим чи змішаним числом, потрібно чисельник дробу розділити на знаменник, приватне записати цілим числом, залишок записати в чисельник, а знаменник залишити той самий. Так як правило громіздке, зовсім не обов'язково, щоб учні заучували його напам'ять. Вони повинні вміти послідовно розповісти про дії у виконанні цього перетворення.

Перед тим як познайомити учнів із виразом неправильного дробу цілим чи змішаним числом, доцільно повторити із нею розподіл цілого числа на ціле із залишком.

Закріпленню нового для учнів перетворення сприяє вирішення завдань життєво-практичного характеру, наприклад:

«У вазі лежить дев'ять четвертих часток апельсина. Скіл| цілих апельсинів можна скласти із цих часток? Скільки четі тих часток залишиться?»

«Для виготовлення кришок для коробочок кожен лист карті

35 розрізають на 16 рівних часток. Отримали -^. Скільки цілих!

листів картону розрізали? Скільки шістнадцятих часток відріз! від наступного шматка? І т.д.

Вираз цілого та змішаного числанеправильним дробом

Знайомству учнів із цим новим перетворенням повинні передувати вирішення завдань, наприклад:

«2 рівні по довжині шматка тканини, що мають форму квадрат. > Розрізали на 4 рівні частини. З кожної такої частини пошили хустку. Скільки вийшло хусток? I Запис: 2= - 1 4^-, 2= -% ]

вин вийшло? Запишіть: було 1 * кола, стало * кола, отже,

Таким чином, спираючись на наочно-практичну основу, розглядаємо ще низку прикладів. У прикладах учням пропонується порівняти вихідне число (змішане або ціле) і число, яке вийшло після перетворення (неправильний дріб).

Щоб познайомити учнів з правилом вираження цілого та змішаного числа неправильним дробом, треба привернути їхню увагу до порівняння знаменників змішаного числа та неправильного дробу, а також до того, як виходить чисельник, наприклад:

1 2"=?, 1 = 2", та ще ^, всього ^ 3 ^=?, 3=-^-, та ще ^, всього

буде -^-. У результаті формулюється правило: щоб змішане число

висловити неправильним дробом, треба знаменник помножити на ціле число, додати до твору чисельник та суму записати чисельником, а знаменник залишити без зміни.

Спочатку потрібно вправляти учнів у вираженні неправильним дробом одиниці, потім будь-якого іншого цілого числа із зазначенням знаменника, а потім змішаного числа:

Основна властивість дробу 1

[віднімання незмінності дробу при одночасному збільшенні

1 зменшенні її членів, тобто чисельника і знаменника, засвоюється учнями школи VIII виду з великими труднощами. Це поняття необхідно вводити на наочному і дидактичному матеріалі,

,"Чим важливо, щоб учні не тільки спостерігали за діяльністю вчителя, а й самі активно працювали з дидактичним матеріалом і на основі спостережень та практичної діяльності приходили до певних висновків, узагальнення.

Наприклад, вчитель бере цілу ріпу, ділить її на 2 рівні мсти та запитує: «Що отримали при розподілі цілої ріпи

навпіл? (2 половини.) Покажіть * ріпи. Розріжемо (розділимо)

половину ріпи ще на 2 рівні частини. Що матимемо? -у. Запишемо:

тт=-т- Порівняємо чисельники та знаменники цих дробів. У скільки

раз збільшився чисельник? Скільки разів збільшився знаменник? У скільки разів збільшились і чисельник, і знаменник? Чи змінився дріб? Чому не змінилася? Якими стали частки: більші чи дрібніші? Збільшилося чи зменшилося число

Потім всі учні ділять коло на 2 рівні частини, кожну половину ділять ще на 2 рівні частини, кожну чверть ще на

2 рівні частини і т. д. і записують: "о^А^тг^тгг і т - Л- Потім встановлюють, у скільки разів збільшився чисельник і знаменник дробу, чи змінився дріб. Потім креслять відрізок і ділять його послідовно на 3 , 6, 12 рівних частин і записують:

1 21 4 При порівнянні дробів -^ і -^, -^ і -^ виявляється, що

чисельник і знаменник дробу тг збільшується в те саме число разів, дріб від цього не змінюється.

Після розгляду ряду прикладів слід запропонувати учням відповісти на запитання: «Чи зміниться дріб, якщо чисельник Деякі знання на тему «Звичайні дроби» виключаються з навчальних програм з математики в корекційних школах VIII виду, але вони повідомляються учням у школах для дітей із затримкою психічного розвитку , у класах вирівнювання для дітей, які зазнають труднощів у навчанні математики. У цьому підручнику параграфи, де дається методика вивчення цього матеріалу,

позначені зірочкою (*).

Аналогічні приклади наводяться при розгляді уміння числа і знаменника в одне і те ж число разів (лічильники і знаменник діляться на те саме число). Наприклад, кр>"

( 4 \ ділять на 8 рівних частин, беруть 4 восьмі частки кола I-о-]

укрупнивши частки, беруть четверті, їх буде 2. Укрупнивши частки

4 2 1 беруть другий. Їх буде 1 : ~й = -д--%-Порівнюють послідовник!

чисельники та знаменники цих дробів, відповідаючи на запитання: «В<>скільки разів зменшується чисельник та знаменник? Чи зміниться дріб?».

Хорошим посібником є ​​смуги, розділені на 12, 6, 3 рівні частини (рис. 26).

Н

12 6 3 Мал. 26

Ось, здавалося б, переведення десяткового дробу у звичайний — елементарна тема, але багато учнів її не розуміють! Тому сьогодні ми докладно розглянемо одразу кілька алгоритмів, за допомогою яких ви розберетеся з будь-якими дробами буквально за секунду.

Нагадаю, що існує як мінімум дві форми запису одного і того ж дробу: звичайний і десятковий. Десяткові дроби - це всілякі конструкції виду 0,75; 1,33; і навіть –7,41. А ось приклади звичайних дробів, які виражають ті самі числа:

Зараз розберемося: як від десяткового запису перейти до звичайного? І найголовніше: як зробити це максимально швидко?

Основний алгоритм

Насправді існує як мінімум два алгоритми. І ми зараз розглянемо обидва. Почнемо з першого — найпростішого та найзрозумілішого.

Щоб перевести десятковий дріб у звичайний, необхідно виконати три кроки:

Важливе зауваження щодо негативних чисел. Якщо у вихідному прикладі перед десятковим дробом стоїть знак мінус, то і на виході перед звичайним дробом теж повинен стояти мінус. Ось ще кілька прикладів:

Особливу увагу хотілося б звернути на останній приклад. Як бачимо, у дробі 0,0025 є багато нулів після коми. Через це доводиться аж чотири рази множити чисельник і знаменник на 10. Чи можна якось спростити алгоритм у цьому випадку?

Звісно, ​​можна. І зараз ми розглянемо альтернативний алгоритм — він трохи складніший для сприйняття, але після невеликої практики працює набагато швидше за стандартний.

Швидший спосіб

У цьому алгоритмі також 3 кроки. Щоб отримати звичайний дріб із десяткового, потрібно виконати наступне:

1. Порахувати, скільки цифр коштує після коми. Наприклад, у дробу 1,75 таких цифр дві, а 0,0025 — чотири. Позначимо цю кількість буквою $n$.
2. Переписати вихідне число у вигляді дробу виду $\frac(a)(((10)^(n)))$, де $a$ це всі цифри вихідного дробу (без «стартових» нулів зліва, якщо вони є), а $n$ - та сама кількість цифр після коми, яку ми порахували на першому кроці. Інакше кажучи, необхідно розділити цифри вихідного дробу на одиницю з $n$ нулями.
3. По можливості скоротити отриманий дріб.

Ось і все! На перший погляд, ця схема складніша за попередню. Але насправді він і простіший, і швидший. Судіть самі:

Як бачимо, у дробі 0,64 після коми стоїть дві цифри - 6 і 4. Тому $ n = 2 $. Якщо прибрати кому і нулі зліва (в даному випадку - всього один нуль), то отримаємо число 64. Переходимо до другого кроку: $((10)^(n))=((10)^(2))=100$, тому у знаменнику стоїть саме сто. Ну а потім залишається лише скоротити чисельник і знаменник.

Ще один приклад:

Тут все трохи складніше. По-перше, цифр після коми вже три штуки, тобто. $n=3$, тому ділити доведеться $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$. По-друге, якщо прибрати з десяткового запису кому, то ми отримаємо ось це: 0,004 → 0004. Згадаємо, що нулі зліва треба прибрати, тому за фактом у нас число 4. Далі все просто: ділимо, скорочуємо і отримуємо відповідь.

Зрештою, останній приклад:

Особливість цього дробу – наявність цілої частини. Тому на виході у нас виходить неправильний дріб 47/25. Можна, звичайно, спробувати розділити 47 на 25 із залишком і таким чином знову виділити цілу частину. Але для чого ускладнювати собі життя, якщо це можна зробити ще на етапі перетворень? Що ж, розберемося.

Що робити з цілою частиною

Насправді все дуже просто: якщо ми хочемо отримати правильний дріб, то необхідно прибрати з нього цілу частину на час перетворень, а потім, коли отримаємо результат, знову дописати праворуч перед дробовою рисою.

Наприклад, розглянемо те саме число: 1,88. Заб'ємо на одиницю (цілу частину) і подивимося на дріб 0,88. Вона легко перетворюється:

Потім згадуємо про втрачену одиницю і дописуємо її спереду:

\[\frac(22)(25)\to 1\frac(22)(25)\]

Ось і все! Відповідь вийшла тим самим, що й після виділення цілої частини минулого разу. Ще кілька прикладів:

\[\begin(align)& 2,15\to 0,15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \&& 13,8\to 0,8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\to 13\frac(4)(5). \\\end(align)\]

В цьому і полягає принадність математики: яким би шляхом ви не пішли, якщо всі обчислення виконані правильно, відповідь завжди буде одним і тим же.

Насамкінець хотів би розглянути ще один прийом, який багатьом допомагає.

Перетворення «на слух»

Давайте подумаємо про те, що взагалі таке десятковий дріб. Точніше, як ми читаємо її. Наприклад, число 0,64 - ми читаємо його як "нуль цілих, 64 сотих", правильно? Ну, або просто «64 соті». Ключове слово тут - "сотих", тобто. Число 100.

А що щодо 0,004? Це ж «нуль цілих, 4 тисячні» або просто «чотири тисячні». Так чи інакше, ключове слово - "тисячних", тобто. 1000.

Ну, і що в цьому такого? А те, що саме ці числа зрештою «спливають» у знаменниках на другому етапі алгоритму. Тобто. 0,004 — це «чотири тисячні» або «4 розділити на 1000»:

Спробуйте потренуватися самі це дуже просто. Головне - правильно прочитати вихідний дріб. Наприклад, 2,5 - це «2 цілих, 5 десятих», тому

А якесь 1,125 — це «1 ціла, 125 тисячних», тому

В останньому прикладі, звичайно, хтось заперечить, мовляв, не кожному учневі очевидно, що 1000 ділиться на 125. Але тут треба пам'ятати, що 1000 = 10 3 , а 10 = 2 ∙ 5 тому

\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5 \ cdot 5 = 8 \ cdot 125 \ end (align) \]

Таким чином, будь-який ступінь десятки розкладається лише на множники 2 і 5 — саме ці множники потрібно шукати і в чисельнику, щоб у результаті все скоротилося.

На цьому урок закінчено. Переходимо до більш складної зворотної операції - див.

З курсу алгебри шкільної програми переходимо до конкретики. У цій статті ми докладно вивчимо особливий вид раціональних виразів. раціональні дроби, а також розберемо, які характерні тотожні перетворення раціональних дробівмають місце.

Відразу відзначимо, що раціональні дроби в тому сенсі, в якому ми їх визначимо нижче, у деяких підручниках алгебри називають дробами алгебри. Тобто, у цій статті ми під раціональними та алгебраїчними дробами розумітимемо одне й те саме.

Зазвичай почнемо з визначення та прикладів. Далі поговоримо про приведення раціонального дробу до нового знаменника та про зміну знаків у членів дробу. Після цього розберемо, як скорочення дробів. Нарешті, зупинимося на поданні раціонального дробу як суми кількох дробів. Усю інформацію надаватимемо прикладами з докладними описами рішень.

Навігація на сторінці.

Визначення та приклади раціональних дробів

Раціональні дроби вивчаються під час уроків алгебри у 8 класі. Ми будемо використовувати визначення раціонального дробу, яке дається у підручнику алгебри для 8 класів Ю. Н. Макарічева та ін.

У даному визначенні не уточнюється, чи багаточлени в чисельнику і знаменнику раціонального дробу бути багаточленами стандартного виду чи ні. Тому, вважатимемо, що у записах раціональних дробів можуть міститися як багаточлени стандартного виду, і не стандартного.

Наведемо кілька прикладів раціональних дробів. Так, x/8 і - Раціональні дроби. А дроби і не підходять під озвучене визначення раціонального дробу, тому що в першій з них у чисельнику стоїть не багаточлен, а в другій і в чисельнику та в знаменнику знаходяться вирази, що не є багаточленами.

Перетворення чисельника та знаменника раціонального дробу

Чисельник і знаменник будь-якого дробу є самодостатніми математичними виразами, у разі раціональних дробів – це багаточлени, в окремому випадку – одночлени та числа. Тому, з чисельником та знаменником раціонального дробу, як і з будь-яким виразом, можна проводити тотожні перетворення. Іншими словами, вираз у чисельнику раціонального дробу можна замінювати тотожно рівним йому виразом, як і знаменник.

У чисельнику та знаменнику раціонального дробу можна виконувати тотожні перетворення. Наприклад, у чисельнику можна провести угруповання та приведення подібних доданків, а у знаменнику – добуток кількох чисел замінити його значенням. Оскільки чисельник і знаменник раціонального дробу є багаточлени, то з ними можна виконувати і характерні для багаточленів перетворення, наприклад, приведення до стандартного вигляду або подання у вигляді твору.

Для наочності розглянемо рішення кількох прикладів.

приклад.

Перетворіть раціональний дріб так, щоб у чисельнику виявився багаточлен стандартного вигляду, а в знаменнику – добуток багаточленів.

Рішення.

Приведення раціональних дробів до нового знаменника в основному застосовується при складанні та відніманні раціональних дробів.

Зміна знаків перед дробом, а також у його чисельнику та знаменнику

Основну властивість дробу можна використовувати для зміни знаків у членів дробу. Справді, множення чисельника і знаменника раціонального дробу на -1 рівносильне зміні їх знаків, а результаті вийде дріб, тотожно рівна даної. До такого перетворення доводиться досить часто звертатися під час роботи з раціональними дробами.

Таким чином, якщо одночасно змінити знаки у чисельника і знаменника дробу, то вийде дріб, що дорівнює вихідному. Цьому твердженню відповідає рівність.

Наведемо приклад. Раціональний дріб можна замінити тотожно рівним їй дробом зі зміненими знаками чисельника і знаменника виду.

З дробами можна провести ще одне тотожне перетворення, у якому змінюється знак або чисельнику, чи знаменнику. Озвучимо відповідне правило. Якщо замінити знак дробу разом із знаком чисельника чи знаменника, то вийде дріб, що тотожно дорівнює вихідному. Записаному твердженню відповідають рівності та .

Довести ці рівності нескладно. В основі доказу лежать властивості множення чисел. Доведемо перше їх: . За допомогою аналогічних перетворень доводиться і рівність.

Наприклад, дріб можна замінити виразом або .

На закінчення цього пункту наведемо ще дві корисні рівності. Тобто, якщо змінити знак лише у чисельника чи тільки знаменника, то дріб змінить свій знак. Наприклад, і .

Розглянуті перетворення, що дозволяють змінювати знак у членів дробу, часто застосовуються під час перетворення дробово раціональних виразів.

Скорочення раціональних дробів

В основі наступного перетворення раціональних дробів, що має назву скорочення раціональних дробів, лежить все також основна властивість дробу. Цьому перетворенню відповідає рівність , де a, b та c – деякі багаточлени, причому b та c – ненульові.

З наведеної рівності стає зрозуміло, що скорочення раціонального дробу передбачає порятунок від загального множника в його чисельнику та знаменнику.

приклад.

Скоротіть раціональний дріб.

Рішення.

Відразу видно загальний множник 2 виконаємо скорочення на нього (при записі загальні множники, на які скорочують, зручно закреслювати). Маємо . Так як x 2 = x x і y 7 = y 3 y 4 (при необхідності дивіться ), то зрозуміло, що x є загальним множником чисельника і знаменника отриманого дробу, як і y 3 . Проведемо скорочення на ці множники: . На цьому скорочення завершено.

Вище ми виконували скорочення раціонального дробу послідовно. А можна було виконати скорочення в один крок, відразу скоротивши дріб на 2 x y 3 . У цьому випадку рішення виглядало б так: .

Відповідь:

.

При скороченні раціональних дробів основна проблема у тому, що загальний множник чисельника і знаменника які завжди видно. Більше того, вона не завжди існує. Для того, щоб знайти загальний множник або переконатися в його відсутності, чисельник і знаменник раціонального дробу розкласти на множники. Якщо загального множника немає, то вихідний раціональний дріб не потребує скорочення, інакше – проводиться скорочення.

У процесі скорочення раціональних дробів можуть бути різні нюанси. Основні тонкощі на прикладах і деталях розібрані у статті скорочення алгебраїчних дробів.

Завершуючи розмову про скорочення раціональних дробів, відзначимо, що це перетворення є тотожним, а основна складність у його проведенні полягає у розкладанні на множники багаточленів у чисельнику та знаменнику.

Подання раціонального дробу у вигляді суми дробів

Досить специфічним, але в деяких випадках дуже корисним, виявляється перетворення раціонального дробу, що полягає в його поданні у вигляді суми кількох дробів, або суми виразу і дробу.

Раціональний дріб, у чисельнику якого знаходиться багаточлен, що є сумою кількох одночленів, завжди можна записати як суму дробів з однаковими знаменниками, в чисельниках яких знаходяться відповідні одночлени. Наприклад, . Таке уявлення пояснюється правилом складання та віднімання алгебраїчних дробів з однаковими знаменниками.

Взагалі, будь-який раціональний дріб можна у вигляді суми дробів безліччю різних способів. Наприклад, дріб a/b можна як суму двох дробів – довільної дробу c/d і дробу, рівної різниці дробів a/b і c/d . Це твердження справедливе, оскільки має місце рівність . Наприклад, раціональний дріб можна у вигляді суми дробів у різний спосіб: Подаємо вихідний дріб у вигляді суми цілого виразу та дробу. Виконавши розподіл чисельника на знаменник стовпчиком, ми отримаємо рівність . Значення вираз n 3 +4 за будь-якого цілому n є цілим числом. А значення дробу є цілим числом тоді й лише тоді, коли його знаменник дорівнює 1 −1 3 або −3 . Цим значенням відповідають значення n=3 n=1 n=5 і n=−1 відповідно.

Відповідь:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Список литературы.

• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 7 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 13-те вид., Випр. – К.: Мнемозіна, 2009. – 160 с.: іл. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 11-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2009. – 215 с.: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників у технікуми): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.