Звернення десяткового дробу в просту та назад. Переведення десяткового дробу у звичайний і навпаки: правило, приклади

Десяткові числа, такі як 0,2; 1,05; 3,017 і т.п. як чуються, так і пишуться. Нуль цілих дві десятих, отримуємо дріб. Одна ціла п'ять сотих, отримуємо дріб. Три цілих сімнадцять тисячних, отримуємо дріб. Цифри до коми в десятковому числі це ціла частина дробу. Цифра після коми - чисельник майбутнього дробу. Якщо після коми однозначне число – у знаменнику буде 10, якщо двозначне – 100, тризначне – 1000 тощо. Деякі отримані дроби можна скоротити. У наших прикладах

Перетворення дробу на десяткове число

Це обернене до попереднього перетворення. Десятковий дріб чим характерний? У неї в знаменнику завжди коштує 10, або 100, або 1000, або 10000 і таке інше. Якщо ваш звичайний дріб має такий знаменник, проблем немає. Наприклад, або

Якщо дріб, наприклад . В цьому випадку необхідно скористатися основною властивістю дробу і перетворити знаменник до 10 або 100, або 1000... У нашому прикладі, якщо домножити чисельник і знаменник на 4, отримаємо дріб, який можна записати у вигляді десяткового числа 0,12.

Деякі дроби простіше поділити, ніж перетворити знаменник. Наприклад,

Деякі дроби неможливо перетворити на десяткові числа!
Наприклад,

Перетворення змішаного дробу на неправильний

Змішаний дріб, наприклад, легко перетворити на неправильний. Для цього необхідно цілу частину помножити на знаменник (низ) та скласти з чисельником (верх), знаменник (низ) залишити без зміни. Тобто

При перетворенні змішаного дробу на неправильний, можна згадати, що можна використовувати додавання дробів

Перетворення неправильного дробу на змішану (виділення цілої частини)

Неправильний дріб можна перевести в змішану, виділивши цілу частину. Розглянемо приклад, . Визначаємо, скільки цілих разів "3" вміщується в "23". Або 23 ділимо на 3 на калькуляторі, ціле число до коми - шукане. Це "7". Далі визначаємо чисельник майбутнього дробу: отриману "7" множимо на знаменник "3" і з чисельника "23" віднімаємо отримане. Як би знаходимо зайве, що залишається від чисельника "23", якщо вилучити максимальну кількість "3". Знаменник залишаємо без зміни. Все зроблено, записуємо результат

Якщо потрібно розділити 497 на 4, то при розподілі ми побачимо, що 497 не ділиться на 4 націло, тобто. залишається залишок від поділу. У таких випадках кажуть, що виконано розподіл із залишком, і рішення записують у такому вигляді:
497: 4 = 124 (1 залишок).

Компоненти розподілу у лівій частині рівності називають так само, як при розподілі без залишку: 497 - ділене, 4 - дільник. Результат розподілу при розподілі із залишком називають неповним приватним. У нашому випадку це число 124. І, нарешті, останній компонент, якого немає у звичайному розподілі, - залишок. У тих випадках, коли залишку немає, кажуть, що одне число поділилося на інше без залишку, або націло. Вважають, що за такого поділу залишок дорівнює нулю. У нашому випадку залишок дорівнює 1.

Залишок завжди менший за дільник.

Перевірку під час поділу можна зробити множенням. Якщо, наприклад, є рівність 64: 32 = 2, перевірку можна зробити так: 64 = 32 * 2.

Часто у випадках, коли виконується поділ із залишком, зручно використовувати рівність
а = b * n + r
де а – ділене, b – дільник, n – неповне приватне, r – залишок.

Частку від поділу натуральних чисел можна записати у вигляді дробу.

Чисельник дробу - це подільне, а знаменник - дільник.

Оскільки чисельник дробу - це подільне, а знаменник - дільник, вважають, що риса дробу означає дію поділу. Іноді зручно записувати поділ у вигляді дробу, не використовуючи знак «:».

Приватне від розподілу натуральних чисел m і n можна записати у вигляді дробу \(\frac(m)(n) \), де чисельник m - ділене, а знаменник п - дільник:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

Вірні такі правила:

Щоб отримати дріб \(\frac(m)(n) \), треба одиницю розділити на n рівних частин (часток) і взяти m таких частин.

Щоб отримати дріб \(\frac(m)(n) \), треба число m розділити на число n.

Щоб знайти частину від цілого, треба число, що відповідає цілому, розділити на знаменник і результат помножити на чисельник дробу, який виражає цю частину.

Щоб знайти ціле по його частині, треба число, відповідне до цієї частини, розділити на чисельник і результат помножити на знаменник дробу, який виражає цю частину.

Якщо і чисельник, і знаменник дробу помножити на те саме число (крім нуля), величина дробу не зміниться:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Якщо і чисельник, і знаменник дробу поділити на те саме число (крім нуля), величина дробу не зміниться:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Цю властивість називають основною властивістю дробу.

Два останні перетворення називають скороченням дробу.

Якщо дроби потрібно подати у вигляді дробів з тим самим знаменником, то таку дію називають приведенням дробів до спільного знаменника.

Правильні та неправильні дроби. Змішані числа

Ви вже знаєте, що дріб можна отримати, якщо поділити ціле на рівні частини та взяти кілька таких частин. Наприклад, дріб \(\frac(3)(4) \) означає три четверті частки одиниці. Багато завдань попереднього параграфа звичайні дроби використовувалися для позначення частини цілого. Здоровий глузд підказує, що частина завжди повинна бути меншою за ціле, але як тоді бути з такими дробами, як, наприклад, \(\frac(5)(5) \) або \(\frac(8)(5) \)? Зрозуміло, що це не частина одиниці. Напевно, тому такі дроби, у яких чисельник більший за знаменник або дорівнює йому, називають неправильними дробами. Інші дроби, тобто дроби, у яких чисельник менший за знаменник, називають правильними дробами.

Як ви знаєте, будь-який звичайний дріб, і правильний, і неправильний, можна розглядати як результат поділу чисельника на знаменник. Тому в математиці, на відміну від звичайної мови, термін «неправильний дріб» означає не те, що ми щось зробили неправильно, а тільки те, що цей дроб чисельник більше знаменника або дорівнює йому.

Якщо число складається з цілої частини та дробу, то такі дроби називаються змішаними.

Наприклад:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 - ціла частина, а \(\frac(2)(3) \) - дробова частина.

Якщо чисельник дробу \(\frac(a)(b) \) ділиться на натуральне число n, то щоб розділити цей дріб на n, треба його чисельник розділити на це число:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Якщо чисельник дробу \(\frac(a)(b) \) не поділяється на натуральне число n, то щоб розділити цей дріб на n, треба його знаменник помножити на це число:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Зауважимо, що друге правило справедливе у тому разі, коли чисельник ділиться на n. Тому ми можемо застосовувати його тоді, коли важко з першого погляду визначити, чи ділиться чисельник дробу на n чи ні.

Події з дробами. Додавання дробів.

З дрібними числами, як і з натуральними числами, можна виконувати арифметичні дії. Розглянемо спочатку додавання дробів. Легко скласти дроби з однаковими знаменниками. Знайдемо, наприклад, суму \(\frac(2)(7) \) і \(\frac(3)(7) \). Легко зрозуміти, що \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, потрібно скласти їх чисельники, а знаменник залишити тим самим.

Використовуючи букви, правило додавання дробів з однаковими знаменниками можна записати так:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Якщо потрібно скласти дроби з різними знаменниками, їх попередньо слід привести до спільного знаменника. Наприклад:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Для дробів, як і для натуральних чисел, справедливі переміщувальне та поєднане властивості додавання.

Додавання змішаних дробів

Такі записи, як \(2\frac(2)(3) \), називають змішаними дробами. При цьому число 2 називають цілою частиноюзмішаного дробу, а число \(\frac(2)(3) \) - її дробовою частиною. Запис \(2\frac(2)(3) \) читають так: «дві та дві третини».

При розподілі числа 8 на число 3 можна отримати дві відповіді: \(\frac(8)(3) \) і \(2\frac(2)(3) \). Вони виражають те саме дробове число, тобто \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)

Таким чином, неправильний дріб \(\frac(8)(3) \) представлений у вигляді змішаного дробу \(2\frac(2)(3) \). У таких випадках кажуть, що з неправильного дробу виділили цілу частину.

Віднімання дробів (дрібних чисел)

Віднімання дробових чисел, як і натуральних, визначається на основі дії додавання: відняти з одного числа інше - це означає знайти таке число, яке при додаванні з другим дає перше. Наприклад:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) оскільки \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) ) = \frac(8)(9) \)

Правило віднімання дробів з однаковими знаменниками схоже на правило додавання таких дробів:
щоб знайти різницю дробів з однаковими знаменниками, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другого, а знаменник залишити колишнім.

За допомогою літер це правило записується так:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Розмноження дробів

Щоб помножити дріб на дріб, потрібно перемножити їх чисельники та знаменники та перший твір записати чисельником, а другий – знаменником.

За допомогою букв правило множення дробів можна записати так:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Користуючись сформульованим правилом, можна множити дріб на натуральне число, на змішаний дріб, а також перемножувати змішані дроби. Для цього потрібно натуральне число записати у вигляді дробу зі знаменником 1, змішаний дріб - у вигляді неправильного дробу.

Результат множення треба спрощувати (якщо це можливо), скорочуючи дріб та виділяючи цілу частину неправильного дробу.

Для дробів, як і для натуральних чисел, справедливі переміщувальна та поєднана властивості множення, а також розподільна властивість множення щодо додавання.

Розподіл дробів

Візьмемо дріб \(\frac(2)(3) \) і «перевернемо» її, помінявши місцями чисельник і знаменник. Отримаємо дріб \(\frac(3)(2) \). Цей дріб називають зворотнійдробу \(\frac(2)(3) \).

Якщо ми тепер «перевернемо» дріб \(\frac(3)(2) \), то отримаємо вихідний дріб \(\frac(2)(3) \). Тому такі дроби, як \(\frac(2)(3) \) і \(\frac(3)(2) \) називають взаємно зворотними.

Взаємно зворотними є, наприклад, дроби \(\frac(6)(5) \) і \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) і \(\frac (18) (7) \).

За допомогою букв взаємно зворотні дроби можна записати так: \(\frac(a)(b) \) і \(\frac(b)(a) \)

Зрозуміло, що добуток взаємно зворотних дробів дорівнює 1. Наприклад: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Використовуючи взаємно зворотні дроби, можна поділ дробів звести до множення.

Правило розподілу дробу на дріб:
щоб розділити один дріб на інший, потрібно ділене помножити на дріб, зворотний дільник.

Використовуючи літери, правило поділу дробів можна записати так:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Якщо ділене або дільник є натуральним числом або змішаним дробом, то для того, щоб скористатися правилом поділу дробів, його треба попередньо подати у вигляді неправильного дробу.

Десятковий дріб складається з двох частин, які розділені комами. Перша частина - це ціла одиниця, друга частина - це десятки (якщо число після коми одне), сотні (два числа після коми, як два нулі за сто), тисячні ітд. Подивимося на приклади десяткового дробу: 0, 2; 7, 54; 235,448; 5,1; 6,32; 0,5. Все це – десяткові дроби. Як же перевести десятковий дріб у звичайний?

Приклад перший

У нас є дріб, наприклад, 0,5. Як вже писалося вище, вона складається з двох частин. Перше число 0 показує, скільки цілих одиниць у дробу. У нашому випадку їх нема. Друге число демонструє десятки. Дроб навіть читається нуль цілих п'ять десятих. Десяткова кількість перевести в дрібтепер не складе труднощів, пишемо 5/10. Якщо бачите, що цифри мають спільний дільник, можете скоротити дріб. У нас це число 5, поділивши обидві частини дробу на 5, отримуємо – 1/2.

Приклад другий

Візьмемо складніший дріб - 2,25. Читається вона так - дві аж двадцять п'ять сотих. Зверніть увагу - сотих, тому що чисел після коми дві. Тепер можна перевести у звичайний дріб. Записуємо – 2 25/100. Ціла частина – 2, дробова 25/100. Як і першому прикладі, цю частину можна скоротити. Спільним дільником для цифр 25 та 100 є число 25. Зауважте, що ми завжди підбираємо найбільший спільний дільник. Розділивши обидві частини дробу на НОД, отримали 1/4. Отже, 2, 25 це 2 1/4.

Приклад третій

І для закріплення матеріалу візьмемо десятковий дріб 4,112 – чотири цілих і сто дванадцять тисячних. Чому тисячних, гадаю, ясно. Записуємо тепер 4112/1000. За алгоритмом знаходимо НОД чисел 112 і 1000. У нашому випадку – це число 6. Отримуємо 4 14/125.

Висновок

1. Розбиваємо дріб на цілу та дробову частини.
2. Дивимося скільки цифр після коми. Якщо одна – це десятки, дві – сотні, три-тисячні ітд.
3. Записуємо дріб у звичайному вигляді.
4. Скорочуємо чисельник та знаменник дробу.
5. Записуємо отриманий дріб.
6. Виконуємо перевірку, ділимо верхню частину дробу на нижню. Якщо є ціла частина, додаємо до отриманого десяткового дробу. Вийшов вихідний варіант - чудово, отже, ви все зробили правильно.

На прикладах я показала, як можна перевести десятковий дріб у звичайний. Як бачите, зробити це дуже легко та просто.

Ось, здавалося б, переведення десяткового дробу у звичайний — елементарна тема, але багато учнів її не розуміють! Тому сьогодні ми докладно розглянемо одразу кілька алгоритмів, за допомогою яких ви розберетеся з будь-якими дробами буквально за секунду.

Нагадаю, що існує як мінімум дві форми запису одного і того ж дробу: звичайний і десятковий. Десяткові дроби - це всілякі конструкції виду 0,75; 1,33; і навіть –7,41. А ось приклади звичайних дробів, які виражають ті самі числа:

Зараз розберемося: як від десяткового запису перейти до звичайного? І найголовніше: як зробити це максимально швидко?

Основний алгоритм

Насправді існує як мінімум два алгоритми. І ми зараз розглянемо обидва. Почнемо з першого — найпростішого та найзрозумілішого.

Щоб перевести десятковий дріб у звичайний, необхідно виконати три кроки:

Важливе зауваження щодо негативних чисел. Якщо у вихідному прикладі перед десятковим дробом стоїть знак мінус, то і на виході перед звичайним дробом теж повинен стояти мінус. Ось ще кілька прикладів:

Особливу увагу хотілося б звернути на останній приклад. Як бачимо, у дробі 0,0025 є багато нулів після коми. Через це доводиться аж чотири рази множити чисельник і знаменник на 10. Чи можна якось спростити алгоритм у цьому випадку?

Звісно, ​​можна. І зараз ми розглянемо альтернативний алгоритм — він трохи складніший для сприйняття, але після невеликої практики працює набагато швидше за стандартний.

Швидший спосіб

У цьому алгоритмі також 3 кроки. Щоб отримати звичайний дріб із десяткового, потрібно виконати наступне:

1. Порахувати, скільки цифр коштує після коми. Наприклад, у дробу 1,75 таких цифр дві, а 0,0025 — чотири. Позначимо цю кількість буквою $n$.
2. Переписати вихідне число у вигляді дробу виду $\frac(a)(((10)^(n)))$, де $a$ це всі цифри вихідного дробу (без «стартових» нулів зліва, якщо вони є), а $n$ - та сама кількість цифр після коми, яку ми порахували на першому кроці. Інакше кажучи, необхідно розділити цифри вихідного дробу на одиницю з $n$ нулями.
3. По можливості скоротити отриманий дріб.

Ось і все! На перший погляд, ця схема складніша за попередню. Але насправді він і простіший, і швидший. Судіть самі:

Як бачимо, у дробі 0,64 після коми стоїть дві цифри - 6 і 4. Тому $ n = 2 $. Якщо прибрати кому і нулі зліва (в даному випадку - всього один нуль), то отримаємо число 64. Переходимо до другого кроку: $((10)^(n))=((10)^(2))=100$, тому у знаменнику стоїть саме сто. Ну а потім залишається лише скоротити чисельник і знаменник.

Ще один приклад:

Тут все трохи складніше. По-перше, цифр після коми вже три штуки, тобто. $n=3$, тому ділити доведеться $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$. По-друге, якщо прибрати з десяткового запису кому, то ми отримаємо ось це: 0,004 → 0004. Згадаємо, що нулі зліва треба прибрати, тому за фактом у нас число 4. Далі все просто: ділимо, скорочуємо і отримуємо відповідь.

Зрештою, останній приклад:

Особливість цього дробу – наявність цілої частини. Тому на виході у нас виходить неправильний дріб 47/25. Можна, звичайно, спробувати розділити 47 на 25 із залишком і таким чином знову виділити цілу частину. Але для чого ускладнювати собі життя, якщо це можна зробити ще на етапі перетворень? Що ж, розберемося.

Що робити з цілою частиною

Насправді все дуже просто: якщо ми хочемо отримати правильний дріб, то необхідно прибрати з нього цілу частину на час перетворень, а потім, коли отримаємо результат, знову дописати праворуч перед дробовою рисою.

Наприклад, розглянемо те саме число: 1,88. Заб'ємо на одиницю (цілу частину) і подивимося на дріб 0,88. Вона легко перетворюється:

Потім згадуємо про втрачену одиницю і дописуємо її спереду:

\[\frac(22)(25)\to 1\frac(22)(25)\]

Ось і все! Відповідь вийшла тим самим, що й після виділення цілої частини минулого разу. Ще кілька прикладів:

\[\begin(align)& 2,15\to 0,15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \&& 13,8\to 0,8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\to 13\frac(4)(5). \\\end(align)\]

В цьому і полягає принадність математики: яким би шляхом ви не пішли, якщо всі обчислення виконані правильно, відповідь завжди буде одним і тим же.

Насамкінець хотів би розглянути ще один прийом, який багатьом допомагає.

Перетворення «на слух»

Давайте подумаємо про те, що взагалі таке десятковий дріб. Точніше, як ми читаємо її. Наприклад, число 0,64 - ми читаємо його як "нуль цілих, 64 сотих", правильно? Ну, або просто «64 соті». Ключове слово тут - "сотих", тобто. Число 100.

А що щодо 0,004? Це ж «нуль цілих, 4 тисячні» або просто «чотири тисячні». Так чи інакше, ключове слово - "тисячних", тобто. 1000.

Ну, і що в цьому такого? А те, що саме ці числа зрештою «спливають» у знаменниках на другому етапі алгоритму. Тобто. 0,004 — це «чотири тисячні» або «4 розділити на 1000»:

Спробуйте потренуватися самі це дуже просто. Головне - правильно прочитати вихідний дріб. Наприклад, 2,5 - це «2 цілих, 5 десятих», тому

А якесь 1,125 — це «1 ціла, 125 тисячних», тому

В останньому прикладі, звичайно, хтось заперечить, мовляв, не кожному учневі очевидно, що 1000 ділиться на 125. Але тут треба пам'ятати, що 1000 = 10 3 , а 10 = 2 ∙ 5 тому

\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5 \ cdot 5 = 8 \ cdot 125 \ end (align) \]

Таким чином, будь-який ступінь десятки розкладається лише на множники 2 і 5 — саме ці множники потрібно шукати і в чисельнику, щоб у результаті все скоротилося.

На цьому урок закінчено. Переходимо до більш складної зворотної операції - див.

У цій статті ми розберемо, як здійснюється переведення звичайних дробів у десяткові дроби, і навіть розглянемо зворотний процес – переведення десяткових дробів у прості дроби. Тут ми озвучимо правила обігу дробів та наведемо докладні рішення характерних прикладів.

Навігація на сторінці.

Переведення звичайних дробів у десяткові дроби

Позначимо послідовність, в якій ми розбиратимемося з переведенням звичайних дробів у десяткові дроби.

Спочатку ми розглянемо, як прості дроби зі знаменниками 10, 100, 1 000, … уявити як десяткових дробів . Це тим, що десяткові дроби насправді є компактною формою запису звичайних дробів зі знаменниками 10, 100, … .

Після цього ми підемо далі і покажемо, як будь-який звичайний дріб (не тільки зі знаменниками 10, 100, …) записати у вигляді десяткового дробу. За такого обігу звичайних дробів виходять як кінцеві десяткові дроби, і нескінченні періодичні десяткові дроби.

Тепер про все по порядку.

Переклад звичайних дробів із знаменниками 10, 100, … у десяткові дроби

Деякі правильні звичайні дроби перед переведенням у десяткові дроби потребують «попередньої підготовки». Це стосується звичайних дробів, кількість цифр у чисельнику яких менша, ніж кількість нулів у знаменнику. Наприклад, звичайний дріб 2/100 потрібно попередньо підготувати до переведення в десятковий дріб, а дріб 9/10 підготовки не потребує.

«Попередня підготовка» правильних звичайних дробів до переведення в десяткові дроби полягає в дописуванні ліворуч у чисельнику такої кількості нулів, щоб там загальна кількість цифр дорівнювала кількості нулів у знаменнику. Наприклад, дріб після дописування нулів матиме вигляд .

Після підготовки правильного звичайного дробу можна приступати до його обігу в десятковий дріб.

Дамо правило переведення правильного звичайного дробу зі знаменником 10, або 100, або 1 000, … в десятковий дріб. Воно складається із трьох кроків:

• записуємо 0;
• після нього ставимо десяткову кому;
• записуємо число з чисельника (разом із дописаними нулями, якщо ми їх дописували).

Розглянемо застосування цього правила під час вирішення прикладів.

приклад.

Переведіть правильний звичайний дріб 37/100 у десятковий.

Рішення.

У знаменнику знаходиться число 100, у запису якого два нулі. У чисельнику знаходиться число 37, у його записі дві цифри, отже, цей дріб не потребує підготовки до переведення в десятковий дріб.

Тепер записуємо 0 , ставимо десятковий ком, і записуємо число 37 з чисельника, при цьому отримуємо десятковий дріб 0,37 .

Відповідь:

0,37 .

Для закріплення навичок перекладу правильних звичайних дробів із чисельниками 10, 100, … у десяткові дроби розберемо рішення ще одного прикладу.

приклад.

Запишіть правильний дріб 107/10 000 000 у вигляді десяткового дробу.

Рішення.

Кількість цифр у чисельнику дорівнює 3, а кількість нулів у знаменнику дорівнює 7, тому цей звичайний дріб потребує підготовки до переведення в десятковий. Нам потрібно дописати 7-3=4 нуля ліворуч у чисельнику, щоб загальна кількість цифр там дорівнювала кількості нулів у знаменнику. Отримуємо.

Залишилося скласти потрібний десятковий дріб. Для цього, по-перше, записуємо 0, по-друге, ставимо кому, по-третє, записуємо число з чисельника разом з нулями 0000107, в результаті маємо десятковий дріб 0,0000107.

Відповідь:

0,0000107 .

Неправильні звичайні дроби не потребують підготовки під час переведення в десяткові дроби. Слід дотримуватися наступного правила переведення неправильних звичайних дробів із знаменниками 10, 100, … у десяткові дроби:

• записуємо число із чисельника;
• відокремлюємо десятковою комою стільки цифр праворуч, скільки нулів у знаменнику вихідного дробу.

Розберемо застосування цього правила під час вирішення прикладу.

приклад.

Переведіть неправильний звичайний дріб 56 888 038 009/100 000 у десятковий дріб.

Рішення.

По-перше, записуємо число з чисельника 56888038009, по-друге, відокремлюємо десятковою комою 5 цифр праворуч, так як у знаменнику вихідного дробу 5 нулів. У результаті маємо десятковий дріб 568 880,38009.

Відповідь:

568 880,38009 .

Для звернення до десяткового дробу змішаного числа , знаменником дробової частини якого є число 10 , або 100 , або 1 000, ... , Можна виконати переведення змішаного числа в неправильний звичайний дріб, після чого отриманий дріб звернути в десятковий дріб. Але можна скористатися і наступним правилом переведення змішаних чисел зі знаменником дробової частини 10, або 100, або 1000, … у десяткові дроби:

• при необхідності виконуємо «попередню підготовку» дробової частини вихідного змішаного числа, дописавши необхідну кількість нулів зліва в чисельнику;
• записуємо цілу частину вихідного змішаного числа;
• ставимо десяткову кому;
• записуємо число з чисельника разом із дописаними нулями.

Розглянемо приклад, при вирішенні якого виконаємо всі необхідні кроки для представлення змішаного числа у вигляді десяткового дробу.

приклад.

Переведіть змішане число в десятковий дріб.

Рішення.

У знаменнику дробової частини 4 нуля, у чисельнику ж знаходиться число 17 , що складається з 2 цифр, тому, нам потрібно дописати два нулі зліва в чисельнику, щоб там число знаків дорівнювало числу нулів у знаменнику. Виконавши це, у чисельнику виявиться 0017 .

Тепер записуємо цілу частину вихідного числа, тобто, число 23 , ставимо десяткову кому, після якої записуємо число з чисельника разом з дописаними нулями, тобто, 0017 при цьому отримуємо шуканий десятковий дріб 23,0017 .

Запишемо все рішення коротко: .

Безперечно, можна було спочатку уявити змішане число у вигляді неправильного дробу, після чого перевести його в десятковий дріб. За такого підходу рішення виглядає так: .

Відповідь:

23,0017 .

Переведення звичайних дробів у кінцеві та нескінченні періодичні десяткові дроби

У десятковий дріб можна перевести як звичайні дроби зі знаменниками 10, 100, … , але звичайні дроби коїться з іншими знаменниками. Нині ми розберемося, як це робиться.

У деяких випадках вихідний звичайний дріб легко приводиться до одного із знаменників 10 , або 100 , або 1 000, … (дивіться приведення звичайного дробу до нового знаменника), після чого не складає труднощі отриманий дріб уявити у вигляді десяткового дробу. Наприклад, очевидно, що дріб 2/5 можна привести до дробу зі знаменником 10 , для цього потрібно чисельник і знаменник помножити на 2 , що дасть дріб 4/10 , який за правилами, розібраними в попередньому пункті, легко переводиться в десятковий дріб 0, 4 .

В інших випадках доводиться використовувати інший спосіб переведення звичайного дробу в десятковий, до розгляду якого ми переходимо.

Для обігу звичайного дробу в десятковий дріб виконується розподіл чисельника дробу на знаменник, чисельник попередньо замінюється рівним йому десятковим дробом з будь-якою кількістю нулів після десяткової коми (про це ми говорили в розділі рівні та нерівні десяткові дроби). У цьому розподіл виконується як і, як розподіл стовпчиком натуральних чисел , а приватному ставиться десяткова кома, коли закінчується розподіл цілої частини поділеного. Все це стане зрозуміло з рішень прикладів, наведених нижче.

приклад.

Переведіть звичайний дріб 621/4 у десятковий дріб.

Рішення.

Число в чисельнику 621 представимо у вигляді десяткового дробу, додавши десяткову кому і кілька нулів після неї. Для початку допишемо 2 цифри 0, пізніше, за потреби, ми завжди можемо додати ще нулів. Отже, маємо 621,00.

Тепер виконаємо поділ стовпчиком числа 621,000 на 4 . Перші три кроки нічим не відрізняються від поділу стовпчиком натуральних чисел, після них приходимо до наступної картини:

Так ми дісталися десяткової коми в ділимому, а залишок при цьому відмінний від нуля. У цьому випадку в приватному ставимо десяткову кому, і продовжуємо поділ стовпчиком, не звертаючи уваги на коми:

На цьому розподіл закінчено, а в результаті ми отримали десятковий дріб 155,25, який відповідає вихідному звичайному дробу.

Відповідь:

155,25 .

Для закріплення матеріалу розглянемо рішення ще одного прикладу.

приклад.

Переведіть звичайний дріб 21/800 у десятковий дріб.

Рішення.

Для переведення цього звичайного дробу в десятковий, виконаємо поділ стовпчиком десяткового дробу 21,000 ... на 800 . Нам після першого ж кроку доведеться поставити десяткову кому в приватному, після чого продовжити поділ:

Нарешті ми отримали залишок 0, на цьому переведення звичайного дробу 21/400 в десятковий дріб закінчено, і ми прийшли до десяткового дробу 0,02625.

Відповідь:

0,02625 .

Може статися, що при розподілі чисельника на знаменник звичайного дробу ми не отримаємо в залишку 0 . У цих випадках поділ можна продовжувати як завгодно довго. Проте, починаючи з певного кроку, залишки начитають періодично повторюватися, у своїй повторюються і цифри у приватному. Це означає, що вихідний звичайний дріб переводиться в нескінченний періодичний десятковий дріб . Покажемо на прикладі.

приклад.

Запишіть звичайний дріб 19/44 у вигляді десяткового дробу.

Рішення.

Для переведення звичайного дробу в десятковий виконаємо поділ стовпчиком:

Вже зараз видно, що при розподілі почали повторюватися залишки 8 і 36, при цьому в приватному повторюються цифри 1 і 8. Таким чином, вихідний звичайний дріб 19/44 переводиться в періодичний десятковий дріб 0,43181818 ... = 0,43 (18) .

Відповідь:

0,43(18) .

На закінчення цього пункту розберемося, які прості дроби можна перевести в кінцеві десяткові дроби, а які - тільки в періодичні.

Нехай перед нами знаходиться нескоротний звичайний дріб (якщо дріб скоротитий, то попередньо виконуємо скорочення дробу), і нам потрібно з'ясувати, в який десятковий дріб його можна перевести - в кінцевий або періодичний.

Зрозуміло, що якщо звичайний дріб можна привести до одного із знаменників 10, 100, 1 000, … , то отриманий дріб легко перевести в кінцевий десятковий дріб за правилами, розібраними в попередньому пункті. Але до знаменників 10, 100, 1000 і т.д. наводяться далеко не всі прості дроби. До таких знаменників можна привести лише дроби, знаменники яких є хоча б одного з чисел 10, 100, А які числа можуть бути дільниками 10, 100, ...? Відповісти це питання нам дозволять чисел 10, 100, … , які такі: 10=2·5 , 100=2·2·5·5 , 1 000=2·2·2·5·5·5, … . Звідси випливає, що дільниками 10, 100, 1000 і т.д. можуть бути лише числа, розкладання яких на прості множники містять лише числа 2 та (або) 5 .

Тепер ми можемо зробити загальний висновок про переведення звичайних дробів у десяткові дроби:

• якщо в розкладанні знаменника на прості множники присутні лише числа 2 і (або) 5, то цей дріб можна перевести в кінцевий десятковий дріб;
• якщо крім двох і п'ятірок у розкладанні знаменника присутні інші прості числа, то цей дріб перекладається до нескінченного десяткового періодичного дробу.

приклад.

Не виконуючи переведення звичайних дробів у десяткові, скажіть, які з дробів 47/20 , 7/12 , 21/56 , 31/17 можна перевести в кінцевий десятковий дріб, а які тільки в періодичний.

Рішення.

Розкладання на прості множники знаменника дробу 47/20 має вигляд 20 = 2 · 2 · 5 . У цьому розкладанні присутні лише двійки і п'ятірки, тому цей дріб може бути приведений до одного із знаменників 10, 100, 1 000, … (у цьому прикладі до знаменника 100), отже, може бути переведена в кінцевий десятковий дріб.

Розкладання на прості множники знаменника дробу 7/12 має вигляд 12 = 2 · 2 · 3 . Так як воно містить простий множник 3 , відмінний від 2 і 5 , то цей дріб не може бути представлений у вигляді кінцевого десяткового дробу, але може бути переведена в періодичний десятковий дріб.

Дріб 21/56 – скоротлива, після скорочення вона набуває вигляду 3/8 . Розкладання знаменника на прості множники містить три множники, рівних 2 , отже, звичайна дріб 3/8 , а отже і рівна їй дріб 21/56 може бути переведена в кінцевий десятковий дріб.

Нарешті, розкладання знаменника дробу 31/17 являє собою 17 , отже, цей дріб не можна звернути в кінцевий десятковий дріб, але можна звернути в нескінченну періодичну.

Відповідь:

47/20 і 21/56 можна перевести в кінцевий десятковий дріб, а 7/12 і 31/17 - тільки в періодичний.

Звичайні дроби не перетворюються на нескінченні неперіодичні десяткові дроби

Інформація попереднього пункту породжує питання: «Чи може при розподілі чисельника дробу на знаменник вийти нескінченний неперіодичний дріб»?

Відповідь: ні. При перекладі звичайного дробу може вийти або кінцевий десятковий дріб, або нескінченний періодичний десятковий дріб. Пояснимо, чому це так.

З теореми про ділимості з залишком ясно, що залишок завжди менший за дільник, тобто, якщо ми виконуємо розподіл деякого цілого числа на ціле число q , то залишком може бути лише одне з чисел 0, 1, 2, …, q−1 . Звідси випливає, що після завершення поділу стовпчиком цілої частини чисельника звичайного дробу на знаменник q , не більше ніж через крок q виникне одна з двох наступних ситуацій:

• або ми отримаємо залишок 0 , у цьому розподіл закінчиться, ми отримаємо кінцевий десятковий дріб;
• або ми отримаємо залишок, який вже з'являвся раніше, після цього залишки почнуть повторюватися як у попередньому прикладі (оскільки при розподілі рівних чисел на q виходять рівні залишки, що випливає з вже згаданої теореми про подільність), так буде отримано нескінченний періодичний десятковий дріб.

Інших варіантів бути не може, отже, при зверненні звичайного дробу в десятковий дріб не може вийти нескінченна неперіодична десяткова дріб.

З наведених у цьому пункті міркувань також випливає, що довжина періоду десяткового дробу завжди менше, ніж значення знаменника відповідного звичайного дробу.

Переведення десяткових дробів у звичайні дроби

Тепер розберемося, як перевести десятковий дріб у звичайний. Почнемо з переведення кінцевих десяткових дробів у звичайні дроби. Після цього розглянемо метод обігу нескінченних періодичних десяткових дробів. На закінчення скажемо про неможливість переведення нескінченних неперіодичних десяткових дробів у звичайні дроби.

Переведення кінцевих десяткових дробів у звичайні дроби

Отримати звичайний дріб, який записаний у вигляді кінцевого десяткового дробу, досить просто. Правило переведення кінцевого десяткового дробу у звичайний дрібскладається з трьох кроків:

• по-перше, записати цей десятковий дріб у чисельник, попередньо відкинувши десятковий ком і всі нулі зліва, якщо вони є;
• по-друге, у знаменник записати одиницю і до неї дописати стільки нулів, скільки цифр знаходиться після коми у вихідному десятковому дробі;
• по-третє, за необхідності виконати скорочення отриманого дробу.

Розглянемо рішення прикладів.

приклад.

Зверніть десятковий дріб 3,025 у звичайний дріб.

Рішення.

Якщо вихідного десяткового дробу прибрати десяткову кому, ми отримаємо число 3 025 . У ньому немає нулів зліва, які б ми відкинули. Отже, у чисельник дробу, що шукається, записуємо 3 025 .

У знаменник записуємо цифру 1 і праворуч до неї дописуємо 3 нуля, тому що у вихідному десятковому дробі після коми знаходяться 3 цифри.

Так ми отримали звичайний дріб 3025/1000 . Цей дріб можна скоротити на 25 .

Відповідь:

.

приклад.

Виконайте переведення десяткового дробу 0,0017 у звичайний дріб.

Рішення.

Без десяткової коми вихідний десятковий дріб має вигляд 00017 , відкинувши нулі зліва отримуємо число 17 , яке і є чисельником потрібного звичайного дробу.

У знаменник записуємо одиницю з чотирма нулями, тому що у вихідному десятковому дробі після коми 4 цифри.

Через війну маємо звичайну дріб 17/10 000 . Цей дріб нескоримий, і переведення десяткового дробу в звичайний закінчено.

Відповідь:

.

Коли ціла частина вихідного кінцевого десяткового дробу відмінна від нуля, то його можна відразу перевести в змішане число, минаючи звичайний дріб. Дамо правило переведення кінцевого десяткового дробу в змішане число:

• число до десяткової коми треба записати як цілу частину змішаного числа, що шукається;
• у чисельник дробової частини потрібно записати число, отримане з дробової частини вихідного десяткового дробу після відкидання в ньому всіх нулів зліва;
• у знаменнику дробової частини потрібно записати цифру 1 , до якої праворуч дописати стільки нулів, скільки цифр знаходиться в записі вихідного десяткового дробу після коми;
• при необхідності виконати скорочення дробової частини одержаного змішаного числа.

Розглянемо приклад переведення десяткового дробу в змішане число.

приклад.

Подайте десятковий дріб 152,06005 у вигляді змішаного числа