Правило порівняння двох правильних дробів. Порівняння дробів: правила, приклади, розв'язки. Порівняння дробів з різними знаменниками та чисельниками

Завдання уроку:

1. Навчальні:навчити порівнювати прості дроби різних видів, використовуючи різні прийоми;
2. Розвиваючі:розвиток основних прийомів мисленнєвої діяльності, узагальнення порівняння, виділення головного; розвиток пам'яті, мови.
3. Виховні:вчитися слухати один одного, виховання взаємовиручки, культури спілкування та поведінки.

Етапи уроку:

1. Організаційний.

Почнемо урок словами французького письменника А.Франса: “Вчитися можна весело….Щоб переварити знання, треба поглинати їх із апетитом”.

Підемо цій пораді, постараємося бути уважними, поглинатимемо знання з великим бажанням, т.к. вони стануть у нагоді нам надалі.

2. Актуалізація знань учнів.

1.)Фронтальна усна робота учнів.

Мета: повторити пройдений матеріал, потрібний щодо нового:

А) правильні та неправильні дроби;
Б) приведення дробів до нового знаменника;
В) знаходження найменшого спільного знаменника;

(Проводиться робота з файлами. Учні мають їх у наявності кожному уроці. На них пишуть відповіді фламастером, а потім непотрібна інформація стирається.)

Завдання для усної роботи.

1. Назвати зайвий дріб серед ланцюжка:

А) 5/6; 1/3; 7/10; 11/3; 4/7.
Б) 2/6; 6/18; 1/3; 4/5; 4/12.

2. Привести дроби до нового знаменника 30:

1/2; 2/3; 4/5; 5/6; 1/10.

Знайти найменший спільний знаменник дробів:

1/5 та 2/7; 3/4 та 1/6; 2/9 та 1/2.

2.) Ігрова ситуація.

Діти, наш знайомий клоун (учні познайомилися з ним на початку навчального року) попросили мене допомогти вирішити йому завдання. Але я вважаю, що ви, хлопці, можете без мене допомогти нашому другу. А завдання таке.

“Порівняти дроби:

а) 1/2 та 1/6;
б) 3/5 та 1/3;
в) 5/6 та 1/6;
г) 12/7 та 4/7;
д) 3 1/7 та 3 1/5;
е) 7 5/6 та 3 1/2;
ж) 1/10 та 1;
з) 10/3 та 1;
і) 7/7 та 1.”

Хлопці, щоб допомогти клоуну, чого ми маємо навчитися?

Мета уроку, завдання (учні формулюють самостійно).

Вчитель допомагає їм, запитуючи:

а) а які пари дробів ми зможемо вже порівняти?

б) який інструмент порівняння дробів нам необхідний?

3. Хлопці у групах (у постійних різнорівневих).

Кожній групі видається завдання та інструкція для його виконання.

Перша група : Порівняти змішані дроби:

а) 1 1/2 та 2 5/6;
б) 3 1/2 та 3 4/5

і вивести правило рівняння змішаних дробів з однаковими та з різними цілими частинами.

Інструкція: Порівняння змішаних дробів (використовується числовий промінь)

1. порівняйте цілі частини дробів і зробіть висновок;
2. порівняйте дробові частини (правило порівняння дробових частин не виводити);
3. складіть правило - алгоритм:

Друга група: Порівняти дроби з різними знаменниками та різними чисельниками. (використовувати числовий промінь)

а) 6/7 та 9/14;
б) 5/11 та 1/22

Інструкція

1. Порівняйте знаменники
2. Подумайте, чи не можна привести дробу до спільного знаменника
3. Правило почніть зі слів: “Щоб порівняти дроби з різними знаменниками, треба…”

Третя група: Порівняння дробів із одиницею.

а)2/3 та 1;
б) 8/7 та 1;
в) 10/10 та 1 і сформулювати правило.

Інструкція

Розгляньте всі випадки: (використовуйте числовий промінь)

а) Якщо чисельник дробу дорівнює знаменнику, ………;
б) Якщо чисельник дробу менший за знаменник,………;
в) Якщо чисельник дробу більший за знаменник,………. .

Сформулюйте правило.

Четверта група: Порівняйте дроби:

а) 5/8 та 3/8;
б) 1/7 та 4/7 та сформулюйте правило порівняння дробів з однаковим знаменником.

Інструкція

Використовуйте числовий промінь.

Порівняйте чисельники і зробіть висновок, починаючи словами: "З двох дробів з однаковими знаменниками ...".

П'ята група: Порівняйте дроби:

а) 1/6 та 1/3;
б) 4/9 і 4/3, використовуючи числовий промінь:

0__.__.__1/6__.__.__1/3__.__.4/9__.__.__.__.__.__.__.__.__.__1__.__.__.__.__.__4/3__.__

Сформулюйте правило порівняння дробів із однаковими чисельниками.

Інструкція

Порівняйте знаменники і зробіть висновок, починаючи зі слів:

“З двох дробів із однаковими чисельниками………..”.

Шоста група: Порівняйте дроби:

а) 4/3 та 5/6; б) 7/2 і 1/2, використовуючи числовий промінь

0__.__.__1/2__.__5/6__1__.__4/3__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__7/2__.__

Сформулюйте правило порівняння правильних та неправильних дробів.

Інструкції.

Подумайте, який дріб завжди більший, правильний чи неправильний.

4. Обговорення висновків, зроблених у групах.

Слово кожній групі. Формулювання правил учнів та порівняння їх із еталонами відповідних правил. Далі видаються роздруківки правила порівняння різних видів звичайних дробів кожному учню.

5. Повертаємося до завдання, поставленого на початку уроку. (Вирішуємо завдання клоуна разом).

6. Робота у зошитах. Використовуючи правила порівняння дробів, учні під керівництвом вчителя порівнюють дроби:

а) 8/13 та 8/25;
б) 11/42 та 3/42;
в) 7/5 та 1/5;
г) 18/21 та 7/3;
д) 2 1/2 та 3 1/5;
е) 5 1/2 та 5 4/3;

(можливе запрошення учня до дошки).

7. Учням пропонується виконати тест порівняно дробів на два варіанти.

1 варіант.

1) порівняти дроби: 1/8 та 1/12

а) 1/8> 1/12;
б) 1/8<1/12;
в) 1/8 = 1/12

2) Що більше: 5/13 чи 7/13?

а) 5/13;
б) 7/13;
в) рівні

3) Що менше: 23 або 4/6?

а) 2/3;
б) 4/6;
в) рівні

4) Який із дробів менше 1: 3/5; 17/9; 7/7?

а) 3/5;
б) 17/9;
в) 7/7

5) Який із дробів більше 1: ?; 7/8; 4/3?

а) 1/2;
б) 7/8;
в) 4/3

6) Порівняти дроби: 2 1/5 та 1 7/9

а) 2 1/5<1 7/9;
б) 2 1/5 = 1 7/9;
в) 2 1/5 >1 7/9

2 варіант.

1) порівняти дроби: 3/5 та 3/10

а) 3/5 > 3/10;
б) 3/5<3/10;
в) 3/5 = 3/10

2) Що більше: 10/12 чи 1/12?

а) рівні;
б) 10/12;
в) 1/12

3) Що менше: 3/5 чи 1/10?

а) 3/5;
б) 1/10;
в) рівні

4) Який із дробів менший за 1: 4/3;1/15;16/16?

а) 4/3;
б) 1/15;
в) 16/16

5) Який із дробів більший за 1: 2/5;9/8 ;11/12 ?

а) 2/5;
б) 9/8;
в) 11/12

6) Порівняти дроби: 3 1/4 та 3 2/3

а) 3 1/4 = 3 2/3;
б) 3 1/4 > 3 2/3;
в) 3 1/4< 3 2/3

Відповіді до тесту:

1 варіант: 1а, 2б, 3в, 4а, 5б, 6а

2 варіант: 2а, 2б, 3б, 4б, 5б, 6в

8. Ще раз повертаємось до мети уроку.

Перевіряємо правила порівняння та даємо диференційоване домашнє завдання:

1,2,3 групи - придумати на кожне правило порівняння по два приклади та вирішити їх.

4,5,6 групи - №83 а,б,в, №84 а,б,в (з підручника).

Порівняти два дроби- означає визначити, який із дробів більший, який менший або встановити, що дроби рівні.

Порівняння дробів з однаковими знаменниками

З двох дробів з однаковими знаменниками більше той дріб, у якого чисельник більший.

приклад.Дроби більше ніж дріб, тому що частки в обох дробах однакові, але в першому дробі їх більше, ніж у другому.

Якщо зобразимо одиницю відрізком і розділимо його на 8 часток, то легко побачити, що дріб більше:

Порівняння дробів з однаковими чисельниками

З двох дробів з однаковими чисельниками більший той дріб, у якого знаменник менший.

приклад.Дроби більше ніж дріб , тому що кількість часток в обох дробах однакова, але в першому дробі частки більша, ніж у другому.

Зобразимо дві одиниці як кіл, один розділимо на 4 частки, другий на 6 часток. Тепер можна побачити, що дріб більше:

Порівняння дробів з різними знаменниками та чисельниками

Щоб порівняти дроби, у яких різні чисельники та знаменники, потрібно привести їх до спільного знаменника. Після цього їх порівнюють за правилом порівняння дробів, у яких однакові знаменники.

приклад.Порівняйте дроби: і .

Рішення:

Тепер порівнюємо їх за правилом порівняння дробів, у яких однакові знаменники. Тому що, значить.

Наведемо ще один спосіб порівняння дробів з різними знаменниками та чисельниками. Розглянемо спочатку числовий приклад.

приклад.Порівняємо дроби та .

Рішення:

Наводимо ці дроби до спільного знаменника:

Вирішуючи даний приклад можна помітити, що після приведення дробів до спільного знаменника, завдання порівняння звелося фактично до порівняння творів 2 · 7 і 4 · 3. Так як 2 · 7 = 14, а 4 · 3 = 12, то 2 · 7 > 4 · 3. Отже, .

Тепер вирішимо це завдання в загальному вигляді, використовуючи буквений запис.

приклад.Нехай дані дроби і , де aі c- нуль чи натуральні числа, bі d- Натуральні числа. Наведемо дроби до спільного знаменника:

Отже:

Таким чином, ми отримали наступне правило порівняння звичайних дробів:

Щоб порівняти два звичайні дроби, можна чисельник одного дробу помножити на знаменник іншого та отримані твори порівняти.

Це правило називається перехресним правилом порівняння дробів.

Порівняння дробу з натуральним числом

Будь-який правильний дріб менший від будь-якого натурального числа.

приклад.

Порівняння неправильного дробу з натуральним числом зводиться до порівняння двох дробів.

Щоб порівняти неправильний дріб із натуральним числом, потрібно натуральне число подати у вигляді неправильного дробу зі знаменником 1, потім їх можна порівняти одним із двох способів: використовуючи перехресне правило, або привести дроби до спільного знаменника. Після цього їх порівнюють за правилом порівняння дробів, у яких однакові знаменники.

При розв'язанні рівнянь і нерівностей, а також задач з модулями потрібно розташувати знайдене коріння на числовій прямій.

Як ти знаєш, знайдене коріння може бути різним. Вони можуть бути такими: , а можуть бути такими: , .

Відповідно, якщо числа не раціональні а ірраціональні (якщо забув що це, шукай у темі), або є складними математичними виразами, то розташувати їх на числовій прямій вельми проблематично.

Тим більше, що калькуляторами на іспиті користуватися не можна, а наближений підрахунок не дає 100% гарантій, що одне число менше за інше (раптом різниця між порівнюваними числами?).

Звичайно, ти знаєш, що позитивні цифри завжди більше негативних, і якщо ми представимо числову вісь, то при порівнянні, найбільші числа будуть знаходитися правіше, ніж найменші: ; ; і т.д.

Але чи завжди так легко?

Де на числовій осі ми відзначимо, .

Як їх порівняти, наприклад, із числом? Ось у цьому-то і загвоздка...)

У цій статті ми знайдемо розглянемо всі способи порівняння чисел, щоби на іспиті для тебе це не було проблемою!

Для початку поговоримо загалом як і що порівнювати.

Важливо: перетворення бажано робити такими, щоб знак нерівності не змінювався!Тобто в ході перетворень небажано примножувати на негативне число, та не можназводити квадрат, якщо одна з частин негативна.

Порівняння дробів

Отже, нам необхідно порівняти два дроби: і.

Є кілька варіантів, як це зробити.

Варіант 1. Привести дроби до спільного знаменника.

Запишемо у вигляді звичайного дробу:

- (Як ти бачиш, я також скоротила на чисельник та знаменник).

Тепер нам необхідно порівняти дроби:

Зараз ми можемо продовжити порівнювати також двома способами. Ми можемо:

1. просто привести все до спільного знаменника, представивши обидва дроби як неправильні (числитель більший за знаменник):

   Яке число більше? Правильно те, у якого чисельник більше, тобто перше.

2. «відкинемо» (вважай, що ми з кожного дробу відняли одиницю, і співвідношення дробів один з одним, відповідно, не змінилося) і порівнюватимемо дроби:

   Наводимо їх також до спільного знаменника:

   Ми отримали абсолютно такий самий результат, як і в попередньому випадку - перше число більше, ніж друге:

   Перевіримо також, чи правомірно ми відняли одиницю? Порахуємо різницю в чисельнику при першому розрахунку та другому:
   1)
   2)

Отже, ми розглянули, як порівнювати дроби, наводячи їх до спільного знаменника. Перейдемо до іншого методу - порівняння дробів, приводячи їх до загального... чисельника.

Варіант 2. Порівняння дробів за допомогою приведення до загального чисельника.

Так, так. Це не помилка. У школі рідко комусь розповідають цей метод, але дуже часто він дуже зручний. Щоб ти швидко зрозумів його суть, поставлю тобі лише одне запитання - «у яких випадках значення дробу найбільше?» Звичайно, ти скажеш "коли чисельник максимально великий, а знаменник максимально маленький".

Наприклад, ти ж точно скажеш, що вірно? Якщо нам треба порівняти такі дроби: ? Думаю, ти теж одночасно правильно поставиш символ, адже в першому випадку ділять на елементів, а в другому на цілих, отже, у другому випадку шматочки виходять дуже дрібні, і відповідно: . Як ти бачиш, знаменники тут різні, а от чисельники однакові. Однак для того, щоб порівняти ці два дроби, тобі не обов'язково шукати спільний знаменник. Хоча… знайди його і подивися, раптом знак порівняння все ж таки неправильний?

А знак той самий.

Повернемося до нашого початкового завдання – порівняти в. Порівнюватимемо в. Наведемо ці дроби не до спільного знаменника, а до спільного чисельника. Для цього просто чисельник та знаменникпершого дробу помножимо на. Отримаємо:

в. Який дріб більший? Правильно, перша.

Варіант 3. Порівняння дробів за допомогою віднімання.

Як порівнювати дроби за допомогою віднімання? Так, дуже просто. Ми з одного дробу віднімаємо інший. Якщо результат виходить позитивним, то перший дріб (зменшується) більший за другий (віднімається), а якщо негативним, то навпаки.

У нашому випадку спробуємо з другого відняти перший дріб: .

Як ти вже зрозумів, ми так само переводимо у звичайний дріб і отримуємо той же результат. Наш вираз набуває вигляду:

Далі нам все одно доведеться вдатися до приведення до спільного знаменника. Питання як: першим способом, перетворюючи дроби на неправильні, або другим, як би «прибираючи» одиницю? До речі, ця дія має цілком математичне обґрунтування. Дивись:

Мені більше подобається другий варіант, тому що перемноження в чисельнику при приведенні до спільного знаменника стає простіше.

Наводимо до спільного знаменника:

Тут головне не заплутатися, скільки і звідки ми забирали. Уважно подивитися хід рішення та випадково не переплутати знаки. Ми забирали від другого числа перше і отримали негативну відповідь, значить?.. Правильно, перше число більше за друге.

Розібрався? Спробуй порівняти дроби:

Стоп, стоп. Не поспішай приводити до спільного знаменника чи віднімати. Подивися: можна легко перевести в десятковий дріб. Скільки це буде? Правильно. Що зрештою більше?

Це ще один варіант – порівняння дробів шляхом приведення до десяткового дробу.

Варіант 4. Порівняння дробів за допомогою розподілу.

Так, так. І так також можна. Логіка проста: коли ми ділимо більше на менше, у відповіді у нас виходить число, більше одиниці, а якщо ми ділимо менше на більше, то відповідь припадає на проміжок від до.

Щоб запам'ятати це правило, візьми для порівняння будь-які два простих числа, наприклад, і. Ти знаєш, що більше? Тепер розділимо на. Наша відповідь - . Відповідно, теорія вірна. Якщо ми розділимо, що ми отримаємо - менше одиниці, що в свою чергу підтверджує, що насправді менше.

Спробуємо застосувати це правило на звичайних дробах. Порівняємо:

Розділимо перший дріб на другий:

Скоротимо на та на.

Отриманий результат менше, значить ділене менше дільника, тобто:

Ми розібрали усі можливі варіанти порівняння дробів. Як ти бачиш їх 5:

• приведення до спільного знаменника;
• приведення до загального чисельника;
• приведення до виду десяткового дробу;
• віднімання;
• розподіл.

Готовий тренуватися? Порівняй дроби оптимальним способом:

Порівняємо відповіді:

1. (- Перекласти в десятковий дріб)
2. (Поділити один дріб на інший і скоротити на чисельник і знаменник)
3. (Виділити цілу частину і порівнювати дроби за принципом однакового чисельника)
4. (Поділити один дріб на інший і скоротити на чисельник і знаменник).

2. Порівняння ступенів

Тепер уявімо, що нам необхідно порівняти не просто числа, а вирази, де є ступінь ().

Звичайно, ти легко поставиш знак:

Адже якщо ми замінимо ступінь множенням, ми отримаємо:

З цього маленького та примітивного прикладу випливає правило:

Спробуй тепер порівняти таке: . Ти так само легко поставиш знак:

Тому що, якщо ми замінимо зведення ступінь на множення…

Загалом, ти все зрозумів і це зовсім нескладно.

Складнощі виникають лише тоді, коли при порівнянні у ступенів різні і основи, і показники. В цьому випадку необхідно спробувати привести до загальної основи. Наприклад:

Зрозуміло, ти знаєш, що це, відповідно, вираз набуває вигляду:

Розкриємо дужки і порівняємо те, що вийде:

Дещо особливий випадок, коли основа ступеня () менше одиниці.

Якщо, то з двох ступенів і більша та, показник якої менший.

Спробуємо довести це правило. Нехай.

Введемо деяке натуральне число, як різницю між і.

Логічно, чи не так?

А тепер ще раз звернемо увагу на умову -.

Відповідно: . Отже, .

Наприклад:

Як ти зрозумів, ми розглянули випадок, коли рівні рівнів. Тепер подивимося, коли основа знаходиться в проміжку від до, але рівні показники ступеня. Тут усе дуже просто.

Запам'ятаємо, як це порівнювати на прикладі:

Звичайно, ти швидко порахував:

Тому, коли тобі будуть траплятися схожі завдання для порівняння, тримай у голові якийсь простий аналогічний приклад, який ти можеш швидко прорахувати, і на основі цього прикладу проставляй знаки у складнішому.

Виконуючи перетворення, пам'ятай, що якщо ти домножуєш, складаєш, віднімаєш або ділиш, то всі дії необхідно робити і з лівої і з правою частиною (якщо ти множиш на, то множити необхідно і те, й інше).

Крім цього, бувають випадки, коли робити якісь маніпуляції просто невигідно. Наприклад, тобі треба порівняти. В даному випадку, не так складно звести в ступінь, і розставити знак, виходячи з цього:

Давай потренуємось. Порівняй ступеня:

Готовий порівнювати відповіді? Ось що в мене вийшло:

1. - те саме, що
2. - те саме, що
3. - те саме, що
4. - те саме, що

3. Порівняння чисел із коренем

Для початку пригадаємо, що таке коріння? Ось цей запис пам'ятаєш?

Коренем ступеня із дійсного числа називається таке число, для якого виконується рівність.

Коріннянепарною мірою існують для негативних і позитивних чисел, а коріння парного ступеня- Тільки для позитивних.

Значенням кореня часто є нескінченний десятковий дріб, що ускладнює його точне обчислення, тому важливо вміти порівнювати коріння.

Якщо ти призабув, що це таке і з чим його їдять. Якщо все пам'ятаєш – давай вчитися поетапно порівнювати коріння.

Допустимо, нам необхідно порівняти:

Щоб порівняти ці два корені, не потрібно робити жодних обчислень, просто проаналізуй саме поняття «корінь». Зрозумів, про що я говорю? Та ось про це: інакше можна записати як третій ступінь якогось числа, що дорівнює підкореному виразу.

А що більше? чи? Це ти, звичайно, порівняєш без жодних труднощів. Чим більше ми зводимо в ступінь, тим більше буде значення.

Отже. Виведемо правило.

Якщо показники ступеня коренів однакові (у разі це), необхідно порівнювати підкорені вирази (і) - що більше підкорене число, то більше значення кореня при рівних показниках.

Важко запам'ятати? Тоді просто тримай у голові приклад і. Що більше?

Показники ступеня коріння однакові, оскільки корінь квадратний. Підкорене вираз одного числа () більше за інше (), значить, правило дійсно вірне.

А що, якщо підкорені вирази однакові, а от ступеня коріння різні? Наприклад: .

Теж цілком зрозуміло, що з добуванні кореня більшою мірою вийде менше число. Візьмемо для прикладу:

Позначимо значення першого кореня як, а другого як, то:

Ти легко бачиш, що в цих рівняннях має бути більше, отже:

Якщо підкорені вирази однакові(У нашому випадку), а показники ступеня коріння різні(У нашому випадку це і), то необхідно порівнювати показники ступеня(і) - чим більший показник, тим менший цей вираз.

Спробуй порівняти наступне коріння:

Порівняємо отримані результати?

Із цим благополучно розібралися:). Виникає інше питання: а що, якщо у нас все різне? І ступінь, і підкорене вираз? Не все так складно нам потрібно всього-на-всього ... «позбутися» кореня. Так, так. Саме позбутися)

Якщо у нас різні і ступені та підкорені вирази, необхідно знайти найменше загальне кратне (читай розділ про ) для показників коренів і звести обидва вирази в ступінь, що дорівнює найменшому загальному кратному.

Що ми всі на словах та на словах. Наведемо приклад:

1. Дивимося показники коренів – в. Найменше загальне кратне у них - .
2. Зведемо обидва вирази в ступінь:
3. Перетворимо вираз і розкриємо дужки (докладніше у розділі):
4. Вважаємо, що в нас вийшло, і поставимо знак:

4. Порівняння логарифмів

Ось так, повільно, але вірно, ми підійшли до питання як порівнювати логарифми. Якщо ти не пам'ятаєш, що це за звір такий, раджу для початку прочитати теорію з розділу. Прочитав? Тоді дай відповідь на кілька важливих питань:

1. Що називається аргументом логарифму, а що його основою?
2. Від чого залежить, чи зростає функція чи зменшується?

Якщо все пам'ятаєш і добре засвоїв - приступаємо!

Для того, щоб порівнювати логарифми між собою, необхідно знати лише 3 прийоми:

• приведення до однакової основи;
• приведення до однакового аргументу;
• порівняння із третім числом.

Спочатку зверніть увагу на підставу логарифму. Ти пам'ятаєш, що якщо вона менша, то функція зменшується, а якщо більше, то зростає. Саме на цьому будуть засновані наші судження.

Розглянемо порівняння логарифмів, які вже приведені до однакової основи або аргументу.

Для початку спростимо завдання: нехай у порівнюваних логарифмах рівні підстави. Тоді:

1. Функція, коли зростає на проміжку від, означає за визначенням, то («пряме порівняння»).
2. Приклад:- підстави однакові, відповідно порівнюємо аргументи: , отже:
3. Функція, при, зменшується на проміжку від, значить за визначенням, то («зворотне порівняння»). - підстави однакові, відповідно порівнюємо аргументи: , проте, знак у логарифмів буде «зворотний», оскільки функція зменшується: .

Тепер розглянемо випадки, коли основи різні, але однакові аргументи.

1. Підстава більша.
   • . І тут використовуємо «зворотне порівняння». Наприклад: - аргументи однакові, в. Порівнюємо підстави: однак, знак у логарифмів буде «зворотний»:
2. Основа знаходиться в проміжку.
   • . І тут використовуємо «пряме порівняння». Наприклад:
   • . І тут використовуємо «зворотне порівняння». Наприклад:

Запишемо все у загальному табличному вигляді:

Відповідно, як ти вже зрозумів, при порівнянні логарифмів нам необхідно привести до однакової основи, або аргументу, До однакової основи ми приходимо, використовуючи формулу переходу від однієї основи до іншої.

Можна також порівнювати логарифми з третім числом і на підставі цього робити висновок, що менше, а що більше. Наприклад, подумай, як порівняти ці два логарифми?

Невелика підказка - для порівняння тобі дуже допоможе логарифм, аргумент якого дорівнюватиме.

Подумав? Давай вирішувати разом.

Ми легко порівняємо з тобою ці два логарифми:

Не знаєш, як? Дивись вище. Ми щойно це розбирали. Який знак там буде? Правильно:

Згоден?

Порівняємо між собою:

У тебе має вийти таке:

А тепер поєднай усі наші висновки в один. Вийшло?

5. Порівняння тригонометричних виразів.

Що таке синус, косинус, тангенс, котангенс? Для чого потрібне одиничне коло і як на ньому знайти значення тригонометричних функцій? Якщо ти не знаєш відповіді на ці запитання, дуже рекомендую тобі прочитати теорію на цю тему. А якщо знаєш, то порівняти тригонометричні вирази між собою для тебе не складає труднощів!

Трохи освіжимо пам'ять. Намалюємо одиничне тригонометричне коло і вписаний у неї трикутник. Впорався? Тепер відзнач, з якого боку у нас відкладається косинус, а з якого синус, використовуючи сторони трикутника. (Ти, звичайно пам'ятаєш, що синус, це ставлення протилежної сторони до гіпотенузи, а косинус прилеглої?). Намалював? Чудово! Останній штрих – простав, де в нас буде, де і так далі. Проставив? Фух) Порівнюємо, що вийшло у мене та в тебе.

Фух! А тепер приступаємо до порівняння!

Припустимо, нам необхідно порівняти в. Намалюй ці кути, використовуючи підказки у рамочках (де у нас зазначено, де), відкладаючи крапки на одиничному колі. Впорався? Ось що в мене вийшло.

Тепер опустимо перпендикуляр із точок, відмічених нами на колі на вісь… Яку? Яка вісь показує значення синусів? Правильно, . Ось що в тебе має вийти:

Дивлячись на цей малюнок, що більше: чи? Звичайно, адже точка знаходиться вище за точку.

Аналогічним чином ми порівнюємо значення косінусів. Тільки перпендикуляр ми опускаємо на вісь… Правильно. Відповідно, дивимося, яка точка знаходиться правіше (ну чи вище, як у випадку з синусами), то значення і більше.

Мабуть, ти вже здогадуєшся, як порівнювати тангенси, правда? Все, що потрібно, знати, що таке тангенс. Так що таке тангенс?) Правильно, ставлення синуса до косінус.

Щоб порівняти тангенси, ми так само малюємо кут, як і в попередньому випадку. Допустимо, нам необхідно порівняти:

Намалював? Тепер також відзначаємо значення синуса на координатній осі. Помітив? А тепер вкажи значення косинуса на координатній прямій. Вийшло? Давай порівняємо:

А тепер проаналізуй написане. – Ми великий відрізок ділимо на маленький. У відповіді буде значення, яке точно більше одиниці. Правильно?

А у ми маленький ділимо на великий. У відповіді буде число, яке точно менше одиниці.

То значення якого тригонометричного виразу більше?

Правильно:

Як ти тепер розумієш, порівняння котангенсів - те саме, тільки навпаки: ми дивимося, як ставляться один до одного відрізки, що визначають косинус і синус.

Спробуй самостійно порівняти такі тригонометричні вирази:

приклади.

Відповіді.

ПОРІВНЯННЯ ЧИСЕЛ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ.

Яке із чисел більше: чи? Відповідь очевидна. А тепер: чи? Вже не так очевидно, правда? А так: чи?

Часто потрібно знати, який із числових виразів більший. Наприклад, щоб при розв'язанні нерівності розставити крапки на осі у правильному порядку.

Зараз навчу тебе порівнювати такі цифри.

Якщо треба порівняти числа і між ними ставимо знак (походить від латинського слова Versus або скорочено vs. - Проти): . Цей знак замінює невідомий знак нерівності (). Далі будемо виконувати тотожні перетворення доти, доки стане ясно, який саме знак потрібно поставити між числами.

Суть порівняння чисел полягає в наступному: ми ставимося до знака так, ніби це якийсь знак нерівності. І з виразом ми можемо робити все те, що робимо зазвичай з нерівностями:

• додати будь-яке число до обох частин (і відняти, звичайно, теж можемо)
• «перенести все в один бік», тобто відняти з обох частин один із порівнюваних виразів. На місці віднімається виразу залишиться: .
• домножувати чи ділити одне й те число. Якщо це число негативне, символ нерівності змінюється протилежний: .
• зводити обидві частини в один і той самий ступінь. Якщо цей ступінь – парний, необхідно переконатися, що обидві частини мають однаковий знак; якщо обидві частини позитивні, при зведенні у ступінь знак не змінюється, і якщо негативні, тоді змінюється протилежний.
• витягти корінь однакового ступеня з обох частин. Якщо витягаємо корінь парного ступеня, необхідно попередньо переконатися, що обидва вирази невід'ємні.
• будь-які інші рівносильні перетворення.

Важливо: перетворення бажано робити такими, щоб знак нерівності не змінювався! Тобто в ході перетворень небажано примножувати на негативне число, і не можна зводити до квадрата, якщо одна з частин негативна.

Розберемо кілька типових ситуацій.

1. Зведення на ступінь.

приклад.

Що більше: чи?

Рішення.

Оскільки обидві частини нерівності позитивні, можемо звести в квадрат, щоб позбавитися кореня:

приклад.

Що більше: чи?

Рішення.

Тут теж можемо звести в квадрат, але це нам допоможе позбавитися тільки квадратного кореня. Тут треба зводити в такий ступінь, щоб обидва корені зникли. Отже, показник цього ступеня повинен ділитися і (ступінь першого кореня), і. Таким числом є, отже, зводимо в -ю ступінь:

2. Множення на сполучене.

приклад.

Що більше: чи?

Рішення.

Домножимо і розділимо кожну різницю на сполучену суму:

Очевидно, що знаменник у правій частині більший за знаменник у лівій. Тому правий дріб менше лівого:

3. Віднімання

Згадаймо, що.

приклад.

Що більше: чи?

Рішення.

Звичайно, ми могли б звести все в квадрат, перегрупувати і знову звести в квадрат. Але можна вчинити хитріше:

Видно, що у лівій частині кожне доданок менше кожного доданку, що у правій частині.

Відповідно, сума всіх доданків, що перебувають у лівій частині, менша від суми всіх доданків, що перебувають у правій частині.

Але будь уважним! У нас питали що більше...

Права частина більша.

приклад.

Порівняйте числа в.

Рішення.

Згадуємо формули тригонометрії:

Перевіримо, у яких чвертях на тригонометричному колі лежать точки і.

4. Розподіл.

Тут також використовуємо просте правило: .

При або, тобто.

При знак змінюється: .

приклад.

Виконай порівняння: .

Рішення.

5. Порівняйте числа з третім числом

Якщо і, то (закон транзитивності).

приклад.

Порівняйте.

Рішення.

Порівняємо числа не один з одним, а з числом.

Очевидно, що.

З іншого боку, .

приклад.

Що більше: чи?

Рішення.

Обидва числа більші, але менші. Підберемо таке число, щоб воно було більше одного, але менше за інше. Наприклад, . Перевіримо:

6. Що робити з логарифмами?

Нічого особливого. Як позбавлятися логарифмів, докладно описано в темі . Основні правила такі:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(при))\;a > 1)\\(x \wedge (a^b)\;(\rm(при))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\(x \wedge y\;(\rm(при))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Також можемо додати правило про логарифми з різними підставами та однаковим аргументом:

Пояснити його можна так: чим більша підстава, тим менший ступінь її доведеться звести, щоб отримати один і той же. Якщо ж підстава менша, то все навпаки, тому що відповідна функція монотонно спадає.

приклад.

Порівняйте числа: і.

Рішення.

Відповідно до вищеописаних правил:

А тепер формула для сучасних.

Правило порівняння логарифмів можна записати і коротше:

приклад.

Що більше: чи?

Рішення.

приклад.

Порівняйте, яке з чисел більше: .

Рішення.

ПОРІВНЯННЯ ЧИСЕЛ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

1. Зведення у ступінь

Якщо обидві частини нерівності позитивні, їх можна звести в квадрат, щоб позбавитися кореня

2. Множення на сполучене

Сполученим називається множник, що доповнює вираз до формули різниці квадратів: - Сполучене для і навпаки, т.к. .

3. Віднімання

4. Поділ

При або тобто

При змінюється:

5. Порівняння з третім числом

Якщо і, то

6. Порівняння логарифмів

Основні правила:

Логарифми з різними підставами та однаковим аргументом:

ЗАЛИШЕНІ 2/3 СТАТТІ ДОСТУПНІ ТІЛЬКИ УЧНЯМ YOUCLEVER!

Стати учнем YouClever,

Підготуватися до ОДЕ або ЄДІ з математики за ціною "чашка кави на місяць",

А також отримати безстроковий доступ до підручника "YouClever", Програми підготовки (решітника) "100gia", необмеженого пробного ЄДІ та ОДЕ, 6000 завдань з розбором рішень та до інших сервісів YouClever та 100gia.

У повсякденні нам часто доводиться порівнювати дробові величини. Найчастіше це не викликає жодних труднощів. Дійсно, всім зрозуміло, що половина яблука більша за чверть. Але коли необхідно записати це у вигляді математичного виразу, це може спричинити труднощі. Використовуючи такі математичні правила, ви легко можете впоратися з цим завданням.

Як порівнювати дроби з однаковими знаменниками

Такі дроби порівнювати найзручніше. У цьому випадку використовуйте правило:

З двох дробів з однаковими знаменниками, але різними чисельниками, більшим буде той, чисельник якого більший, а меншим – той, чисельник якого менший.

Наприклад, порівняти дроби 3/8 та 5/8. Знаменники у цьому прикладі рівні, отже, застосовуємо це правило. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.

І справді, якщо розрізати дві піци на 8 часток, то 3/8 частки завжди менше, ніж 5/8.

Порівняння дробів з однаковими чисельниками та різними знаменниками

У цьому випадку порівнюють розміри часток-знаменників. Слід застосовувати правило:

Якщо у двох дробів чисельники рівні, то більший той дріб, знаменник якого менший.

Наприклад, порівняти дроби 3/4 та 3/8. У цьому прикладі чисельники рівні, отже, використовуємо друге правило. У дробу 3/4 знаменник менший, ніж у дробу 3/8. Відтак 3/4>3/8

Якщо ви з'їсте 3 шматки піци, розділеної на 4 частини, то будете більш ситі, ніж якби з'їли 3 шматки піци, розділеної на 8 частин.

Порівняння дробів з різними чисельниками та знаменниками

Застосовуємо третє правило:

Порівняння дробів із різними знаменниками потрібно призвести до порівняння дробів із однаковими знаменниками. Для цього необхідно привести дроби до спільного знаменника та використати перше правило.

Наприклад, необхідно порівняти дроби та . Для визначення більшого дробу наведемо ці два дроби до спільного знаменника:

• Тепер знайдемо другий додатковий множник: 6: 3 = 2. Записуємо його над другим дробом:

Правила порівняння звичайних дробів залежать від виду дробу (правильний, неправильний, змішаний дріб) і від знаменний (однакові або різні) у порівнюваних дробів.

У цьому розділі розглядаються варіанти порівняння дробів, які мають однакові чисельники чи знаменники.

Правило. Щоб порівняти два дроби з однаковими знаменниками, треба порівняти їх чисельники. Більший (менший) той дріб, у якого чисельник більший (менший).

Наприклад, порівняти дроби:

Правило. Щоб порівняти правильні дроби з однаковими чисельниками, треба порівняти їх знаменники. Більший (менший) той дріб, у якого знаменник менший (більший).

Наприклад, порівняти дроби:

Порівняння правильних, неправильних та змішаних дробів між собою

Правило. Неправильний і змішаний дроб завжди більше будь-якого правильного дробу.

Правильний дріб за визначенням менший за 1, тому неправильний і змішаний дроб (що мають у своєму складі число, що дорівнює або більше 1) більший за правильний дроб.

Правило. З двох змішаних дробів більший (менший) той, у якого ціла частина дробу більша (менша). При рівності цілих частин змішаних дробів більший (менший) той дріб, у якого більший (менший) дробова частина.