Запишіть у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу. Записи з міткою "як записати число у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу"

Нескінченні десяткові дроби

Десяткові дроби після коми можуть містити нескінченну кількість цифр.

Нескінченні десяткові дроби- Це десяткові дроби, у запису яких знаходиться нескінченна кількість цифр.

Нескінченний десятковий дріб практично неможливо записати повністю, тому при їх запису обмежуються тільки деякою кінцевою кількістю цифр після коми, після чого ставлять крапку, яка вказує на послідовність цифр, що нескінченно триває.

Приклад 1

Наприклад, $0,443340831\dots; 3,1415935432\dots; 135,126730405 \ dots; 4,33333333333\dots; 676,68349349\dots$.

Розглянемо останні два нескінченні десяткові дроби. У дробі $4,33333333333\dots$ нескінченно повторюється цифра $3$, а дробу $676,68349349\dots$ з третього знака після коми повторюється група цифр $3$, $4$ і $9$. Подібні нескінченні десяткові дроби називаються періодичними.

Періодичні десяткові дроби

Періодичні десяткові дроби(або періодичні дроби) - це нескінченні десяткові дроби, у записи яких з деякого знака після коми нескінченно повторюється якась цифра або їх група, яка називається періодом дробу).

Приклад 2

Наприклад, період періодичного дробу $4,33333333333\dots$ - цифра $3$, а період дробу $676,68349349\dots$ - група цифр $349$.

Для стислості запису нескінченних періодичних десяткових дробів прийнято період записувати один раз, уклавши його в круглі дужки. Наприклад, періодичний дріб $4,33333333333\dots$ записують $4,(3)$, а періодичний дріб $676,68349349\dots$ записують $676,68(349)$.

Нескінченні десяткові періодичні дроби отримують при перекладі звичайних дробів, знаменники яких містять прості множники, крім $2$ і $5$, у десяткові дроби.

Будь-який кінцевий десятковий дріб (і ціле число) може бути записаний у вигляді періодичного дробу, для чого достатньо праворуч дописати нескінченну кількість цифр $0$.

Приклад 3

Наприклад, кінцевий десятковий дріб $45,12$ може бути записаний у вигляді періодичного дробу як $45,12(0)$, а ціле число $(74)$ у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу матиме вигляд $74(0)$.

У разі періодичних дробів, які мають період 9, використовують перехід до іншого запису періодичного дробу з періодом $0$. Тільки цього період 9заменяют періодом $0$, у своїй значення наступного по старшинству розряду збільшується на $1$.

Приклад 4

Наприклад, періодичний дріб $7,45(9)$ можна замінити періодичним дробом $7,46(0)$ або рівним йому десятковим дробом $7,46$.

Нескінченні десяткові періодичні дроби видаються раціональними числами. Іншими словами, будь-який періодичний дріб може бути переведений у звичайний дріб, а будь-який звичайний дріб може бути представлений у вигляді періодичного дробу.

Переведення звичайних дробів у кінцеві та нескінченні періодичні десяткові дроби

У десятковий дріб можна перекласти не тільки прості дроби зі знаменниками $10, 100, \dots$.

У деяких випадках вихідний звичайний дріб можна легко привести до знаменника $10$, $100$ або $1 \ 000$, після чого можна подати дріб у вигляді десяткового дробу.

Приклад 5

Щоб дріб $\frac(3)(5)$ )привести до дробу зі знаменником $10$, потрібно чисельник і знаменник дробу помножити на $2$, після чого отримаємо $\frac(6)(10)$, який не важко перекласти у десятковий дріб $0,6$.

Для інших випадків використовується інший спосіб переведення звичайного дробу в десятковий):

чисельник потрібно замінити десятковим дробом з будь-яким числом нулів після десяткової коми;

розділити чисельник дробу на знаменник (розподіл виконується як розподіл натуральних чисел в стовпчик, а приватному ставлять десяткову кому після закінчення розподілу цілої частини ділимого).

Приклад 6

Перевести звичайний дріб $\frac(621)(4)$ у десятковий дріб.

Рішення.

Число $621$ у чисельнику представимо у вигляді десяткового дробу. Для цього додамо десяткову кому і для початку два нулі після неї. Далі за потреби можна буде додати нулі ще. Отже, отримали $621,00.

Виконаємо розподіл числа $621,00$ на $4$ у стовпчик:

Малюнок 1.

Розподіл дійшов до десяткової коми в ділимому, а залишок при цьому отримали не нульовий. У такому разі в приватному ставиться десяткова кома і продовжується розподіл стовпчиком, не дивлячись на коми:

Малюнок 2.

У залишку отримали нуль, отже поділ закінчено.

Відповідь: $155,25$.

Можливий випадок, коли при розподілі чисельника та знаменника звичайного дробу в залишку $0$ так і не виходить. У цьому випадку поділ можна продовжувати нескінченно. Починаючи з певного моменту залишки від поділу періодично повторюються, а отже повторюються і цифри у частці. З цього можна зробити висновок, що цей звичайний дріб переведеться в нескінченний періодичний десятковий дріб.

Приклад 7

Перевести звичайний дріб $\frac(19)(44)$ у десятковий дріб.

Рішення.)

Для переведення звичайного дробу в десятковий виконаємо поділ у стовпчик:

Малюнок 3.

При розподілі повторюються залишки $8$ і $36$, а приватному також повторюються цифри $1$ і $8$. Отже, вихідний звичайний дріб $ frac (19) (44) $ перевели в періодичний дріб $ frac (19) (44) = 0,43181818 dots = 0,43 (18) $.

Відповідь: $0,43(18)$.

Загальний висновок про переведення звичайних дробів у десяткові:

якщо знаменник можна розкласти на прості множники, серед яких будуть присутні лише числа $2$ і $5$, то такий дріб можна перевести в кінцевий десятковий дріб;

якщо крім чисел $2$ і $5$ у розкладанні знаменника присутні інші прості числа, то такий дріб переводиться в нескінченний десятковий періодичний дріб.

Вже початковій школі учні зіштовхуються з дробами. І потім вони з'являються у кожній темі. Забувати дії із цими числами не можна. Тому потрібно знати всю інформацію про звичайні та десяткові дроби. Поняття ці нескладні, головне - розбиратися в усьому порядку.

Навіщо потрібні дроби?

Навколишній світ складається з цілих предметів. Тож у частках потреби немає. Натомість повсякденне життя постійно наштовхує людей працювати з частинами предметів і речей.

Наприклад, шоколад складається з кількох часточок. Розглянемо ситуацію, коли його плитка утворена дванадцятьма прямокутниками. Якщо її поділити на двох, то вийде по 6 частин. Вона добре розділиться і на трьох. А ось п'ятьом не вдасться дати за цілою кількістю часточок шоколаду.

До речі, ці часточки – вже дроби. А подальше їхнє поділ призводить до появи більш складних чисел.

Що таке «дроб»?

Це число, що складається із частин одиниці. Зовні воно виглядає як два числа, розділені горизонтальною або похилою межею. Ця характеристика зветься дробової. Число, записане зверху (ліворуч), називається чисельником. Те, що стоїть знизу (праворуч), є знаменником.

Насправді, дробова характеристика виявляється знаком поділу. Тобто чисельник можна назвати ділимим, а знаменник дільником.

Які існують дроби?

У математиці їх є лише два види: прості та десяткові дроби. З першими школярі знайомляться у початкових класах, називаючи їх просто «дробі». Другі дізнаються у 5 класі. Саме тоді з'являються ці назви.

Звичайні дроби - всі ті, що записуються у вигляді двох чисел, розділених рисою. Наприклад, 4/7. Десяткова - це число, в якому дробова частина має позиційний запис і відокремлюється від цілої за допомогою коми. Наприклад, 4,7. Учням потрібно чітко усвідомити, що два наведені приклади - це зовсім різні числа.

Кожен простий дріб можна записати у вигляді десяткового. Це твердження майже завжди є вірним і у зворотному напрямку. Існують правила, які дозволяють записати звичайним дробом десятковий дріб.

Які підвиди мають вказані види дробів?

Почати краще у хронологічному порядку, оскільки вони вивчаються. Першими йдуть прості дроби. Серед них можна виділити 5 підвидів.

Правильна. Її чисельник завжди менший за знаменник.

Неправильна. У неї чисельник більший або дорівнює знаменнику.

Скоротима/нескоротна. Вона може виявитися як правильною, так і неправильною. Важливо інше, чи є у чисельника зі знаменником спільні множники. Якщо є, то на них потрібно розділити обидві частини дробу, тобто скоротити його.

Змішана. До її звичної правильної (неправильної) дробової частини приписується ціле число. Причому воно завжди стоїть ліворуч.

Складова. Вона утворюється із двох розділених один на одного дробів. Тобто в ній налічується одразу три дробові риси.

У десяткових дробів є лише два підвиди:

кінцева, тобто та, у якої дрібна частина обмежена (має кінець);

нескінченна - число, у якого цифри після коми не закінчуються (їх можна писати нескінченно).

Як переводити десятковий дріб у звичайний?

Якщо це кінцеве число, то застосовується асоціація, заснована на правилі як чую, так пишу. Тобто потрібно правильно прочитати її та записати, але вже без коми, а з дробовою рисою.

Як підказка про необхідний знаменник, потрібно запам'ятати, що він завжди одиниця і кілька нулів. Останніх потрібно написати стільки, скільки цифр у дрібній частині розглянутого числа.

Як перевести десяткові дроби у звичайні, якщо їхня ціла частина відсутня, тобто дорівнює нулю? Наприклад, 0,9 або 0,05. Після застосування зазначеного правила виходить, що потрібно написати нуль цілих. Але він не вказується. Залишається записати лише дрібні частини. У першого числа знаменник дорівнюватиме 10, у другого — 100. Тобто зазначені приклади відповідями матимуть числа: 9/10, 5/100. Причому останнє можна скоротити на 5. Тому результатом для неї потрібно записати 1/20.

Як із десяткового дробу зробити звичайний, якщо його ціла частина відмінна від нуля? Наприклад, 5,23 чи 13,00108. В обох прикладах читається ціла частина та записується її значення. У першому випадку це 5, у другому 13. Потім потрібно переходити до дробової частини. З ними потрібно провести ту саму операцію. У першого числа з'являється 23/100, у другого – 108/100000. Друге значення потрібно знову скоротити. У відповіді виходять такі змішані дроби: 5 23/100 та 13 27/25000.

Як перевести нескінченний десятковий дріб у звичайний?

Якщо вона неперіодична, то таку операцію провести не вдасться. Цей факт пов'язаний з тим, що кожен десятковий дріб завжди переводиться або в кінцевий або періодичний.

Єдине, що допускається робити з таким дробом, це округлювати її. Але тоді десяткова буде приблизно такою, як і нескінченна. Її вже можна перетворити на звичайну. Але зворотний процес: переведення до десяткового — ніколи не дасть початкового значення. Тобто нескінченні неперіодичні дроби у звичайні не переводяться. Це слід запам'ятати.

Як записати нескінченний періодичний дріб у вигляді звичайного?

У цих числах після коми завжди з'являються одна або кілька повторюваних цифр. Їх називають періодом. Наприклад, 0,3 (3). Тут "3" у періоді. Їх відносять до класу раціональних, оскільки можуть бути перетворені на прості дроби.

Тим, хто зустрічався з періодичними дробами, відомо, що вони можуть бути чистими чи змішаними. У першому випадку період починається відразу від коми. У другому — дрібна частина починається з якихось цифр, а потім починається повтор.

Правило, яким потрібно записати як звичайного дробу нескінченну десяткову, буде різним для зазначених двох видів чисел. Чисті періодичні дроби записати звичайними досить легко. Як із кінцевими, їх треба перетворити: в чисельник записати період, а знаменником буде цифра 9, що повторюється стільки разів, скільки цифр містить період.

Наприклад, 0(5). Цілої частини у числа немає, тому відразу потрібно приступати до дробової. У чисельник записати 5, а знаменник одну 9. Тобто відповіддю буде дріб 5/9.

Правило про те, як записати звичайний десятковий періодичний дріб, що є змішаним.

Подивитися на довжину періоду. Стільки 9 матиме знаменник.

Записати знаменник: спочатку дев'ятки, потім нулі.

Щоб визначити чисельник, потрібно записати різницю двох чисел. Зменшуються всі цифри після коми, разом з періодом. Віднімається — воно ж без періоду.

Наприклад, 0,5(8) - запишіть періодичний десятковий дріб у вигляді звичайного. У дрібній частині до періоду стоїть одна цифра. Значить, нуль буде один. У періоді також лише одна цифра — 8. Тобто дев'ятка одна. Тобто у знаменнику треба написати 90.

Для визначення чисельника з 58 необхідно відняти 5. Виходить 53. Відповіддю наприклад доведеться записати 53/90.

Як переводять звичайні дроби до десяткових?

Найпростішим варіантом виявляється число, у знаменнику якого стоїть число 10, 100 та інше. Тоді знаменник просто відкидається, а між дробовою і цілою частинами ставиться кома.

Бувають ситуації, коли знаменник легко перетворюється на 10, 100 тощо. буд. Наприклад, числа 5, 20, 25. Їх досить помножити на 2, 5 і 4 відповідно. Тільки множити потрібно як знаменник, а й чисельник на те саме число.

Для решти випадків знадобиться просте правило: розділити чисельник на знаменник. У цьому випадку може вийти два варіанти відповідей: кінцевий або періодичний десятковий дріб.

Дії зі звичайними дробами

Додавання та віднімання

З ними учні знайомляться раніше за інших. Причому спочатку дроби мають однакові знаменники, а потім різні. Загальні правила можна звести до такого плану.

Знайти найменше загальне кратне знаменників.

Записати додаткові множники до всіх звичайних дробів.

Помножити чисельники та знаменники на певні для них множники.

Скласти (відняти) чисельники дробів, а загальний знаменник залишити без зміни.

Якщо чисельник меншого віднімається, то потрібно з'ясувати, перед нами змішане число або правильний дріб.

У першому випадку ціла частина повинна зайняти одиницю. До чисельника дробу додати знаменник. А потім виконувати віднімання.

У другому - необхідно застосувати правило віднімання з меншого числа більше. Тобто з модуля віднімається відняти модуль зменшуваного, а у відповідь поставити знак «-».

Уважно подивитися на результат додавання (віднімання). Якщо вийшов неправильний дріб, то потрібно виділити цілу частину. Тобто поділити чисельник на знаменник.

Множення та розподіл

Для виконання дробу не потрібно приводити до спільного знаменника. Це полегшує виконання дій. Але в них все одно слід дотримуватися правил.

При множенні звичайних дробів необхідно розглянути числа чисельників і знаменниках. Якщо якийсь чисельник та знаменник мають спільний множник, їх можна скоротити.

Перемножити чисельники.

Перемножити знаменники.

Якщо вийшов скоротитий дріб, то його потрібно спростити.

При розподілі потрібно спочатку замінити розподіл на множення, а дільник (другий дріб) - на зворотний дріб (поміняти місцями чисельник і знаменник).

Потім діяти, як із множенні (починаючи з пункту 1).

У завданнях, де помножити (ділити) потрібно ціле число, останнє потрібно записати як неправильної дробу. Тобто зі знаменником 1. Потім діяти, як описано вище.



Дії з десятковими дробами

Додавання та віднімання

Звичайно, завжди можна перетворити десятковий дріб на звичайний. І діяти за вже описаним планом. Але іноді зручніше діяти без перекладу. Тоді правила для їх складання та віднімання будуть абсолютно однаковими.

Зрівняти число цифр у дробовій частині числа, тобто після коми. Приписати в ній недостатню кількість нулів.

Записати дроби так, щоб кома опинилася під комою.

Скласти (відняти) як натуральні числа.

Знести кому.

Множення та розподіл

Важливо, що тут не слід дописувати нулі. Дроби потрібно залишати в тому вигляді, як вони дані в прикладі. А далі йти за планом.

Для множення потрібно написати дроби одна під одною, не звертаючи увагу на коми.

Помножити як натуральні числа.

Поставити у відповіді кому, відрахувавши від правого кінця відповіді стільки цифр, скільки їх коштує в дробових частинах обох множників.

Для поділу необхідно спочатку перетворити дільник: зробити його натуральним числом. Тобто помножити його на 10, 100 і т. д., залежно від того, скільки цифр у дрібній частині дільника.

На те число помножити поділене.

Розділити десятковий дріб на натуральне число.

Поставити у відповіді кому в той момент, коли закінчиться розподіл цілої частини.



Як бути, якщо в одному прикладі є обидва види дробів?

І в математиці нерідко зустрічаються приклади, у яких необхідно здійснити події над звичайними і десятковими дробами. У таких завданнях можливі два шляхи вирішення. Потрібно об'єктивно зважити числа та вибрати оптимальний.

Перший шлях: уявити звичайні десятковими

Він підходить, якщо при розподілі чи перекладі виходять кінцеві дроби. Якщо хоча б одне число дає періодичну частину, цей прийом застосовувати заборонено. Тому, навіть якщо не подобається працювати зі звичайними дробами, доведеться рахувати їх.

Другий шлях: записати десяткові дроби звичайними

Цей прийом виявляється зручним, якщо частини після коми коштують 1-2 цифри. Якщо їх більше, може вийти дуже великий звичайний дріб та десяткові записи дозволять порахувати завдання швидше та простіше. Тому завжди потрібно тверезо оцінювати завдання та вибирати найпростіший метод вирішення.

Періодичний дріб

нескінченний десятковий дріб, в якому, починаючи з деякого місця, стоїть лише певна група цифр, що періодично повторюється. Наприклад, 1,3181818...; коротше цей дріб записують так: 1,3(18), тобто поміщають період у дужки (і кажуть: «18 у періоді»). П. буд. називається чистою, якщо період починається відразу після коми, наприклад 2(71) = 2,7171..., і змішаної, якщо після коми є цифри, що передують періоду, наприклад 1,3(18). Роль П. д. в арифметиці обумовлена ​​тим, що при поданні раціональних чисел, тобто звичайних (простих) дробів, десятковими дробами, завжди виходять або кінцеві або періодичні дроби. Точніше: кінцевий десятковий дріб виходить у тому випадку, коли знаменник нескоротного простого дробу не містить інших простих множників, крім 2 і 5; у всіх інших випадках виходить П. д., і до того ж чиста, якщо знаменник даного нескоротного дробу зовсім не містить множників 2 і 5, і змішана, якщо хоча б один із цих множників міститься в знаменнику. Будь-яка П. д. може бути звернена в простий дріб (тобто вона дорівнює деякому раціональному числу). Чиста П. д. дорівнює простому дробу, чисельником якого служить період, а знаменник зображується цифрою 9, написаної стільки разів, скільки цифр у періоді; при зверненні в простий дріб змішаної П. д. чисельником служить різниця між числом, що зображується цифрами, що передують другому періоду, і числом, що зображуються цифрами, що передують першому періоду; для складання знаменника треба написати цифру 9 стільки разів, скільки цифр у періоді, та приписати праворуч стільки нулів, скільки цифр до періоду. Ці правила припускають, що дана П. д. правильна, тобто не містить цілих одиниць; інакше ціла частина враховується особливо.

Відомі також правила визначення довжини періоду П. д., що відповідає даному звичайному дробу. Наприклад, для дробу a/p, де р -просте число та 1 ≤ a ≤ p - 1, довжина періоду є дільником р - 1. Так, для відомих наближень до числа (див. Пі) 22/7 та 355/113 період дорівнює 6 та 112 відповідно.

Велика Радянська Енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. 1969-1978 .

Дивитись що таке "Періодична дріб" в інших словниках:

Нескінченний десятковий дріб, у якому, починаючи з деякого місця, періодично повторюється певна група цифр (період), напр. 0,373737... чисто періодичний дріб або 0,253737... змішаний періодичний дріб … Великий Енциклопедичний словник

Дріб, нескінченний дріб Словник російських синонімів. періодичний дріт істот., кіл у синонімів: 2 нескінченна дріб (2) … Словник синонімів

Десятковий дріб, ряд цифр якого повторюється в тому самому порядку. Наприклад, 0,135135135… є п. д., якій період 135 і яка дорівнює простому дробу 135/999 = 5/37. Словник іншомовних слів, що увійшли до складу російської мови. Павленков Ф... Словник іноземних слів російської мови

Десятичне дріб дріб зі знаменником 10n, де n натуральне число. Має особливу форму запису: ціла частина в десятковій системі числення, потім кома і потім дробова частина в десятковій системі числення, причому кількість цифр дробової частини … Вікіпедія

Нескінченний десятковий дріб, у якому, починаючи з деякого місця, періодично повторюється певна група цифр (період); наприклад, 0,373737... чисто періодичний дріб або 0,253737... змішаний періодичний дріб. * * * ПЕРІОДИЧНА… … Енциклопедичний словник

Нескінченний десятковий дріб, у який, починаючи з деякого місця, періодично повторюється визнач. група цифр (період); напр., 0,373737... чисто П. д. або 0,253737... змішана П. д. Природознавство. Енциклопедичний словник

словник російських синонімів і подібних за змістом висловів. під. ред. Н. Абрамова, М.: Російські словники, 1999. дріб дрібниця, частина; дунст, кулька, шрот, картеч; дробове число Словник російських синонімів. Словник синонімів

періодичний десятковий дріб- - [Л.Г.Суменко. Англо-російський словник з інформаційних технологій. М.: ДП ЦНИИС, 2003.] Тематики інформаційні технології загалом EN circulating decimalrecurring decimalperioding decimalperiodic decimalperiodical decimal … Довідник технічного перекладача

Якщо ділиться якесь ціле число а на інше ціле число b, тобто. ,… … Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона

Дроб, знаменник якого є цілий ступінь числа 10. Д. д. пишуть без знаменника, відокремлюючи в чисельнику праворуч коми стільки цифр, скільки нулів міститься в знаменнику. Наприклад, У такому записі частина, що стоїть ліворуч… Велика радянська енциклопедія

Щоб раціональне число m/n записати як десяткового дробу, потрібно чисельник розділити на знаменник. При цьому приватне записується кінцевим або нескінченним десятковим дробом.

Записати це число у вигляді десяткового дробу.

Рішення. Розділимо в стовпчик чисельник кожного дробу на його знаменник: а)ділимо 6 на 25; б)ділимо 2 на 3; в)ділимо 1 на 2, а потім дроб, що вийшов, припишемо до одиниці — цілої частини даного змішаного числа.

Нескоротні звичайні дроби, знаменники яких містять інших простих дільників, крім 2 і 5 , записуються кінцевим десятковим дробом.

У приклад 1у випадку а)знаменник 25 = 5 · 5; у випадку в)знаменник дорівнює 2, тому ми отримали кінцеві десяткові дроби 0,24 і 1,5 . У випадку б)знаменник дорівнює 3, тому результат не можна записати у вигляді кінцевого десяткового дробу.

А чи можна без поділу в стовпчик звернути в десятковий дріб такий звичайний дріб, знаменник якого не містить інших дільників, крім 2 і 5? Розберемося! Який дріб називають десятковим і записують без дробової межі? Відповідь: дріб із знаменником 10; 100; 1000 і т.д. А кожне з цих чисел – це твір рівногокількості «двійок» та «п'ятірок». Насправді: 10 = 2 · 5; 100 = 2 · 5 · 2 · 5; 1000 = 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5 і т.д.

Отже, знаменник нескоротного звичайного дробу потрібно буде подати у вигляді твору «двійок» і «п'ятірок», а потім домножити на 2 та (або) на 5 так, щоб «двійок» і «п'ятірок» стало порівну. Тоді знаменник дробу дорівнюватиме 10 або 100 або 1000 і т.д. Щоб значення дробу не змінилося — чисельник дробу помножимо на те число, на яке помножили знаменник.

Подати у вигляді десяткового дробу такі звичайні дроби:

Рішення. Кожен із цих дробів є нескоротним. Розкладемо знаменник кожного дробу на прості множники.

20 = 2 · 2 · 5. Висновок: не вистачає однієї "п'ятірки".

8 = 2 · 2 · 2. Висновок: бракує трьох «п'ятірок».

25 = 5 · 5. Висновок: не вистачає двох «двійок».

Зауваження.Насправді частіше використовують розкладання знаменника на множники, а просто запитують: скільки потрібно помножити знаменник, щоб у результаті вийшла одиниця з нулями (10 чи 100 чи 1000 тощо.). А потім на це число множать і чисельник.

Так, у випадку а)(Приклад 2) з числа 20 можна отримати 100 множенням на 5, тому на 5 потрібно помножити чисельник і знаменник.

У випадку б)(Приклад 2) з числа 8 число 100 не вийде, але вийде число 1000 множенням на 125. На 125 множиться і чисельник (3) і знаменник (8) дробу.

У випадку в)(Приклад 2) з 25 вийде 100, якщо помножити на 4. Значить, і чисельник 8 потрібно помножити на 4.

Нескінченний десятковий дріб, у якого одна або кілька цифр незмінно повторюються в одній і тій же послідовності, називається періодичноїдесятковим дробом. Сукупність цифр, що повторюються, називається періодом цього дробу. Для стислості період дробу записують один раз, укладаючи його в круглі дужки.

У випадку б)(Приклад 1) цифра, що повторюється одна і дорівнює 6. Тому, наш результат 0,66 ... запишеться так: 0, (6) . Читають: нуль цілих, шість у періоді.

Якщо між комою і першим періодом є одна або кілька цифр, що не повторюються, то такий періодичний дріб називається змішаним періодичним дробом.

Нескоротний звичайний дріб, знаменник якого разом з іншимимножниками містить множник 2 або 5 звертається в змішануперіодичний дріб.

Записати у вигляді десяткового дробу числа:

Будь-яке раціональне число можна записати у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу.

Записати у вигляді нескінченного періодичного дробу числа.

Звернути звичайний дріб у десятковий - це означає знайти такий десятковий дріб, який дорівнював би даному звичайному дробу. При зверненні звичайних дробів до десяткових ми зустрінемося з двома випадками:

1) коли звичайні дроби можуть бути перетворені на десяткові точно;

2) коли звичайні дроби можуть бути перетворені на десяткові лише наближено. Розглянемо ці випадки послідовно.

1. Як звернути звичайний нескоротний дріб у десятковий, або, іншими словами, як замінити звичайний дріб рівним йому десятковим?

У випадку, коли звичайні дроби можуть бути точнозвернені в десяткові, існує два способитакого звернення.

Згадаймо, як замінити один дріб іншим, рівним першим, або як перейти від одного дробу до іншого, не змінюючи величини першої. Цим ми займалися, коли наводили дроби до спільного знаменника (§86). Коли ми наводимо дроби до спільного знаменника, то чинимо так: знаходимо спільний знаменник для цих дробів, обчислюємо для кожного дробу додатковий множник і потім множимо чисельник і знаменник кожного дробу на цей множник.

Помітивши це, візьмемо нескоротний дріб 3/20 і спробуємо звернути його до десяткового. Знаменник даного дробу дорівнює 20, а треба привести його до іншого знаменника, який зображався одиницею з нулями. Ми шукатимемо найменший із знаменників, що виражаються одиницею з наступними нулями.

Перший спосібобігу звичайного дробу в десятковий заснований на розкладанні знаменника на прості множники.

Необхідно дізнатися, яке число слід помножити 20, щоб добуток виразилося одиницею з нулями. Щоб це дізнатися, потрібно спочатку згадати, які прості множники розкладаються числа, зображувані одиницею з нулями. Ось ці розкладання:

10 = 2 5,
100 = 2 2 5 . 5,
1 000 = 2 2 2 5 5 5,
10 000 = 2 2 2 2 5 5 5 5.

Ми бачимо, що число, що зображується одиницею з нулями, розкладається тільки на двійки та п'ятірки, а інших множників у розкладанні немає. Крім того, двійки та п'ятірки входять до розкладання в однаковій кількості. І, нарешті, число тих та інших множників окремо дорівнює числу нулів, що стоять після одиниці у зображенні даного числа.

Подивимося тепер, як розкладається 20 на прості множники: 20 = 2 2 5. З цього видно, що двійок у розкладанні числа 20 дві, а п'ятірок одна. Значить, якщо до цих множників ми додамо одну п'ятірку, то отримаємо число, яке зображує одиниця з нулями. Іншими словами, для того, щоб у знаменнику замість числа 20 вийшло число, що зображується одиницею з нулями, потрібно 20 помножити на 5, а щоб величина дробу не змінилася, потрібно помножити на 5 та її чисельник, тобто.

Таким чином, щоб звернути звичайний дріб у десятковий, потрібно знаменник цього звичайного дробу розкласти на прості множники і потім зрівняти в ньому число двійок і п'ятірок, ввівши в нього (і, звичайно, в чисельник) множники, що відсутні, в необхідному числі.

Застосуємо цей висновок до деяких дробів.

Звернути в десятковий дріб 3/50 . Знаменник цього дробу розкладається так:

отже, у ньому бракує однієї двійки. Додамо її:

Звернути в десятковий дріб 7/40 .

Знаменник цього дробу розкладається так: 40 = 2 2 2 5, тобто в ньому немає двох п'ятірок. Введемо їх у чисельник і знаменник як множники:

З того, що викладено, неважко дійти невтішного висновку, які прості дроби звертаються у десяткові. Цілком очевидно, що нескоротний звичайний дріб, знаменник якого не містить ніяких інших простих множників, крім 2 і 5, звертається точно до десяткового. Десятковий дріб, що виходить від обігу деякого звичайного, матиме стільки десяткових знаків, скільки разів до складу знаменника звичайного дробу після його скорочення входить чисельно переважаючий множник 2 або 5.

Якщо ми візьмемо дріб 9 / 40 , то, по-перше, він звернеться до десяткового, тому що до складу його знаменника входять множники 2 2 2 5, по-друге, отриманий десятковий дріб матиме 3 десяткові знаки, тому що чисельно переважаючий множник 2 входить у розкладання тричі. Справді:

Другий спосіб(за допомогою розподілу чисельника на знаменник).

Нехай потрібно звернути до десяткового дробу 3/4. Ми знаємо, що 3 / 4 є приватним від поділу 3 на 4. Це приватне ми можемо знайти, розділивши 3 на 4. Зробимо це:

Таким чином, 3/4 = 0,75.

Ще приклад: обернути в десятковий дріб 5/8 .

Таким чином, 5/8 = 0,625.

Отже, щоб обернути звичайний дріб у десятковий, достатньо розділити чисельник звичайного дробу на його знаменник.

2. Розглянемо тепер другий із зазначених на початку параграфа випадків, тобто той випадок, коли звичайний дріб не може бути перетворений на точну десяткову.

Звичайний нескоротний дріб, знаменник якого містить якісь прості множники, відмінні від 2 і 5, не може звернутися точно до десяткового. Справді, наприклад, дріб 8/15 не може звернутися до десяткового, тому що його знаменник 15 розкладається на два множники: 3 і 5.

Ми не можемо виключити трійку із знаменника і не можемо підібрати такого цілого числа, щоб після множення на нього даного знаменника твір виразився одиницею з нулями.

У таких випадках можна говорити лише про наближеному зверненнізвичайних дробів у десяткові.

Як це робиться? Це робиться за допомогою розподілу чисельника звичайного дробу на знаменник, тобто в цьому випадку застосовують другий спосіб обігу звичайного дробу в десятковий. Отже, цей спосіб застосовується і за точному зверненні і при наближеному.

Якщо звичайний дріб звертається точно до десяткового, то від поділу виходить кінцевий десятковий дріб.

Якщо звичайний дріб не перетворюється на точну десяткову, то від поділу виходить нескінченний десятковий дріб.

Оскільки ми можемо виконати нескінченного процесу розподілу, ми повинні припинити розподіл на якомусь десятковому знаку, т. е. зробити наближене розподіл. Ми можемо, наприклад, припинити поділ першому десятковому знаку, т. е. обмежитися десятими частками; у разі потреби ми можемо зупинитися на другому десятковому знаку, отримавши соті частки, і т. д. У цих випадках кажуть, що ми округляємо нескінченний десятковий дріб. Округлення робиться з тією точністю, яка при вирішенні цього завдання необхідна.

§ 115. Поняття про періодичний дроб.

Нескінченний десятковий дріб, у якого одна або кілька цифр незмінно повторюються в одній і тій же послідовності, називається періодичним десятковим дробом. Наприклад:

0,33333333...; 1,12121212...; 3,234234234...

Сукупність цифр, що повторюються, називається періодомцього дробу. Період першого з написаних вище дробів є 3, період другого дробу 12, період третього дробу 234. Отже, період може складатися з кількох цифр - з однієї, з двох, з трьох і т. д. Перша сукупність цифр, що повторюються, називається першим періодом, друга сукупність - другим періодом тощо. буд., тобто.

Періодичні дроби бувають чисті та змішані. Періодична дріб називається чистою, якщо її період починається відразу після коми. Отже, написані вище періодичні дроби будуть чистими. Навпаки, періодичний дріб називається змішаним, якщо у нього між комою і першим періодом є одна або кілька цифр, що не повторюються, наприклад:

2,5333333...; 4,1232323232...; 0,2345345345345... 160

Для скорочення листа можна цифри періоду писати один раз у дужках і не ставити після дужок крапки, тобто замість 0,33 ... можна писати 0, (3); замість 2,515151... можна писати 2,(51); замість 0,2333... можна писати 0,2(3); замість 0,8333 можна писати 0,8 (3).

Читаються періодичні дроби так:

0,(3) - 0 цілих, 3 у періоді.

7,2(3) - 7 цілих, 2 до періоду, 3 у періоді.

5,00 (17) - 5 цілих, два нулі до періоду, 17 у періоді.

Як виникають періодичні дроби? Ми вже бачили, що при перетворенні звичайних дробів у десяткові може бути два випадки.

По-перше, знаменник звичайного нескоротного дробу не містить жодних інших множників, крім 2 і 5; у цьому випадку звичайний дріб перетворюється на кінцевий десятковий.

По-друге,знаменник звичайного нескоротного дробу містить у собі якісь прості множники, відмінні від 2 і 5; у цьому випадку звичайний дріб не перетворюється на кінцевий десятковий. У цьому останньому випадку при спробі звернути звичайний дріб у десятковий за допомогою поділу чисельника на знаменник виходить нескінченний дріб, який завжди буде періодичним.

Щоб у цьому переконатися, розглянемо якийсь приклад. Спробуємо звернути дріб - 18/7 в десятковий.

Ми, звичайно, заздалегідь знаємо, що дріб із таким знаменником не може звернутися до кінцевого десяткового, і ведемо мову лише про наближене поводження. Розділимо чисельник 18 на знаменник 7.

Ми отримали у приватному вісім десяткових знаків. Немає потреби продовжувати поділ далі, тому що воно все одно не скінчиться. Але звідси зрозуміло, що поділ можна продовжувати нескінченно довго і, таким чином, одержувати в приватному нові цифри. Ці нові цифри виникатимуть тому, що в нас постійно виходитимуть залишки; але ніякий залишок не може бути більшим за дільник, який у нас дорівнює 7.

Подивимося, які ми мали залишки: 4; 5; 1; 3; 2; б, тобто це були числа, менші 7. Очевидно, їх не може бути більше шести, і при подальшому продовженні поділу вони повинні будуть повторюватися, а за ними повторюватимуться і цифри приватного. Наведений вище приклад підтверджує цю думку: десяткові знаки у приватному йдуть у такому порядку: 571428, а після цього знову з'явилися цифри 57. Отже, у нас закінчився перший період і починається другий.

Таким чином, нескінченний десятковий дріб, що виходить при обігу звичайного дробу, завжди буде періодичним.

Якщо періодичний дріб зустрічається при вирішенні якогось завдання, то він береться з тією точністю, яка потрібна умовою завдання (до десятої, до сотої, до тисячної і т. д.).

§ 116. Спільні дії зі звичайними та десятковими дробами.

При вирішенні різних завдань ми зустрінемося з такими випадками, коли в завдання входять і звичайні, і десяткові дроби.

У цих випадках можна йти різними шляхами.

1. Звернути всі дроби до десяткових.Це зручно тому, що обчислення над десятковими дробами легше, ніж над звичайними. Наприклад,

Обернемо дроби 3/4 і 1 1/5 у десяткові:

2. Звернути всі дроби у прості.Так найчастіше надходять у тих випадках, коли зустрічаються звичайні дроби, які не звертаються до кінцевих десяткових.

Наприклад,

Обернемо десяткові дроби у звичайні:

3. Обчислення ведуть без обігу одних дробів до інших.

Це особливо зручно в тих випадках, коли в приклад входять лише множення та розподіл. Наприклад,

Перепишемо приклад так:

4. У деяких випадках перетворюють всі звичайні дроби на десяткові(навіть ті, які звертаються до періодичних) і знаходять наближений результат. Наприклад,

Обернемо 2/3 у десятковий дріб, обмежившись тисячними частками.