Тренування

З дробів з однаковими знаменниками більше за той. Порівняння дробів. Порівняння дробів з різними чисельниками та знаменниками

При розв'язанні рівнянь і нерівностей, а також задач з модулями потрібно розташувати знайдене коріння на числовій прямій.

Як ти знаєш, знайдене коріння може бути різним. Вони можуть бути такими: , а можуть бути такими: , .

Відповідно, якщо числа не раціональні а ірраціональні (якщо забув що це, шукай у темі), або є складними математичними виразами, то розташувати їх на числовій прямій вельми проблематично.

Тим більше, що калькуляторами на іспиті користуватися не можна, а наближений підрахунок не дає 100% гарантій, що одне число менше за інше (раптом різниця між порівнюваними числами?).

Звичайно, ти знаєш, що позитивні цифри завжди більше негативних, і якщо ми представимо числову вісь, то при порівнянні, найбільші числа будуть знаходитися правіше, ніж найменші: ; ; і т.д.

Але чи завжди так легко?

Де на числовій осі ми відзначимо, .

Як їх порівняти, наприклад, із числом? Ось у цьому-то і загвоздка...)

У цій статті ми знайдемо розглянемо всі способи порівняння чисел, щоби на іспиті для тебе це не було проблемою!

Для початку поговоримо загалом як і що порівнювати.

Важливо: перетворення бажано робити такими, щоб знак нерівності не змінювався!Тобто в ході перетворень небажано примножувати на негативне число, та не можназводити до квадрата, якщо одна з частин негативна.

Порівняння дробів

Отже, нам необхідно порівняти два дроби: і.

Є кілька варіантів, як це зробити.

Варіант 1. Привести дроби до спільного знаменника.

Запишемо у вигляді звичайного дробу:

- (Як ти бачиш, я також скоротила на чисельник та знаменник).

Тепер нам необхідно порівняти дроби:

Зараз ми можемо продовжити порівнювати також двома способами. Ми можемо:

просто привести все до спільного знаменника, представивши обидва дроби як неправильні (числитель більший за знаменник):
Яке число більше? Правильно те, у якого чисельник більше, тобто перше.
«відкинемо» (вважай, що ми з кожного дробу відняли одиницю, і співвідношення дробів один з одним, відповідно, не змінилося) і порівнюватимемо дроби:
Наводимо їх також до спільного знаменника:
Ми отримали абсолютно такий самий результат, як і в попередньому випадку - перше число більше, ніж друге:
Перевіримо також, чи правомірно ми відняли одиницю? Порахуємо різницю в чисельнику при першому розрахунку та другому:
1)
2)

Отже, ми розглянули, як порівнювати дроби, наводячи їх до спільного знаменника. Перейдемо до іншого методу - порівняння дробів, приводячи їх до загального... чисельника.

Варіант 2. Порівняння дробів за допомогою приведення до загального чисельника.

Так, так. Це не помилка. У школі рідко комусь розповідають цей метод, але дуже часто він дуже зручний. Щоб ти швидко зрозумів його суть, поставлю тобі лише одне запитання - «у яких випадках значення дробу найбільше?» Звичайно, ти скажеш "коли чисельник максимально великий, а знаменник максимально маленький".

Наприклад, ти ж точно скажеш, що вірно? Якщо нам треба порівняти такі дроби: ? Думаю, ти теж одночасно правильно поставиш символ, адже в першому випадку ділять на елементів, а в другому на цілих, отже, у другому випадку шматочки виходять дуже дрібні, і відповідно: . Як ти бачиш, знаменники тут різні, а от чисельники однакові. Однак для того, щоб порівняти ці два дроби, тобі не обов'язково шукати спільний знаменник. Хоча… знайди його і подивися, раптом знак порівняння все ж таки неправильний?

А знак той самий.

Повернемося до нашого початкового завдання – порівняти в. Порівнюватимемо в. Наведемо ці дроби не до спільного знаменника, а до спільного чисельника. Для цього просто чисельник та знаменникпершого дробу помножимо на. Отримаємо:

в. Який дріб більший? Правильно, перша.

Варіант 3. Порівняння дробів за допомогою віднімання.

Як порівнювати дроби за допомогою віднімання? Так, дуже просто. Ми з одного дробу віднімаємо інший. Якщо результат виходить позитивним, то перший дріб (зменшується) більший за другий (віднімається), а якщо негативним, то навпаки.

У нашому випадку спробуємо з другого відняти перший дріб: .

Як ти вже зрозумів, ми так само переводимо у звичайний дріб і отримуємо той же результат. Наш вираз набуває вигляду:

Далі нам все одно доведеться вдатися до приведення до спільного знаменника. Питання як: першим способом, перетворюючи дроби на неправильні, або другим, як би «прибираючи» одиницю? До речі, ця дія має цілком математичне обґрунтування. Дивись:

Мені більше подобається другий варіант, тому що перемноження в чисельнику при приведенні до спільного знаменника стає простіше.

Наводимо до спільного знаменника:

Тут головне не заплутатися, скільки і звідки ми забирали. Уважно подивитися хід рішення та випадково не переплутати знаки. Ми забирали від другого числа перше і отримали негативну відповідь, значить?.. Правильно, перше число більше за друге.

Розібрався? Спробуй порівняти дроби:

Стоп, стоп. Не поспішай приводити до спільного знаменника чи віднімати. Подивися: можна легко перевести в десятковий дріб. Скільки це буде? Правильно. Що зрештою більше?

Це ще один варіант – порівняння дробів шляхом приведення до десяткового дробу.

Варіант 4. Порівняння дробів за допомогою розподілу.

Так, так. І так також можна. Логіка проста: коли ми ділимо більше на менше, у відповіді у нас виходить число, більше одиниці, а якщо ми ділимо менше на більше, то відповідь припадає на проміжок від до.

Щоб запам'ятати це правило, візьми для порівняння будь-які два простих числа, наприклад, і. Ти знаєш, що більше? Тепер розділимо на. Наша відповідь - . Відповідно, теорія вірна. Якщо ми розділимо, що ми отримаємо - менше одиниці, що в свою чергу підтверджує, що насправді менше.

Спробуємо застосувати це правило на звичайних дробах. Порівняємо:

Розділимо перший дріб на другий:

Скоротимо на та на.

Отриманий результат менше, значить ділене менше дільника, тобто:

Ми розібрали усі можливі варіанти порівняння дробів. Як ти бачиш їх 5:

приведення до спільного знаменника;
приведення до загального чисельника;
приведення до виду десяткового дробу;
віднімання;
розподіл.

Готовий тренуватися? Порівняй дроби оптимальним способом:

Порівняємо відповіді:

(- Перекласти в десятковий дріб)
(Поділити один дріб на інший і скоротити на чисельник і знаменник)
(Виділити цілу частину і порівнювати дроби за принципом однакового чисельника)
(Поділити один дріб на інший і скоротити на чисельник і знаменник).

2. Порівняння ступенів

Тепер уявімо, що нам необхідно порівняти не просто числа, а вирази, де є ступінь ().

Звичайно, ти легко поставиш знак:

Адже якщо ми замінимо ступінь множенням, ми отримаємо:

З цього маленького та примітивного прикладу випливає правило:

Спробуй тепер порівняти таке: . Ти так само легко поставиш знак:

Тому що, якщо ми замінимо зведення ступінь на множення…

Загалом, ти все зрозумів і це зовсім нескладно.

Складнощі виникають лише тоді, коли при порівнянні у ступенів різні і основи, і показники. В цьому випадку необхідно спробувати привести до загальної основи. Наприклад:

Зрозуміло, ти знаєш, що це, відповідно, вираз набуває вигляду:

Розкриємо дужки і порівняємо те, що вийде:

Дещо особливий випадок, коли основа ступеня () менше одиниці.

Якщо, то з двох ступенів і більша та, показник якої менший.

Спробуємо довести це правило. Нехай.

Введемо деяке натуральне число, як різницю між і.

Логічно, чи не так?

А тепер ще раз звернемо увагу на умову -.

Відповідно: . Отже, .

Наприклад:

Як ти зрозумів, ми розглянули випадок, коли рівні рівнів. Тепер подивимося, коли основа знаходиться в проміжку від до, але рівні показники ступеня. Тут усе дуже просто.

Запам'ятаємо, як це порівнювати на прикладі:

Звичайно, ти швидко порахував:

Тому, коли тобі будуть траплятися схожі завдання для порівняння, тримай у голові якийсь простий аналогічний приклад, який ти можеш швидко прорахувати, і на основі цього прикладу проставляй знаки у складнішому.

Виконуючи перетворення, пам'ятай, що якщо ти домножуєш, складаєш, віднімаєш або ділиш, то всі дії необхідно робити і з лівої і з правою частиною (якщо ти множиш на, то множити необхідно і те, й інше).

Крім цього, бувають випадки, коли робити якісь маніпуляції просто невигідно. Наприклад, тобі треба порівняти. В даному випадку, не так складно звести в ступінь, і розставити знак, виходячи з цього:

Давай потренуємось. Порівняй ступеня:

Готовий порівнювати відповіді? Ось що в мене вийшло:

- те саме, що
- те саме, що
- те саме, що
- те саме, що

3. Порівняння чисел із коренем

Для початку пригадаємо, що таке коріння? Ось цей запис пам'ятаєш?

Коренем ступеня із дійсного числа називається таке число, для якого виконується рівність.

Коріннянепарною мірою існують для негативних і позитивних чисел, а коріння парного ступеня- Тільки для позитивних.

Значенням кореня часто є нескінченний десятковий дріб, що ускладнює його точне обчислення, тому важливо вміти порівнювати коріння.

Якщо ти призабув, що це таке і з чим його їдять? Якщо все пам'ятаєш – давай вчитися поетапно порівнювати коріння.

Допустимо, нам необхідно порівняти:

Щоб порівняти ці два корені, не потрібно робити жодних обчислень, просто проаналізуй саме поняття «корінь». Зрозумів, про що я говорю? Та ось про це: інакше можна записати як третій ступінь якогось числа, що дорівнює підкореному виразу.

А що більше? чи? Це ти, звичайно, порівняєш без жодних труднощів. Чим більше ми зводимо в ступінь, тим більше буде значення.

Отже. Виведемо правило.

Якщо показники ступеня коренів однакові (у разі це), необхідно порівнювати підкорені вирази (і) - що більше підкорене число, то більше значення кореня при рівних показниках.

Важко запам'ятати? Тоді просто тримай у голові приклад і. Що більше?

Показники ступеня коріння однакові, оскільки корінь квадратний. Підкорене вираз одного числа () більше за інше (), значить, правило дійсно вірне.

А що, якщо підкорені вирази однакові, а от ступеня коріння різні? Наприклад: .

Теж цілком зрозуміло, що з добуванні кореня більшою мірою вийде менше число. Візьмемо для прикладу:

Позначимо значення першого кореня як, а другого як, то:

Ти легко бачиш, що в цих рівняннях має бути більше, отже:

Якщо підкорені вирази однакові(У нашому випадку), а показники ступеня коріння різні(У нашому випадку це і), то необхідно порівнювати показники ступеня(і) - чим більше показник, тим менший цей вираз.

Спробуй порівняти наступне коріння:

Порівняємо отримані результати?

Із цим благополучно розібралися:). Виникає інше питання: а що, якщо у нас все різне? І ступінь, і підкорене вираз? Не все так складно нам потрібно всього-на-всього ... «позбутися» кореня. Так, так. Саме позбутися)

Якщо у нас різні і ступені та підкорені вирази, необхідно знайти найменше загальне кратне (читай розділ про ) для показників коренів і звести обидва вирази в ступінь, що дорівнює найменшому загальному кратному.

Що ми всі на словах та на словах. Наведемо приклад:

Дивимося показники коренів – в. Найменше загальне кратне у них - .
Зведемо обидва вирази в ступінь:
Перетворимо вираз і розкриємо дужки (докладніше у розділі):
Вважаємо, що в нас вийшло, і поставимо знак:

4. Порівняння логарифмів

Ось так, повільно, але вірно, ми підійшли до питання як порівнювати логарифми. Якщо ти не пам'ятаєш, що це за звір такий, раджу для початку прочитати теорію з розділу. Прочитав? Тоді дай відповідь на кілька важливих питань:

Що називається аргументом логарифму, а що його основою?
Від чого залежить, чи зростає функція чи зменшується?

Якщо все пам'ятаєш і добре засвоїв - приступаємо!

Для того, щоб порівнювати логарифми між собою, необхідно знати лише 3 прийоми:

приведення до однакової основи;
приведення до однакового аргументу;
порівняння із третім числом.

Спочатку зверніть увагу на підставу логарифму. Ти пам'ятаєш, що якщо вона менша, то функція зменшується, а якщо більше, то зростає. Саме на цьому будуть засновані наші судження.

Розглянемо порівняння логарифмів, які вже приведені до однакової основи або аргументу.

Для початку спростимо завдання: нехай у порівнюваних логарифмах рівні підстави. Тоді:

Функція, коли зростає на проміжку від, означає за визначенням, то («пряме порівняння»).
Приклад:- підстави однакові, відповідно порівнюємо аргументи: , отже:
Функція, при, зменшується на проміжку від, значить за визначенням, то («зворотне порівняння»). - підстави однакові, відповідно порівнюємо аргументи: , проте, знак у логарифмів буде «зворотний», оскільки функція зменшується: .

Тепер розглянемо випадки, коли основи різні, але однакові аргументи.

Підстава більша.
- . І тут використовуємо «зворотне порівняння». Наприклад: - аргументи однакові, в. Порівнюємо підстави: однак, знак у логарифмів буде «зворотний»:
Основа знаходиться в проміжку.
- . І тут використовуємо «пряме порівняння». Наприклад:
- . І тут використовуємо «зворотне порівняння». Наприклад:

Запишемо все у загальному табличному вигляді:

, при цьому	, при цьому

Відповідно, як ти вже зрозумів, при порівнянні логарифмів нам необхідно привести до однакової основи, або аргументу, До однакової основи ми приходимо, використовуючи формулу переходу від однієї основи до іншої.

Можна також порівнювати логарифми з третім числом і на підставі цього робити висновок, що менше, а що більше. Наприклад, подумай, як порівняти ці два логарифми?

Невелика підказка - для порівняння тобі дуже допоможе логарифм, аргумент якого дорівнюватиме.

Подумав? Давай вирішувати разом.

Ми легко порівняємо з тобою ці два логарифми:

Не знаєш, як? Дивись вище. Ми щойно це розбирали. Який знак там буде? Правильно:

Згоден?

Порівняємо між собою:

У тебе має вийти таке:

А тепер поєднай усі наші висновки в один. Вийшло?

5. Порівняння тригонометричних виразів.

Що таке синус, косинус, тангенс, котангенс? Для чого потрібне одиничне коло і як на ньому знайти значення тригонометричних функцій? Якщо ти не знаєш відповіді на ці запитання, дуже рекомендую тобі прочитати теорію на цю тему. А якщо знаєш, то порівняти тригонометричні вирази між собою для тебе не складає труднощів!

Трохи освіжимо пам'ять. Намалюємо одиничне тригонометричне коло і вписаний у неї трикутник. Впорався? Тепер відзнач, з якого боку у нас відкладається косинус, а з якого синус, використовуючи сторони трикутника. (Ти, звичайно пам'ятаєш, що синус, це ставлення протилежної сторони до гіпотенузи, а косинус прилеглої?). Намалював? Чудово! Останній штрих – простав, де в нас буде, де і так далі. Проставив? Фух) Порівнюємо, що вийшло у мене та в тебе.

Фух! А тепер приступаємо до порівняння!

Припустимо, нам необхідно порівняти в. Намалюй ці кути, використовуючи підказки у рамочках (де у нас зазначено, де), відкладаючи крапки на одиничному колі. Впорався? Ось що в мене вийшло.

Тепер опустимо перпендикуляр із точок, відмічених нами на колі на вісь… Яку? Яка вісь показує значення синусів? Правильно, . Ось що в тебе має вийти:

Дивлячись на цей малюнок, що більше: чи? Звичайно, адже точка знаходиться вище за точку.

Аналогічним чином ми порівнюємо значення косінусів. Тільки перпендикуляр ми опускаємо на вісь… Правильно. Відповідно, дивимося, яка точка знаходиться правіше (ну чи вище, як у випадку з синусами), то значення і більше.

Мабуть, ти вже здогадуєшся, як порівнювати тангенси, правда? Все, що потрібно, знати, що таке тангенс. Так що таке тангенс?) Правильно, ставлення синуса до косінус.

Щоб порівняти тангенси, ми так само малюємо кут, як і в попередньому випадку. Допустимо, нам необхідно порівняти:

Намалював? Тепер також відзначаємо значення синуса на координатній осі. Помітив? А тепер вкажи значення косинуса на координатній прямій. Вийшло? Давай порівняємо:

А тепер проаналізуй написане. – Ми великий відрізок ділимо на маленький. У відповіді буде значення, яке точно більше одиниці. Правильно?

А у ми маленький ділимо на великий. У відповіді буде число, яке точно менше одиниці.

То значення якого тригонометричного виразу більше?

Правильно:

Як ти тепер розумієш, порівняння котангенсів - те саме, тільки навпаки: ми дивимося, як ставляться один до одного відрізки, що визначають косинус і синус.

Спробуй самостійно порівняти такі тригонометричні вирази:

приклади.

Відповіді.

ПОРІВНЯННЯ ЧИСЕЛ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ.

Яке із чисел більше: чи? Відповідь очевидна. А тепер: чи? Вже не так очевидно, правда? А так: чи?

Часто потрібно знати, який із числових виразів більший. Наприклад, щоб при розв'язанні нерівності розставити крапки на осі у правильному порядку.

Зараз навчу тебе порівнювати такі цифри.

Якщо треба порівняти числа і між ними ставимо знак (походить від латинського слова Versus або скорочено vs. - Проти): . Цей знак замінює невідомий знак нерівності (). Далі будемо виконувати тотожні перетворення доти, доки стане ясно, який саме знак потрібно поставити між числами.

Суть порівняння чисел полягає в наступному: ми ставимося до знака так, ніби це якийсь знак нерівності. І з виразом ми можемо робити все те, що робимо зазвичай з нерівностями:

додати будь-яке число до обох частин (і відняти, звичайно, теж можемо)
«перенести все в один бік», тобто відняти з обох частин один із порівнюваних виразів. На місці віднімання виразу залишиться: .
домножувати чи ділити одне й те число. Якщо це число негативне, символ нерівності змінюється протилежний: .
зводити обидві частини в один і той самий ступінь. Якщо цей ступінь – парний, необхідно переконатися, що обидві частини мають однаковий знак; якщо обидві частини позитивні, при зведенні в ступінь знак не змінюється, і якщо негативні, тоді змінюється протилежний.
витягти корінь однакового ступеня з обох частин. Якщо витягаємо корінь парного ступеня, необхідно попередньо переконатися, що обидва вирази невід'ємні.
будь-які інші рівносильні перетворення.

Важливо: перетворення бажано робити такими, щоб знак нерівності не змінювався! Тобто в ході перетворень небажано примножувати на негативне число, і не можна зводити до квадрата, якщо одна з частин негативна.

Розберемо кілька типових ситуацій.

1. Зведення на ступінь.

приклад.

Що більше: чи?

Рішення.

Оскільки обидві частини нерівності позитивні, можемо звести в квадрат, щоб позбавитися кореня:

приклад.

Що більше: чи?

Рішення.

Тут теж можемо звести в квадрат, але це нам допоможе позбавитися тільки квадратного кореня. Тут треба зводити в такий ступінь, щоб обидва корені зникли. Отже, показник цього ступеня повинен ділитися і (ступінь першого кореня), і. Таким числом є, отже, зводимо в -ю ступінь:

2. Множення на сполучене.

приклад.

Що більше: чи?

Рішення.

Домножимо і розділимо кожну різницю на сполучену суму:

Очевидно, що знаменник у правій частині більший за знаменник у лівій. Тому правий дріб менше лівого:

3. Віднімання

Згадаймо, що.

приклад.

Що більше: чи?

Рішення.

Звичайно, ми могли б звести все в квадрат, перегрупувати і знову звести в квадрат. Але можна вчинити хитріше:

Видно, що у лівій частині кожне доданок менше кожного доданку, що у правій частині.

Відповідно, сума всіх доданків, що перебувають у лівій частині, менша від суми всіх доданків, що перебувають у правій частині.

Але будь уважним! У нас питали що більше...

Права частина більша.

приклад.

Порівняйте числа і.

Рішення.

Згадуємо формули тригонометрії:

Перевіримо, у яких чвертях на тригонометричному колі лежать точки і.

4. Розподіл.

Тут також використовуємо просте правило: .

При або, тобто.

При знак змінюється: .

приклад.

Виконай порівняння: .

Рішення.

5. Порівняйте числа з третім числом

Якщо і, то (закон транзитивності).

приклад.

Порівняйте.

Рішення.

Порівняємо числа не один з одним, а з числом.

Очевидно, що.

З іншого боку, .

приклад.

Що більше: чи?

Рішення.

Обидва числа більші, але менші. Підберемо таке число, щоб воно було більше одного, але менше за інше. Наприклад, . Перевіримо:

6. Що робити з логарифмами?

Нічого особливого. Як позбавлятися логарифмів, докладно описано в темі . Основні правила такі:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(при))\;a > 1)\\(x \wedge (a^b)\;(\rm(при))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\(x \wedge y\;(\rm(при))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Також можемо додати правило про логарифми з різними підставами та однаковим аргументом:

Пояснити його можна так: чим більше підстава, тим менший ступінь його доведеться звести, щоб отримати один і той же. Якщо ж підстава менша, то все навпаки, тому що відповідна функція монотонно спадає.

приклад.

Порівняйте числа: і.

Рішення.

Відповідно до вищеописаних правил:

А тепер формула для сучасних.

Правило порівняння логарифмів можна записати і коротше:

приклад.

Що більше: чи?

Рішення.

приклад.

Порівняйте, яке з чисел більше: .

Рішення.

ПОРІВНЯННЯ ЧИСЕЛ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

1. Зведення у ступінь

Якщо обидві частини нерівності позитивні, їх можна звести в квадрат, щоб позбавитися кореня

2. Множення на сполучене

Сполученим називається множник, що доповнює вираз до формули різниці квадратів: - Сполучене для і навпаки, т.к. .

3. Віднімання

4. Поділ

При або тобто

При змінюється:

5. Порівняння з третім числом

Якщо і, то

6. Порівняння логарифмів

Основні правила:

Логарифми з різними підставами та однаковим аргументом:

ЗАЛИШЕНІ 2/3 СТАТТІ ДОСТУПНІ ТІЛЬКИ УЧНЯМ YOUCLEVER!

Стати учнем YouClever,

Підготуватися до ОДЕ або ЄДІ з математики за ціною "чашка кави на місяць",

А також отримати безстроковий доступ до підручника "YouClever", Програми підготовки (решітника) "100gia", необмеженого пробного ЄДІ та ОДЕ, 6000 завдань з розбором рішень та до інших сервісів YouClever та 100gia.

Правила порівняння звичайних дробів залежать від виду дробу (правильний, неправильний, змішаний дріб) і від знаменників (однакові або різні) у порівнюваних дробів. Правило. Щоб порівняти два дроби з однаковими знаменниками, треба порівняти їх чисельники. Більший (менший) той дріб, у якого чисельник більший (менший). Наприклад, порівняти дроби:

Порівняння правильних, неправильних та змішаних дробів між собою.

Правило. Неправильний і змішаний дроб завжди більше будь-якого правильного дробу. Правильний дріб за визначенням менше 1, тому неправильний і змішаний дроб (що мають у своєму складі число, що дорівнює або більше 1) більше правильного дробу.

Правило. З двох змішаних дробів більший (менший) той, у якого ціла частина дробу більша (менша). При рівності цілих частин змішаних дробів більший (менший) той дріб, у якого більший (менший) дробова частина.

Наприклад, порівняти дроби:

Аналогічно порівнянню натуральних чисел на числовій осі великий дріб коштує правіше від меншого дробу.

Завдання уроку:

Навчальні:навчити порівнювати прості дроби різних видів, використовуючи різні прийоми;
Розвиваючі:розвиток основних прийомів мисленнєвої діяльності, узагальнення порівняння, виділення головного; розвиток пам'яті, мови.
Виховні:вчитися слухати один одного, виховання взаємовиручки, культури спілкування та поведінки.

Етапи уроку:

1. Організаційний.

Почнемо урок словами французького письменника А.Франса: “Вчитися можна весело….Щоб переварити знання, треба поглинати їх із апетитом”.

Підемо цій пораді, постараємося бути уважними, поглинатимемо знання з великим бажанням, т.к. вони стануть у нагоді нам надалі.

2. Актуалізація знань учнів.

1.)Фронтальна усна робота учнів.

Мета: повторити пройдений матеріал, потрібний щодо нового:

А) правильні та неправильні дроби;
Б) приведення дробів до нового знаменника;
В) знаходження найменшого спільного знаменника;

(Проводиться робота з файлами. Учні мають їх у наявності кожному уроці. На них пишуть відповіді фламастером, а потім непотрібна інформація стирається.)

Завдання для усної роботи.

1. Назвати зайвий дріб серед ланцюжка:

А) 5/6; 1/3; 7/10; 11/3; 4/7.
Б) 2/6; 6/18; 1/3; 4/5; 4/12.

2. Привести дроби до нового знаменника 30:

1/2; 2/3; 4/5; 5/6; 1/10.

Знайти найменший спільний знаменник дробів:

1/5 та 2/7; 3/4 та 1/6; 2/9 та 1/2.

2.) Ігрова ситуація.

Діти, наш знайомий клоун (учні познайомилися з ним на початку навчального року) попросили мене допомогти вирішити йому завдання. Але я вважаю, що ви, хлопці, можете без мене допомогти нашому другу. А завдання таке.

“Порівняти дроби:

а) 1/2 та 1/6;
б) 3/5 та 1/3;
в) 5/6 та 1/6;
г) 12/7 та 4/7;
д) 3 1/7 та 3 1/5;
е) 7 5/6 та 3 1/2;
ж) 1/10 та 1;
з) 10/3 та 1;
і) 7/7 та 1.”

Хлопці, щоб допомогти клоуну, чого ми маємо навчитися?

Мета уроку, завдання (учні формулюють самостійно).

Вчитель допомагає їм, запитуючи:

а) а які пари дробів ми зможемо вже порівняти?

б) який інструмент порівняння дробів нам необхідний?

3. Хлопці у групах (у постійних різнорівневих).

Кожній групі видається завдання та інструкція для його виконання.

Перша група : Порівняти змішані дроби:

а) 1 1/2 та 2 5/6;
б) 3 1/2 та 3 4/5

і вивести правило рівняння змішаних дробів з однаковими та з різними цілими частинами.

Інструкція: Порівняння змішаних дробів (використовується числовий промінь)

порівняйте цілі частини дробів і зробіть висновок;
порівняйте дробові частини (правило порівняння дробових частин не виводити);
складіть правило - алгоритм:

Друга група: Порівняти дроби з різними знаменниками та різними чисельниками. (використовувати числовий промінь)

а) 6/7 та 9/14;
б) 5/11 та 1/22

Інструкція

Порівняйте знаменники
Подумайте, чи не можна привести дробу до спільного знаменника
Правило почніть зі слів: “Щоб порівняти дроби з різними знаменниками, треба…”

Третя група: Порівняння дробів із одиницею.

а)2/3 та 1;
б) 8/7 та 1;
в) 10/10 та 1 і сформулювати правило.

Інструкція

Розгляньте всі випадки: (використовуйте числовий промінь)

а) Якщо чисельник дробу дорівнює знаменнику, ………;
б) Якщо чисельник дробу менший за знаменник,………;
в) Якщо чисельник дробу більший за знаменник,………. .

Сформулюйте правило.

Четверта група: Порівняйте дроби:

а) 5/8 та 3/8;
б) 1/7 та 4/7 та сформулюйте правило порівняння дробів з однаковим знаменником.

Інструкція

Використовуйте числовий промінь.

Порівняйте чисельники і зробіть висновок, починаючи словами: "З двох дробів з однаковими знаменниками ...".

П'ята група: Порівняйте дроби:

а) 1/6 та 1/3;
б) 4/9 і 4/3, використовуючи числовий промінь:

0__.__.__1/6__.__.__1/3__.__.4/9__.__.__.__.__.__.__.__.__.__1__.__.__.__.__.__4/3__.__

Сформулюйте правило порівняння дробів із однаковими чисельниками.

Інструкція

Порівняйте знаменники і зробіть висновок, починаючи зі слів:

“З двох дробів із однаковими чисельниками………..”.

Шоста група: Порівняйте дроби:

а) 4/3 та 5/6; б) 7/2 і 1/2, використовуючи числовий промінь

0__.__.__1/2__.__5/6__1__.__4/3__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__7/2__.__

Сформулюйте правило порівняння правильних та неправильних дробів.

Інструкції.

Подумайте, який дріб завжди більший, правильний чи неправильний.

4. Обговорення висновків, зроблених у групах.

Слово кожній групі. Формулювання правил учнів та порівняння їх із еталонами відповідних правил. Далі видаються роздруківки правила порівняння різних видів звичайних дробів кожному учню.

5. Повертаємося до завдання, поставленого на початку уроку. (Вирішуємо завдання клоуна разом).

6. Робота у зошитах. Використовуючи правила порівняння дробів, учні під керівництвом вчителя порівнюють дроби:

а) 8/13 та 8/25;
б) 11/42 та 3/42;
в) 7/5 та 1/5;
г) 18/21 та 7/3;
д) 2 1/2 та 3 1/5;
е) 5 1/2 та 5 4/3;

(можливе запрошення учня до дошки).

7. Учням пропонується виконати тест порівняно дробів на два варіанти.

1 варіант.

1) порівняти дроби: 1/8 та 1/12

а) 1/8> 1/12;
б) 1/8<1/12;
в) 1/8 = 1/12

2) Що більше: 5/13 чи 7/13?

а) 5/13;
б) 7/13;
в) рівні

3) Що менше: 23 або 4/6?

а) 2/3;
б) 4/6;
в) рівні

4) Який із дробів менше 1: 3/5; 17/9; 7/7?

а) 3/5;
б) 17/9;
в) 7/7

5) Який із дробів більше 1: ?; 7/8; 4/3?

а) 1/2;
б) 7/8;
в) 4/3

6) Порівняти дроби: 2 1/5 та 1 7/9

а) 2 1/5<1 7/9;
б) 2 1/5 = 1 7/9;
в) 2 1/5 >1 7/9

2 варіант.

1) порівняти дроби: 3/5 та 3/10

а) 3/5 > 3/10;
б) 3/5<3/10;
в) 3/5 = 3/10

2) Що більше: 10/12 чи 1/12?

а) рівні;
б) 10/12;
в) 1/12

3) Що менше: 3/5 чи 1/10?

а) 3/5;
б) 1/10;
в) рівні

4) Який із дробів менший за 1: 4/3;1/15;16/16?

а) 4/3;
б) 1/15;
в) 16/16

5) Який із дробів більший за 1: 2/5;9/8 ;11/12 ?

а) 2/5;
б) 9/8;
в) 11/12

6) Порівняти дроби: 3 1/4 та 3 2/3

а) 3 1/4 = 3 2/3;
б) 3 1/4 > 3 2/3;
в) 3 1/4< 3 2/3

Відповіді до тесту:

1 варіант: 1а, 2б, 3в, 4а, 5б, 6а

2 варіант: 2а, 2б, 3б, 4б, 5б, 6в

8. Ще раз повертаємось до мети уроку.

Перевіряємо правила порівняння та даємо диференційоване домашнє завдання:

1,2,3 групи - придумати на кожне правило порівняння по два приклади та вирішити їх.

4,5,6 групи - №83 а,б,в, №84 а,б,в (з підручника).

Два нерівні дроби підлягають подальшому порівнянню для з'ясування, який дріб більший, а який дріб менше. Для порівняння двох дробів існує правило порівняння дробів, яке ми сформулюємо нижче, а також розберемо приклади застосування цього правила при порівнянні дробів з однаковими та різними знаменниками. Насамкінець покажемо, як порівняти дроби з однаковими чисельниками, не приводячи їх до спільного знаменника, а також розглянемо, як порівняти звичайний дріб з натуральним числом.

Навігація на сторінці.

Порівняння дробів з однаковими знаменниками

Порівняння дробів з однаковими знаменникамипо суті є порівнянням кількості однакових часток. Наприклад, звичайна дріб 3/7 визначає 3 частки 1/7 , а дріб 8/7 відповідає 8 часткам 1/7 тому порівняння дробів з однаковими знаменниками 3/7 і 8/7 зводиться до порівняння чисел 3 і 8 , тобто , порівняно чисельників.

З цих міркувань випливає правило порівняння дробів з однаковими знаменниками: із двох дробів з однаковими знаменниками більше той дріб, чисельник якого більший, і менший той дріб, чисельник якого менший.

Озвучене правило пояснює, як порівняти дроби з однаковими знаменниками. Розглянемо приклад застосування правила порівняння дробів із однаковими знаменниками.

приклад.

Який дріб більший: 65/126 або 87/126?

Рішення.

Знаменники порівнюваних звичайних дробів рівні, а чисельник 87 дробу 87/126 більший за чисельник 65 дробу 65/126 (при необхідності дивіться порівняння натуральних чисел). Тому, згідно з правилом порівняння дробів з однаковими знаменниками, дріб 87/126 більший від дробу 65/126 .

Відповідь:

Порівняння дробів із різними знаменниками

Порівняння дробів із різними знаменникамиможна звести порівняння дробів з однаковими знаменниками. Для цього лише потрібно порівнювані прості дроби привести до спільного знаменника.

Отже, щоб порівняти два дроби з різними знаменниками, потрібно

привести дроби до спільного знаменника;
порівняти отримані дроби з однаковими знаменниками.

Розберемо рішення прикладу.

приклад.

Порівняйте дріб 5/12 із дробом 9/16 .

Рішення.

Спочатку наведемо ці дроби з різними знаменниками до спільного знаменника (дивіться правило і приклади приведення дробів до спільного знаменника). Як спільний знаменник візьмемо найменший загальний знаменник, рівний НОК (12, 16) = 48 . Тоді додатковим множником дробу 5/12 буде число 48:12=4, а додатковим множником дробу 9/16 буде число 48:16=3. Отримуємо і .

Порівнявши отримані дроби, маємо . Отже, дріб 5/12 менший, ніж дріб 9/16 . На цьому порівняння дробів із різними знаменниками завершено.

Відповідь:

Отримаємо ще один спосіб порівняння дробів з різними знаменниками, який дозволить виконувати порівняння дробів без їх приведення до спільного знаменника та всіх складнощів, пов'язаних із цим процесом.

Для порівняння дробів a/b і c/d їх можна привести до спільного знаменника b·d , рівному добутку знаменників порівнюваних дробів. У цьому випадку додатковими множниками дробів a/b та c/d є числа d і b відповідно, а вихідні дроби наводяться до дробів і із загальним знаменником bd. Згадавши правило порівняння дробів з однаковими знаменниками, укладаємо, що порівняння вихідних дробів a/b та c/d звелося до порівняння творів ad і cb.

Звідси випливає таке правило порівняння дробів із різними знаменниками: якщо a·d>b·c , то , а якщо a·d

Розглянемо порівняння дробів із різними знаменниками цим способом.

приклад.

Порівняйте прості дроби 5/18 і 23/86 .

Рішення.

У цьому прикладі a = 5, b = 18, c = 23 і d = 86. Обчислимо твори a d і b c . Маємо a·d=5·86=430 і b·c=18·23=414 . Так як 430> 414, то дріб 5/18 більше, ніж дріб 23/86.

Відповідь:

Порівняння дробів з однаковими чисельниками

Дроби з однаковими чисельниками та різними знаменниками, безперечно, можна порівнювати за допомогою правил, розібраних у попередньому пункті. Однак результат порівняння таких дробів легко отримати, порівнявши знаменники цих дробів.

Існує таке правило порівняння дробів з однаковими чисельниками: із двох дробів з однаковими чисельниками більший той, у якого менший знаменник, і менший той дріб, знаменник якого більший.

Розглянемо рішення прикладу.

приклад.

Порівняйте дроби 54/19 та 54/31 .

Рішення.

Так як чисельники порівнюваних дробів рівні, а знаменник 19 дробу 54/19 менше знаменника 31 дробу 54/31, то 54/19 більше 54/31.

У цьому уроці ми навчимося порівнювати дроби між собою. Це дуже корисна навичка, яка необхідна для вирішення цілого класу складніших завдань.

Для початку нагадаю визначення рівності дробів:

Дроби a/b і c/d називаються рівними, якщо ad = bc.

5/8 = 15/24, оскільки 5 · 24 = 8 · 15 = 120;
3/2 = 27/18, оскільки 3 · 18 = 2 · 27 = 54.

У решті випадків дроби є нерівними, і їм справедливо одне з таких тверджень:

Дроб а/b більший, ніж дріб c/d;
Дроби a / b менші, ніж дріб c / d .

Дроб a / b називається більшим, ніж дріб c / d , якщо a / b − c / d > 0.

Дроб x / y називається меншим, ніж дріб s /t , якщо x / y − s /t< 0.

Позначення:

Таким чином, порівняння дробів зводиться до їх віднімання. Питання: як не заплутатися з позначеннями «більше» (>) і «менше» (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

Частина галки, що розширюється, завжди спрямована до більшого числа;
Гострий ніс галки завжди вказує на меншу кількість.

Часто в завданнях, де потрібно порівняти числа, поміж ними ставлять знак «∨». Це - галка носом вниз, що ніби натякає: більше чисел поки не визначено.

Завдання. Порівняти числа:

Дотримуючись визначення, віднімемо дроби один з одного:

У кожному порівнянні нам потрібно було приводити дроби до спільного знаменника. Зокрема, використовуючи метод «хрест-навхрест» та пошук найменшого загального кратного. Я навмисно не акцентував увагу на цих моментах, але якщо щось незрозуміло, загляньте в урок «Складання та віднімання дробів» - він дуже легкий.

Порівняння десяткових дробів

У випадку з десятковими дробами все набагато простіше. Тут не треба нічого віднімати – досить просто порівняти розряди. Не зайвим буде згадати, що таке частина числа. Тим, хто забув, пропоную повторити урок «Множення та розподіл десяткових дробів» – це також займе буквально пару хвилин.

Позитивний десятковий дріб X більший за позитивний десятковий дроб Y , якщо в ньому знайдеться такий десятковий розряд, що:

Цифра, що стоїть у цьому розряді дробу X , більше відповідної цифри дробу Y ;

Усі розряди старші від даного у дробів X і Y збігаються.

12,25> 12,16. Перші два розряди збігаються (12 = 12), а третій – більше (2 > 1);
0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

Інакше кажучи, ми послідовно переглядаємо десяткові розряди і шукаємо різницю. При цьому більшій цифрі відповідає і великий дріб.

Однак це визначення вимагає пояснення. Наприклад, як записувати та порівнювати розряди до десяткової точки? Згадайте: до будь-якого числа, записаного в десятковій формі, можна приписувати ліворуч будь-яку кількість нулів. Ось ще пара прикладів:

0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (речь идет о старшем разряде).
2300,5> 0,0025, т.к. 0,0025 = 0000,0025 - приписали три нулі зліва. Тепер видно, що відмінність починається у першому ж розряді: 2 > 0.

Звичайно, в наведених прикладах з нулями був явний перебір, але сенс саме такий: заповнити розряди, що не вистачають, зліва, а потім порівняти.

Завдання. Порівняйте дроби:

0,029 ∨ 0,007;

14,045 ∨ 15,5;

0,00003 ∨ 0,0000099;

1700,1 ∨ 0,99501.

За визначенням маємо:

0,029> 0,007. Перші два розряди збігаються (00 = 00), далі починається відмінність (2> 0);
14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
0,00003> 0,0000099. Тут треба уважно рахувати нулі. Перші 5 розрядів в обох дробах нульові, але далі в першому дробі стоїть 3, а в другому - 0. Очевидно, 3 > 0;
1700,1> 0,99501. Перепишемо другий дріб у вигляді 0000,99501, додавши 3 нулі зліва. Тепер все очевидно: 1 > 0 – відмінність виявлено у першому ж розряді.

На жаль, наведена схема порівняння десяткових дробів не є універсальною. Цим методом можна порівнювати лише позитивні числа. У загальному випадку алгоритм роботи наступний:

Позитивний дріб завжди більший за негативний;
Два позитивні дроби порівнюються за наведеним вище алгоритмом;
Два негативні дроби порівнюються так само, але в кінці знак нерівності змінюється на протилежний.

Ну, як, неслабо? Зараз розглянемо конкретні приклади – і все стане зрозумілим.

Завдання. Порівняйте дроби:

0,0027 ∨ 0,0072;

−0,192 ∨ −0,39;

0,15 ∨ −11,3;

19,032 ∨ 0,0919295;

−750 ∨ −1,45.

0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
−0,192 > −0,39. Дроби негативні, 2 розряди різні. 1< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
0,15> -11,3. Позитивне число завжди більше від'ємного;
19,032> 0,091. Достатньо другий дріб переписати у вигляді 00,091, щоб побачити, що різниця виникає вже в 1 розряді;
−750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001,45. Відмінність – у першому ж розряді.