Продольный изгиб. Продольный изгиб прямого стержня Учебно -ознакомительная практика в КамчатГТУ

У стержней, длина которых значительно больше поперечных размеров, при определенной величине осевой сжимающей силы может происходить потеря устойчивости прямолинейной формы равновесия. Это явление наз ывают продольным изгибом, а величину осевой силы, при которой сжатый стержень теряет прямолинейную форму равновесия, - критической силой F кр. Ее можно определить по формуле Эйлера

где E - модуль продольной упругости для материалов стержня; I min - минимальный осевой момент инерции поперечного сечения стержня; l - длина стержня; l n - приведенная длина; - коэффициент приведения длины, величина которого зависит от закрепления концов стержня.

Формула Эйлера применима лишь в том случае, если потеря устойчивости стержня происходит при напряжениях, меньших предела пропорциональности, т.е. для стержней, гибкость которых больше предельной гибкости пред. Предельная гибкость зависит от упругих свойств материала и вычисляется по формуле

где пц - предел пропорциональности материала стержня.

Величина критической силы зависит не только от материала и размеров стержня, но и от способа закрепления его концов.

Теория механизмов и машин занимается приложением законов теоретической механики к механизмам и машинам.

Механизмом называется совокупность связанных между собой тел, имеющих определенные движения. Механизмы служат для передачи или преобразования движения.

Машина есть механизм или сочетание механизмов, осуществляющих определенные целесообразные движения. По выполняемым функциям машины можно разделить на следующие группы: для преобразования энергии (энергетические машины), перемещения грузов (транспортные машины), изменения формы, свойств, состояния и положения предмета труда (рабочие машины) или для сбора, переработки и использования информации (информационные машины).

Таким образом, всякая машина состоит из одного или нескольких механизмов, но не всякий механизм является машиной.

Работа механизма или машины обязательно сопровождается тем или иным движением ее органов. Это основной фактор, отличающий механизмы и машины от сооружений - мостов, зданий и т. д.

Простейшей частью механизма является звено. Звено - это одно тело или неизменяемое сочетание тел.

Два звена, соединенные между собой и допускающие относительное движение, называются кинематической парой. Кинематические пары бывают низшие и высшие. Звенья низших пар соприкасаются по поверхностям (поступательные, вращательные и винтовые пары), звенья высших пар соприкасаются по линиям и точкам (зубчатые пары, подшипники качения).

Совокупность кинематических пар называется кинематической цепью. Кинематические пары и цепи могут быть плоскими и пространственными. Звенья плоских механизмов совершают плоскопараллельное движение.

Механизм получается из кинематической цепи путем закрепления одного из звеньев. Это неподвижное звено называется станиной или стойкой.

Звено, вращающееся вокруг неподвижной оси, называется кривошипом. Звено, качающееся вокруг неподвижной оси, называется балансиром или коромыслом. Звено, совершающее сложное движение параллельно какой-то плоскости, называется шатуном. Звено, движущееся возвратно-поступательно по станине, называется ползуном. Подвижное звено, выполненное, например, в виде рейки с пазом и совершающее вращательное или иное движение, называется кулисой, в пазу скользит камень кулисы.

Звено, которому извне сообщается определенное движение, называется ведущим. Остальные подвижные звенья называются ведомыми.

Различные звенья и кинематические пары механизмов имеют свои условные обозначения по ГОСТу.

Законы и методы теоретической механики находят свое практическое приложение прежде всего в теории механизмов, так как механизмы являются кинематической основой всех машин, механических приборов и промышленных роботов.

Понятие об устойчивых и неустойчивых формах

Равновесия твердых тел. Устойчивость прямолинейной формы

Сжатых стержней

Для бруса (стержня), растянутого или сжатого силой F , мы пользовались условием

при котором предполагалось, что разрушение наступает в том случае, когда напряжения станут равными пределу прочности σ в для хрупкого материала или пределу текучести σ Т для пластичного материала. При этом длина стержня и форма его поперечного сечения во внимание не принимались.

Возьмем деревянный стержень с размерами поперечного сечения в виде прямоугольника и приложим к нему продольную сжимающую нагрузку. Постепенно увеличивая нагрузку, видим, что ось стержня сначала остается почти прямолинейной, а затем при некоторой нагрузке она внезапно искривляется и, наконец, наступает его разрушение. Заметим, что с изменением длины стержня изменяется и разрушающая нагрузка – чем длиннее стержень, тем при меньшей нагрузке он разрушается.

Кроме того, при сжатии длинных стержней изменение формы поперечного сечения при прочих равных условиях также вызывает изменение разрушающей нагрузки.

Следовательно, в различных элементах конструкций соотношение между длиной сжатого стержня и размерами его поперечного сечения должно быть подобрано таким образом, чтобы обеспечить надежную работу конструкции.

Известно, что равновесие твердых тел может быть устойчивым, неустойчивым и безразличным (рис. 12.1).

Аналогично этому равновесие упругих систем может быть устойчивым и неустойчивым.

Рассмотрим тонкий стержень, испытывающий сжатие с постепенно возрастающей нагрузкой F 1 ≤ F 2 ≤ F 3 .

Рис. 12.1. Виды равновесия твердых тел

При малой сжимающей силе F ось стержня остается прямолинейной. Если стержень отклонить незначительной горизонтальной силой, то после ее удаления, стержень снова возвратится в свое первоначальное положение. Такое упругое равновесие стержня называется устойчивым (рис. 12.2, а).

При большой величине сжимающей силы F 3 после незначительного отклонения стержня его ось искривляется и стержень не может возвратиться в первоначальное положение, он продолжает еще более искривляться под действием сжимающей силы. При этом имеем неустойчивую форму упругого равновесия стержня. Далее происходит потеря устойчивости (рис. 12.2, в). Такой случай изгиба называют продольным изгибом , т. е. изгибом, вызванным сжимающей силой, действующей вдоль оси стержня.

Рис. 12.2. Виды упругого равновесия тонкого стержня

Появление продольного изгиба опасно тем, что при нем происходит значительное нарастание деформаций при незначительном нарастании сжимающей нагрузки. Разрушения от продольного изгиба происходят внезапно, что чревато катастрофическими последствиями в технике и строительстве.

Между этими двумя состояниями равновесия существует переходное состояние, называемое критическим, при котором деформированное тело находится в безразличном равновесии. Оно может сохранять первоначальную прямолинейную форму, но может и потерять ее от самого незначительного воздействия (рис. 12.2, б).

Нагрузка, превышение которой вызывает потерю устойчивости первоначальной формы тела (стержня), называется критической и обозначается F кр .

Для обеспечения устойчивости в конструкциях и сооружениях допускаются нагрузки, которые значительно меньше критических, т. е. должно выполняться условие

где [F ] – допускаемая на стержень нагрузка;

n у – коэффициент запаса устойчивости, зависящий от материала, из

которого изготовлен стержень.

Обычно принимают:

Дерево – = 2,8...3,2;

Сталь – = 1,8...3,0;

Чугун – =5,0...5,5.

Таким образом, чтобы производить расчеты сжатых стержней на устойчивость, необходимо знать способы определения критических нагрузок F кр .

Продольный изгиб конструкции в целом. Редукция механизма разрушения. Определение пластического механизма разрушения при продольном изгибе является весьма трудоемкой задачей, которая решена лишь для некоторых отдельных случаев.
В связи с наличием начальных несовершенств в конструкции с самого начала нагружения появляются перемещения, которые оказывают влияние на ее напряженное состояние. При этом процесс пластификации существенно отличается от такого процесса, когда не учитывается деформированная схема, и в этом случае конструкция разрушается, при образовании механизма с меньшим числом шарниров.
Рассмотрим, например, раму, показанную на рис. 4.1, а. Принимаем, что нагрузка возрастает пропорционально одному параметру и пластическая несущая способность конструкции будет достигнута при силах, которые в раз больше приведенных на рисунке.
Если не учитывать влияние продольного изгиба, го на основе одного из методов пластического расчета можно определить механизм разрушения исследуемой рамы; в этом случае получим десять пластических шарниров (рис. 4.1, б). При значениях нагрузок, показанных на рис. 4.1, а, соответствующая несущая способность характеризуется коэффициентом безопасности Spl=2,15.
Однако продольный изгиб существенно изменяет работу рамы. Из расчетов Вуда, выполненных на дифференциальном анализаторе, следует, что для сечений, показанных на рис. 4.1, а (двутавровые профили с обозначениями английского стандарта на прокат), в первую очередь образуются пластические шарниры 1 и 2 (рис. 4.1, с) при коэффициенте безопасности S=1,8. Кроме того, появляются отдельные зоны текучести в середине первого, второго и четвертою ригелей. При возрастании нагрузки до значения, определяемого коэффициентом безопасности S=1,9, образуются новые пластические шарниры в сечениях 3 и 4 (рис. 4.1, с), и конструкция начнет течь в других зонах.

Поскольку при этой нагрузке в раме появляются весьма большие перемещения, значение SplVZ=1,9 можно принять за коэффициент безопасности для пластической несущей способности системы с учетом продольного изгиба.
В этом случае для разрушения рамы достаточно появления всего четырех пластических шарниров, т.е. на шесть меньше, чем по сравнению с классическим механизмом разрушения без учета продольного изгиба. Снижение несущей способности за счет продольного изгиба составляет 11,6%.
С редукцией механизма разрушения связано ограничение естественного перераспределения изгибающих моментов, которые выравниваются лишь частично.
Как отмечалось выше, продольный изгиб может существенно изменить работу системы. Однако наиболее распространенные стальные конструкции обычно имеют такие конструктивные решения, при которых влияние продольного изгиба может быть ослаблено, а иногда и вообще исключено.
Системы часто раскреплены жесткими элементами, какими, например, являются шахты лифтов, лестничные клетки и другие подобные конструкции.
Совместная работа легких стальных конструкций и жесткого, большей частью железобетонного, ядра очень часто используется в современных жилых, административных и других зданиях. Иногда конструкция пристраивается к другому объекту, который обеспечивает устойчивость пристройки. Жесткость конструкции увеличивают также перекрытия, покрытия и стены, которые совместно с несущими рамами составляют жесткую пространственную систему. В этом случае несущие рамы не работают отдельно, как это предполагается в статическом расчете, а как пространственный каркас совместно с другими элементами объекта.
Для схемы шарнирного опирания конструктивное решение шарнира существенно отличается от шарнира теоретического, который предполагает свободный поворот. При этом в действительности имеем упругое защемление, в некоторых случаях достаточно близкое к полному защемлению, в связи с чем жесткость конструкции увеличится, и распределение изгибающих моментов будет более благоприятным. При достаточной высоте стены сами несут собственный вес, облегчая ригели рам и загружая непосредственно колонны. Измерения на построенных зданиях показывают, что для ригелей рам, загруженных весом кирпичных стен, изгибающий момент составляет G1l/11 для одного ряда кирпича; G2l/27 - при высоте кладки 1,5 м; G3l/132 при высоте 4 м (где Gi - соответствующий вес кладки, l - пролет ригеля). Уменьшение изгибающих моментов в середине пролета уменьшает влияние продольного изгиба.

С учетом изложенного влияние продольного изгиба можно не учитывать и расчеты выполнять согласно рекомендациям данным далее для конструкций, которые присоединены к другим, достаточно жестким объектам (рис. 4.2, а); для конструкций с жестким ядром, выполненным из железобетона или стальных связей (рис. 4.2, с); для конструкций с жесткой системой колонн, кровли и стен, которые совместно с несущими рамами или дополнительными связями (жесткостями) образуют жесткую пространственную систему.
В остальных случаях необходимо рассматривать устойчивость с учетом деформированной схемы. Однако даже для самых распространенных схем этот метод допускает решения только для некоторых случаев; при этом требуется применение ЭВМ с большой памятью. Поэтому приводятся приближенные решения, которые помогут проектировщику получить достаточно точные результаты.
Формула Мерчанта - Ранкина. Предельную нагрузку конструкций, рассчитываемых за пределом упругости с учетом влияния продольного изгиба, приближенно можно определить по формуле

Формула (4.1) рекомендована Мерчантом, который теоретические решения продольного изгиба рам дополнил многочисленными сопоставленными испытаниями на моделях. На рис.4.3 показано сравнение расчетов по формуле (4.1) с экспериментальными данными Мерчанта. Почти все экспериментальные результаты находятся выше значений, вычисленных по формуле (4.1), так что формула является достаточно надежной.

Поскольку формула (4.1) аналогична формуле Ранкина для продольного изгиба стержней, ее называют формулой Мерчанта - Ранкина.
Наибольшая допустимая гибкость колонн. Установим значение характеристик сечении колонн рам, при которых влияние устойчивости можно не учитывать. В качестве характерного параметра примем гибкость колонн в плоскости рамы.
В металлостроительстве применяются самые разнообразные рамы, для расчета которых необходим различный подход. Учитывая современное состояние в области устойчивости неупругих рам, сделать это практически невозможно. Поэтому пока необходимо исключить подобный расчет для систем, поведение которых с учетом продольного изгиба еще не изучено, а в остальных случаях разработать рекомендации для расчета на основе рассмотрения отдельных характерных рам того или иного класса систем.
Для дальнейшего исследования в качестве характерной принимаем одноэтажную однопролетную раму, показанную на рис. 4.4, а. Эта схема дает некоторый запас надежности, так как рассмотрение одного или нескольких пролетов с учетом малой вероятности одновременного совпадения самых неблагоприятных факторов, вообще говоря, увеличивает устойчивость конструкции. Следующей предпосылкой в запас надежности является то, что будем рассматривать рамы, колонны которых имеют шарнирное опирание, в то время как заделка, даже частичная, значительно увеличивает общую жесткость конструкции. Далее будем предполагать, что рама загружена двумя силами P, действующими на ригель симметрично по отношению к оси симметрии рамы.
Если бы система не была подвержена продольному изгибу, то она разрушилась бы в результате образования механизма с двумя шарнирами (рис. 4.4, b).

Боковое отклонение рамы изменяет ее напряженное состояние. Например, при отклонении вправо нагрузка на узел В уменьшается, и пластический шарнир в нем не возникнет, и наоборот, узел С будет при этом перегружен, и поворот в соответствующем пластическом шарнире увеличится.
Пластический шарнир в сечении С представим в виде обычного шарнира, что также приведет к запасу надежности. После этого перенесем силы P в узлы В и C, что несколько уменьшает надежность, однако вполне компенсируется указанными выше предпосылками.
С учетом сделанных допущений рассмотрим продольный изгиб трехшарнирной рамы (рис. 4.4, с), загруженной двумя силами P в узлах В и С. Решение можно представить в следующем виде:


Для исследуемой рамы зависимость (4.2) показана на рис. 4.5 для значений Isl/Ipb=0,5 и 2,5. Для промежуточных значений разрешается линейная интерполяция. В запас надежности эти кривые можно заменить линейной зависимостью следующего вида:

Прямая, соответствующая формуле (4.3), на рис. 4.5 дана штриховой линией. Поскольку λх=l/ix, влияние продольного изгиба при пластическом проектировании можно не учитывать, если выполняется условие

Очевидно, что эту формулу можно применять только для N≤Npl, так как при N→0,5/Npl требуемое значение радиуса инерции чрезмерно возрастает.
Формулы (4.3) и (4.4) можно принять в качестве основы для расчета всех одноэтажных, а с учетом предпосылок в запас надежности - также двухэтажных рам. Эти формулы включены в ряд зарубежных норм по расчету стальных конструкций за пределом упругости и их можно использовать, пока не будут получены более точные результаты расчета рам на продольный изгиб. Необходимо отметить, что требование ЧСН 73 1401/1976 о том, чтобы при пластическом проектировании предельная гибкость сжатых и сжато изгибаемых стержней равнялась λ≤120√210/R, относится только к одиночным стержням и не распространяется на устойчивость систем в целом. Если при проектировании конструкций не учитывать устойчивость, то необходимо ограничить гибкость колонн согласно формуле (4.3).

Продольный изгиб отдельного стержня. Неполный пластический шарнир. Рассмотрим продольный изгиб стержня, нагруженного продольной силой N и моментами на концах M1 и M2 (рис. 4.6, а); при этом М1≥M2. Принимаем, что направления действия моментов на рисунке положительны.
Предположим вначале, что М1=M2=М. В этом случае имеем внецентренное сжатие стержня с постоянными эксцентриситетами е=M/N на концах (рис. 4.6,b).
Исследуем изгиб стержня в плоскости симметрии сечения. Наибольший изгибающий момент возникает в середине длины стержня. При некотором значении продольной силы в крайних вогнутых волокнах срединного сечения появляется текучесть материала. При увеличении нагрузки область текучести распространяется по длине стержня и в глубину сечения; затем появляется другая область текучести с выпуклой стороны стержня. Обычно при разрушении внецентренно сжатого стержня появляется неполный шарнир пластичности в отличие от полного пластического шарнира при изгибе.

Вид неполного шарнира (рис. 4.7) определяется размерами стержня и долей изгибающего момента в его напряженном состоянии. Стержни большой и средней гибкости с малыми эксцентриситетами разрушаются, как показано на рис. 4.7, а, когда область появления пластических деформаций возникает только с вогнутой стороны стержня. Для стержней большой гибкости с большими эксцентриситетами односторонние пластические области распространены по всей длине стержня (рис. 4.7, b). Неполный пластический шарнир для стержня меньшей гибкости и с меньшим эксцентриситетом показан на рис. 4.7, с, при этом пластические области находятся в средней части стержня с выпуклой и вогнутой сторон. Несущая способность стержней при продольном изгибе средней и малой гибкости при большом эксцентриситете будет достигнута в том случае когда область течения материала с вогнутой стороны распространится на всю длину стержня, в то время как с выпуклой стороны она будет ограничена только в его средней части (рис. 4.7, a). Наконец, стержни малой гибкости с большими эксцентриситетами разрушаются, когда пластические области с выпуклой и вогнутой сторон распространяются на всю длину стержня (рис. 4.7, е).
На основе изложенного выше можно отметить следующие закономерности. С увеличением гибкости стержня неупругие области при его разрушении сосредотачиваются в середине длины. С увеличением эксцентриситета области текучести материала появляются не только с вогнутой, но также и с выпуклой стороны стержня. Этот результат понятен, так как с возрастанием гибкости стержня увеличивается влияние изгиба от продольной силы N, что приводит к большой неравномерности распределения изгибающего момента от перемещений. С возрастанием эксцентриситета нагрузки увеличивается влияние начального изгибающего момента M на напряженное состояние стержня, который по своей работе приближается к работе изгибаемой балки с одинаково напряженными волокнами с вогнутой и выпуклой сторон. Полный пластический шарнир может возникнуть только у стержней, имеющих небольшие гибкости, когда влияние продольного изгиба несущественно.
Рассмотрим теперь изгиб сжатого стержня с неодинаковыми концевыми моментами M1 и M2, эквивалентного по схеме внецентренно сжатому стержню с разными эксцентриситетами e1 и e2 на концах (рис. 4.6, с). В этом случае изогнутая ось стержня несимметрична, тем больше, чем больше отношение моментов M2/M1 отличается от + 1,0.
При M1=-M2 стержень изгибается в виде двух антисимметричных полуволн. При такой форме изогнутой оси наиболее напряженное сечение смещается в направлении к большему концевому моменту, вплоть до крайнего сечения стержня. Положение наиболее напряженного сечения является функцией сжимающей силы N. При достаточно малом ее значении угол φ≤ψ, и наиболее напряженным является сечение на конце стержня. В этом случае изгибающий момент М1 при деформации стержня не увеличивается, влияние продольного изгиба не проявляется и стержень разрушится, когда в этом сечении появится полный пластический шарнир.

При других соотношениях концевых моментов М1 и M2 при разрушении стержня появится неполный пластический шарнир и в этом случае при расчете стержня решающим является продольный изгиб. С уменьшением отношения m=M2/M1 несущая способность стержня при продольном изгибе увеличивается.
Плоский продольный изгиб идеального стержня. Идеальным называется стержень без каких бы то ни было начальных несовершенств, из однородного материала без собственных (остаточных) напряжений, абсолютно прямой, с силой, действующей строго по центру тяжести сечения стержня.
Рассмотрим шарнирно закрепленный на концах идеальный стержень, нагруженный продольной силой N и концевыми моментами М1 и M2. Задача заключается в том, чтобы при известных длине и сечении стержня, а также значении продольной силы определить, какие концевые моменты M1 и M2 (с их отношением m=M2/M1) вызывают исчерпание несущей способности при продольном изгибе.
Существует ряд решений этой задачи. Одно из них приведено в работе и основано на следующих предпосылках:
1) изолированный стержень, нагруженный продольной силой и концевыми моментами и изгибается в плоскости действия моментов, которая совпадает с плоскостью симметрии сечения стержня; пространственный продольный изгиб при этом исключается;
2) стержень изготовлен из американской стали А7, соответствующей нашим сталям класса 37, и ее диаграмма работы может быть представлена упрощенно в виде диаграммы Прандтля;
3) стержень имеет постоянное сечение;
4) в начальном состоянии стержень является совершенно прямым;
5) в сечении имеются собственные напряжения, показанные на рис. 4.8 (это является отступлением от принятого определения идеального стержня);
6) поперечные сечения остаются плоскими и после изгиба стержня; перемещения стержня малы.
Авторы работы выполнили численными методами исследования для американского широкополочного двутаврового сечения 8WF31, которое было принято из-за низкого коэффициента формы сечения f=Z/W=1,1. Необходимо отметить, что для обычных сечений при f≥1,1 полученные результаты имеют некоторый запас надежности. Процесс последовательных аппроксимаций при решении задачи был весьма трудоемким и длительным.

Рис. 4.9 показывает, при каких значениях момента М1, продольной силы N, гибкости λх и отношения m=M2/M1 происходит разрушение стержня. При заданных величинах N/Npl и λx значение M1/Mpl существенно увеличивается при уменьшении m. Чем меньше отношение m, тем больше несущая способность стержня, при продольном изгибе. При m=-1, т.е. когда на концах стержня действуют равные моменты одного и того же знака, при N≤0,6 Npl и λx≤120 продольный изгиб практически можно не учитывать.
Пространственный продольный изгиб идеального стержня. Исследование несущей способности стержня при пространственном продольном изгибе является во много раз более трудной задачей, чем при плоском продольном изгибе. Точное решение задачи весьма трудоемко и длительно, в связи с чем в практических расчетах используются более простые приближенные формулы, учитывающие совместное влияние различных факторов. При этом, однако, рассматривается несущая способность стержня при продольном изгибе и учитываются только критические напряжения, при которых происходит потеря устойчивости стержня из плоскости действия моментов при изгибно-крутильных деформациях. Поэтому действительный пластический резерв несущей способности стержня при таком подходе не может быть реализован.
Для упругого идеального стержня открытого сечения, сжатого продольной силом N и нагруженного постоянным изгибающим моментом M, действующим в плоскости, перпендикулярной оси поперечного сечения классическая приближенная формула при совместном их действии имеет следующий вид:

Формула (4.5) удовлетворяет граничным случаям, поскольку для центрально сжатого и изгибаемого стержня выполняются отношения

В классическом виде (4.5) эта формула взаимодействия не учитывает влияние изгиба на критические напряжения. В действительности стержень изгибается с самого начала нагружения моментом M в плоскости его действия, причем изгиб еще больше увеличивается в результате действия сжимающей силы N.
В связи с этим в формуле взаимодействия (4.5) необходимо уточнить значение изгибающего момента

Выше рассматривались стержни, нагруженные продольной сжимающей силой N и постоянным изгибающим моментом М. Рассмотрим теперь стержень, на который кроме продольной силы N действуют разные концевые моменты M1 и М2 (M1 - больший из них). В этом случае расчет может быть приведен к основной задаче продольного изгиба стержня с постоянным моментом путем введения эквивалентного изгибающего момента M*. Значение M* определяется из условия, что критическое напряжение стержня, загруженного продольной силой N и разными моментами М1 и M2, равно критическому напряжению того же стержня, на который действует сила N и постоянный эквивалентный момент М*.
Вопросом определения М* занимался ряд исследователей. Наиболее распространенной является формула Maccoно

Исследуем теперь продольный изгиб рассмотренного стержня в неупругом состоянии. В этом случае часто применяют приближенную формулу, аналогичную формуле (4.7), причем вместо Ncr и Mcr подставляют критическую силу Npl,cr и момент Mpl,cr неупругого стержня. Обоснованием для такого подхода являются экспериментальные исследования, основные результаты которых приведены далее.
Определение критических значений Ncr и Mcr является классической задачей устойчивости, которая хорошо изложена в специальной литературе. В неупругой стадии часто используют подход Энгессера - Шенли, который предполагает возрастание нагрузки во время потери устойчивости, в связи с чем не учитывается разгрузка. Формулы для критических парам даются в справочниках, в частности, где приведены формулы для критических сил и моментов в зависимости от вида нагрузки на стержень и закрепления его концов, а также многочисленные таблицы и графики, которые облегчают расчет.
Формулу взаимодействия (4.7), в которой Ncr=Npl,cr и Mcr=Mpl,cr, можно преобразовать таким образом, чтобы она позволяла сразу вычислять допустимые концевые моменты M1 и M2=mM1. Если подставить M* из формул (4.9) или (4.10) в формулу (С7) и выразить пластический критический момент в виде Mpl,cr=kMpl, после преобразований получим

Выше был рассмотрен пространственный продольный изгиб тонкостенных стержней с открытым контуром сечения. Стержни с замкнутым профилем или достаточно жестким недеформируемым сечением имеют существенно большую жесткость при кручении. Поэтому для обычных сечений в этих случаях пространственный продольный изгиб можно не учитывать и выполнять проверку устойчивости только в плоскости наименьшей жесткости стержня. Исключение составляют высокие замкнутые сечения при h≥10b (h - высота, b - ширина поперечного сечения), которые сравнительно редко применяются в стальных конструкциях.
Экспериментальная проверка формул для идеальных стержней. Приближенное теоретическое решение рассматриваемой задачи приведено ранее. Сравним получаемые результаты с данными экспериментальных исследований внецентренно сжатых стержней.
Рассмотрим вначале случай плоского продольного изгиба. На рис. 4.10 дано сравнение теоретических решений с результатами испытаний Maccoнэ, Фишера и Винтера показанными на рисунке крестиками и кружками. При этом учитывался действительный предел текучести. Испытывались стержни, нагруженные в плоскости наименьшей жесткости, которые фактически разрушались в результате плоского продольного изгиба; схема стержня и сечения приведены на рис. 4.10. Как видно из рисунка, теоретические результаты довольно близки к экспериментальным, последние в большинстве случаев немного превышают теоретические. Это и понятно, так как значения коэффициентов формы сечения испытываемых стержней были большими, чем принятые в теоретических решениях f=(1,17-1,25)/1,1, а фактические собственные напряжения оказались меньше принятых авторами, т.е. σ"0=0,23σfl≤0,3σfl.

В США испытывались стержни из широкополочных двутавров, нагруженные, как показано на рис. 4.11, а, и закрепленные таким образом, чтобы исключить пространственный изгиб. Результаты испытаний сравнивались с теоретическими кривыми Галамбоша и Кеттер. Сравнение показывает в целом хорошую сходимость (рис. 4.11 , b-d), за исключением стержня Т13, для которого экспериментальный результат получился выше. Это различие можно объяснить малой гибкостью стержня, незначительным влиянием продольной силы N на общую напряженность стержня и, по-видимому, работой материала в зоне самоупрочнения.
В случае пространственного продольного изгиба необходимо проверить приближенные формулы (4.12) или (4.14). Приведем результаты испытаний Хилла, Гартмана и Кларка, которые испытали большое число стержней из легких сплавов двутаврового и H-образного сечений, а также стержней с сечением из круглых труб при плоском продольном изгибе. Сравнение экспериментальных данных с результатами, полученными по формуле взаимодействия (4:5), показано на рис. 4.12,а дли плоского продольного изгиба зачерненными кружками; для пространственного продольного изгиба белыми кружками. Как видно из рис. 4.12, я,безопасность расчетов по формуле (4.5) не обеспечивается. Что касается результатов, полученных по формуле (4.7), то они значительно лучше соответствуют экспериментальным данным, в особенности для пространственного продольного изгиба. Некоторые точки в этом случае лежат ниже теоретической прямой, что можно объяснить влиянием начальных отклонений, которые приближенные формулы для идеального стержня не учитывают. Безопасность расчетов можно получить только при расчете реального стержня, имеющего неизбежные начальные несовершенства.


Продольный изгиб реального стержня. Если в теоретических расчетах не учитывать начальные отклонения, то фактическая работа стержня при продольном изгибе искажается. Поэтому необходимо рассмотреть реальный стержень, которым имеет случайные отклонения от принимаемых идеальных предпосылок.
Рассмотрим вновь пространственный продольный изгиб стержня, нагруженного продольной силой N и концевыми моментами M1 и M2. Полученные ранее конечные формулы являются достаточно универсальными; так, например, формулу для плоского продольного изгиба можно рассматривать как частный случай общей формулы.
Таким образом, и здесь можно применить формулы взаимодействия, аналогичные полученным ранее. Однако в них требуется заменить критические нагрузки Npl,cr и Mpl,cr для идеального стержня предельными величинами, которые соответствуют реальному стержню со случайными отклонениями.
Если не учитывать влияние начальной погиби в плоскости внешних моментов, то формулу взаимодействия для расчета можно записать в виде

Дальнейший анализ будет сделан применительно к формуле (4.16). Если обозначить λх,fl=√π2E/σfl, N- Npl/c и M=Mpl/c0 (где с и сО -соответственно коэффициенты, учитывающие продольный изгиб и устойчивость при изгибе для упругого расчета), то формулу (4.16) можно записать в виде

В ЧСН 73 1401/1976 установлено, что сжатоизгибаемые стержни должны иметь гибкость не более 120√210/R=120√240/σfl (R или σfl в Н/мм2).
В одном из предложений при пересмотре норм проектирования для расчета сжатоизгибаемых стержней была рекомендована формула


Однако в нормах ЧСН 73 1401/1976 для расчета сжатоизгибаемых стержней приведена более простая формула

которая получена путем преобразования формулы (4.17). Здесь М - эквивалентный изгибающий момент M*, определяемый по формулам табл. 4.2. Нормы разрешают применять эту таблицу для стержней, у которых нагрузка (сила и момент) приложена между опорами стержня. Место приложения нагрузки в этом случае разделяет стержень на две части, для которых эквивалентный момент можно принимать как для стержня незакрепленной рамы.
Приведенные формулы справедливы для случая продольного изгиба, когда момент действует в плоскости, перпендикулярной главной оси Х (М=Мх) . Нормы не устанавливают, как поступать в случае, если стержень нагружен продольной силой N и моментами в двух главных плоскостях Mх и Mу. Предполагаем, что формулы (4.17) или (4.19) можно распространить и на этот случай:

Способность к повороту в пластических шарнирах на концах стержней. Рассмотрим вопрос, обладают ли концевые сечения стержня, нагруженного продольным изгибом, такой способностью к деформациям, чтобы при поворотах, возникающих в них пластических шарниров, мог образоваться полный механизм разрушения. Для ответа на этот вопрос следует проанализировать результаты экспериментальных исследований стальных рам и стержней на продольный изгиб.
Испытания для случая плоского продольного изгиба были проведены в CШA на стержнях, нагруженных сжимающей силой N и изгибающим моментом M1 на одном конце; при этом были приняты меры против появления пространственного изгиба. Результаты измерений показали, что поворот υ в пластическом шарнире на конце стержня в 4 раза превышал теоретический упругий поворот υel, отвечающий несущей способности. Характерная кривая M1/ Mpl=pel(υ/υel) приведена на рис. 4.13. Она соответствует стержню двутаврового сечения гибкости λх=55, нагруженному сжимающей силой N=0,325 Npl и моментом M1 на конце стержня, на котором образовался пластический шарнир. В других испытаниях наблюдались аналогичные зависимости.
Эксперименты также показали, что способность к повороту в пластическом шарнире увеличивается с уменьшением гибкости λx и увеличением силы N, т.е. при уменьшении влияния продольного изгиба.
Из этих исследований следует вывод, что при плоском продольном изгибе способность к повороту в пластических шарнирах в сечениях на концах стержня достаточна, чтобы в системе мог образоваться полный механизм разрушения.

При рассмотрении пространственного продольного изгиба необходимо в первую очередь ознакомиться с исследованиями, проведенными в Лехайском университете США. Были испытаны стержни двутавровых сечений 8 WF 31 и 4 WF 13 (широкополочные профили) с гибкостями от 27 до 111, нагруженные, в основном сжимающей силой N=0,12 Npl и различными комбинациями концевых моментов M1 и M2, стержни не были раскреплены против возникновения пространственного изгиба. Во многих испытаниях углы поворота в пластических шарнирах на концах были всего в 2 раза больше упругих углов поворота υel (в то время как при плоском продольном изгибе - в 4 раза). Большая способность к поворотам была выявлена в стержнях с неодинаковыми концевыми моментами. Вместе с тем исследования показали опасность ограниченных поворотов в пластических шарнирах на концах стержней при пространственном продольном изгибе.
В связи с этим в рассматриваемом случае необходимо заранее проверить, не появляются ли пластические шарниры на концах стержня при продольном изгибе последними в кинематическом механизме разрушения. Если это то даже недостаточная способность к повороту в последнем пластическом шарнире не препятствует возникновению такого механизма, поскольку именно этим шарниром завершается его образование. В противном случае пространственный продольный изгиб может ограничивать поворот в шарнирах и тем самым препятствовать появлению следующих пластических шарниров, которые должны завершить образование механизма разрушения. В этом случае для большей осторожности вместо учета возможности пространственного продольного изгиба лучше воспользоваться рекомендациями для неупругих стержней.

Исследование причин разрушения различных сооружений показало, что для надёжной работы конструкции под нагрузкой недостаточно сделать её элементы прочными, необходимо ещё обеспечить сохранение первоначальной формы равновесия как элементов, так и всей конструкции в целом.

Равновесие может быть:

· Устойчивое

· Безразличное

· Неустойчивое

Равновесие называется устойчивым , если при малом отклонении от положения равновесия система возвращается в первоначальное положение.

Рис.1.1. «Устойчивое равновесие»

Равновесие называется неустойчивым , если система не возвращается в исходное положение после устранения причин, вызвавших отклонение, а отклоняется от него ещё больше.

Рис.1.2. «Неустойчивое равновесие»

Равновесие называется безразличным , если новое положение системы после отклонения от исходного остаётся положением равновесия и после удаления внешнего воздействия.

Рис.1.3. «Безразличное равновесие»

Характер равновесия упругих тел существенно зависит от величины действующих на них сил, например , форма равновесия длинного прямого стержня, подвергнутого осевому сжатию, устойчива только до определенного значения сжимающей силы.

Если такой стержень при малых значениях силы P несколько отклонить от исходного положения, то при устранении причин, вызвавших это отклонение, он снова примет первоначальную прямолинейную форму.

Рис.2. «Осевое сжатие»

При возрастании силы P стержень всё медленнее будет возвращаться к своей первоначальной прямолинейной форме, и наконец, при некотором значении силы P , называемом критическим, стержень не распрямится, а сохранит ту форму, которую ему придали. Таким образом, при значении силы P , равном критическому, стержень будет находиться в условиях безразличного равновесия. Если сила P превысит критическое значение, то форма равновесия станет неустойчивой.

Изгиб стержня продольной силой называется продольным изгибом . В практических расчётах на устойчивость критическую нагрузку считают разрушающей, а допускаемую нагрузку определяют, как часть критической.

где n – коэффициент запаса устойчивости, величина которого принимается примерно равной запасу прочности.

Определение критической силы.

Впервые проблема устойчивости сжатых стержней была поставлена Леонардом Эйлером. Эйлер вывел расчётную формулу для критической силы и показал, что её величина существенно зависит от способа закрепления стержня. Идея метода Эйлера, при различных способах закрепления концов заключается в установлении условий, при которых кроме прямолинейной возможна и смежная криволинейная форма равновесия стержня при постоянной нагрузке. Критическая сила Эйлера определяется по формуле:

Величина l 0 называется приведённой длиной стержня , μ – коэффициент приведения длины, который зависит от вида опорных закреплений стержня.

Рис.3. «Зависимость коэффициента приведения длины от вида опорных закреплений стержня»

Критические силы, соответствующие потерям устойчивости стержня, определяются в двух главных плоскостях по формулам:

Напряжённо-деформированное состояние сжатых стержней при продольном изгибе (колонн) и характер их разрушения зависят от материала стержня, от размеров и формы поперечного сечения, от длины стержня, от способов закрепления концов и т.д.

Критические напряжения определяются по формуле:

где λ – гибкость стержня; i – радиус инерции поперечного сечения.

Так как размеры сечения часто не одинаковы относительно осей, соответственно могут отличаться радиусы инерции сечения относительно их осей, и как следствие, будут отличаться гибкости, соответственно гибкости должны определяться для каждой оси в отдельности:

Продольный изгиб сжатых стержней будет происходить относительно оси, по отношению к которой гибкость стержня больше.

Значения предельной гибкости приводятся в нормах и зависят от характера нагрузки (статическая или динамическая), от конструкции и её материала.

Формулы Эйлера для критической силы и критических напряжений, для стержней из стали с пределом пропорциональности 200–220 МПа, можно использовать при гибкости Лямбда ≥ 100. При значениях гибкости в пределах 60–100 можно использовать формулу Тетмайера–Ясинского:

где для малоуглеродистой стали a = 310МПа,b = 1,14МПа. Также можно использовать квадратичную зависимость:

где σ т – предел текучести стали; σ пц – предел пропорциональности стали.

При гибкости стержня менее 60 можно принять критические напряжения равными пределу текучести.

Условие устойчивости сжатого стержня имеет вид:

где R – расчётное сопротивление материала стержня; γ c – коэффициент условия работы; φ – коэффициент продольного изгиба, находящийся в пределах 0-1.

Величина коэффициентапродольного изгиба (φ ) зависит от материала стержня и гибкости стержня.

Коэффициент запаса устойчивости стержня можно определить, как отношение критической силы (P кр ) к нормативному значению продольной сжимающей силы (P н ):

Продольно-поперечный изгиб возникает от совместного действия поперечной и продольной нагрузок:

Рис.4. «Продольно-поперечный изгиб, возникающий от совместного действия поперечной и продольной нагрузок»

Уравнение изогнутой оси стержня, в этом случае, имеет вид:

где M п – изгибающий момент от действия поперечной нагрузки

Суммарный прогиб стержня (υ ):

где υ п – прогиб от поперечнойнагрузки; υ 1 - прогиб от продольной сжимающей силы.

Приближённое решение уравнения изогнутой оси можно представить в виде:

, где P э – критическая сила в плоскости изгиба, вычисляемая по формуле Эйлера независимо от величины гибкости стержня.

Суммарный изгибающий момент от совместного действия продольной силы и поперечной нагрузки определяется по формуле:

Проверка прочности стержня при продольно-поперечном изгибе выполняется по формуле:

.

✓Лекция 11.04.18 «…»

При расчёте на прочность, при динамическом действии сил, допускаемы напряжения принимаются меньшими по сравнению со статическими условиями нагружения.

При динамическом действии нагрузок используется принцип Даламбера, согласно которому движущуюся с ускорением систему каждый момент времени можно рассматривать как находящуюся в покое, если к внешним силам добавить силы инерции.

Инерция – явление, при котором тела сохраняют состояние покоя или равномерное прямолинейное движение при отсутствии внешних сил.

Если силы инерции известны, то расчёт можно вести по методу сечений, а для вычисления внутренних сил использовать уравнения статики твёрдого тела.Если определение сил инерции затруднительно или невозможно (как при ударном действии нагрузок), то для вычисления динамических напряжений и деформаций используется закон сохранения энергии с привлечением основных положений о потенциальной энергии деформируемого тела.

Задача соударения деформируемых твёрдых тел в механике относится к классу динамических контактных задач со смешанными граничными условиями, содержащими многие трудности математического порядка при решении. Эти трудности связаны с определением характера изменения функций напряжения в зоне контакта соударяемых тел по пространственным координатам и во времени. Большие сложности возникают при учёте волновых процессов, возникающих как в зоне контакта, так и внутри соударяемых тел, например, дифракционных волновых процессов по контуру в зоне контакта и интерференционных явлений внутри соударяемых тел. Существенное значение приобретает учёт фактора рассеяния энергии, трудно поддающийся анализу => При решении задач, применяется упрощённый инженерный подход, основанный на предпосылках:

1. При взаимодействии соударяемых тел, они принимаются или идеально упругими, или абсолютно твёрдыми

2. Деформации в упругих соударяемых телах происходят мгновенно. Установлено, что, практически во всех случаях, силы динамического воздействия пропорциональны статическим => расчёты на прочность и жёсткость при динамических нагрузках выполняются по методам, разработанным для статического нагружения, но с введением соответствующих значений динамических коэффициентов =>

;

, где K d –динамический коэффициент

Условия прочностей и жёсткостей по методу допустимых напряжений имеет вид:

При изучении динамически упругих систем – эти системы принято классифицировать по числу их степеней свободы. Под числом степеней свободы понимается число независимых координат, определяющих положение материальных точек системы в произвольный момент времени.

СОУДАРЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА И СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

Взаимодействие тел, при котором за очень малый промежуток времени скачкообразно изменяются скорости взаимодействующих тел называется ударом. В период взаимодействия соударяемых тел между ними развивается контактная сила, хотя время действия контактной силы очень мало, и измеряется в микросекундах (или миллисекундах). Она развивается очень быстро и принимает большие значения, при забивке свай, тяжёлый груз падает с некоторой высоты на верхний торец сваи и погружает её в грунт. Во время удара между грузом и сваей возникают большие взаимные давления! Скорость ударяющего тела, за короткий промежуток времени, изменяется или падает до нуля, тело останавливается и на него от ударяемого тела передаются большие ускорения, направленные в сторону, обратную его движению, т.е. передаётся реакция, равная произведению массы ударяющего тела на ускорение, обозначив ускорение через “a ”, получим, что реакция, передаваемая на падающий груз, будет иметь вид: , где Q –вес ударяющего тела.

По закону равенства действия и противодействия, на ударяемую конструкцию передаётся та же сила, но обратно направленная. Эти силы вызывают напряжения в обоих телах =>в ударяемой конструкции возникают такие напряжения, как будто к ней была приложена сила инерции ударяющего тела.

Для определения напряжений, силу инерции P d можем рассмотреть как статическую нагрузку. Затруднение в вычислении этой инерции… Продолжительность удара, в течение которого происходит падение скорости до нуля, неизвестна, поэтому остаётся неизвестная величина ускорения =>приходится пользоваться законом сохранения энергии.

При ударе происходит быстрое превращение одного вида энергии в другую, а именно кинетическая энергия (ударяющего тела) переходит в потенциальную энергию (деформации).

Теория удара опирается на ряд допущений:

1. Форма изогнутой оси конструкции, при ударе, подобна изогнутой оси при её статическом нагружении

2. Удар является неупругим, т.е. ударяющее тело не отскакивает от конструкции, а продолжает двигаться вместе с ней

3. Деформации, вызванные ударом, являются упругими, т.е. максимальные напряжения не превышают предела пропорциональности

4. Массой конструкции пренебрегают, т.е. считают её невесомой.

✓Лекция 18.04.18 «Расчёт динамического коэффициента при ударной нагрузке»

Предположим, что очень жёсткое тело A весом Y , деформацией которого можно пренебречь, падая с высоты H , ударяет по телу B , опирающемуся на упругую систему C .

, где δ D – перемещение тела в направлении удара.

Полагая, что кинетическая энергия ударяющегося тела полностью переходит в потенциальную энергию деформации упругой системы, следовательно , где T –кинетическая энергия, U –потенциальная энергия.

Так как к моменту окончания деформации ударяющее тело пройдёт путь , то его запас энергии будет равен произведённой работе A D , следовательно .

При статической деформации потенциальная энергия численно равна половине произведения действующей силы на соответствующую деформацию, следовательно . Статическая деформация δ c в ударяемом теле может быть вычислена по закону Гука, который можно записать в виде: ; , где c – коэффициент пропорциональности (или жёсткость системы), который зависит от свойств материала, формы и размера тела, от вида деформации и положения ударяемого тела.

При простом растяжении/сжатии:

При изгибе балки, шарнирно-закреплённой по концам и нагруженной сосредоточенной силой в середине пролёта:

Следовательно, выражение для энергии при статической деформации будет записано:

В основу выражения входят предпосылки:

1. Справедливость закона Гука;

2. Постепенный от нуля до окончательного значения рост силы, напряжений и пропорциональных им деформаций.

Реакция системы C на действие упавшего груза является следствием развития деформаций δ D ­ . Эта деформация растёт постепенноот нуля до максимальной величины и, если напряжения не превосходят предела пропорциональности материала, связывают с законом Гука:

Где P D –реакция системы (C )

Приравнивая выражения кинетической и потенциальной энергии, получаем:

Удерживая перед радикалом, для определения наибольшей величины деформации системы в направлении удара, знак “+”, получим:

Где K D – динамический коэффициент:

Формула (1) используется в случаях, когда масса упругого тела, испытывающая удар, мала и ею пренебрегают в расчёте. При необходимости учёта массы тела, формула для расчёта динамического коэффициента выглядит следующим образом:

, где m Г – масса падающего груза, m пр – приведённая масса тела, испытывающего удар:

Где m – истинная распределённая масса тела, α – коэффициент приведения распределённой массы к точечной.

Коэффициент α зависит от вида удара (продольный, изгибный и т.д.) и от характера закрепления концов стержня.

Общий принцип решения задач на определение напряжений при ударе может быть сформулирован как:

1. Вычислить кинетическую энергию ударяющего тела

2. Вычислить потенциальную энергию тел, воспринимающих удар, при этом потенциальная энергия должна быть выражена через напряжения, деформацию или силу инерции ударяющего тела.

3. Приравнять величины кинетической и потенциальной энергии U и из уравнения найти динамическое напряжение или деформацию.

Этот принцип расчёта предполагает, что вся кинетическая энергия ударяющего тела целиком переходит в потенциальную энергию деформации упругой системы.

Это положение некорректно, т.к. кинетическая энергия падающего груза частично превращается в тепловую энергию и энергию неупругой деформации основания.

ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ ПРИ УДАРНОЙ НАГРУЗКЕ

Условие прочности при ударе:

Где σ D –величина динамического напряжения, [σ D ] –допускаемая величина нормального напряжения при ударе.

Для пластичного материала:

Где σ T –предел текучести.

При изгибе величина статической деформации представляет собой статический прогиб балки в месте удара и зависит от схемы нагружения и условий опирания балки

Для балки пролетом l , шарнирно-закреплённой по концам и испытывающей, по середине пролёта, удар от падающего с высоты h груза Q :

, где W – момент сопротивления сечения

Для консольной балки, испытывающей удар от груза a , падающего на свободный конец консоли:

Подставляя в формулу для коэффициента динамичности значения δ c или U c , находим:

1. Для балки на двух опорах:

Приближенные формулы для динамической деформации и напряжения в случае удара имеют вид:

2. Для консольной балки имея ввиду, что:

В балке прямоугольного сечения высотой h и шириной b , поставленной на ребро или положенной плашмя, наибольшие напряжения при ударе будут одинаковы и равны:

Динамические напряжения при изгибе балки зависят от модуля упругости материала, объёма, формы поперечного сечения, а также схемы нагружения и условия опирания. Сопротивление зависит от момента сопротивления и жёсткости балки. Чем больше податливость (деформируемость) балки, тем большую силу удара она может выдержать при одних и тех же напряжениях.

Динамические напряжения не должны превышать предел пропорциональности. Если превышение имеет место, то необходимо предусмотреть конструктивные меры по увеличению статического перемещения. Попытки уменьшить динамические напряжения, увеличив сечения, не приносят эффекта, т.к. увеличивается жёсткость, статический прогиб уменьшается, а динамический коэффициент увеличивается.

✓Лекция 25.04.18 «Расчёт балки на упругом основании»

Часто встречаются балочные элементы, лежащие на сплошном упругом основании (ленточные фундаменты зданий, фундаменты плотин и т.д.).

Упругим основание называется такое основание, которое реализует распределённую вдоль оси балки реакцию с погонной интенсивностью, пропорциональной перемещению, прогибу или углу поворота сечения.

Конструкция на упругом основании находится под действием внешних нагрузок и реактивного отпора основания, непрерывно распределённого по длине или площади контакта.

Закон изменения реактивного отпора основания не может быть определён из уравнения равновесия. Он зависит от свойств упругого основания и характеризуется его расчётной схемой или моделью.

Методы расчёта конструкций, лежащих на упругом основании можно разделить на 3 группы:

1. Методы, базирующиеся на Винклеровой модели основания

2. Методы, базирующиеся на теории упругого полупространства

3. Методы, базирующиеся на комбинированных моделях упругого основания

Исторически, первой и часто применяемой для практических инженерных расчётов является Винклерова модель основания. При расчёте балок на упругом основании, у этой модели исходят из гипотезы Винклера о пропорциональности между давлением на основание и осадкой.

Реакция, со стороны основания произвольной точки при соблюдении условий проскальзывания между подошвой балки и основанием, принимается пропорциональной прогибу:

…(1), где q r (x) – реакция основания, приходящегося на единицу длины балки (реактивный отпор основания) , y(x) –прогиб балки, принимаемый равным осадке основания, b –ширина площади контакта балки и основания, k – коэффициент, характеризующий жёсткость основания (коэффициент податливости основания, отпорностью основания или коэффициентом Пастели) .

Знак “-“ в уравнении (1) говорит о том, что реакция основания противоположна уравнению просадки.

С формальной точки зрения Винклерова модель основания не является строгой. Наблюдения за натуральными сооружениями и экспериментальные исследования показывают, что осадка основания зависит от нагрузки данной точки и от нагрузки соседней точки.

Грунт оседает не только под фундаментом, но и по соседству с ним.

Величина коэффициента Пастели зависит от вида грунта и от величины и форм загруженной площади.

Грунт на растяжение не работает.

Вместе с тем, исследования показали, что модель основания Винклера вполне применима для практических расчётов. Механические свойства модели Винклера характеризуются коэффициентом жёсткости основания, который означает величину усилия, кторое необходимо приложить к 1см 2 поверхности основания, чтобы оно получило осадку 1см.

В случае абсолютно жесткого основания коэффициент Пастели = ∞.

В случае абсолютноподатливого основания коэффициент Пастели = 0.

Если основанием служит большое число сближенных …, то коэффициент жёсткости , где δ –податлив. попереч., a –расстояние между осями попереч.

Значение коэффициента Пастели основания для различных грунтовых условий – различны:

1. Для песка или глины мокрой размягчённой

2. Для песка слежавшегося, насыпного гравия или влажной глины

3. Для известняка, песчаника или грунта в условиях вечной мерзлоты

4. Для твёрдой скалы

При проектировании ответственных капитальных сооружений, величина коэффициента жёсткости основания устанавливается на основании испытания грунта штампом в условиях естественного залегания на площадке строительства.

Для предварительных расчётов или однородных оснований величину коэффициента жёсткости основания принимают по таблицам. Зависимость (1) является фундаментальным уравнением теории расчёта конструкций на Винклеровом основании. В расчётах принимаются допущения!

1. Конструкция сохраняет связь с основанием независимо от знака перемещения, т.е. между балкой и основание не должно быть разрывности

2. Между балкой и поверхностью основания, при изгибе, отсутствует трение

3. Все деформации принимаются достаточно малыми, следовательно, можно пользоваться принципом наложения, суммируя деформации от различных воздействий.

Суммарная интенсивность распределённой нагрузки, приложенной к балке в произвольной точке:

Где q(x) – приложенная к балке нагрузка.

Дифференциальное уравнение изгиба балки на упругом основании Винклера имеет вид:

При интегрировании уравнения (2) производится замена переменной по формуле:

, где EI –жёсткость балки при изгибе.

Параметр λ показывает жёсткость балки и основания и имеет размерность .

Решение уравнения (2) в форме метода начальных параметров:

, где y 0 , φ 0 ,M 0 ,Q 0 –начальные параметры, представляющие прогиб, угол поворота, изгибающий момент и поперечную силу в начале отсчёта, при x = 0 , Y 1 , Y 2 ,Y 3 ,Y 4 –функции Крылова, показывающие комбинации произведений гиперболическихи тригонометрических функций.

Между функциями Крылова зависимости:

Углы поворота, изгибающие моменты и поперечные силы определяются из зависимости:

В начале расчёёта неизвестны 2 начальных параметра, они определяются из граничных условий на противоположном конце балки.

✓Лекция 16.05.18 «Напряжённое и деформированное состояние в окрестности точки тела. Часть 1»

Главной задачей исследования напряжённо-деформированного состояния (НДС) тела является определение напряжений и деформаций тела и характера их изменения во времени.

При исследовании НДС исходят из следующих допущений:

1. О непрерывности (сплошности) среды, при этом атомистическая структура вещества и наличие каких-либо пустот не учитывается;

2. О естественном состоянии. На основании этого допущения, начальная НДС, возникшая до приложения силовых воздействий, не учитывается, т.е. предполагается, что в момент нагружения тела деформации и напряжения в точке равны нулю;

3. Об однородности. Предполагается, что состав тела одинаков во всех точках;

4. О шаровой изотропности. Считается, что механические свойства материала одинаковы по всем направлениям.

5. Об идеальной упругости. Предполагается полное исчезновение деформаций после снятия нагрузки;

6. О линейной зависимости между деформациями и напряжениями.

7. О малости деформаций. Предполагается, что линейные и относительные деформации малы по сравнению с единицей.

Под действием нагрузок, приложенных к телу, в нём возникают внутренние силы, которые определяются величинами нормальных и касательных напряжений в каждой точке тела.

Совокупность напряжений, действующих на различных площадках, проведённых через точку тела, характеризует напряжённое состояние в окрестности данной точки.

Чтобы определит напряжённое состояние в точке необходимо знать полные напряжения по трём взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через эту точку. Так как каждое полное напряжение можно разложить на три составляющие, то напряжённое состояние будет определено если будут известны 9 составляющих напряжений (рис.1).

Рис.1

Совокупность составляющих напряжений можно представить в виде матрицы, которая называется тензором напряжений в точке:

В каждой горизонтальной строчке матрицы записаны 3 составляющих напряжения, действующих по одной площадке. В каждом вертикальном столбце тензора записаны 3 напряжения, параллельных одной и той же оси.

Если приравнять к нулю сумму моментов всех сил, действующих на элементарный параллелепипед, относительно каждой центральной оси, получим три уравнения закона парности касательных напряжений:

τ xy = τ yx

τ yz = τ zy

τ zx = τ xz

Закон парности касательных напряжений формулируется следующим образом: касательные напряжения, действующие по взаимно перпендикулярным площадкам и направленные перпендикулярно к линии пересечения площадок равны по величине и одинаковы по знаку. Таким образом из девяти составляющих напряжений тензора 6 попарно равны друг другу, а значит для определения напряженного состояния в точке достаточно найти 6 составляющих напряжений:

ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ

В любой точке тела можно найти 3 взаимно перпендикулярныеглавные площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения. Нормальные напряжения по этим площадкам будут называться главными напряжениями. Одно из главных напряжений имеет наибольшее значение, другое наименьшее, а третье имеет величину промежуточную между первыми двумя. Они обозначаютсяσ 1 ;σ 2 ;σ 3 и . Величины главных напряжений определяются из кубического уравнения:

Коэффициенты I 1 , I 2, I 3 называются инвариантами тензора напряжений . Решив кубическое уравнение, получим три корня из которых алгебраически большее обозначим как σ 1 , наименьшее как σ 3 , а промежуточное как σ 2 .

Величины главных напряжений в точке не зависят от выбора осей координат, а зависят от формы и размеров тела и его нагружения.

Положение главных площадок определяется направляющими косинусами нормалей к главным площадкам.

Большая категория задач допускает значительное упрощение математического решения – это задачи, в которых можно считать, что внешние воздействия лежат в плоскостях, параллельных какой-либо плоскости тела, и, что вызываемые ими напряжения и перемещения, одинаковы для всех точек любой оси, перпендикулярной к этой плоскости. Такие задачи объединяются общим названием – плоские задачи. Различают 2 разновидности плоских задач:

1. Плоское деформированное состояние (плоская деформация).

2. Плоское напряжённое состояние.

При плоском деформированном состоянии точки тела не могут перемещаться вдоль одной из трёх осей из-за препятствия со стороны соседних элементов, при этом нагрузка, действующая на тело, постоянна вдоль этой оси. В этом случае перемещения вдоль одной оси отсутствуют (как правило, вдоль оси Z ), а два других перемещения не зависят от координаты третьей оси. Плоская деформация имеет место в призматическом или цилиндрическом теле, нагруженном по боковой поверхности, распределённой по длине нагрузкой, нормальной к продольной оси, при этом предполагается, что торцы тела закреплены так, что их точки могут свободно перемещаться в своей плоскости и не могут перемещаться в направлении продольной оси. Плоская деформация характеризуется следующими равенствами:

, где u и v – перемещение вдоль оси x и y, w – перемещение вдоль оси z , ε – относительная деформация.

Плоским напряжённым состоянием называется такое состояние тела, при котором во всех его точках одно из главных напряжений равно нулю, при этом площадки, перпендикулярные к оси нулевого напряжения являются главными. Плоское напряжённое состояние характеризуется следующими равенствами:

При плоском напряжённом состоянии размеры тела вдоль оси z – малы, а боковые плоскости свободны от нагрузки. Такое состояние возникает в тонких пластинах, нагруженных по внешнему контуру:

✓Лекция 21.05.18 «Напряжённое и деформированное состояние в окрестности точки тела. Часть 2» (Дима)

Под действием внешних сил деформирование тела и перемещение его точек в пространстве. Для исследования деформаций в окрестности точки рассматривается элементарный параллелепипед со сторонами dx , dy и dz . В результате различия перемещений точек рёбра параллелепипеда удлиняются или укорачиваются, а первоначально прямые углы между рёбрами искажаются. В соответствии с этим различают два основных вида деформаций:

1. Линейные представляют собой относительные удлинения или укорочения рёбер элементарного параллелепипеда. Соответственно, dy 1 , dx 1 и dz 1 – это размеры элементарного параллелепипеда после деформации. Деформации удлинения считаются положительными, а укорочения – отрицательными.

2. Угловые деформации, или деформации сдвига, которые обозначаются как характеризуют искажения прямых углов между рёбрами элементарного параллелепипеда. Индексы показывают, в какой плоскости происходит угловая деформация.

Совокупность линейных и угловых деформаций в окрестности точки тела можно представить в виде матрицы, которая называется тензором деформаций:

Деформации сдвига также, как и касательные напряжения, обладают свойством парности. В следствие этого, из девяти составляющих тензора, шесть деформаций полностью определяют деформированное состояние в окрестности рассматриваемой точки тела:

Из девяти составляющих тензора, 6 деформаций определяют деформированное состояние в окрестности рассматриваемой точки тела

Среди множества осей, проведённых через точку тела, существуют три взаимно перпендикулярные оси, в системе которых отсутствуют угловые деформации. Эти оси называются главными осями деформированного состояния . А соответствующие им линейные деформации называются главными деформациями :

В изотропном теле главные оси напряжённого и деформированного состояний совпадают. Относительная объёмная деформация в окрестности точки (относительное изменение объёма элементарного параллелепипеда) с точностью до величин второго и третьего порядка, равна сумме трёх линейных деформаций:

Для линейно упругих и изотропных тел связь между напряжениями и деформациями в окрестности точки тела выражается обобщённым законом Гука. Обобщённый закон Гука может быть записан в прямой форме следующим образом:

, где ε – модуль упругости материала, ν – коэффициент Пуассона, γ – модуль сдвига.

Закон Гука может быть записан и в обратной форме:

, где μ и λ – постоянные Лямэ. Они связаны с модулем упругости и коэффициентом Пуассона следующим образо

Продольный изгиб

При расчетах на прочность подразумевалось , что равновесие конструкции под действием внешних сил является устойчивым . Однако выход конструкции из строя может произойти из-за того, что равновесие конструкций в силу тех или иных причин окажется неустойчивым . Во многих случаях, кроме проверки прочности, необходимо производить еще проверку устойчивости элементов конструкций.

Состояние равновесия считается устойчивым , если при любом возможном отклонении системы от положения равновесия возникают силы, стремящиеся вернуть её в первоначальное положение.

Рассмотрим известные виды равновесия.

Неустойчивое равновесное состояние будет в том случае, когда хотя бы при одном из возможных отклонений системы от положения равновесия возникнут силы, стремящиеся удалить её от начального положения.

Состояние равновесия будет безразличным , если при разных отклонениях системы от положения равновесия возникают силы, стремящиеся вернуть её в начальное положение, но хотя бы при одном из возможных отклонений система продолжает оставаться в равновесии при отсутствии сил, стремящихся вернуть её в начальное положение или удалить от этого положения.

При потере устойчивости характер работы конструкции меняется, так как этот вид деформации переходит в другой, более опасный, способный привести её к разрушению при нагрузке значительно меньшей, чем это следовало из расчета на прочность . Очень существенно, что потеря устойчивости сопровождается нарастанием больших деформаций , поэтому явление это носит характер катастрофичности.

При переходе от устойчивого равновесного состояния к неустойчивому конструкция проходит через состояние безразличного равновесия. Если находящейся в этом состоянии конструкции сообщить некоторое небольшое отклонение от начального положения, то по прекращении действия причины, вызвавшей это отклонение, конструкция в исходное положение уже не вернется, но будет способна сохранить приданное ей, благодаря отклонению, новое положение.

Состояние безразличного равновесия, представляющее как бы границу между двумя основными состояниями – устойчивым и неустойчивым, называется критическим состоянием. Нагрузка, при которой конструкция сохраняет состояние безразличного равновесия, называется критической нагрузкой .

Эксперименты показывают, что обычно достаточно немного увеличить нагрузку по сравнению с её критическим значением, чтобы конструкция из-за больших деформаций потеряла свою несущую способность, вышла из строя. В строительной технике потеря устойчивости даже одним элементом конструкции вызывает перераспределение усилий во всей конструкции и нередко влечет к аварии.

Изгиб стержня,связанный с потерей устойчивости, называется продольным изгибом .

Критическая сила. Критическое напряжение

Наименьшая величина сжимающей силы, при которой первоначальная форма равновесия стержня – прямолинейная становится неустойчивой – искривленной, называется критической.

При исследовании устойчивости форм равновесия упругих систем первые шаги были сделаны Эйлером .

В упругой стадии деформирования стержня при напряжениях, не превышающих предел пропорциональности , критическая сила вычисляется по формуле Эйлера :

где I min – минимальный момент инерции сечения стержня (обусловлено тем, что изгиб стержня происходит в плоскости с наименьшей жесткостью), однако исключения могут быть только в случаях, когда условия закрепления концов стержня различны в разных плоскостях, ℓ - геометрическая длина стержня, μ – или (зависит от способов закрепления концов стержня), Значения μ приведены под соответствующей схемой закрепления стержней

Критическое напряжение вычисляется следующим образом

, где гибкость стержня,

а радиус инерции сечения.

Введем понятие предельной гибкости .

Величина λ пред зависит только от вида материала:

Если у стали 3 Е =2∙10 11 Па, а σ пц =200МПа , то предельная гибкость

Для дерева (сосна, ель) предельная гибкость λпред=70, для чугуна λпред=80

Таким образом, для стержней большой гибкости λ≥λ пред критическая сила определяется по формуле Эйлера.

В упругопластической стадии деформирования стержня, когда значение гибкости находится в диапазоне λ 0 ≤λ≤λ пр, (стержни средней гибкости) расчет проводится по эмпирическим формулам , например, можно использовать формулу Ясинского Ф.С. Значения введенных в нее параметров определены эмпирически для каждого материала.

σ к =а-bλ, или F кр = A (a — b λ)

где a и b – постоянные, определяемые экспериментальным путем ().Так, для стали3 а =310МПа, b =1,14МПа.

При значениях гибкости стержня 0≤λ≤λ 0 (стержни малой гибкости) потеря устойчивости не наблюдается.

Таким образом, пределы применимости формулы Эйлера — применяется только в зоне упругих деформаций.

Условие устойчивости. Типы задач при расчете на устойчивость.

Условием устойчивости сжатого стержня является неравенство:

Здесь допускаемое напряжение по устойчивости [σуст ] — не постоянная величина , как это было в условиях прочности, а зависящая от следующих факторов :

1) от длины стержня, от размеров и даже от формы поперечных сечений,

2) от способа закрепления концов стержня,

3) от материала стержня.

Как и всякая допускаемая величина, [σуст ] определяется отношением опасного для сжатого стержня напряжения к коэффициенту запаса. Для сжатого стержня опасным является так называемое критическое напряжение σкр , при котором стержень теряет устойчивость первоначальной формы равновесия .

Поэтому

Величину коэффициента запаса в задачах устойчивости принимают несколько большей, чем значение , то есть если k =1÷2, то k уст =2÷5 .

Допускаемое напряжение по устойчивости можно связать с допускаемым напряжением по прочности:

В этом случае ,

где σт – опасное с точки зрения прочности напряжение (для пластичных материалов это предел текучести, а для хрупких – предел прочности на сжатие σвс ).

Коэффициент φ<1 и потому называется коэффициентом снижения основного допускаемого напряжения , то есть [σ] по прочности , или иначе

С учетом сказанного условие устойчивости сжатого стержня принимает вид:

Численные значения коэффициента φ выбираются из таблиц в зависимости от материала и величины гибкости стержня , где:

μ – коэффициент приведенной длины (зависит от способов закрепления концов стержня), ℓ - геометрическая длина стержня,

i – радиус инерции поперечного сечения относительно той из главных центральных осей сечения, вокруг которой будет происходить поворот поперечных сечений после достижения нагрузкой критического значения.

Коэффициент φ изменяется в диапазоне 0≤φ≤1 , зависит,как уже говорилось, как от физико-механических свойств материала, так и от гибкости λ. Зависимости между φ и λ для различных материалов представляются обычно в табличной форме с шагом ∆λ=10.

При вычислении значений φ для стержней, имеющих значения гибкости не кратные числу 10, применяется правило линейной интерполяции .

Значения коэффициента φ в зависимости от гибкости λ для материалов

На основании условия устойчивости решаются три вида задач :

1. Проверка устойчивости .
2. Подбор сечения .
3. Определение допускаемой нагрузки (или безопасной нагрузки, или грузоподъемности стержня: [F ]=φ[σ]А .

Наиболее сложным оказывается решение задачи о подборе сечения , поскольку необходимая величина площади сечения входит и в левую, и в правую часть условия устойчивости:

Только в правой части этого неравенства площадь сечения находится в неявном виде: она входит в формулу радиуса инерции , который в свою очередь включен в формулу гибкости , от которой зависит значение коэффициента продольного изгиба φ . Поэтому здесь приходится использовать метод проб и ошибок, облеченный в форму способа последовательных приближений :

1 попытка : задаемся φ1 из средней зоны таблицы , находим , определяем размеры сечения, вычисляем , затем гибкость , по таблице определяем и сравниваем со значением φ1 . Если , то.