Устойчивое равновесие. Виды равновесия

В VIII классе решают задачи, в которых центр тяжести находят или на опыте, или геометрическим, или аналитическим путем. Полезно также решить ряд задач несколькими способами, чтобы убедить учащихся в их правомерности. Понятие о центре тяжести используют затем при решении задач о видах равновесия и устойчивости тел. Для определения устойчивости тела, имеющего площадь опоры, используют правило о положении отвеса, опущенного из центра тяжести. Это правило нужно обосновать, используя сведения о равновесии тела, имеющего ось вращения.

417. Определите на опыте и обоснуйте теоретически положение центра тяжести круга, прямоугольника и треугольника, вырезанных из картона.

418. Где расположен центр тяжести карандаша, обруча? Всегда ли центр тяжести располагается внутри тела?

419 (э). Пользуясь спицами и нитками, определите центр тяжести картофелины или свеклы.

Решение. Картофелину подвешивают два-три раза в разных положениях и протыкают по направлению нити спицей. Разрезав картофелину, обнаруживают, что все отверстия сходятся в одной точке - центре тяжести.

420 (э). С помощью медных монет определите вес линейки.

Решение. На конец линейки кладут монеты и уравновешивают, как показано на рисунке 100, а. Из рисунка видно, что . Вес линейки численно равен

К задачам этого типа учащиеся нередко делают чертежи,

подобные изображенному на рисунке 100, б, и при решении учитывают вес рычага по обе стороны от точки опоры. В этом нет надобности, так как равнодействующая сил равна весу тела и приложена к его центру тяжести.

421. Найти центр тяжести двух грузов по 4 и 1 н (рис. 101). Расстояние между центрами грузов Весом соединительного стержня пренебречь.

Решение 1. Центр тяжести О - точка приложения равнодействующей параллельных сил делит расстояние на отрезки, обратно пропорциональные силам. Поэтому

Решение 2. Грузы останутся в равновесии, если стержень подпереть в центре тяжести - точке откуда или

Для задач, в которых находят центр тяжести двух тел, оба решения равноценны. Но если требуется определить центр тяжести трех или более тел, то решение первым способом потребует последовательного попарного сложения всех сил, что нерационально. Поэтому лучше задачи этого типа решать вторым способом.

422. Где находится центр тяжести вала с двумя шкивами (рис. 102)? Длина вала между шкивами толщина шкивов по а вес вала и шкивов соответственно равен Ответ дать с точностью до трех значащих цифр. .

Решение. Покажем на чертеже направление и точки приложения сил тяжести Центр тяжести лежит между точками А и В. Система находится в

равновесии, следовательно, Приняв во внимание толщину шкивов получим: откуда см.

423. Из однородной круглой пластинки с радиусом вырезан круг вдвое меньшего радиуса касающийся первого круга. Найти центр тяжести полученной пластинки.

Решение 1. Разобьем фигуру на части, выделив пунктиром круг, как показано на рисунке 103, а, и применим тот же метод, что и в предыдущей задаче, считая силы тяжести, действующие на отдельные части фигуры, пропорциональными их площадям. Площадь «лепестков» равна Центр тяжести лежит правее центра О большого круга. Площадь малого круга равна Принимая во внимание, что запишем: - откуда

Решение 2. Мысленно заполним вырез. Это равносильно тому, что в точке А будет приложена сила равная силе тяжести, действующей на круг радиуса Для того чтобы равновесие фигуры не нарушилось, нужно приложить вверх силу равную по величине Теперь на сплошной круг действуют силы равная силе тяжести, действующей на сплошной круг (рис. 103, б):

Из решения 2 видно, что для нахождения центра тяжести однородных тел с полостями можно считать тела сплошными, но при

этом к центру тяжести полостей следует прилагать вверх силы, равные по величине силе тяжести, действующей на заполнившее их вещество.

424. Устойчивое, неустойчивое или безразличное положение равновесия занимают следующие тела: маятник часов, висящий вертикально; шар, лежащий на выпуклой поверхности; шар, лежащий на вогнутой поверхности; шар, находящийся на горизонтальной поверхности? Ответ обоснуйте, основываясь на условии равновесия тела, имеющего ось вращения.

Решение. Отклоним маятник и шар, лежащий на вогнутой поверхности, от положения равновесия. Как видно из рисунка 104, а на них будут действовать вращающие моменты заставляющие их двигаться к положению равновесия. Следовательно, эти тела находятся в положении устойчивого равновесия.

На шар, отклоненный от положения равновесия на выпуклой поверхности, действует вращающий момент, заставляющий его катиться дальше от положения равновесия (рис. 104, б.). Следовательно, этот шар находится в положении неустойчивого равновесия.

В любом положении на шар, лежащий на горизонтальной поверхности, действуют уравновешивающиеся силы (рис. 104, е), поэтому шар находится в положении безразличного равновесия.

425. Длинный шест, поставленный вертикально, находится в положении неустойчивого равновесия. Как же его удерживает жонглер?

Ответ. Жонглер слегка смещает в сторону точку опоры шеста, в результате чего создается вращающий момент, препятствующий его падению.

426. Деревянную линейку закрепите под углом к горизонту и поставьте на нее спичечные коробки, снабженные отвесами, как показано на рисунке 105, а. (Для того чтобы коробки не соскальзывали по линейке, воткните в нее кнопки.) Какая из коробок упадет раньше, если увеличивать угол наклона линейки? Почему? Положите коробки плашмя (рис. 105, б). Какая стопка опрокинется раньше, если увеличивать угол наклона? Почему?

Решение. На коробки действуют сила тяжести и реакция опоры. Коробка будет в равновесии, если или Пока отвес не выходит за площадь опоры, момент

Возвращает тело в положение равновесия и, наоборот, опрокидывает его, когда отвес выходит за площадь опоры.

427. Каким образом увеличивают устойчивость штативов, настольных ламп, подъемных кранов?

Раздел механики, в котором изучаются условия равновесия тел, называется статикой. Из второго закона Ньютона следует, что, если векторная сумма всех сил, приложенных к телу, равна нулю, то тело сохраняет свою скорость неизменной. В частности, если начальная скорость равна нулю, тело остается в покое. Условие неизменности скорости тела можно записать в виде:

или в проекциях на оси координат:

.

Очевидно, что тело может покоиться только по отношению к одной определенной системе координат. В статике изучают условия равновесия тел именно в такой системе. Необходимое условие равновесия можно получить также, рассмотрев движение центра масс системы материальных точек. Внутренние силы не влияют на движение центра масс. Ускорение центра масс определяется векторной суммой внешних сил. Но если эта сумма равна нулю, то ускорение центра масс , а, следовательно, скорость центра масс . Если в начальный момент , то центр масс тела остается в покое.

Таким образом, первое условие равновесия тел формулируется следующим образом: скорость тела не изменяется, если сумма внешних сил, приложенных в каждой точке, равна нулю. Полученное условие покоя центра масс является необходимым (но недостаточным) условием равновесия твердого тела.

Пример

Может быть так, что все силы, действующие на тело, уравновешены, тем не менее, тело будет ускоряться. Например, если приложить две равных и противоположно направленных силы (их называют парой сил) к центру масс колеса, то колесо будет покоиться, если его начальная скорость была равна нулю. Если же эти силы приложить к разным точкам, то колесо начнет вращаться (рис. 4.5). Это объясняется тем, что тело находится в равновесии, когда сумма всех сил равна нулю в каждой точке тела. Но если сумма внешних сил равна нулю, а сумма всех сил, приложенных к каждому элементу тела, не равна нулю, то тело не будет находиться в равновесии, возможно (как в рассмотренном примере) вращательное движение. Таким образом, если тело может вращаться относительно некоторой оси, то для его равновесия недостаточно равенства нулю равнодействующей всех сил.

Чтобы получить второе условие равновесия, воспользуемся уравнением вращательного движения , где – сумма моментов внешних сил относительно оси вращения. Когда , то и b = 0, а значит, угловая скорость тела не меняется . Если в начальный момент w = 0, то тело и в дальнейшем не будет вращаться. Следовательно, вторым условием механического равновесия является требование равенства нулю алгебраической суммы моментов всех внешних сил относительно оси вращения:

В общем случае произвольного числа внешних сил условия равновесия можно представить в следующем виде:

,

.

Эти условия необходимы и достаточны.

Пример

Равновесие бывает устойчивым, неустойчивым и безразличным. Равновесие является устойчивым, если при малых смещениях тела из положения равновесия действующие на него силы и моменты сил стремятся вернуть тело в положение равновесия (рис. 4.6а). Равновесие неустойчиво, если действующие силы при этом уводят тело еще дальше от положения равновесия (рис. 4.6б). Если при малых смещениях тела действующие силы по-прежнему уравновешиваются, то равновесие безразличное (рис. 4.6в). Шар, лежащий на плоской горизонтальной поверхности, находится в состоянии безразличного равновесия. Шар, находящийся в верхней точке сферического выступа, – пример неустойчивого равновесия. Наконец, шар на дне сферического углубления находится в состоянии устойчивого равновесия.

Интересным примером равновесия тела на опоре является падающая башня в итальянском городе Пиза, которую по преданию использовал Галилей при изучении законов свободного падения тел. Башня имеет форму цилиндра радиусом 7 м. Вершина башни отклонена от вертикали на 4,5 м.

Пизанская башня получила известность благодаря тому, что она сильно наклонена. Башня «падает». Высота башни составляет 55,86 метров от земли на самой низкой стороне и 56,70 метров на самой высокой стороне. Её вес оценивается в 14700 тонн. Текущий наклон составляет около 5,5°. Вертикальная линия, проведенная через центр масс башни, пересекает основание приблизительно в 2,3 м от его центра. Таким образом, башня находится в состоянии равновесия. Равновесие нарушится и башня упадет, когда отклонение ее вершины от вертикали достигнет 14 м. По-видимому, это произойдет очень нескоро.

Полагали, что кривизна башни задумана зодчими изначально – ради демонстрации своего незаурядного умения. Но куда более вероятно другое: архитекторы знали, что строят на крайне ненадежном фундаменте, и потому заложили в конструкцию возможность легкого отклонения.

Когда возникла реальная угроза обрушения башни, за нее взялись современные инженеры. Ее затянули в стальной корсет из 18 тросов, фундамент утяжелили свинцовыми блоками и параллельно укрепили грунт, закачивая под землю бетон. С помощью всех этих мер удалось уменьшить угол наклона падающей башни на полградуса. Специалисты говорят, что теперь она сможет простоять еще как минимум 300 лет. С точки зрения физики принятые меры означают, что условия равновесия башни стали более надежными.

Для тела, имеющего неподвижную ось вращения, возможны все три вида равновесия. Безразличное равновесие возникает, когда ось вращения проходит через центр масс. При устойчивом и неустойчивом равновесии центр масс находится на вертикальной прямой, проходящей через ось вращения. При этом, если центр масс находится ниже оси вращения, состояние равновесия оказывается устойчивым (рис. 4.7а). Если же центр масс расположен выше оси – состояние равновесия неустойчиво (рис. 4.7б).

Особым случаем равновесия является равновесие тела на опоре. В этом случае упругая сила опоры приложена не к одной точке, а распределена по основанию тела. Тело находится в равновесии, если вертикальная линия, проведенная через центр масс тела, проходит через площадь опоры, то есть внутри контура, образованного линиями, соединяющими точки опоры. Если же эта линия не пересекает площадь опоры, то тело опрокидывается.

1. Статика -
раздел механики, изучающий условия равновесия тел, называется статикой.

2. Устойчивое
Равновесие, при котором выведенное из положения равновесия тело вновь к нему возвращается, называется устойчивым.

При устойчивом равновесии центр тяжести тела
Расположен ниже оси вращения и находится на вертикальной прямой, проходящей через эту ось.

3. Неустойчивое равновесие
Равновесие, при котором выведенное из равновесия тело не возвращается в начальное положение, называют неустойчивым.

4. Безразличное равновесие
При отклонении или перемещении тела оно остается в равновесии.

5. С помощью рисунка поясните зависимость устойчивости тела от положения его центра тяжести.

6. Устойчивость тела зависит от
Угла наклона.

7. Какое из двух положений пластинки более устойчивое? Почему?

Для того чтобы судить о поведении тела в реальных условиях, мало знать, что оно находится в равновесии. Надо еще оценить это равновесие. Различают устойчивое, неустойчивое и безразличное равновесие.

Равновесие тела называют устойчивым , если при отклонении от него возникают силы, возвращающие тело в положение равновесия (рис. 1 положение 2). В устойчивом равновесии центр тяжести тела занимает наинизшее из всех близких положений. Положение устойчивого равновесия связано с минимумом потенциальной энергии по отношению ко всем близким соседним положениям тела.

Равновесие тела называют неустойчивым , если при самом незначительном отклонении от него равнодействующая действующих на тело сил вызывает дальнейшее отклонение тела от положения равновесия (рис. 1 положение 1). В положении неустойчивого равновесия высота центра тяжести максимальна и потенциальная энергия максимальна по отношению к другим близким положениям тела.

Равновесие, при котором смещение тела в любом направлении не вызывает изменения действующих на него сил и равновесие тела сохраняется, называют безразличным (рис. 1 положение 3).

Безразличное равновесие связано с неизменной потенциальной энергией всех близких состояний, и высота центра тяжести одинакова во всех достаточно близких положениях.

Тело, имеющее ось вращения (например, однородная линейка, которая может вращаться вокруг оси, проходящей через точку О, изображенная на рисунке 2), находится в равновесии, если вертикальная прямая, проходящая через центр тяжести тела, проходит через ось вращения. Причем если центр тяжести С выше оси вращения (рис. 2,1), то при любом отклонении от положения равновесия потенциальная энергия уменьшается и момент силы тяжести относительно оси О отклоняет тело дальше от положения равновесия. Это неустойчивое положение равновесия. Если центр тяжести находится ниже оси вращения (рис. 2,2), то равновесие устойчивое. Если центр тяжести и ось вращения совпадают (рис. 2,3), то положение равновесия безразличное.

Тело, имеющее площадь опоры, находится в равновесии, если вертикальная прямая, проходящая через центр тяжести тела не выходит за пределы площади опоры этого тела, т.е. за пределы контура образованного точками соприкосновения тела с опорой Равновесие в этом случае зависит не только от расстояния между центром тяжести и опорой (т.е. от его потенциальной энергии в гравитационном поле Земли), но и от расположения и размеров площади опоры этого тела.

На рисунке 2 изображено тело, имеющее форму цилиндра. Если его наклонить на малый угол, то оно возвратится в исходное положение 1 или 2. Если же его отклонить на угол (положение 3), то тело опрокинется. При заданной массе и площади опоры устойчивость тела тем выше, чем ниже расположен его центр тяжести, т.е. чем меньше угол между прямой, соединяющей центр тяжести тела и крайнюю точку соприкосновения площади опоры с горизонтальной плоскостью.