Краткая теория

Если событие наступает только при условии появления одного из событий образующих полную группу несовместных событий, то равна сумме произведений вероятностей каждого из событий на соответствующую условную вероятность кошелек .

При этом события называются гипотезами, а вероятности – априорными. Эта формула называется формулой полной вероятности.

Формула Байеса применяется при решении практических задач, когда событие , появляющееся совместно с каким-либо из событий образующих полную группу событий произошло и требуется провести количественную переоценку вероятностей гипотез . Априорные (до опыта) вероятности известны. Требуется вычислить апостериорные (после опыта) вероятности, т.е. по существу нужно найти условные вероятности . Формула Байеса выглядит так:

Пример решения задачи

Условие задачи 1

На фабрике станки 1,2 и 3 производят соответственно 20%, 35% и 45% всех деталей. В их продукции брак составляет соответственно 6%, 4%, 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранное изделие оказалось дефектным? Какова вероятность того, что оно было произведено: а) станком 1; б) станком 2; в) станком 3?

Решение задачи 1

Обозначим через событие, состоящее в том, что стандартное изделие оказалось дефектным.

Событие может произойти только при условии наступления одного из трех событий:

Изделие произведено на станке 1;

Изделие произведено на станке 2;

Изделие произведено на станке 3;

Запишем условные вероятности:

Формула полной вероятности

Если событие может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуютполную группу несовместных событий, то вероятность события вычисляется по формуле

По формуле полной вероятности находим вероятность события :

Формула Байеса

Формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной.

Вероятность того, что дефектное изделие изготовлено на станке 1:

Вероятность того, что дефектное изделие изготовлено на станке 2:

Вероятность того, что дефектное изделие изготовлено на станке 3:

Условие задачи 2

Группа состоит из 1 отличника, 5 хорошо успевающих студентов и 14 студентов, успевающих посредственно. Отличник отвечает на 5 и 4 с равной вероятностью, хорошист отвечает на 5, 4 и 3 с равной вероятностью, и посредственно успевающий студент отвечает на 4,3 и 2 с равной вероятностью. Случайно выбранный студент ответил на 4. Какова вероятность того, что был вызван посредственно успевающий студент?

Решение задачи 2

Гипотезы и условные вероятности

Возможны следующие гипотезы:

Отвечал отличник;

Отвечал хорошист;

–отвечал посредственно занимающийся студент;

Пусть событие -студент получит 4.

Условные вероятности:

Ответ:

Дано определение геометрической вероятности и подробно рассмотрена широко известная задача о встрече.

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуютполную группу несовместных событий , то вероятность события А вычисляется по формуле

Эта формула называется формулой полной вероятности .

Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий , вероятности появления которых. СобытиеА может произойти только вместе с каким-либо из событий , которые будем называтьгипотезами . Тогда по формуле полной вероятности

Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез .

По теореме умножения вероятностей

.

Аналогично, для остальных гипотез

Полученная формула называется формулой Байеса (формулой Бейеса ). Вероятности гипотез называютсяапостериорными вероятностями , тогда как -априорными вероятностями .

Пример. В магазин поступила новая продукция с трех предприятий. Процентный состав этой продукции следующий: 20% - продукция первого предприятия, 30% - продукция второго предприятия, 50% - продукция третьего предприятия; далее, 10% продукции первого предприятия высшего сорта, на втором предприятии - 5% и на третьем - 20% продукции высшего сорта. Найти вероятность того, что случайно купленная новая продукция окажется высшего сорта.

Решение. Обозначим через В событие, заключающееся в том, что будет куплена продукция высшего сорта, через обозначим события, заключающиеся в покупке продукции, принадлежащей соответственно первому, второму и третьему предприятиям.

Можно применить формулу полной вероятности, причем в наших обозначениях:

Подставляя эти значения в формулу полной вероятности, получим искомую вероятность:

Пример. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго - 0,5; для третьего - 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

Решение. Возможны три гипотезы:

На линию огня вызван первый стрелок,

На линию огня вызван второй стрелок,

На линию огня вызван третий стрелок.

Так как вызов на линию огня любого стрелка равновозможен, то

В результате опыта наблюдалось событие В - после произведенных выстрелов мишень не поражена. Условные вероятности этого события при сделанных гипотезах равны:

по формуле Байеса находим вероятность гипотезы после опыта:

Пример. На трех станках-автоматах обрабатываются однотипные детали, поступающие после обработки на общий конвейер. Первый станок дает 2% брака, второй – 7%, третий – 10%. Производительность первого станка в 3 раза больше производительности второго, а третьего – в 2 раза меньше, чем второго.

а) Каков процент брака на конвейере?

б) Каковы доли деталей каждого станка среди бракованных деталей на конвейере?

Решение. Возьмем с конвейера наудачу одну деталь и рассмотрим событие А – деталь бракованная. Оно связано с гипотезами относительно того, где была обработана эта деталь: – взятая наудачу деталь обработана на-ом станке,.

Условные вероятности (в условии задачи они даны в форме процентов):

Зависимости между производительностями станков означают следующее:

А так как гипотезы образуют полную группу, то .

Решив полученную систему уравнений, найдем: .

а) Полная вероятность того, что взятая наудачу с конвейера деталь – бракованная:

Другими словами, в массе деталей, сходящих с конвейера, брак составляет 4%.

б) Пусть известно, что взятая наудачу деталь – бракованная. Пользуясь формулой Байеса, найдем условные вероятности гипотез:

Таким образом, в общей массе бракованных деталей на конвейере доля первого станка составляет 33%, второго – 39%, третьего – 28%.

Практические задания

Задание 1

Решение задач по основным разделам теории вероятности

Цель - получение практических навыков в решении задач по

разделам теории вероятностей

Подготовка к выполнению практического задания

Ознакомиться с теоретическим материалом по данной тематике, изучить содержание теоретического, а также соответствующие разделы в литературных источниках

Порядок выполнения задания

Решить 5 задач согласно номеру варианта задания, приведенного в таблице 1.

Варианты исходных данных

Таблица 1

Состав отчета по заданию 1

5 решенных задач согласно номеру варианта.

Задачи для самостоятельного решения

1.. Являются ли случаями следующие группы событий: а) опыт - бросание монеты; события: А1 - появление герба; А2 - появление цифры; б) опыт - бросание двух монет; события: В1 - появление двух гербов; В2 - появление двух цифр; В3 - появление одного герба и одной цифры; в) опыт - бросание игральной кости; события: С1 - появление не более двух очков; С2 - появление трех или четырех очков; С3 - появление не менее пяти очков; г) опыт - выстрел по мишени; события: D1 - попадание; D2 - промах; д) опыт - два выстрела по мишени; события: Е0 - ни одного попадания; Е1 - одно попадание; Е2 - два попадания; е) опыт - вынимание двух карт из колоды; события: F1 - появление двух красных карт; F2 - появление двух черных карт?

2. В урне A белых и B черных шаров. Из урны вынимают наугад один шар. Найти вероятность того, что этот шар - белый.

3. В урне A белых и B черных шаров. Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. После этого из урны берут еще один шар. Найти вероятность того, что этот шар тоже будет белым.

4. В урне A белых и B черных шаров. Из урны вынули один шар и, не глядя, отложили в сторону. После этого из урны взяли еще один шар. Он оказался белым. Найти вероятность того, что первый шар, отложенный в сторону, - тоже белый.

5. Из урны, содержащей A белых и B черных шаров, вынимают один за другим все шары, кроме одного. Найти вероятность того, что последний оставшийся в урне шар будет белым.

6. Из урны, в которой A белых шаров и B черных, вынимают подряд все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что вторым по порядку будет вынут белый шар.

7. В урне A белых и B черных шаров (A > 2). Из урны вынимают сразу два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

8. В урне A белых и B черных шаров (A > 2, B > 3). Из урны вынимают сразу пять шаров. Найти вероятность р того, что два из них будут белыми, а три черными.

9. В партии, состоящей из X изделий, имеется I дефектных. Из партии выбирается для контроля I изделий. Найти вероятность р того, что из них ровно J изделий будут дефектными.

10. Игральная кость бросается один раз. Найти вероятность следующих событий: А - появление четного числа очков; В - появление не менее 5 очков; С- появление не более 5 очков.

11. Игральная кость бросается два раза. Найти вероятность р того, что оба раза появится одинаковое число очков.

12. Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: А - сумма выпавших очков равна 8; В - произведение выпавших очков равно 8;С- сумма выпавших очков больше, чем их произведение.

13. Бросаются две монеты. Какое из событий является более вероятным: А - монеты лягут одинаковыми сторонами; В - монеты лягут разными сторонами?

14. В урне A белых и B черных шаров (A > 2; B > 2). Из урны вынимают одновременно два шара. Какое событие более вероятно: А - шары одного цвета; В - шары разных цветов?

15. Трое игроков играют в карты. Каждому из них сдано по 10 карт и две карты оставлены в прикупе. Один из игроков видит, что у него на руках 6 карт бубновой масти и 4 - не бубновой. Он сбрасывает две карты из этих четырех и берет себе прикуп. Найти вероятность того, что он прикупит две бубновые карты.

16. Из урны, содержащей п перенумерованных шаров, наугад вынимают один за другим все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что номера вынутых шаров будут идти по порядку: 1, 2,..., п.

17. Та же урна, что и в предыдущей задаче, но каждый шар после вынимания вкладывается обратно и перемешивается с другими, а его номер записывается. Найти вероятность того, что будет записана естественная последовательность номеров: 1, 2,..., п.

18. Полная колода карт (52 листа) делится наугад на две равные пачки по 26 листов. Найти вероятности следующих событий: А - в каждой из пачек окажется по два туза; В - в одной из пачек не будет ни одного туза, а в другой - все четыре; С-в одной из пачек будет один туз, а в другой - три.

19. В розыгрыше первенства по баскетболу участвуют 18 команд, из которых случайным образом формируются две группы по 9 команд в каждой. Среди участников соревнований имеется 5 команд

экстра-класса. Найти вероятности следующих событий: А - все команды экстра-класса попадут в одну и ту же группу; В - две команды экстра-класса попадут в одну из групп, а три - в другую.

20. На девяти карточках написаны цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Две из них вынимаются наугад и укладываются на стол в порядке появления, затем читается полученное число, например 07(семь), 14 (четырнадцать) и т. п. Найти вероятность того, что число будет четным.

21. На пяти карточках написаны цифры: 1, 2, 3, 4, 5. Две из них, одна за другой, вынимаются. Найти вероятность того, что число на второй карточке будет больше, чем на первой.

22. Тот же вопрос, что в задаче 21, но первая карточка после вынимания кладется обратно и перемешивается с остальными, а стоящее на ней число записывается.

23. В урне A белых, B черных и C красных шаров. Из урны вынимают один за другим все находящиеся в ней шары и записывают их цвета. Найти вероятность того, что в этом списке белый цвет появится раньше черного.

24. Имеется две урны: в первой A белых и B черных шаров; во второй C белых и D черных. Из каждой урны вынимается по шару. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

25. В условиях задачи 24 найти вероятность того, что вынутые шары будут разных цветов.

26. В барабане револьвера семь гнезд, из них в пяти заложены патроны, а два оставлены пустыми. Барабан приводится во вращение, в результате чего против ствола случайным образом оказывается одно из гнезд. После этого нажимается спусковой крючок; если ячейка была пустая, выстрела не происходит. Найти вероятность р того, что, повторив такой опыт два раза подряд, мы оба раза не выстрелим.

27. В тех же условиях (см. задачу 26)найти вероятность того, что оба раза выстрел произойдет.

28. В урне имеется А; шаров, помеченных номерами 1, 2, ..., к Из урны I раз вынимается по одному шару (I <к), номер шара записывается и шар кладется обратно в урну. Найти вероятность р того, что все записанные номера будут различны.

29. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность р того, что у него снова получилось слово «книга».

30. Из букв разрезной азбуки составлено слово «ананас». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность р того, что у него снова слово «ананас

31. Из полной колоды карт (52 листа, 4 масти) вынимается сразу несколько карт. Сколько карт нужно вынуть для того, чтобы с вероятностью, большей чем 0,50, утверждать, что среди них будут карты одной и той же масти?

32. N человек случайным образом рассаживаются за круглым столом (N > 2). Найти вероятность р того, что два фиксированных лица А и В окажутся рядом.

33. Та же задача (см 32), но стол прямоугольный, и N человек рассаживаются случайно вдоль одной из его сторон.

34. На бочонках лото написаны числа от 1 до N. Из этих N бочонков случайно выбираются два. Найти вероятность того что на обоих бочонках написаны числа, меньшие чем k (2

35. На бочонках лото написаны числа от 1 до N. Из этих N бочонков случайно выбираются два. Найти вероятность того что на одном из бочонков написано число, большее чем k, а на другом - меньшее чем k. (2

36. Батарея из М орудий ведет огонь по группе, состоящей из N целей (М < N). Орудия выбирают себе цели последовательно, случайным образом, при условии, что никакие два орудия стрелять по одной цели не могут. Найти вероятность р того, что будут обстреляны цели с номерами 1, 2,..., М.

37.. Батарея, состоящая из к орудий, ведет огонь по группе, состоящей из I самолетов (к < 2). Каждое орудие выбирает себе цель случайно и независимо от других. Найти вероятность того, что все к орудий будут стрелять по одной и той же цели.

38. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что все орудия будут стрелять по разным целям.

39. Четыре шарика случайным образом разбрасываются по четырем лункам; каждый шарик попадает в ту или другую лунку с одинаковой вероятностью и независимо от других (препятствий к попаданию в одну и ту же лунку нескольких шариков нет). Найти вероятность того, что в одной из лунок окажется три шарика, в другой - один, а в двух остальных лунках шариков не будет.

40. Маша поссорилась с Петей и не хочет ехать с ним в одном автобусе. От общежития до института с 7 до 8 отправляется 5 автобусов. Не успевший на эти автобусы опаздывает на лекцию. Сколькими способами Маша и Петя могут доехать до института на разных автобусах и не опоздать на лекцию?

41. В информационно-технологическом управлении банка работает 3 аналитика, 10 программистов и 20 инженеров. Для сверхурочной в праздничный день начальник управления должен выделить одного сотрудника. Сколькими способами это можно сделать?

42. Начальник службы безопасности банка должен ежедневно расставлять 10 охранников по 10 постам. Сколькими способами это можно сделать?

43. Новый президент банка должен назначить 2 новых вице президентов из числа 10 директоров. Сколькими способами это можно сделать?

44. Одна из воюющих сторон захватил 12, а другая – 15 пленных. Сколькими способами можно обменять 7 военнопленных?

45. Петя и Маша коллекционируют видеодиски. У Пети есть 30 комедий, 80 боевиков и 7 мелодрам, у Маши – 20 комедий, 5 боевиков и 90 мелодрам. Сколькими способами Петя и Маша могут обменяться 3 комедиями, 2 боевиками и 1 мелодрамой?

46. В условиях задачи 45 сколькими способами Петя и Маша могут обменяться 3 мелодрамами и 5 комедиями?

47. В условиях задачи 45 сколькими способами Петя и Маша могут обменяться 2 боевиками и 7 комедиями.

48. Одна из воюющих сторон захватил 15, а другая – 16 пленных. Сколькими способами можно обменять 5 военнопленных?

49. Сколько автомобилей можно зарегистрировать в 1 городе, если номер имеет 3 цифры и 3 буквы (только те чьё написание совпадает с латинскими – А,В,Е,К,М,Н,О,Р,С,Т,У,Х)?

50. Одна из воюющих сторон захватил 14, а другая – 17 пленных. Сколькими способами можно обменять 6 военнопленных?

51. Сколько различных слов можно составить переставляя буквы в слове «мама»?

52. В корзине 3 красных и 7 зеленых яблок. Из нее вынимают одно яблоко. Найти вероятность того, что оно будет красным.

53. В корзине 3 красных и 7 зеленых яблок. Из нее вынули и отложили в сторону одно зеленое яблоко. После чего из корзины вынимают еще 1 яблоко. Какова вероятность того, что это яблоко будет зеленым?

54. В партии, состоящей из 1000 изделий, 4 имеют дефекты. Для контроля выбирают партию из 100 изделий. Какова вероятность ТОО, что в контрольной партии не окажется бракованных?

56.В 80-е годы в СССР была популярна игра «спортлото 5 из 36». Играющий отмечал на карточке 5 чисел от 1 до 36 и получал призы различного достоинства если он угадывал разное число чисел, объявленных тиражной комиссией. Найти вероятность того, что игрок не угадал ни одного числа.

57.В 80-е годы в СССР была популярна игра «спортлото 5 из 36». Играющий отмечал на карточке 5 чисел от 1 до 36 и получал призы различного достоинства если он угадывал разное число чисел, объявленных тиражной комиссией. Найти вероятность того, что игрок угадал одно число.

58.В 80-е годы в СССР была популярна игра «спортлото 5 из 36». Играющий отмечал на карточке 5 чисел от 1 до 36 и получал призы различного достоинства если он угадывал разное число чисел, объявленных тиражной комиссией. Найти вероятность того, что игрок угадал 3 числа.

59.В 80-е годы в СССР была популярна игра «спортлото 5 из 36». Играющий отмечал на карточке 5 чисел от 1 до 36 и получал призы различного достоинства если он угадывал разное число чисел, объявленных тиражной комиссией. Найти вероятность того, что игрок не угадал все 5 чисел.

60.В 80-е годы в СССР была популярна игра «спортлото 6 из 49». Играющий отмечал на карточке 6 чисел от 1 до 49 и получал призы различного достоинства если он угадывал разное число чисел, объявленных тиражной комиссией. Найти вероятность того, что игрок угадал 2 числа.

61. В 80-е годы в СССР была популярна игра «спортлото 6 из 49». Играющий отмечал на карточке 6 чисел от 1 до 49 и получал призы различного достоинства если он угадывал разное число чисел, объявленных тиражной комиссией. Найти вероятность того, что игрок не угадал ни одного числа.

62.В 80-е годы в СССР была популярна игра «спортлото 6 из 49». Играющий отмечал на карточке 6 чисел от 1 до 49 и получал призы различного достоинства если он угадывал разное число чисел, объявленных тиражной комиссией. Найти вероятность того, что игрок угадал все 6 чисел.

63. В партии, состоящей из 1000 изделий, 4 имеют дефекты. Для контроля выбирают партию из 100 изделий. Какова вероятность ТОО, что в контрольной партии окажется только 1 бракованная?

64. Сколько различных слов можно составить переставляя буквы в слове «книга»?

65. Сколько различных слов можно составить переставляя буквы в слове «ананас»?

66. В лифт вошло 6 человек, а общежитие имеет 7 этажей. Какова вероятность того что все 6 человек выйдут на одном этаже?

67. В лифт вошло 6 человек, здание имеет 7 этажей. Какова вероятность того что все 6 человек выйдут на разных этажах?

68. Во время грозы на участке между 40 и 79 км линии электропередачи произошел обрыв провода. Считая что обрыв одинаково возможен в любой точке, найти вероятность того что обрыв произошел между 40-м и 45-м километрами.

69. На 200 километровом участке газопровода происходит утечка газа между компрессорными станциями А и В, которая одинаково возможна в любой точке трубопровода. какова вероятность того что утечка происходит не далее 20 км от А

70. На 200 километровом участке газопровода происходит утечка газа между компрессорными станциями А и В, которая одинаково возможна в любой точке трубопровода. какова вероятность того что утечка происходит ближе к А, чем к В

71. Радар инспектора ДПС имеет точность 10 км\час и округляет в ближайшую сторону. Что происходит чаще – округление в пользу водителя или инспектора?

72. Маша тратит на дорогу в институт от 40 до 50 минут, причем любое время в этом промежутке является равновероятным. Какова вероятность того что она потратит на дорогу от 45 до 50 минут.

73. Петя и Маша договорились встретиться у памятника Пушкину с 12 до 13 часов, однако никто не смог указать точно время прихода. Они договорились ждать друг друга 15 минут. Какова вероятность их встречи?

74. Рыбаки поймали в пруду 120 рыб, из них 10 оказались окольцованными. Какова вероятность поймать окольцованную рыбу?

75. Из корзины содержащей 3 красных и 7 зеленых яблок вынимают все яблоки по очереди. какова вероятность того что 2-е яблоко окажется красным?

76. Из корзины содержащей 3 красных и 7 зеленых яблок вынимают все яблоки по очереди. какова вероятность того что последнее яблоко окажется зеленым?

77. Студенты считают что из 50 билетов 10 являются «хорошими». Петя и Маша по очереди тянут по одному билету. Какова вероятность того, что Маше достался «хороший» билет?

78. Студенты считают что из 50 билетов 10 являются «хорошими». Петя и Маша по очереди тянут по одному билету. Какова вероятность того, что им обоим достался «хороший» билет?

79. Маша пришла на экзамен зная ответы на 20 вопросов программы из 25. Профессор задает 3 вопроса. Какова вероятность того что Маша ответит на 3 вопроса?

80. Маша пришла на экзамен зная ответы на 20 вопросов программы из 25. Профессор задает 3 вопроса. Какова вероятность того что Маша не ответит ни на один вопрос?

81. Маша пришла на экзамен зная ответы на 20 вопросов программы из 25. Профессор задает 3 вопроса. Какова вероятность того что Маша ответит на 1 вопрос?

82. Статистика запросов кредитов в банке такова: 10% - гос. органы, 20% - другие банки, остальное – физические лица. Вероятность невозвращения кредитов соответственно 0.01, 0.05 и 0.2. Какая доля кредитов не возвращается?

83. вероятность того что недельный оборот торговца мороженым превысит 2000 руб. составляет 80% при ясной погоде, 50 % при переменной облачности и 10% при дождливой погоде. Какова вероятность что оборот превысит 2000 руб. если вероятность ясной погоды – 20%, а переменной облачности и дождей – по 40%.

84. В урне А белых (б) и В черных (ч) шаров. Из урны вынимают (одновременно или последовательно) два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

85. В урне А белых и В

86. В урне А белых и В

87. В урне А белых и В черных шаров. Из урны вынимается один шар, отмечается его цвет и шар возвращается в урну. После этого из урны берется еще один шар. Найти вероятность того, что эти шары будут разных цветов.

88. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча; после игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличают. Какова вероятность того, что после трех игр в коробке не останется неигранных мячей?

89. Уходя из квартиры, N каждый гость наденет свои калоши;

90. Уходя из квартиры, N гостей, имеющих одинаковые размеры обуви, надевают калоши в темноте. Каждый из них может отличить правую калошу от левой, но не может отличить свою от чужой. Найти вероятность того что каждый гость, наденет калоши, относящиеся к одной паре (может быть и не свои).

91. В условиях задачи 90найти вероятность того что каждый уйдет в своих калошах если гости не могут отличить правой калоши от левой и просто берут первые попавшиеся две калоши.

92. Ведется стрельба по самолету, уязвимыми частями которого являются два двигателя и кабина пилота. Для того чтобы поразить (вывести из строя) самолет, достаточно поразить оба двигателя вместе или кабину пилота. При данных условиях стрельбы вероятность поражения первого двигателя равна p1 второго двигателя р2, кабины пилота р3. Части самолета поражаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что самолет будет поражен.

93. Два стрелка, независимо один от другого, делают по два выстрела (каждый по своей мишени). Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка p1 для второго р2. Выигравшим соревнование считается тот стрелок, в мишени которого будет больше пробоин. Найти вероятность Рх того, что выиграет первый стрелок.

94. за космическим объектом, объект обнаруживается с вероятностью р. Обнаружение объекта в каждом цикле происходит независимо от других. Найти вероятность того, что при п циклах объект будет обнаружен.

95. 32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Пять карточек вынимаются наугад одна за другой и укладываются на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что получится слово «конец».

96. Два шарика разбрасываются случайно и независимо друг от друга по четырем ячейкам, расположенным одна за другой по прямой линии. Каждый шарик с одинаковой вероятностью 1/4 попадает в каждую ячейку. Найти вероятность того, что шарики попадут в соседние ячейки.

97. Производится стрельба по самолету зажигательными снарядами. Горючее на самолете сосредоточено в четырех баках, расположенных в фюзеляже один за другим. Площади баков одинаковы. Для того чтобы зажечь самолет, достаточно попасть двумя снарядами либо в один и тот же бак, либо в соседние баки. Известно, что в область баков попало два снаряда. Найти вероятность того, что самолет загорится.

98. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу четыре карты. Найти вероятность того, что все эти четыре карты будут разных мастей.

99. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу четыре карты, но каждая карта после вынимания возвращается в колоду. Найти вероятность того, что все эти четыре карты будут разных мастей..

100. При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью р.

101. Прибор может работать в двух режимах: 1) нормальном и 2) ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80 % всех случаев работы прибора; ненормальный - в 20 %. Вероятность выхода прибора из строя за время t в нормальном режиме равна 0,1; в ненормальном - 0,7. Найти полную вероятность р выхода прибора из строя.

102. Магазин получает товар от 3 поставщиков: 55% от 1-го, 20 от 2-го и 25% от 3-го. Доля брака составляет 5, 6 и 8 процентов соответственно. Какова вероятность того что купленный бракованный товар поступил от второго поставщика.

103.Поток автомобилей мимо АЗС состоит на 60% из грузовых и на 40% из легковых автомобилей. Какова вероятность нахождения на АЗС грузового автомобиля, если вероятность его заправки 0.1, а легкового – 0.3

104. Поток автомобилей мимо АЗС состоит на 60% из грузовых и на 40% из легковых автомобилей. Какова вероятность нахождения на АЗС грузового автомобиля, если вероятность его заправки 0.1, а легкового – 0.3

105. Магазин получает товар от 3 поставщиков: 55% от 1-го, 20 от 2-го и 25% от 3-го. Доля брака составляет 5, 6 и 8 процентов соответственно. Какова вероятность того что купленный бракованный товар поступил от 1-го поставщика.

106. 32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Пять карточек вынимаются наугад одна за другой и укладываются на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что получится слово «книга».

107. Магазин получает товар от 3 поставщиков: 55% от 1-го, 20 от 2-го и 25% от 3-го. Доля брака составляет 5, 6 и 8 процентов соответственно. Какова вероятность того что купленный бракованный товар поступил от 1-го поставщика.

108. Два шарика разбрасываются случайно и независимо друг от друга по четырем ячейкам, расположенным одна за другой по прямой линии. Каждый шарик с одинаковой вероятностью 1/4 попадает в каждую ячейку. Найти вероятность того, что 2 шарика попадут в одну ячейку

109. При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью р. Найти вероятность того, что двигатель начнет работать при втором включении зажигания;

110. Производится стрельба по самолету зажигательными снарядами. Горючее на самолете сосредоточено в четырех баках, расположенных в фюзеляже один за другим. Площади баков одинаковы. Для того чтобы зажечь самолет, достаточно попасть двумя снарядами в один и тот же бак. Известно, что в область баков попало два снаряда. Найти вероятность того, что самолет загорится

111. Производится стрельба по самолету зажигательными снарядами. Горючее на самолете сосредоточено в четырех баках, расположенных в фюзеляже один за другим. Площади баков одинаковы. Для того чтобы зажечь самолет, достаточно попасть двумя снарядами в соседние баки. Известно, что в область баков попало два снаряда. Найти вероятность того, что самолет загорится

112.В урне А белых и В черных шаров. Из урны вынимается один шар, отмечается его цвет и шар возвращается в урну. После этого из урны берется еще один шар. Найти вероятность того, что оба вынутые шара будут белыми.

113. В урне А белых и В черных шаров. Из урны вынимаются сразу два шара. Найти вероятность того, что эти шары будут разных цветов.

114. Два шарика разбрасываются случайно и независимо друг от друга по четырем ячейкам, расположенным одна за другой по прямой линии. Каждый шарик с одинаковой вероятностью 1/4 попадает в каждую ячейку. Найти вероятность того, что шарики попадут в соседние ячейки.

115. Маша пришла на экзамен зная ответы на 20 вопросов программы из 25. Профессор задает 3 вопроса. Какова вероятность того что Маша ответит на 2 вопроса?

116. Студенты считают что из 50 билетов 10 являются «хорошими». Петя и Маша по очереди тянут по одному билету. Какова вероятность того, что им обоим достался «хороший» билет?

117. Статистика запросов кредитов в банке такова: 10% - гос. органы, 20% - другие банки, остальное – физические лица. Вероятность невозвращения кредитов соответственно 0.01, 0.05 и 0.2. Какая доля кредитов не возвращается?

118. 32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Пять карточек вынимаются наугад одна за другой и укладываются на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что получится слово «конец».

119 Статистика запросов кредитов в банке такова: 10% - гос. органы, 20% - другие банки, остальное – физические лица. Вероятность невозвращения кредитов соответственно 0.01, 0.05 и 0.2. Какая доля кредитов не возвращается?

120. вероятность того что недельный оборот торговца мороженым превысит 2000 руб. составляет 80% при ясной погоде, 50 % при переменной облачности и 10% при дождливой погоде. Какова вероятность что оборот превысит 2000 руб. если вероятность ясной погоды – 20%, а переменной облачности и дождей – по 40%.

Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Кафедра высшей математики

по дисциплине: «Теория вероятностей и математическая статистика»

«Формула полной вероятности и формула Бейеса(Байеса) и их применение»

Выполнил:

Руководитель: профессор Б.П.Зеленцов

Новосибирск, 2010

Введение 3

1. Формула полной вероятности 4-5

2. Формула Байеса(Бейеса) 5-6

3. Задачи с решениями 7-11

4. Основные сферы применения формулы Байеса(Бейеса) 11

Заключение 12

Литература 13

Введение

Теория вероятностей является одним из классических разделов математики. Она имеет длительную историю. Основы этого раздела науки были заложены великими математиками. Назову, например, Ферма, Бернулли, Паскаля.
Позднее развитие теории вероятностей определились в работах многих ученых.
Большой вклад в теорию вероятностей внесли ученые нашей страны:
П.Л.Чебышев, А.М.Ляпунов, А.А.Марков, А.Н.Колмогоров. Вероятностные и статистические методы в настоящее время глубоко проникли в приложения. Они используются в физике, технике, экономке, биологии и медицине. Особенно возросла их роль в связи с развитием вычислительной техники.

Например, для изучения физических явлений производят наблюдения или опыты. Их результаты обычно регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При повторении опытов мы обнаруживаем разброс их результатов. Например, повторяя измерения одной и той же величины одним и тем же прибором при сохранении определенных условий (температура, влажность и т.п.), мы получаем результаты, которые хоть немного, но все же отличаются друг от друга. Даже многократные измерения не дают возможности точно предсказать результат следующего измерения. В этом смысле говорят, что результат измерения есть величина случайная. Еще более наглядным примером случайной величины может служить номер выигрышного билета в лотерее. Можно привести много других примеров случайных величин. Все же и в мире случайностей обнаруживаются определенные закономерности. Математический аппарат для изучения таких закономерностей и дает теория вероятностей.
Таким образом, теория вероятностей занимается математическим анализом случайных событий и связанных с ними случайных величин.

1. Формула полной вероятности.

Пусть имеется группа событий H 1 , H 2 ,..., H n , обладающая следую­щими свойствами:

1) все события попарно несовместны: H i

H j =Æ; i , j =1,2,...,n ; i ¹ j ;

2) их объединение образует пространство элементарных исходов W:

.

Рис.8

В этом случае будем говорить, что H 1 , H 2 ,...,H n образуют полную группу событий . Такие события иногда называют гипотезами .

Пусть А – некоторое событие: А ÌW (диаграмма Венна представлена на рисунке 8). Тогда имеет место формула полной вероятности:

P (A ) = P (A /H 1)P (H 1) + P (A /H 2)P (H 2) + ...+P (A /H n )P (H n ) =

Доказательство. Очевидно: A =

, причем все события (i = 1,2,...,n ) попарно несовместны. Отсюда по теореме сложения вероятностей получаем

P (A ) = P (

) + P () +...+ P (

Если учесть, что по теореме умножения P (

) = P (A/H i)P (H i) (i = 1,2,...,n ), то из последней формулы легко получить приведенную выше формулу полной вероятности.

Пример . В магазине продаются электролампы производства трех заводов, причем доля первого завода - 30%, второго - 50%, третьего - 20%. Брак в их продукции составляет соответственно 5%, 3% и 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампа оказалась бракованной.

Пусть событие H 1 состоит в том, что выбранная лампа произведена на первом заводе, H 2 на втором, H 3 - на третьем заводе. Очевидно:

P (H 1) = 3/10, P (H 2) = 5/10, P (H 3) = 2/10.

Пусть событие А состоит в том, что выбранная лампа оказалась бракованной; A/H i означает событие, состоящее в том, что выбрана бракованная лампа из ламп, произведенных на i -ом заводе. Из условия задачи следует:

P (A / H 1) = 5/10; P (A / H 2) = 3/10; P (A / H 3) = 2/10

По формуле полной вероятности получаем

2. Формула Байеса(Бейеса)

Пусть H 1 ,H 2 ,...,H n - полная группа событий и А Ì W – некоторое событие. Тогда по формуле для условной вероятности

(1)

Здесь P (H k /A ) – условная вероятность события (гипотезы) H k или вероятность того, что H k реализуется при условии, что событие А произошло.

По теореме умножения вероятностей числитель формулы (1) можно представить в виде

P = P = P (A /H k )P (H k )

Для представления знаменателя формулы (1) можно использовать формулу полной вероятности

P (A )

Теперь из (1) можно получить формулу, называемую формулой Байеса :

По формуле Байеса исчисляется вероятность реализации гипотезы H k при условии, что событие А произошло. Формулу Байеса еще называют формулой вероятности гипотез. Вероятность P (H k ) называют априорной вероятностью гипотезы H k , а вероятность P (H k /A ) – апостериорной вероятностью.

Теорема. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события.

Пример. Рассмотрим приведенную выше задачу об электролампах, только изменим вопрос задачи. Пусть покупатель купил электролампу в этом магазине, и она оказалась бракованной. Найти вероятность того, что эта лампа изготовлена на втором заводе. Величина P (H 2) = 0,5 в данном случае это априорная вероятность события, состоящего в том, что купленная лампа изготовлена на втором заводе. Получив информацию о том, что купленная лампа бракованная, мы можем поправить нашу оценку возможности изготовления этой лампы на втором заводе, вычислив апостериорную вероятность этого события.

События образуют полную группу , если хотя бы одно из них обязательно произойдет в результате эксперимента и попарно несовместны.

Предположим, что событие A может наступить только вместе с одним из нескольких попарно несовместных событий , образующих полную группу. Будем называть события (i = 1, 2,…, n ) гипотезами доопыта (априори). Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности :

Пример 16. Имеются три урны. В первой урне находятся 5 белых и 3 черных шара, во второй – 4 белых и 4 черных шара, а в третьей – 8 белых шаров. Наугад выбирается одна из урн (это может означать, например, что осуществляется выбор из вспомогательной урны, где находятся три шара с номерами 1, 2 и 3). Из этой урны наудачу извлекается шар. Какова вероятность того, что он окажется черным?

Решение. Событие A – извлечен черный шар. Если было бы известно, из какой урны извлекается шар, то искомую вероятность можно было бы вычислить по классическому определению вероятности. Введем предположения (гипотезы) относительно того, какая урна выбрана для извлечения шара.

Шар может быть извлечен или из первой урны (гипотеза ), или из второй (гипотеза ), или из третьей (гипотеза ). Так как имеются одинаковые шансы выбрать любую из урн, то .

Отсюда следует, что

Пример 17. Электролампы изготавливаются на трех заводах. Первый завод производит 30 % общего количества электроламп, второй – 25 %,
а третий – остальную часть. Продукция первого завода содержит 1% бракованных электроламп, второго – 1,5 %, третьего – 2 %. В магазин поступает продукция всех трех заводов. Какова вероятность того, что купленная в магазине лампа оказалась бракованной?

Решение. Предположения необходимо ввести относительно того, на каком заводе была изготовлена электролампа. Зная это, мы сможем найти вероятность того, что она бракованная. Введем обозначения для событий: A – купленная электролампа оказалась бракованной, – лампа изготовлена первым заводом, – лампа изготовлена вторым заводом,
– лампа изготовлена третьим заводом.

Искомую вероятность находим по формуле полной вероятности:

Формула Байеса. Пусть – полная группа попарно несовместных событий (гипотезы). А – случайное событие. Тогда,

Последнюю формулу, позволяющей переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А, называют формулой Байеса .

Пример 18. В специализированную больницу поступают в среднем 50 % больных с заболеванием К , 30 % – c заболеванием L , 20 % –
с заболеванием M . Вероятность полного излечения болезни K равна 0,7 для болезней L и M эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найдите вероятность того, что этот больной страдал заболеванием K .

Решение. Введем гипотезы: – больной страдал заболеванием К L , – больной страдал заболеванием M .

Тогда по условию задачи имеем . Введем событие А – больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. По условию

По формуле полной вероятности получаем:

По формуле Байеса .

Пример 19. Пусть в урне пять шаров и все предположения о количестве белых шаров равновозможные. Из урны наудачу взят шар, он оказался белым. Какое предположение о начальном составе урны наиболее вероятно?

Решение. Пусть – гипотеза, состоящая в том, что в урне белых шаров , т. е. возможно сделать шесть предположений. Тогда по условию задачи имеем .

Введем событие А – наудачу взятый шар белый. Вычислим . Так как , то по формуле Байеса имеем:

Таким образом, наиболее вероятной является гипотеза , т. к. .

Пример 20. Два из трех независимо работающих элемента вычислительного устройства отказали. Найдите вероятность того, что отказали первый и второй элементы, если вероятности отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,2; 0,4 и 0,3.

Решение. Обозначим через А событие – отказали два элемента. Можно сделать следующие гипотезы:

– отказали первый и второй элементы, а третий элемент исправен. Поскольку элементы работают независимо, применима теорема умножения:

Цель работы: сформировать навыки решения задач по теории вероятностей с помощью формулы полной вероятности и формулы Байеса.

Формула полной вероятности

Вероятность события А , которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В х,В 2 ,...,В п, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Эту формулу называют формулой полной вероятности.

Вероятность гипотез. Формула Байеса

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В ь В 2 ,...,В п, образующих полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности:

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А . Требуется определить, как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез. Условные вероятности гипотез находят по формуле

В этой формуле индекс / = 1,2

Эту формулу называют формулой Байеса (по имени английского математика, который её вывел; опубликована в 1764 г.). Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А .

Задача 1. Завод изготавливает определённого типа детали, каждая деталь имеет дефект с вероятностью 0,05. Деталь осматривается одним контролёром; он обнаруживает дефект с вероятностью 0,97, а если дефект не обнаружен, пропускает деталь в готовую продукцию. Кроме того, контролер может по ошибке забраковать деталь, не имеющую дефекта; вероятность этого равна 0,01. Найти вероятности следующих событий: А - деталь будет забракована; В - деталь будет забракована, но ошибочно; С - деталь будет пропущена в готовую продукцию с дефектом.

Решение

Обозначим гипотезы:

Н = (на контроль поступит стандартная деталь);

Н =(на контроль поступит нестандартная деталь).

Событие А = (деталь будет забракована).

Из условия задачи находим вероятности

Р Н (А) = 0,01; Pfi(A) = 0,97.

По формуле полной вероятности получаем

Вероятность того, что деталь будет забракована ошибочно, равна

Найдём вероятность того, что деталь будет пропущена в готовую продукцию с дефектом:

Ответ:

Задача 2. Изделие проверяется на стандартность одним из трёх товароведов. Вероятность того, что изделие попадёт к первому товароведу, равна 0,25, ко второму - 0,26 и к третьему - 0,49. Вероятность того, что изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,95, вторым - 0,98, третьим - 0,97. Найти вероятность того, что стандартное изделие проверено вторым контролёром.

Решение

Обозначим события:

Л. = (изделие для проверки попадёт к /-му товароведу); / = 1, 2, 3;

В = (изделие будет признано стандартным).

По условию задачи известны вероятности:

Также известны условные вероятности

По формуле Байеса находим вероятность того, что стандартное изделие проверено вторым контролёром:

Ответ: «0,263.

Задача 3. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,06, а на втором - 0,09. Производительность второго автомата вдвое больше, чем первого. С конвейера взята нестандартная деталь. Найти вероятность того, что эта деталь произведена вторым автоматом.

Решение

Обозначим события:

А. = (взятая с конвейера деталь произведена /-м автоматом); / = 1,2;

В = (взятая деталь окажется нестандартной).

Также известны условные вероятности

По формуле полной вероятности находим

По формуле Байеса находим вероятность того, что взятая нестандартная деталь произведена вторым автоматом:

Ответ: 0,75.

Задача 4. Испытывается прибор, состоящий из двух узлов, надёжность которых равна 0,8 и 0,9 соответственно. Узлы отказывают независимо друг от друга. Прибор отказал. Найти с учётом этого вероятности гипотез:

• а) неисправен только первый узел;
• б) неисправен только второй узел;
• в) неисправны оба узла.

Решение

Обозначим события:

Д = (7-й узел не выйдет из строя); i = 1,2;

Д - соответствующие противоположные события;

А = (при испытании будет отказ прибора).

Из условия задачи получаем: Р(Д) = 0,8; Р(Л 2) = 0,9.

По свойству вероятностей противоположных событий

Событие А равно сумме произведений независимых событий

Используя теорему сложения вероятностей несовместных событий и теорему умножения вероятностей независимых событий, получаем

Теперь находим вероятности гипотез:

Ответ:

Задача 5. На заводе болты изготавливаются на трёх станках, которые производят соответственно 25%, 30% и 45% всего количества болтов. В продукции станков брак составляет соответственно 4%, 3% и 2%. Какова вероятность того, что болт, случайно взятый из поступившей продукции, окажется дефектным?

Решение

Обозначим события:

4 = (наудачу взятый болт изготовлен на /-м станке); i = 1, 2, 3;

В = (взятый наудачу болт окажется дефектным).

Из условия задачи по формуле классической вероятности находим вероятности гипотез:

Также по формуле классической вероятности находим условные вероятности:

По формуле полной вероятности находим

Ответ: 0,028.

Задача 6. Электронная схема принадлежит одной из трёх партий с вероятностями 0,25; 0,5 и 0,25. Вероятность того, что схема проработает сверх гарантийного срока службы для каждой из партий, соответственно составляет 0,1; 0,2 и 0,4. Найти вероятность того, что наугад взятая схема проработает сверх гарантийного срока службы.

Решение

Обозначим события:

4 = (наугад взятая схема из г-й партии); i = 1, 2, 3;

В = (наугад взятая схема проработает сверх гарантийного срока службы).

По условию задачи известны вероятности гипотез:

Также известны условные вероятности:

По формуле полной вероятности находим

Ответ: 0,225.

Задача 7. Прибор содержит два блока, исправность каждого из которых необходима для функционирования прибора. Вероятности безотказной работы для этих блоков соответственно равны 0,99 и 0,97. Прибор вышел из строя. Определить вероятность того, что отказали оба блока.

Решение

Обозначим события:

Д = (z-й блок выйдет из строя); i = 1,2;

А = (устройство выйдет из строя).

Из условия задачи по свойству вероятностей противоположных событий получаем: ДД) = 1-0,99 = 0,01; ДД) = 1-0,97 = 0,03.

Событие А наступает только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий Д или А 2 . Поэтому это событие равно сумме событий А = Д + А 2 .

По теореме сложения вероятностей совместных событий получаем

По формуле Байеса находим вероятность того, что устройство вышло из строя из-за отказа обоих блоков.

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения Задача 1. На складе телевизионного ателье имеется 70% кинескопов, изготовленных заводом № 1; остальные кинескопы изготовлены заводом № 2. Вероятность того, что кинескоп не выйдет из строя в течение гарантийного срока службы, равна 0,8 для кинескопов завода № 1 и 0,7 - для кинескопов завода № 2. Кинескоп выдержал гарантийный срок службы. Найти вероятность того, что он изготовлен заводом № 2.

Задача 2. На сборку поступают детали с трёх автоматов. Известно, что 1-й автомат даёт 0,3% брака, 2-й - 0,2%, 3-й - 0,4%. Найти вероятность поступления на сборку бракованной детали, если с 1-го автомата поступили 1000, со 2-го - 2000, с 3-го - 2500 деталей.

Задача 3. На двух станках производятся одинаковые детали. Вероятность того, что деталь, произведённая на первом станке, будет стандартной, равна 0,8, а на втором - 0,9. Производительность второго станка втрое больше производительности первого. Найти вероятность того, что стандартной будет деталь, взятая наудачу с транспортёра, на который поступают детали с обоих станков.

Задача 4. Руководитель компании решил воспользоваться услугами двух из трёх транспортных фирм. Вероятности несвоевременной доставки груза для первой, второй и третьей фирм равны соответственно 0,05; 0,1 и 0,07. Сопоставив эти данные с данными о безопасности грузоперевозок, руководитель пришёл к выводу о равнозначности выбора и решил сделать его по жребию. Найти вероятность того, что отправленный груз будет доставлен своевременно.

Задача 5. Прибор содержит два блока, исправность каждого из которых необходима для функционирования прибора. Вероятности безотказной работы для этих блоков соответственно равны 0,99 и 0,97. Прибор вышел из строя. Определите вероятность того, что отказал второй блок.

Задача 6. В сборочный цех поступают детали с трёх автоматов. Первый автомат даёт 3% брака, второй - 1% и третий - 2%. Определить вероятность попадания на сборку небракованной детали, если с каждого автомата поступило соответственно 500, 200, 300 деталей.

Задача 7. На склад поступает продукция трёх фирм. Причём продукция первой фирмы составляет 20%, второй - 46% и третьей - 34%. Известно также, что средний процент нестандартных изделий для первой фирмы равен 5%, для второй - 2% и для третьей - 1%. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие произведено второй фирмой, если оно оказалось стандартным.

Задача 8. Брак в продукции завода вследствие дефекта а составляет 5%, причём среди забракованных по признаку а продукции в 10% случаев встречается дефект р. А в продукции, свободной от дефекта а , дефект р встречается в 1% случаев. Найти вероятность встречи дефекта Р во всей продукции.

Задача 9. В фирме имеются 10 новых автомобилей и 5 старых, которые ранее находились в ремонте. Вероятность исправной работы для нового авто равна 0,94, старого - 0,91. Найти вероятность того, что наудачу выбранный автомобиль будет исправно работать.

Задача 10. Два датчика посылают сигналы в общий канал связи, причём первый из них посылает вдвое больше сигналов, чем второй. Вероятность получить искажённый сигнал от первого датчика равна 0,01, от второго - 0,03. Какова вероятность получить искажённый сигнал в общем канале связи?

Задача 11. Имеется пять партий изделий: три партии по 8 штук, из которых 6 стандартных и 2 нестандартных, и две партии по 10 штук, из которых 7 стандартных и 3 нестандартных. Наудачу выбирают одну из партий, а из этой партии берут деталь. Определить вероятность того, что взятая деталь будет стандартной.

Задача 12. Сборщик получает в среднем 50% деталей первого завода, 30% - второго завода и 20% - третьего завода. Вероятность того, что деталь первого завода отличного качества, равна 0,7; для деталей второго и третьего заводов соответственно 0,8 и 0,9. Наудачу взятая деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что деталь изготовлена первым заводом.

Задача 13. Таможенный досмотр автомашин осуществляют два инспектора. В среднем из 100 машин 45 проходят через первого инспектора. Вероятность того, что при досмотре машина, соответствующая таможенным правилам, не будет задержана, составляет 0,95 у первого инспектора и 0,85 - у второго. Найти вероятность того, что машина, соответствующая таможенным правилам, не будет задержана.

Задача 14. Детали, необходимые для сборки прибора, поступают с двух автоматов, производительность которых одинакова. Вычислите вероятность поступления на сборку стандартной детали, если один из автоматов даёт в среднем 3% нарушения стандарта, а второй - 2%.

Задача 15. Тренер по тяжёлой атлетике рассчитал, что для получения командных зачётных очков в данной весовой категории спортсмен должен толкнуть штангу в 200 кг. На место в команде претендуют Иванов, Петров и Сидоров. Иванов за время тренировок пытался поднять такой вес в 7 случаях, а поднял в 3 из них. Петров поднял в 6 случаях из 13, а Сидоров имеет 35%-ную вероятность успешно справиться со штангой. Тренер случайным жребием выбирает одного спортсмена в команду.

• а) Найти вероятность того, что выбранный спортсмен принесёт команде зачётные очки.
• б) Команда не получила зачётных очков. Найти вероятность того, что выступал Сидоров.

Задача 16. В белом ящике 12 красных и 6 синих шаров. В черном - 15 красных и 10 синих шаров. Бросают игральный кубик. Если выпадет количество очков, кратное 3, то наугад берут шар из белого ящика. Если выпадет любое другое количество очков, то наугад берут шар из черного ящика. Какова вероятность появления красного шара?

Задача 17. В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике содержится 12 ламп, из них 1 нестандартная; во втором 10 ламп, из них 1 нестандартная. Из первого ящика наудачу взята лампа и переложена во второй. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной.

Задача 18. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

Задача 19. В ящик, содержащий 3 одинаковые детали, брошена стандартная деталь, а затем наудачу одна деталь извлечена. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей, первоначально находящихся в ящике.

Задача 20. Для улучшения качества радиосвязи используются два радиоприемника. Вероятность приема сигнала каждым приемником равна 0,8, и эти события (прием сигнала приемником) независимы. Определить вероятность приема сигнала, если вероятность безотказной работы за время сеанса радиосвязи для каждого приемника равна 0,9.