Автомобиль движется вдоль прямой дороги. Задачи. Относительность движения

υ 2 = 54км/ч. Пассажир в первом поезде замечает, что второй поезд проходит мимо него за времяt = 6с. Какова длинаL второго поезда?

1.2. Из пунктов А и В , расстояние между которымиL , одновременно начали двигаться два автомобиля: первый - со скоростьюυ 1 , второй - со скоростьюυ 2 . Определить, через какое времяt они встретятся, и расстояниеd от пунктаА до места встречи.

1.3. По двум взаимно перпендикулярным дорогам движутся равномерно два автомобиля со скоростями υ 1 = 72км/ч иυ 2 = 54км/ч. На каком расстоянииL друг от друга окажутся автомобили через времяt = 10 мин после встречи у перекрестка?

1.4. Водитель заметил, что капли дождя, падающие отвесно относительно Земли, перестают падать на заднее стекло после достижения автомобилем скорости υ 0 = 60 км/ч. Зная, что стекло наклонено под углом α = 45° к горизонту, найдите скоростьu капель дождя относительно Земли.

1.5. Мяч, движущийся со скоростью υ = 12м/с, ударяется о ногу футболиста. С какой скоростьюи должна двигаться нога футболиста, чтобы в результате удара мяч остановился? Считать массу мяча пренебрежимо малой, а удар - абсолютно упругим.

1.6. Определить наименьшую скорость υ лодки относительно воды, при которой лодка может пересечь реку под углом α= 60º к направлению течения. Скорость теченияи = 3км/ч.

1.7. Автомобиль проехал первую половину пути со скоростью υ 1 = 40км/ч, вторую - со скоростьюυ 2 = 60км/ч. Найти среднюю скоростьυ ср на всем пройденном пути.

1.8. Самолет летит из пункта А в пунктВ и возвращается назад в пункт А. Скорость самолета в безветренную

погоду равна υ. Найти отношение средних скоростей всего перелета для двух случаев, когда во время полета дует ветер со скоростьюи : а) перпендикулярно линииАВ; б) вдоль линииАВ.

1.9. Две частицы движутся с постоянными скоростями υ 1

и υ 2 по двум взаимно перпендикулярным прямым к точке их пересечения О. В моментt = 0 частицы находились на расстоя-

ниях l 1 иl 2 от точки О соответственно. Через какое времяt после этого расстояние между частицами станет наименьшим?

t = 10с, а затем проехало по горизонтальному участку ещеl = 20м до остановки. Найти скоростьυ в конце горы, общее время движенияТ , среднюю скоростьυ ср на всем пути.

1.13. По графикама х =а х (t) для прямолинейного движения материальной точки построить графики зависимостиυ х = υ х (t), считая, что в начальный момент времениt = 0 скорость точки равна нулю (рис. 1.3).

1.14. Графики зависимости проекции скорости для прямолинейного движения некоторого тела от времени изображены на рис.1.4. Начертить графики зависимости проекции ускорения, координаты тела и пройденного пути от времени в течение первых четырех секунд.

1.15. На рис.1.5 даны графики зависимости от времени скоростей для двух точек, движущихся по одной прямой из одного и того же начального положения. В какой момент времени Т точки встретятся? Построить графики зависимости координат тел от времени.

1.16. В момент t = 0 точка вы-

υх

шла из начала координат вдоль оси 0х . Проекция ее скорости меняется по законуυ х =υ 0 (l -t /τ), гдеυ 0 = 10см/с- модуль начальной скорости. Найти: а) координатух точки в момент времениt 1 = 6с; б) путьs, пройденный точкой за первыеt 2 = 8с.

1.17. Человек движется вдоль прямой дороги со скоростьюυ 1 = 3,6км/ч. Eго обгоняет автомобиль, движущийся со скоростьюυ 2 = 72 км/ч. Спустя времяt 1 = 1мин после этого автомобиль начинает тормозить с постоянным ускорениема = 2м/с2 до полной остановки. Определите расстояниеs между человеком и автомобилем черезt 2 = 5мин после обгона.

1.18. Автобус, двигаясь прямолинейно со скоростьюυ = 18км/ч, проехал мимо остановки. Человек, стоявший на остановке, побежал за автобусом, двигаясь равноускоренно. С каким ускорениема должен бежать человек, чтобы догнать автобус на расстоянииs = 100 м от остановки? Какую скоростьυ 1 будет иметь человек в этот момент?

1.19. Тело брошено вертикально вверх на горизонтальной поверхности и дважды проходит через точку на высоте h . Промежуток между этими моментами равенt. Найти начальную скоростьυ 0 и полное времяТ движения.

1.20. Одно тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью υ 0 , другое падает с высотыН 0 без начальной скорости. Движения начались одновременно и происходят

по одной прямой. Найти зависимость расстояния Н между телами от времени.

1.21. Сколько времени Т падало тело, если за последниеt = 2с оно прошло путьs = 60м?

1.22. За какое время t тело, свободно падающее без начальной скорости, проходит n -й сантиметр своего пути?

1.23. С высокой башни друг за другом бросают два тела

с одинаковыми скоростями υ 0 . Первое тело бросают вверх; спустя время τ бросают второе - вертикально вниз. Опре-

делить скорость υ тел относительно друг друга и расстояниеr между ними в момент времениt > τ.

2. КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ

2.1. Тело брошено с высоты Н = 5м горизонтально со скоростьюυ 0 = 6м/с. Найти величину скоростиυ и уголβ между вектором скорости и поверхностью в момент падения тела на землю.

2.2. Снаряд, вылетевший из орудия под некоторым углом к горизонту, находился в полете время t = 12с. Какой наибольшей высотыН достиг снаряд?

2.3. Два тела брошены с одинаковой по величине начальной скоростью под углами α 1 = 30° иα 2 = 60° к горизонту. Найти отношения высот подъемаН 1 /Н 2 и дальностей полетаL 1 /L 2 .

2.4. Два тела бросили одновременно из одной точки: одно - вертикально вверх, другое - под углом α = 60° к горизонту. Начальная скорость каждого тела υ 0 = 25м/с. Найти расстояниеL между телами через времяt = 1,7с.

2.5. Под углом α = 60° к горизонту брошено тело с начальной скоростьюυ 0 = 20м/с. Через какое времяt тело будет двигаться под угломβ = 45° к горизонту?

2.6. Цель, находящаяся на холме, видна с места расположения орудия под углом а = 30° к горизонту. Расстояние по горизонтали до основания холмаL = 1км. Стрельба производится под угломβ = 60° к горизонту. Какова должна

быть начальная скорость υ 0 , чтобы снаряды попадали в цель?

2.7. Тело падает с высоты Н = 2м на наклонную плоскость. Через какое времяt после отражения тело снова упадет на наклонную плоскость? Считать удар тела о плоскость абсолютно упругим.

2.8. Воздушный шар поднимается с поверхности Земли с постоянной вертикальной скоростью υ 0 . Из-за ветра шар приобретает горизонтальную компоненту скоростиυ х = by, гдеb - по-

стоянная, у - высота подъема. Записать уравнение траектории шара.

2.9. Какова линейная скорость точек земной поверхности на широте Санкт-Петербурга (φ = 60°) при суточном вращении Земли, радиус которойR = 6400км?

2.10. Во сколько раз n угловая скорость вращения минутной стрелки часов больше угловой скорости часовой стрелки?

2.11. Радиус-вектор некоторой точки меняется со време-

нем по закону r cti bt 2 j , гдес, b - положительные по-

стоянные; i , j - орты осейх иу. Найти: а) уравнение траектории точкиу =у(х) и изобразить ее; б)зависимости от времени векторов скорости, ускорения и их модулей; в) зависимость от времени угла α между векторами ускорения и скорости.

2.12. Два шарика движутся с постоянными угловыми скоростями ω 1 = 0,2рад/с иω 2 = 0,1 рад/с по окружности. Считая, что движение началось из одной точки, определить, через какое времяt шарики столкнутся.

2.13. Два шарика движутся с постоянными угловыми скоростями по окружности. Считая, что движение началось из одной точки, определить, при каком отношении угловых скоростей столкновение шариков произойдет в точке старта.

2.14. Точка движется по окружности радиуса R = 20см равноускоренно с тангенциальным ускорениема τ = 5см/с. Через какое времяt (после начала движения) нормальное ускорение будет вп = 2 раза больше тангенциального? Начальная скорость равна нулю.

2.15. Поезд выезжает на закругленный участок пути с начальной скоростью υ 0 = 54км/ч и проходит путьs = 600м за времяt = 30с. Радиус закругленияR = 1км. Определить скоростьυ и полное ускорениеа в конце этого пути.

2.16. Точка движется по окружности со скоростьюυ = bt, гдеb = 0,5м/с2 . Найти полное ускорениеа точки в момент, когда она пройдетп =0,1 длины окружности после начала движения.

2.17. Диск радиуса R катится без скольжения с постоянной скоростьюυ. Найти геометрическое место точек на диске, которые в данный момент имеют скоростьυ.

2.18. По горизонтальной плоскости катится без скольжения с постоянной скоростью υ С обруч радиусаR. Найти скоростьυ и ускорениеa точки обруча в зависимости от углаφ между вертикалью и прямой, проведенной между точкой касания обруча с плоскостью и данной точкой обруча.

2.19. Цилиндр радиуса R помещен между двумя параллельными рейками. Рейки движутся в одну сторону со скоростямиυ 1 иυ 2 . Определить угловую скорость вращения цилиндраω и скоростьυ С его центра, если проскальзывание отсутствует.

3. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА

3.1. На первоначально покоящееся тело массы m =0,2кг действует в течение времениt = 5c силаF =0,1Н. Какую скоростьυ приобретает тело и какой путьs пройдет оно за указанное время?

нитью, лежат на гладкой горизонтальной поверхности. С какой силой F, направленной вдоль нити, можно тянуть

первое тело, чтобы нить, способная выдержать натяжение Т 0 = 0,5Н, не оборвалась?

3.4. На горизонтальной доске лежит груз. С каким ускорением а в горизонтальном направлении должна двигаться доска, чтобы груз соскользнул с нее? Коэффициент трения между доской и грузом μ = 0,2.

3.5. Два тела массы т 1 = 50г и

Определите ускорения а 1 иа 2 тел и силыТ 1 иТ 2 , с которыми действует стержень на телат 1 ит 2 соответственно.

3.7. На стержень массыт = 1кг, лежащий на гладкой горизонтальной поверхности, действуют две силыF 1 = 10Н

3.8. По горизонтальной плоскости начинает двигаться тело массыМ = 5кг под действием силыF = 30H, приложенной вверх под углом α= 30ºк горизонту. Коэффициент трения μ = 0,2. Вычислить скоростьυ тела черезt = 10с после начала действия силы.

3.9. Тело движется равномерно по горизонтальной плоскости под действием силы F. Коэффициент трения

μ = 0,6. Какой угол α с горизонтом должна составить сила, чтобы ее значение было минимальным?

3.10. Лифт имеет массу М= 3·103 кг. Найти силу натяжения тросаТ, если лифт:

a. поднимаясь, останавливается с ускорением а = 0,49 м/с2 ;

b. начинает опускаться с ускорением а = 0,49м/с2 ;

c. движется вверх с постоянной скоростью.

3.11. На концах нити, перекинутой через висящий блок, на высоте Н = 2м от пола находятся два груза массамит 1 = 100г ит 2 = 200г. В начальный момент грузы покоятся. За какое времяt второй груз опустится на пол?

3.12. Два тела массой т 1 = 2кг ит 2 = 1кг связаны

3.13. Найти ускорения а 1 иа 2 масс

т 1 ит 2 и силу натяженияТ нити в системе, изображенной

на рис. 3.6.

3.14. Система из двух грузов массыт 1 ит 2 находится на опоре, которая движется с ускорениема. Найти натяжениеТ нити, если коэффициент трения об опору равенμ (рис. 3.7).

3.16. Тело массы М =0,5кг лежит на горизонтальной плоскости. Коэффициент тренияμ = 0,1. На тело действует горизонтальная силаF. Определить силу тренияF тр для трех случаев: 1)F = 0,25Н; 2)F = 0,5Н; 3)F = 2Н.

3.17. Тело находится на наклонной плоскости. Построить график зависимости силы трения о плоскость от угла наклона плоскости к горизонту.

3.18. Сила трения капель дождя о воздух пропорцио-

нальна квадрату скорости и квадрату радиуса капли F = βυ 2 R 2 . Какие капли, крупные или мелкие, падают на землю

с большей скоростью?

3.19. Два одинаковых шарика связаны нитью, перекинутой через блок, причем один из шариков погружен в сосуд

с жидкостью. С какой установившейся скоростью υ будут двигаться шарики, если известно, что установившаяся скорость падения одного шарика в той же жидкости равнаυ 0 . Силу сопротивления считать пропорциональной скорости. Плотность жидкостиρ 0 , плотность материала шариковρ.

3.20. С какой силой F следует прижимать тело массыт = 6кг к вертикальной стенке, чтобы движение тела было равномерным? Коэффициент трения скольжения тела о стенкуμ = 0,6.

4. ДИНАМИКА КРИВОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ

4.1. Тело массы т находится на горизонтальном диске на расстоянииr от оси вращения. Построить график зависимости силы трения, действующей на это тело, как функцию угловой скоростиω вращения диска. Коэффициент тренияμ .

4.2. Автомобиль массой М = 3т движется с постоянной

скоростью υ = 36км/ч по мосту радиусом кривизныR = 60м. С какой силой F давит автомобиль на мост в тот момент, когда линия, соединяющая центр кривизны моста с

Анализ графиков

1. На рисунке представлен график зависимости модуля скорости автомобиля от времени. Определите по графику путь, пройденный автомобилем в интервале от момента времени 0 с до момента времени 5 с после начала отсчета времени. (Ответ дайте в метрах.)

2. На рисунке представлен график зависимости пути от времени. Определите по графику скорость движения велосипедиста в интервале от момента времени 1 с до момента времени 3 с после начала движения. (Ответ дайте в метрах в секунду.)

3. Тело движется по оси Ох . По графику зависимости проекции скорости тела v x от времени t установите, какой путь прошло тело за время от t 1 = 0 до t 2 = 4 с. (Ответ дайте в метрах.)

4. На рисунке изображены графики зависимости модуля скорости движения четырёх автомобилей от времени. Один из автомобилей за первые 15 с движения проехал наибольший путь. Найдите этот путь. Ответ выразите в метрах.

5. Небольшое тело начинает равноускоренно двигаться вдоль оси OX без начальной скорости. На рисунке приведён график зависимости координаты x этого тела от времени t . Чему равна проекции скорости v x этого тела в момент времени t = 3 c? Ответ выразите в м/с.

6. Оx . В начальный момент времени тело находилось в точке с координатой x 0 = − 5 м. На рисунке изображена зависимость проекции скорости V x этого тела от времени t t

7. Точечное тело движется вдоль оси Оx . В начальный момент времени тело находилось в точке с координатой x 0 = 5 м. На рисунке изображена зависимость проекции скорости V x этого тела от времени t . Чему равна координата этого тела в момент времени t = 4 с? (Ответ дайте в метрах.)

8. V x от времени. Чему равна проекция ускорения этого тела a x в интервале времени от 8 до 10 с? Ответ выразите в м/с 2 .

9. На рисунке приведён график зависимости проекции скорости тела v x от времени.Определите проекцию ускорения этого тела a x в интервале времени от 15 до 20 с. Ответ выразите в м/с 2 .

1 . Приведите примеры относительно каких тел покоится плот, плывущий по течению? Относительно каких тел движется?

2 . Может ли человек, находясь на движущемся эскалаторе метро, быть в покое в системе отсчета, связанной с землей?

3 . Почему нельзя применять паруса для управления полетом воздушного шара?

4 . Туристы плывут на плоту по реке, и один из них плавает вокруг плота. Изобразите траекторию движения пловца относительно:

а) наблюдателя на плоту,

б) наблюдателя, который находится на высоком обрыве около реки.

5 . Изобразите траекторию движения точки обода велосипедного колеса при прямолинейном движении велосипеда по дороге в системах отсчета, жестко связанных:

а) с велосипедистом;

б) с наблюдателем, стоящим сбоку.

6 . На рисунке 1 даны направления движения трех тел. Модули их скоростей относительно неподвижного наблюдателя соответственно равны: υ 1 = 5 м/с, υ 2 = 4 м/с, υ 3 = 2 м/с. Применяя закон сложения скоростей, определите скорости движения тел относительно:

а) первого тела;

б) третьего тела.

Соответствует ли полученный ответ вашей интуиции?

7 . На рисунке 2 даны направления движения трех тел. Модули скоростей первого и второго тела относительно неподвижного наблюдателя соответственно равны: υ 1 = 5 м/с, υ 2 = 4 м/с. Скорость третьего тела относительно второго по модулю равна υ 3 = 3 м/с. Определите скорость третьего тела относительно:

а) неподвижного наблюдателя;

б) первого тела.

8 . Скорость пловца относительно воды 1,2 м/с. Скорость течения 0,8 м/с. Определите скорость пловца относительно берега, если пловец плывет по течению реки.

9 . Скорость велосипедиста 36 км/ч, а скорость встречного ветра 4 м/с. Какова скорость ветра в системе отсчета, связанной с велосипедистом?

10 . Определите скорость ветра, если двигатель самолета сообщает ему в безветренную погоду скорость равную 900 км/ч, а при встречном ветре 850 км/ч.

11 . По дороге движутся автомобиль со скоростью 15 м/с и велосипедист со скоростью 5 м/с. Определите скорость их сближения, если:

а) автомобиль догоняет велосипедиста;

б) они движутся навстречу друг другу.

12 . Эскалатор метро движется со скоростью 0,75 м/с. Найдите время, за которое пассажир переместится на 20 м относительно земли, если он сам идет в направлении движения эскалатора со скоростью 0,25 м/с в системе отсчета, связанной с эскалатором.

13 . Два автомобиля движутся навстречу друг другу с равными скоростями по 80 км/ч каждая. За какое время расстояние между ними уменьшится на 10 км?

14 . По двум параллельным железнодорожным линиям равномерно движутся два поезда: грузовой длиной 630 м со скоростью 48 км/ч и пассажирский длиной 120 м со скоростью 102 км/ч. В течение какого времени пассажирский поезд проходит мимо машиниста грузового, если поезда движутся:

а) в одном направлении;

б) навстречу друг другу?

15 . Пассажир, сидящий у окна поезда, идущего со скоростью 72 км/ч, видит в течение 10 с встречный поезд. Длина встречного поезда 290 м. Определите его скорость.

16 . Скорость течения 3 м/с, а рыбак может грести со скоростью 5 м/с при неподвижной воде. Определите время, необходимое рыбаку, чтобы спуститься на 40 м вниз по течению и на столько же подняться вверх.

Уровень C

1 . Скорость движения теплохода относительно берега вниз по реке 20 км/ч, а вверх – 18 км/ч. Определите скорость течения относительно берега и скорость теплохода относительно воды.

2 . Автоколонна длиной 1,2 км движется со скоростью 36 км/ч. Мотоциклист выезжает из головы колонны, доезжает до ее хвоста и возвращается обратно. Определите время, за которое мотоциклист преодолеет данное расстояние, если его скорость равна 72 км/ч.

3 . Пловец, двигаясь относительно воды перпендикулярно течению со скоростью 5 км/ч, переплывает реку шириной 120 м. Скорость течения 3,24 км/ч. Определите:

а) скорость пловца относительно берега;

б) время, которое требуется пловцу, чтобы переплыть реку;

в) перемещение пловца относительно берега;

г) под каким углом к берегу плывет пловец?

4 . Вертолет летел в безветренную погоду на север со скоростью 20 м/с. С какой скоростью и под каким углом к первоначальному направлению будет лететь вертолет, если подует западный ветер со скоростью 10 м/с?

5 . На катере необходимо переплыть реку перпендикулярно берега. Какую скорость должен сообщить мотор катеру, чтобы при скорости течения реки, равной 1,2 м/с, катер двигался относительно берега со скоростью 3,2 м/с?

6 . Пловец желает переплыть реку перпендикулярно берега. Под каким углом к течению он должен плыть, если скорость пловца относительно воды 1 м/с, скорость течения 0,8 м/с?

7 . Скорость течения реки 4 км/ч, ширина ее 240 м. С какой скоростью относительно берега должен плыть пловец, чтобы переплыть реку за 15 мин, если его скорость относительно воды перпендикулярна берегу?

8 . По двум взаимно перпендикулярным дорогам движутся равномерно грузовая и легковая машины со скоростями 36 км/ч и 72 км/ч соответственно. На каком расстоянии окажутся друг от друга машины через 10 мин после встречи у перекрестка?

9 . В безветренную погоду вертолет двигался со скоростью 90 км/ч точно на север. Найдите скорость вертолета, если подул северо-западный ветер под углом 45° к направлению движения. Скорость ветра 10 м/с.

10 . Наблюдатель на берегу определил значение скорости пловца, переплывающего реку, 2,0 м/с. Скорость была направлена под углом 60° к линии берега. Какова скорость пловца относительно воды, если скорость течения реки 1,0 м/с?

11 . По двум пересекающимся под углом 60° дорогам движутся два автомобиля с одинаковыми скоростями, равными 72 км/ч. Через какое время после встречи у перекрестка расстояние между ними станет равным 3 км?

«Физика - 10 класс»

При решении задач по данной теме необходимо прежде всего выбрать тело отсчёта и связать с ним систему координат. В данном случае движение происходит по прямой, поэтому для его описания достаточна одна ось, например ось ОХ. Выбрав начало отсчёта, записываем уравнения движения.

Задача I.

Определите модуль и направление скорости точки, если при равномерном движении вдоль оси ОХ её координата за время t 1 = 4 с изменилась от х 1 = 5 м до х 2 = -3 м.

Р е ш е н и е.

Модуль и направление вектора можно найти по его проекциям на оси координат. Так как точка движется равномерно, то проекцию её скорости на ось ОХ найдём по формуле

Отрицательный знак проекции скорости означает, что скорость точки направлена противоположно положительному направлению оси ОХ. Модуль скорости υ = |υ х | = |-2 м/с| = 2 м/с.

Задача 2.

Из пунктов А и В, расстояние между которыми вдоль прямого шоссе l 0 = 20 км, одновременно навстречу друг другу начали равномерно двигаться два автомобиля. Скорость первого автомобиля υ 1 = 50 км/ч, а скорость второго автомобиля υ 2 = 60 км/ч. Определите положение автомобилей относительно пункта А спустя время t = 0,5 ч после начала движения и расстояние I между автомобилями в этот момент времени. Определите пути s 1 и s 2 , пройденные каждым автомобилем за время t.

Р е ш е н и е.

Примем пункт А за начало координат и направим координатную ось ОХ в сторону пункта В (рис. 1.14). Движение автомобилей будет описываться уравнениями

x 1 = х 01 + υ 1x t, x 2 = х 02 + υ 2x t.

Так как первый автомобиль движется в положительном направлении оси ОХ, а второй - в отрицательном, то υ 1x = υ 1 , υ 2x = -υ 2 . В соответствии с выбором начала координат х 01 = 0, х 02 = l 0 . Поэтому спустя время t

x 1 = υ 1 t = 50 км/ч 0,5 ч = 25 км;

х 2 = l 0 - υ 2 t = 20 км - 60 км/ч 0,5 ч = -10 км.

Первый автомобиль будет находиться в точке С на расстоянии 25 км от пункта А справа, а второй - в точке D на расстоянии 10 км слева. Расстояние между автомобилями будет равно модулю разности их координат: l = |х 2 - x 1 | = |-10 км - 25 км| = 35 км. Пройденные пути равны:

s 1 = υ 1 t = 50 км/ч 0,5 ч = 25 км,

s 2 = υ 2 t = 60 км/ч 0,5 ч = 30 км.

Задача 3.

Из пункта А в пункт В выезжает первый автомобиль со скоростью υ 1 Спустя время t 0 из пункта В в том же направлении со скоростью υ 2 выезжает второй автомобиль. Расстояние между пунктами A и В равно l. Определите координату места встречи автомобилей относительно пункта В и время от момента отправления первого автомобиля, через которое они встретятся.

Р е ш е н и е.

Примем пункт А за начало координат и направим координатную ось ОХ в сторону пункта В (рис. 1.15). Движение автомобилей будет описываться уравнениями

x 1 = υ 1 t, х 2 = l + υ 2 (t - t 0).

В момент встречи координаты автомобилей равны: х 1 = х 2 = х в. Тогда υ 1 t в = l + υ 2 (t в - t 0) и время до встречи

Очевидно, что решение имеет смысл при υ 1 > υ 2 и l > υ 2 t 0 или при υ 1 < υ 2 и l < υ 2 t 0 . Координата места встречи

Задача 4.

На рисунке 1.16 представлены графики зависимости координат точек от времени. Определите по графикам: 1) скорости точек; 2) через какое время после начала движения они встретятся; 3) пути, пройденные точками до встречи. Напишите уравнения движения точек.

Р е ш е н и е.

За время, равное 4 с, изменение координаты первой точки: Δx 1 = 4 - 2 (м) = 2 м, второй точки: Δх 2 = 4 - 0 (м) = 4 м.

1) Скорости точек определим по формуле υ 1x = 0,5 м/с; υ 2x = 1 м/с. Заметим, что эти же значения можно было получить по графикам, определив тангенсы углов наклона прямых к оси времени: скорость υ 1x численно равна tgα 1 , а скорость υ 2x численно равна tgα 2 .

2) Время встречи - это момент времени, когда координаты точек равны. Очевидно что t в = 4 с.

3) Пути, пройденные точками, равны их перемещениям и равны изменениям их координат за время до встречи: s 1 = Δх 1 = 2 м, s 2 = Δх 2 = 4 м.

Уравнения движения для обеих точек имеют вид х = х 0 + υ x t, где х 0 = x 01 = 2 м, υ 1x = 0,5 м/с - для первой точки; х 0 = х 02 = 0, υ 2x = 1 м/с - для второй точки.

Подготовка к ЕГЭ. Относительность движения.

Все кинематические понятия: траектория, координаты, путь, перемещение, скорость – имеют определенную форму и численные значения в одной выбранной системе отсчета. При переходе от одной системы отсчета к другой указанные величины могут измениться. В этом состоит так называемая относительность движения, и в этом смысле механическое движение всегда относительно. Например: Катится колесо по поверхности Земли. (Рис.1)

Точка А обода колеса относительно координатной системы Х 1 О 1 У 1 движется по окружности, проходя за время одного оборота путь, равный длине этой окружности. Но относительно системы

ХОУ, связанной с поверхностью Земли, траекторией точки А является более сложная кривая А 1 А 2 А 3 , называемая циклоидой. За этот ж интервал времени точка А проходит путь, равный длине этой кривой.

Пример 2: Представьте себе пассажира в движущемся равномерно относительно Земли вагоне, выпускающего из рук мяч. Он видит, как мяч падает относительно вагона вертикально вниз с ускорением g. (Рис.2)

Свяжем с вагоном систему координат Х 1 О 1 У 1 . В этой системе координат за время падения мяч пройдет путь AD = h, и пассажир видит, что мяч упал на пол со скоростью V 1 , направленной вертикально вниз. Ну а что увидит наблюдатель, находящийся на неподвижной платформе, с которой связана система координат ХОУ? Он заметит, что траекторией мяча является парабола AD и мяч упал со скоростью V 2 , направленной под углом к горизонту. И так мы отмечаем, что наблюдатели в системах Х 1 О 1 У 1 ХОУ обнаруживают различные по форме траектории, скорости, пройденные пути при движении одного тела – мяча.

Связь координат точки в системах отсчета, движущихся друг относительно друга, описывается преобразованиями Галилея. (Формула сложения скоростей):

Скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна геометрической сумме скорости тела относительно подвижной системы и скорости самой подвижной системы отсчета.

абсолютная скорость тела (скорость тела

относительно неподвижной системы отсчета)

относительна скорость (скорость тела относительно подвижной системы отсчета)

переносная скорость (скорость самой подвижной системы относительной неподвижной системы отсчета.

Принцип относительности Галилея. Все инерциальные системы равноправны. Это проявляется в том, что законы механики в них записываются одинаково.

Инерциальные системы отсчета – системы отсчета, которые двигаются равномерно, прямолинейно относительно друг друга.

Относительная скорость двух тел.

Рассмотрим два тела А и В, имеющих в системе отсчета К скорости
. Найдем скорость движения
тела В относительно тела А. Для этого свяжем систему отсчета К 1 с телом А (рис). Тогда искомая относительная скорость есть скорость тела относительно системы К 1

Воспользуемся далее законом сложения скоростей. Для данного случая скорость тела В относительно системы отсчета К представляет собой абсолютную скорость: = V A

Скорость тела А в системе отсчета К - это переносная скорость. Наконец, скорость - это есть относительная скорость: =V oTH Согласно закону сложения скоростей (1.30.8) имеем

= +

Или скорость движения тела В относительно тела А равна разности скоростей этих двух тел. Она не зависит от системы отсчета. В любой системе отсчета, движущейся со скоростью U относительно системы отсчета К,

Преобразования Галилея. Согласно этим представлениям расстояния между телами одинаковы во всех системах отсчета и течение времени не зависит от систем отсчета.

§ 1.31. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Из всех задач на относительность движения мы будем в основном решать такие, которые связаны с законом сложения скоростей. Для этого удобно использовать понятия абсолютного, относительного и переносного движений.

Решая задачу, следует выбрать две системы координат и одну из них условно принять за неподвижную, после чего уяснить, какая скорость будет абсолютной, переносной и относительной. далее надо записать закон сложения скоростей. После этого можно переходить к записи этого закона в проекциях на выбранные направления осей координат. Но можно воспользоваться и геометрическим сложением векторов.

Мы рассмотрим несколько задач, причем в большинстве случаев приведем два решения с различным выбором неподвижной системы отсчета. При этом убедимся, что не имеет принципиального значения, какую систему считать неподвижной. однако в некоторых случаях удачный выбор неподвижной системы отсчета упрощает решение (задача 5).

Задача 1.

Участок шоссе расположен параллельно железной дороге. Найдите время, в течение которого мотоциклист, движущийся со скоростью V 1 = 80 км/ч, будет перемещаться мимо встречного поезда длиной L = 700 м, следующего со скоростью V 2 = 46 км/ч. Обе скорости заданы относительно Земли.

Р
ешение. 1. Если мотоциклист движется относительно поезда с некоторой скоростью V, то путь, равный длине поезда, он пройдет за время t =

Длина поезда известна. Скорость мотоциклиста относительно поезда найдем по закону сложения скоростей:

Неподвижную систему координат ХОУ свяжем с Землей, а подвижную Х 1 0 1 У 1 - с поездом (рис. 1.95). Движение

м
отоциклиста относительно Земли (неподвижной системы координат ХОУ) является абсолютным, а движение поезда относительно Земли переносным. Скорость мотоциклиста относительно поезда (подвижной системы координат Х 1 0 1 У 1) является относительной. Следовательно, в данном случае:

= V A , = V П, = V о Поэтому закон сложения скоростей

можно записать так:

Отсюда
;

В
ыполним вычитание векторов геометрически. Из рисунка 1.96 видно, что V = V 1 + V 2 .

2. Решим ту же задачу, изменив выбор систем координат:

неподвижную систему координат ХОУ свяжем с поездом, а подвижную Х 1 0 1 У 1 - с Зёмлей. Теперь в системе координат ХОУ Земля движется навстречу поезду со скоростью =
,

т. е. переносная скорость
(рис. 1.97). Мотоциклист перемещается относительно подвижной системы координат (Земли). Поэтому его скорость в данном случае является относительной:
Скорость же мотоциклиста относительно системы координат ХОУ (поезда) - абсолютна, т. е.
.

Согласно закону сложения скоростей будем иметь или
Мы пришли к тому же результату, что и при первом способе выбора систем координат. Результат вычитания векторов опять такой же, как нарисунке 1.96. Поэтому

V = V 1 +V 2 ; и t = 20 с.

З. Можно неподвижную систему координат связать с мотоциклистом, а подвижную с Землей. Рассмотрите самостоятельно этот вариант решения. Безусловно, вы придете к тому же результату.

Задача 2

Капли дождя падают относительно Земли отвесно со скоростью V 1 = 20 м/с. С какой наименьшей скоростью V 2 относительно Земли должен двигаться автомобиль, чтобы на заднем смотровом стекле, наклоненном под углом 45° к горизонту, не оставалось следов капель? Чему равна скорость капель относительно автомобиля? Завихрения воздуха не учитывать.

Решение. 1. Капли дождя не будут задевать стекла автомобиля, если вектор скорости капель относительно автомобиля направлен параллельно стеклу. Этим определяется минимальная скорость автомобиля. Чтобы найти ее, воспользуемся законом сложения скоростей:

Систему координат ХОУ свяжем с Землей и будем считать ее неподвижной. движущуюся систему координат Х 1 0 1 У 1 свяжем с автомобилем (рис. 1.98). Обозначим скорость капель относительно автомобиля через . Тогда

;

Следовательно, закон сложения скоростей запишется так:

Отсюда

Вычитание векторов
и показано на рисунке 1.98 (Δ АВС). Поскольку треугольник АВС - прямоугольный и угол АВС =α, то V = V 2 = V 1 = 20 м/с.

2. Решим эту задачу, связав неподвижную систему координат ХОУ с автомобилем, а подвижную Х 1 0 1 У 1 с Землей (рис. 1.99). В этом случае относительно системы координат ХОУ Земля движется навстречу автомобилю со скоростью
Так как
;

то закон сложения скоростей запишется следующим образом:

Сложение векторов
показано на рисунке 1.99.

Мы пришли к тому же результату, что и при первом способе решения задачи:

V 2 =V 1 = 20 м/с и 1) V ≈ 28 м/с.

Задача З

Два корабля идут пересекающимися курсами. В некоторый момент времени расстояние между ними 1 = 10 км, а скорости и образовывали с прямой, соединяющей корабли, углы α = 45°

(рис. 1.100). На каком минимальном расстоянии друг от друга пройдут корабли? Модули скоростей кораблей относительно воды V 1 = 60 км/ч, V 2 = 80 км/ч. Считайте, что морские течения отсутствуют.

Решение. Пусть в начальный момент времени первый корабль находился в точке А, а второй в точке В (рис. 1.101).

Перейдем в систему координат, связанную с первым кораблем. Тогда скорость воды относительно этой системы
является переносной скоростью, а скорость второго корабля относительно воды есть относительная скорость
. Скорость второго корабля относительно первого при данном выборе системы отсчета будет абсолютной скоростью V a . По закону сложения скоростей или
(см. рис. 1.101). Прямая ВК траектория второго корабля в системе отсчета, связанной с первым («неподвижным») кораблем. Кратчайшим расстоянием между кораблями будет длина перпендикуляра АС, опущенного из точки А на прямую ВК.

Из прямоугольного треугольника, образованного векторами

скоростей, находим модуль скорости, а по теореме Пифагора:

Дальнейшее решение задачи является чисто геометрическим. Треугольник АDВ прямоугольный и равнобедренный.

Н
айдем длину его катета: АD = DВ =
Из подобия треугольников

ВМN и ВРD найдем PD =
. Вычислим длину отрезка АР = АD – PD =

Где V п =V 1 .

Из подобия треугольников АРС и BMN находим искомое расстояние d = AC :

Проанализируем частные случаи. Если скорости равны, V 1 =V 2 то d =0; и корабли встретятся в точке D. Если относительно воды движется только один корабль (V 1 = 0) или V 2 = 0, d= L/
= AD. Найти расстояние d можно из треугольника АСВ: d = l Sin 0 . Действительно, из треугольника NBM находим Sin Отсюда

Задача 4

Вагон А движется по закруглению радиусом 0 1 А = 0,3 км, а вагон В - прямолинейно (рис. а). Найдите скорость вагона В относительно вагона А в момент, когда расстояние АВ = 0,1 км. Скорость каждого вагона относительно Земли равна 60 км/ч.

Р
ешение. Так как необходимо найти скорость вагона В относительно вагона А, то целесообразно (но необязательно) связывать с вагоном А неподвижную систему координат ХОУ. В этой системе вагон А не движет ся, но поверхность Земли под ним поворачивается по часовой стрелке вокруг точки 0 1 с угловой скоростью ω (рис. 1.102, 6).

Систему координат Х 1 0 1 У 1 свяжем с Землей. Эта система

координат вращается вместе с поверхностью Земли с угловой скоростью ω вокруг точки 0 1 .

Угловую скорость ω определим по движению вагона А относительно Земли: V A =ω∙ A 1 B . Отсюда ω =

При вращательном движении подвижной системы координат переносная скорость в каждый момент времени является той линейной скоростью, которую в данной точке пространства имеет вращающаяся система координат, связанная с Землей. для вагона В переносной скоростью V п является скорость точки оси Х 1 на расстоянии 0 1 В от точки 0 1 . Найдем модуль этой скорости: Скорость вагона В относительно поверхности Земли (относительно подвижной системы координат Х101У1) i= (ПВ = ПА по условию), но по отношению к вагону А (неподвижной системе координат ХОУ) скорость вагона В является абсолютной. Эту скорость мы найдем по закону сложения скоростей:

Сложение скоростей выполнено на рисунке 102, в. Из рисунка видно, что вагон В относительно вагойа А движется в сторону, противоположную скорости вагона В относительно Земли, со скоростью а’ модуль которой равен

Задача 5

Вверх по реке на весельной лодке плывет рыбак. Проплывая под мостом, он уронил удочку, но заметил это лишь полчаса спустя. Рыбак повернул назад и нагнал удочку на расстоянии 1,5 км от моста. Чему равна скорость течения реки, если рыбак греб одинаково интенсивно как при движении вверх (против течения), так и при движении вниз (по течению)?

Подготовка к ЕГЭ. Часть А. Относительность движения. Кинематика.

1.(2006 реальные варианты) Два автомобиля движутся по взаимно перпендикулярным дорогам. Скорость первого относительно дороги по модулю равна V, а модуль скорости второго относительно первого равен 3V. В этом случае модуль скорости второго автомобиля относительно дороги равен

1)
ответ:

2. Два автомобиля движутся по прямому шоссе: первый- со скоростью
- со скоростью (-3Какова скорость второго автомобиля относительно первого? 1) 2) - 43) - 2 4) 4 .

3. Два автомобиля удаляются друг от друга по взаимно перпендикулярным направлениям со скоростями V 1 = 3 м/с,

V 2 = 4м/с. Тогда скорость их относительного движения равна: 1) 7м/с, 2) 1 м)с 3) 3,5 м/с 4) 5 м/с.

4. Эскалатор метро поднимается со скоростью 1 м/с. Может ли человек, находящийся на нем, быть в покое в системе отсчета, связанной с Землей? 1) Может, если движется в противоположную сторону со скоростью 1 м/с. 2)) Может, если движется в ту же сторону со скоростью со скоростью 1 м/с. 3)) Может, если он стоит на эскалаторе. 4) Не может ни при каких условиях.

5. Два автомобиля движутся в одном направлении по прямому шоссе с одинаковыми скоростями . Чему равна скорость первого автомобиля относительно второго? 1) 0. 2) . 3) 2. 4) - .

6. Лодка должна попасть на противоположный берег по кратчайшему пути в системе отсчета.связанной с берегом. Скорость течения реки равна U а скорость лодки относительно берега должен быть равен 1) V + U ; 2) V - U ; 3)

7. (11-5) Два автомобиля движутся по прямому шоссе: первый – со скоростью , второй – со скоростью (4). Какова скорость первого автомобиля относительно второго? 1) 2; 2) - 3; 3) 3; 4) 4;

8.(10-5) Два автомобиля движутся по взаимно перпендикулярным дорогам. Скорость первого относительно дороги по модулю равна V, а модуль скорости второго относительно первого равен 2 V. В этом случае модуль скорости второго автомобиля относительно дороги равен 1) 0,5 V.2)
3) V; 4) 2V;

8 (а) Два автомобиля движутся по взаимно перпендикулярным дорогам. Скорость первого относительно дороги по модулю равна V 1 = 1 м/с, а модуль скорости второго V 2 = 3 м/с. Тогда их относительная скорость равна: 1) 7м/с; 2) 10 м/с; 3) 3,5 м/с; 4)
м/с;

9. (КИМ 2005-6) В-1. Два автомобиля движутся по прямой дороге в одном направлении: один – со скоростью 50 км/час, другой – со скоростью 70 км/час. При этом они 1) они сближаются; 2) удаляются; 3) не изменяют расстояние друг от друга; 4) могут сближаться, а могут и удаляться;

10. (В-2). Лодка должна попасть на противоположный берег реки по кратчайшему пути в системе отсчета, связанной с берегом. Скорость течения реки u, а скорость лодки относительно воды V. Модуль скорости лодки относительно берега должен быть равен 1) V + u; 2) V - u; 3)
4)

11. (В-3). Два автомобиля движутся по прямой дороге: один со скоростью (-10) м/с, а другой – со скоростью (-25) м/с. Скорость второго автомобиля относительно первого равна 1) – 35 м/с; 2) -15 м/с;

3) – 20 м/с; 4) 35 м/с;

12.(2006 реальные варианты В-3) Пловец переплывает реку по кратчайшему пути. Скорость пловца относительно воды 5 км/час, скорость течения реки 3 км/час. Скорость пловца относительно берега равна: 1) 2 км/час; 2) 3 км/час; 3) 4 км/час ; 4) 8 км/час;

13. (В-4) Катер, двигаясь вдоль по реке, проходит 2 км по течению, разворачивается(мгновенно) и возвращается в пункт отправления. Скорость течения реки 4 км/час, скорость катера относительно воды 36 км/час. Полное время движения катера туда и обратно равно (ответ дать в минутах): 1) 4 мин; 2) 6,8 мин 4)Урок

Ресурсах. 1. Информационный этап подготовки к ЕГЭ Подготовку к Единому государственному экзамены... является определением; б) выражено относительным местоимением; 6. Дополнительные средства связи... создается динамика, ощущение движения , ведь глаголов почти...