Харчування

З дробів з однаковими знаменниками більше за той. Порівняння дробів

Два нерівні дроби підлягають подальшому порівнянню для з'ясування, який дріб більший, а який дріб менше. Для порівняння двох дробів існує правило порівняння дробів, яке ми сформулюємо нижче, а також розберемо приклади застосування цього правила при порівнянні дробів з однаковими різними знаменниками. На закінчення покажемо, як порівняти дроби з однаковими чисельниками, не наводячи їх до спільному знаменнику, а також розглянемо, як порівняти звичайний дріб з натуральним числом.

Навігація на сторінці.

Порівняння дробів з однаковими знаменниками

Порівняння дробів з однаковими знаменниками по суті є порівнянням кількості однакових часток. Наприклад, звичайна дріб 3/7 визначає 3 частки 1/7 , а дріб 8/7 відповідає 8 часткам 1/7 тому порівняння дробів з однаковими знаменниками 3/7 і 8/7 зводиться до порівняння чисел 3 і 8 , тобто , порівняно чисельників.

З цих міркувань випливає правило порівняння дробів з однаковими знаменниками: із двох дробів з однаковими знаменниками більше той дріб, чисельник якого більший, і менший той дріб, чисельник якого менший.

Озвучене правило пояснює, як порівняти дроби з однаковими знаменниками. Розглянемо приклад застосування правила порівняння дробів із однаковими знаменниками.

приклад.

Який дріб більший: 65/126 або 87/126?

Рішення.

Знаменники порівнюваних звичайних дробів рівні, а чисельник 87 дробу 87/126 більший за чисельник 65 дробу 65/126 (при необхідності дивіться порівняння натуральних чисел). Тому, згідно з правилом порівняння дробів з однаковими знаменниками, дріб 87/126 більший від дробу 65/126 .

Відповідь:

Порівняння дробів із різними знаменниками

Порівняння дробів із різними знаменникамиможна звести порівняння дробів з однаковими знаменниками. Для цього лише потрібно порівнювані прості дроби привести до спільного знаменника.

Отже, щоб порівняти два дроби з різними знаменниками, потрібно

привести дроби до спільного знаменника;
порівняти отримані дроби з однаковими знаменниками.

Розберемо рішення прикладу.

приклад.

Порівняйте дріб 5/12 із дробом 9/16 .

Рішення.

Спочатку наведемо ці дроби з різними знаменниками до спільного знаменника (дивіться правило і приклади приведення дробів до спільного знаменника). Як спільний знаменник візьмемо найменший загальний знаменник, рівний НОК (12, 16) = 48 . Тоді додатковим множником дробу 5/12 буде число 48:12=4, а додатковим множником дробу 9/16 буде число 48:16=3. Отримуємо і .

Порівнявши отримані дроби, маємо . Отже, дріб 5/12 менший, ніж дріб 9/16 . На цьому порівняння дробів із різними знаменниками завершено.

Відповідь:

Отримаємо ще один спосіб порівняння дробів з різними знаменниками, який дозволить виконувати порівняння дробів без їх приведення до спільного знаменника та всіх складнощів, пов'язаних із цим процесом.

Для порівняння дробів a/b і c/d їх можна привести до спільного знаменника b·d , рівному добутку знаменників порівнюваних дробів. У цьому випадку додатковими множниками дробів a/b та c/d є числа d і b відповідно, а вихідні дроби наводяться до дробів і із загальним знаменником bd. Згадавши правило порівняння дробів з однаковими знаменниками, укладаємо, що порівняння вихідних дробів a/b та c/d звелося до порівняння творів ad і cb.

Звідси випливає таке правило порівняння дробів із різними знаменниками: якщо a·d>b·c , то , а якщо a·d

Розглянемо порівняння дробів із різними знаменниками цим способом.

приклад.

Порівняйте прості дроби 5/18 і 23/86 .

Рішення.

У цьому прикладі a = 5, b = 18, c = 23 і d = 86. Обчислимо твори a d і b c . Маємо a·d=5·86=430 і b·c=18·23=414 . Так як 430> 414, то дріб 5/18 більше, ніж дріб 23/86.

Відповідь:

Порівняння дробів з однаковими чисельниками

Дроби з однаковими чисельниками та різними знаменниками, безперечно, можна порівнювати за допомогою правил, розібраних у попередньому пункті. Однак результат порівняння таких дробів легко отримати, порівнявши знаменники цих дробів.

Існує таке правило порівняння дробів з однаковими чисельниками: із двох дробів з однаковими чисельниками більший той, у якого менший знаменник, і менший той дріб, знаменник якого більший.

Розглянемо рішення прикладу.

приклад.

Порівняйте дроби 54/19 та 54/31 .

Рішення.

Так як чисельники порівнюваних дробів рівні, а знаменник 19 дробу 54/19 менше знаменника 31 дробу 54/31, то 54/19 більше 54/31.

Не тільки прості числаможна порівнювати, але й дроби також. Адже дріб — це таке число, як, наприклад, і натуральні числа. Потрібно знати лише правила, за якими порівнюють дроби.

Порівняння дробів із однаковими знаменниками.

Якщо у двох дробів однакові знаменники, такі дроби порівняти просто.

Щоб порівняти дроби з однаковими знаменниками, потрібно порівняти їх чисельники. Той дріб більше у якого більший чисельник.

Розглянемо приклад:

Порівняйте дроби \(\frac(7)(26)\) і \(\frac(13)(26)\).

Знаменники обох дробів однакові рівні 26, тому порівнюємо чисельники. Число 13 більше 7. Отримуємо:

\(\frac(7)(26)< \frac{13}{26}\)

Порівняння дробів із рівними чисельниками.

Якщо у дробу однакові чисельники, то більший той дріб, у якого знаменник менший.

Зрозуміти це правило можна, якщо навести приклад із життя. Ми маємо торт. До нас у гості можуть прийти 5 чи 11 гостей. Якщо прийде 5 гостей, то ми розріжемо торт на 5 рівних шматків, а якщо прийдуть 11 гостей, то розділимо на 11 рівних шматків. А тепер подумайте в якому разі на одного гостя доведеться шматок торта більшого розміру? Звичайно, коли прийдуть 5 гостей, шматок торта буде більшим.

Або ще приклад. У нас є 20 цукерок. Ми можемо порівну роздати цукерки 4 друзям або порівну поділити цукерки між 10 друзями. У якому разі кожен друг матиме цукерок більше? Звичайно, коли ми розділимо лише на 4 друзів, кількість цукерок у кожного друга буде більшою. Перевіримо це завдання математично.

\(\frac(20)(4) > \frac(20)(10)\)

Якщо ми вирішуємо ці дроби, то отримаємо числа \(\frac(20)(4) = 5\) і \(\frac(20)(10) = 2\). Отримуємо, що 5 > 2

У цьому полягає правило порівняння дробів з однаковими чисельниками.

Розглянемо ще приклад.

Порівняйте дроби з однаковим чисельником \(\frac(1)(17)\) і \(\frac(1)(15)\) .

Так як чисельники однакові, більший той дріб, де знаменник менший.

\(\frac(1)(17)< \frac{1}{15}\)

Порівняння дробів з різними знаменниками та чисельниками.

Щоб порівняти дроби з різними знаменниками, необхідно привести дроби до , а потім порівняти чисельники.

Порівняйте дроби \(\frac(2)(3)\) і \(\frac(5)(7)\).

Спочатку знайдемо спільний знаменник дробів. Він дорівнюватиме числу 21.

\(\begin(align)&\frac(2)(3) = \frac(2 \times 7)(3 \times 7) = \frac(14)(21)\\\&\frac(5) (7) = \frac(5 \times 3)(7 \times 3) = \frac(15)(21)\\\\end(align)\)

Потім переходимо до порівняння чисельників. Правило порівняння дробів із однаковими знаменниками.

\(\begin(align)&\frac(14)(21)< \frac{15}{21}\\\\&\frac{2}{3} < \frac{5}{7}\\\\ \end{align}\)

Порівняння.

Не правильний дрібзавжди більш правильним.Тому що неправильний дріббільше 1, а правильний дріб менше 1.

Приклад:
Порівняйте дроби \(\frac(11)(13)\) і \(\frac(8)(7)\).

Дроб \(\frac(8)(7)\) неправильний і він більше 1.

\(1 < \frac{8}{7}\)

Дроб \(\frac(11)(13)\) правильний і він менший 1. Порівнюємо:

\(1 > \frac(11)(13)\)

Отримуємо \(\frac(11)(13)< \frac{8}{7}\)

Питання на тему:
Як порівняти дроби з різними знаменниками?
Відповідь: треба привести до спільного знаменника дробу і потім порівняти їх чисельники.

Як порівнювати дроби?
Відповідь: спочатку потрібно визначитися до якої категорії відносяться дроби: у них є спільний знаменник, у них є спільний чисельник, у них немає спільного знаменника та чисельника або у вас правильний і неправильний дріб. Після класифікації дробів застосувати відповідне правило порівняння.

Що таке порівняння дробів із однаковими чисельниками?
Відповідь: якщо у дробів однакові чисельники, той дріб більший у якого знаменник менший.

Приклад №1:
Порівняйте дроби \(\frac(11)(12)\) і \(\frac(13)(16)\).

Рішення:
Оскільки немає однакових чисельників чи знаменників, застосовуємо правило порівняння з різними знаменниками. Потрібно знайти спільний знаменник. Загальний знаменник дорівнюватиме 96. Наведемо дроби до спільного знаменника. Перший дріб \(\frac(11)(12)\) помножимо на додатковий множник 8, а другий дріб \(\frac(13)(16)\) помножимо на 6.

\(\begin(align)&\frac(11)(12) = \frac(11 \times 8)(12 \times 8) = \frac(88)(96)\\\&\frac(13) (16) = \frac(13 \times 6)(16 \times 6) = \frac(78)(96)\\\\end(align)\)

Порівнюємо дроби чисельниками, той дріб більший у якого чисельник більший.

\(\begin(align)&\frac(88)(96) > \frac(78)(96)\\\\\\frac(11)(12) > \frac(13)(16)\\\ \ \end(align)\)

Приклад №2:
Порівняйте правильний дріб із одиницею?

Рішення:
Будь-який правильний дріб завжди менше 1.

Завдання №1:
Син із батьком грали у футбол. Син із 10 підходів у ворота потрапив 5 разів. А тато із 5 підходів потрапив у ворота 3 рази. Чий результат кращий?

Рішення:
Син потрапив із 10 можливих підходів 5 разів. Запишемо у вигляді дробу \(\frac(5)(10) \).
Папа потрапив із 5 можливих підходів 3 рази. Запишемо у вигляді дробу \(\frac(3)(5) \).

Порівняємо дроби. У нас різні чисельники та знаменники, приведемо до одного знаменника. Загальний знаменник дорівнюватиме 10.

\(\begin(align)&\frac(3)(5) = \frac(3 \times 2)(5 \times 2) = \frac(6)(10)\\\&\frac(5) (10)< \frac{6}{10}\\\\&\frac{5}{10} < \frac{3}{5}\\\\ \end{align}\)

Відповідь: у тата результат кращий.

З двох дробів з однаковими знаменниками більше той, у якого чисельник більший, і менший той, у якого чисельник менший. Насправді ж знаменник показує, на скільки частин розділили одну цілу величину, а чисельник показує, скільки таких частин взяли.

Виходить, що ділили кожне ціле коло на те саме число 5 , а брали різна кількістьчастин: більше взяли - великий дріб і вийшов.

З двох дробів з однаковими чисельниками більше та, у якої знаменник менший, і менший за той, у якого знаменник більший.Ну і справді, якщо ми одне коло розділимо на 8 частин, а інший на 5 частин та візьмемо по одній частині від кожного з кіл. Яка частина буде більшою?

Звичайно, від кола, поділеного на 5 частин! А тепер уявіть, що ділили не кола, а торти. Ви б який шматочок віддали перевагу, точніше, якій частині: п'яту чи восьму?

Щоб порівняти дроби з різними чисельниками та різними знаменниками, треба привести дроби до найменшого спільного знаменника, а потім порівнювати дроби з однаковими знаменниками.

приклади. Порівняти прості дроби:

Наведемо ці дроби до найменшого спільного знаменника. НОЗ (4 ; 6) = 12. Знаходимо додаткові множники для кожного дробу. Для 1-го дробу додатковий множник 3 (12: 4=3 ). Для 2-го дробу додатковий множник 2 (12: 6=2 ). Тепер порівнюємо чисельники двох дробів з однаковими знаменниками. Так як чисельник першого дробу менше чисельника другого дробу ( 9<10) , то й самий перший дріб менше другого дробу.

Ця стаття розглядає порівняння дробів. Тут ми з'ясуємо, який із дробів більший чи менший, застосуємо правило, розберемо приклади рішення. Порівняємо дроби як з однаковими, і різними знаменниками. Зробимо порівняння звичайного дробуіз натуральним числом.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Порівняння дробів з однаковими знаменниками

Коли проводиться порівняння дробів з однаковими знаменниками, ми працюємо лише з чисельником, а отже, порівнюємо частки числа. Якщо є дріб 3 7 , то він має 3 частки 1 7 тоді дроб 8 7 має 8 таких часток. Інакше висловлюючись, якщо знаменник однаковий, проводиться порівняння чисельників цих дробів, тобто 3 7 і 8 7 порівнюються числа 3 і 8 .

Звідси випливає правило порівняння дробів з однаковими знаменниками: з наявних дробів з однаковими показниками вважається більшим той дріб, у якого чисельник більший і навпаки.

Це свідчить, що слід звернути увагу до чисельники. Для цього розглянемо приклад.

Приклад 1

Зробити порівняння заданих дробів 65126 і 87126 .

Рішення

Оскільки знаменники дробів однакові, переходимо до чисельників. З чисел 87 та 65 очевидно, що 65 менше. З правила порівняння дробів з однаковими знаменниками маємо, що 87 126 більше 65 126 .

Відповідь: 87 126 > 65 126 .

Порівняння дробів із різними знаменниками

Порівняння таких дробів можна співвіднести з порівнянням дробів з однаковими показниками, але є різниця. Тепер необхідно дроби приводити до спільного знаменника.

Якщо є дроби з різними знаменниками, їх порівняння необхідно:

знайти спільний знаменник;
порівняти дроби.

Розглянемо дані дії з прикладу.

Приклад 2

Зробити порівняння дробів 5 12 і 9 16 .

Рішення

Насамперед необхідно привести дроби до спільного знаменника. Це робиться таким чином: знаходиться НОК, тобто найменший спільний дільник, 12 та 16 . Це число 48. Необхідно надписати додаткові множники до першого дробу 5 12 , це число з приватного 48: 12 = 4 , для другого дробу 9 16 – 48: 16 = 3 . Запишемо таке: 5 12 = 5 · 4 12 · 4 = 20 48 і 9 16 = 9 · 3 16 · 3 = 27 48 .

Після порівняння дробів отримуємо, що 20 48< 27 48 . Значит, 5 12 меньше 9 16 .

Відповідь: 5 12 < 9 16 .

Є ще один спосіб порівняння дробів із різними знаменниками. Він виконується без приведення до спільного знаменника. Розглянемо з прикладу. Щоб порівняти дроби a b і c d приводимо до спільного знаменника, тоді b · d, тобто добуток цих знаменників. Тоді додаткові множники для дробів будуть знаменники сусіднього дробу. Це запишеться так a · d b · d і c · b d · b. Використовуючи правило з однаковими знаменниками, маємо, що порівняння дробів звелося до порівнянь творів a · d і c · b. Звідси отримуємо правило порівняння дробів з різними знаменниками: якщо a · d > b · c тоді a b > c d, але якщо a · d< b · c , тогда a b < c d . Рассмотрим сравнение с разными знаменателями.

Приклад 3

Зробити порівняння дробів 5 18 і 23 86 .

Рішення

Цей приклад має a = 5 , b = 18 , c = 23 і d = 86 . Тоді необхідно обчислити a · d і b · c. Звідси випливає, що a · d = 5 · 86 = 430 і b · c = 18 · 23 = 414 . Але 430 > 414 тоді заданий дріб 5 18 більше, ніж 23 86 .

Відповідь: 5 18 > 23 86 .

Порівняння дробів з однаковими чисельниками

Якщо дроби мають однакові чисельники та різні знаменники, тоді можна виконувати порівняння за попереднім пунктом. Результат порівняння можливий при порівнянні їх знаменників.

Є правило порівняння дробів з однаковими чисельниками : із двох дробів з однаковими чисельниками більший той дріб, який має менший знаменник і навпаки.

Розглянемо з прикладу.

Приклад 4

Зробити порівняння дробів 54 19 та 54 31 .

Рішення

Маємо, що чисельники однакові, означає, що дріб, що має знаменник 19 більший за дроб, який має знаменник 31 . Це зрозуміло, виходячи із правила.

Відповідь: 54 19 > 54 31 .

Інакше можна розглянути з прикладу. Є дві тарілки, у яких 1 2 пирога, анна інший 1 16 . Якщо з'їсти 1 2 пирога, то наситишся швидше, ніж тільки 1 16 . Звідси висновок, що найбільший знаменникпри однакових чисельниківє найменшим у порівнянні дробів.

Порівняння дробу з натуральним числом

Порівняння звичайного дробу з натуральним числом йде як і порівняння двох дробів із записом знаменників як 1 . Для детального розгляду нижче наведемо приклад.

Приклад 4

Необхідно виконати порівняння 63 8 та 9 .

Рішення

Необхідно подати число 9 як дробу 9 1 . Тоді маємо необхідність порівняння дробів 63 8 та 9 1 . Далі слідує приведення до спільного знаменника шляхом знаходження додаткових множників. Після цього бачимо, що потрібно порівняти дроби з однаковими знаменниками 638 і 728. Виходячи з правила порівняння, 63< 72 , тогда получаем 63 8 < 72 8 . Значит, заданная дробь меньше целого числа 9 , то есть имеем 63 8 < 9 .

Відповідь: 63 8 < 9 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

У повсякденному життінам часто доводиться порівнювати дрібні величини. Найчастіше це не викликає жодних труднощів. Дійсно, всім зрозуміло, що половина яблука більша за чверть. Але коли необхідно записати це у вигляді математичного виразу, це може спричинити труднощі. Використовуючи такі математичні правила, ви легко можете впоратися з цим завданням.

Як порівнювати дроби з однаковими знаменниками

Такі дроби порівнювати найзручніше. У цьому випадку використовуйте правило:

З двох дробів з однаковими знаменниками, але різними чисельниками, більшим буде той, чисельник якого більший, а меншим – той, чисельник якого менший.

Наприклад, порівняти дроби 3/8 та 5/8. Знаменники у цьому прикладі рівні, отже, застосовуємо це правило. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.

І справді, якщо розрізати дві піци на 8 часток, то 3/8 частки завжди менше, ніж 5/8.

Порівняння дробів з однаковими чисельниками та різними знаменниками

У цьому випадку порівнюють розміри часток-знаменників. Слід застосовувати правило:

Якщо у двох дробів чисельники рівні, то більший той дріб, знаменник якого менший.

Наприклад, порівняти дроби 3/4 та 3/8. У цьому прикладі чисельники рівні, отже, використовуємо друге правило. У дробу 3/4 знаменник менший, ніж у дробу 3/8. Відтак 3/4>3/8

Якщо ви з'їсте 3 шматки піци, розділеної на 4 частини, то будете більш ситі, ніж якби з'їли 3 шматки піци, розділеної на 8 частин.

Порівняння дробів з різними чисельниками та знаменниками

Застосовуємо третє правило:

Порівняння дробів із різними знаменниками потрібно призвести до порівняння дробів із однаковими знаменниками. Для цього необхідно привести дроби до спільного знаменника та використати перше правило.

Наприклад, необхідно порівняти дроби та . Для визначення більшого дробу наведемо ці два дроби до спільного знаменника: