Як подати у вигляді десяткового дробу. Неправильні дроби: як навчитися вирішувати з ними приклади

При слові "дроби" у багатьох біжать мурашки. Тому що згадується школа та завдання, які вирішувалися на математиці. Це було обов'язком, який потрібно було виконати. А що якщо ставитись до завдань, що містять правильні та неправильні дроби, як до головоломки? Адже багато дорослих вирішують цифрові та японські кросворди. Розібралися у правилах, і все. Так само і тут. Варто тільки вникнути в теорію - і все стане на свої місця. А приклади перетворяться на спосіб потренувати мозок.

Які види дробів існують?

Спершу про те, що це таке. Дроб - число, яке має деяку частину від одиниці. Її можна записати у двох видах. Перший зветься звичайним. Тобто така, яка має горизонтальну або похилу рису. Вона прирівнюється до знака поділу.

У такому записі число, що стоїть над рискою, називається чисельником, а під нею знаменником.

Серед звичайних виділяють правильні та неправильні дроби. У перших чисельник за модулем завжди менше знаменника. Неправильні тому так і називаються, що вони все навпаки. Значення правильного дробу завжди менше одиниці. Хоча неправильна завжди більше цього числа.

Є ще змішані числа, тобто такі, у яких є ціла і дробова частини.

Другий вид запису – десятковий дріб. Про неї окрема розмова.

Чим відрізняються неправильні дроби від змішаних чисел?

За своєю суттю, нічим. Це просто різна запис однієї й тієї числа. Неправильні дроби після нескладних дій легко стають змішаними числами. І навпаки.

Все залежить від конкретної ситуації. Іноді у завданнях зручніше використовувати неправильний дріб. А часом необхідно перевести її в змішане число, і тоді приклад вирішиться дуже легко. Тому, що використовувати: неправильні дроби, змішані числа, - залежить від спостережливості вирішального завдання.

Змішане число ще порівнюють із сумою цілої частини та дробової. Причому друга завжди менше одиниці.

Як уявити змішане число у вигляді неправильного дробу?

Якщо потрібно виконати будь-яку дію з кількома числами, які записані в різних видах, потрібно зробити їх однаковими. Один із методів — уявити числа у вигляді неправильних дробів.

Для цієї мети потрібно виконати дії за таким алгоритмом:

• помножити знаменник на цілу частину;
• додати до результату значення чисельника;
• записати відповідь над межею;
• знаменник залишити тим самим.

Ось приклади того, як записати неправильні дроби зі змішаних чисел:

• 17 ¼ = (17 х 4 + 1): 4 = 69/4;
• 39 ½ = (39 х 2 + 1): 2 = 79/2.

Як записати неправильний дріб у вигляді змішаного числа?

Наступний прийом протилежний розглянутому вище. Тобто, коли всі змішані числа замінюються на неправильні дроби. Алгоритм дій буде таким:

• розділити чисельник на знаменник до одержання залишку;
• записати приватне дома цілої частини змішаного;
• залишок слід розмістити над межею;
• дільник буде знаменником.

Приклади такого перетворення:

76/14; 76:14 = 5 із залишком 6; відповіддю буде 5 цілих та 6/14; дробову частину у цьому прикладі потрібно скоротити на 2, вийде 3/7; підсумкова відповідь - 5 цілих 3/7.

108/54; після поділу виходить приватне 2 без залишку; це означає, що не всі неправильні дроби вдається подати у вигляді змішаного числа; відповіддю буде ціле - 2.

Як ціле число перетворити на неправильний дріб?

Бувають ситуації, коли потрібна і така дія. Щоб отримати неправильні дроби із заздалегідь відомим знаменником, потрібно виконати такий алгоритм:

• помножити ціле число на потрібний знаменник;
• записати це значення над межею;
• розмістити під нею знаменник.

Найпростіший варіант, коли знаменник дорівнює одиниці. Тоді нічого множити не треба. Досить просто написати ціле число, яке дано в прикладі, а під межею розташувати одиницю.

приклад: 5 зробити неправильним дробом зі знаменником 3. Після множення 5 на 3 виходить 15. Це число буде знаменником. Відповідь завдання дріб: 15/3.

Два підходи до вирішення завдань з різними числами

У прикладі потрібно обчислити суму і різницю, а також добуток і частки двох чисел: 2 цілих 3/5 і 14/11.

У першому підходізмішане число буде представлено у вигляді неправильного дробу.

Після виконання дій, описаних вище, вийде таке значення: 13/5.

Щоб дізнатися суму, потрібно привести дроби до однакового знаменника. 13/5 після множення на 11 буде 143/55. А 14/11 після множення на 5 набуде вигляду: 70/55. Для обчислення суми потрібно лише скласти чисельники: 143 та 70, а потім записати відповідь з одним знаменником. 213/55 - цей неправильний дріб відповідь задачі.

При знаходженні різниці ці числа віднімаються: 143 - 70 = 73. Відповіддю буде дріб: 73/55.

При множенні 13/5 та 14/11 не потрібно приводити до спільного знаменника. Достатньо перемножити попарно чисельники та знаменники. Вийде відповідь: 182/55.

Так само і при розподілі. Для правильного рішення потрібно замінити поділ на множення та перевернути дільник: 13/5: 14/11 = 13/5 х 11/14 = 143/70.

У другому підходінеправильний дріб перетворюється на змішане число.

Після виконання дій алгоритму 14/11 звернеться в змішане число з частиною 1 і дробовою 3/11.

Під час обчислення суми потрібно скласти цілі та дробові частини окремо. 2+1=3, 3/5+3/11=33/55+15/55=48/55. Підсумкова відповідь виходить 3 цілих 48/55. У першому підході був дріб 213/55. Перевірити правильність можна, перевівши його у змішане число. Після поділу 213 на 55 виходить приватне 3 і залишок 48. Неважко помітити, що відповідь правильна.

При відніманні знак "+" замінюється на "-". 2 – 1 = 1, 33/55 – 15/55 = 18/55. Для перевірки відповідь з попереднього підходу потрібно перевести в змішане число: 73 ділиться на 55 і виходить 1 приватне і залишок 18.

Для знаходження твору та приватного користуватися змішаними числами незручно. Тут завжди рекомендується переходити до неправильних дробів.

Інструкція

Якщо в вигляді дробитреба уявити ціле число, то використовуйте як знаменник одиницю, а вихідне значення ставте в чисельник. Така форма запису називатися неправильним звичайним дробом, оскільки модуль її чисельника більший за модуль знаменника. Наприклад, число 74 можна записати, як 74/1, а число-12 - як -12/1. При необхідності ви можете чисельник і знаменник в однакову кількість разів - значення дробиу цьому випадку, як і раніше, буде відповідати вихідному числу. Наприклад, 74=74/1=222/3 або -12=-12/1=-84/7.

Якщо вихідне числопредставлено у форматі десяткової дроби, то його цілу частину залиште без змін, а роздільну кому замініть пробілом. Дробну частину поставте в чисельник, а як знаменник використовуйте десятку, зведену в ступінь з показником, що дорівнює кількості знаків у дробовій вихідній кількості. Отриману в результаті дробову частину можна скоротити, розділивши чисельник та знаменник на однакове число. Наприклад, десятковий дроби 7,625 буде відповідати звичайний дріб 7 625/1000, який після скорочення набуде значення 7 5/8. Така форма запису звичайного дробизмішаної. При необхідності її можна призвести до неправильного звичайного вигляду, помноживши цілу частину на знаменник і додавши результат до чисельника: 7,625 = 7625/1000 = 7 5/8 = 61/8.

Якщо вихідний десятковий дріб є і періодичним, то використовуйте, наприклад, систему рівнянь для обчислення її еквівалента у форматі дробизвичайній. Скажімо, якщо вихідний дріб дорівнює 3,5(3), то можна тотожність: 100*x-10*x=100*3,5(3)-10*3,5(3). З нього можна вивести рівність 90*x=318, а те, що шуканий дріб дорівнюватиме 318/90, що після скорочення дасть звичайний дріб 3 24/45.

Джерела:

• Чи можна Число 450 000 Уявити Як Твір 2 Чисел?

У побуті найчастіше зустрічаються не натуральні числа: 1, 2, 3, 4 тощо. (5 кг. картоплі), а дробові, нецілі числа (5,4 кг цибулі). Більшість з них представлені в виглядідесяткових дробів. Але десятковий дріб уявити в вигляді дробидосить просто.

Інструкція

Наприклад, дано число "0,12". Якщо не цей дріб і уявити його так, як є, то виглядатиме він так: 12/100 ("дванадцять"). Щоб позбутися сотні в , потрібно і чисельник, і знаменник поділити число, яке ділить їх числа. Це число 4. Тоді, поділивши чисельник та знаменник, виходить число: 3/25.

Якщо розглядати більш побутову , то часто на ціннику видно, що вага його становить, наприклад, 0,478 кг або ін. Таке число теж легко уявити вигляді дроби:
478/1000 = 239/500. Дроб цей досить негарний, і якби була можливість, то цей десятковий дріб можна було б скорочувати і далі. І тим самим способом: підбору числа, яке ділить як чисельник, і знаменник. Це число є найбільшим загальним множником. "Найбільшим" множник тому, що набагато зручніше і чисельник, і знаменник відразу поділити на 4 (як у першому прикладі), ніж ділити двічі на 2.

Відео на тему

Десяткова дріб- різновид дроби, у якої в знаменнику є "кругле" число: 10, 100, 1000 і т.д. дріб 5/10 має десятковий запис 0,5. Виходячи з цього принципу, дрібможна уявити в виглядідесятковий дроби.

Інструкція

Ми живемо у цифровому світі. Якщо раніше головні цінності становили земля, гроші чи засоби виробництва, тепер все вирішують технології та інформація. Кожна людина, який бажає досягти успіху, просто зобов'язаний розуміти будь-які числа, в якому б вигляді вони не були представлені. Крім звичайної десяткової форми запису розрізняють безліч інших зручних способів представлення чисел (за умов конкретних завдань). Розглянемо найпоширеніші їх.

Вам знадобиться

• Калькулятор

Інструкція

Для уявлення десяткового числа у вигляді звичайного дробу потрібно спочатку подивитися, яким воно є - або речовим. Ціле числоне має коми зовсім, або після коми стоїть нуль (або багато нулів, що одне й теж). Якщо ж після коми є деякі числа, то це числовідноситься до речових. Ціле числодуже легко уявити у вигляді дробу: у чисельник йде саме число, а знаменник - . З десяткової майже так само, тільки будемо множити обидві частину дробу на десять до тих пір, поки не позбудемося коми в чисельнику.

Щоб раціональне число m/n записати як десяткового дробу, потрібно чисельник розділити на знаменник. При цьому приватне записується кінцевим або нескінченним десятковим дробом.

Записати це число у вигляді десяткового дробу.

Рішення. Розділимо в стовпчик чисельник кожного дробу на його знаменник: а)ділимо 6 на 25; б)ділимо 2 на 3; в)ділимо 1 на 2, а потім дроб, що вийшов, припишемо до одиниці — цілої частини даного змішаного числа.

Нескоротні звичайні дроби, знаменники яких містять інших простих дільників, крім 2 і 5 , записуються кінцевим десятковим дробом.

У приклад 1в разі а)знаменник 25 = 5 · 5; в разі в)знаменник дорівнює 2, тому ми отримали кінцеві десяткові дроби 0,24 і 1,5 . В разі б)знаменник дорівнює 3, тому результат не можна записати у вигляді кінцевого десяткового дробу.

А чи можна без поділу в стовпчик звернути в десятковий дріб такий звичайний дріб, знаменник якого не містить інших дільників, крім 2 і 5? Розберемося! Який дріб називають десятковим і записують без дробової межі? Відповідь: дріб із знаменником 10; 100; 1000 і т.д. А кожне з цих чисел – це твір рівногокількості «двійок» та «п'ятірок». Насправді: 10 = 2 · 5; 100 = 2 · 5 · 2 · 5; 1000 = 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5 і т.д.

Отже, знаменник нескоротного звичайного дробу потрібно буде подати у вигляді твору «двійок» і «п'ятірок», а потім домножити на 2 та (або) на 5 так, щоб «двійок» і «п'ятірок» стало порівну. Тоді знаменник дробу дорівнюватиме 10 або 100 або 1000 і т.д. Щоб значення дробу не змінилося — чисельник дробу помножимо на те число, на яке помножили знаменник.

Подати у вигляді десяткового дробу такі звичайні дроби:

Рішення. Кожен із цих дробів є нескоротним. Розкладемо знаменник кожного дробу на прості множники.

20 = 2 · 2 · 5. Висновок: не вистачає однієї "п'ятірки".

8 = 2 · 2 · 2. Висновок: не вистачає трьох «п'ятірок».

25 = 5 · 5. Висновок: не вистачає двох «двійок».

Зауваження.Насправді частіше використовують розкладання знаменника на множники, а просто запитують: скільки потрібно помножити знаменник, щоб у результаті вийшла одиниця з нулями (10 чи 100 чи 1000 тощо.). А потім на це число множать і чисельник.

Так, у випадку а)(Приклад 2) з числа 20 можна отримати 100 множенням на 5, тому на 5 потрібно помножити чисельник і знаменник.

В разі б)(Приклад 2) з числа 8 число 100 не вийде, але вийде число 1000 множенням на 125. На 125 множиться і чисельник (3) і знаменник (8) дробу.

В разі в)(Приклад 2) з 25 вийде 100, якщо помножити на 4. Значить, і чисельник 8 потрібно помножити на 4.

Нескінченний десятковий дріб, у якого одна або кілька цифр незмінно повторюються в одній і тій же послідовності, називається періодичноїдесятковим дробом. Сукупність цифр, що повторюються, називається періодом цього дробу. Для стислості період дробу записують один раз, укладаючи його в круглі дужки.

В разі б)(Приклад 1) цифра, що повторюється одна і дорівнює 6. Тому, наш результат 0,66 ... запишеться так: 0, (6) . Читають: нуль цілих, шість у періоді.

Якщо між комою і першим періодом є одна або кілька цифр, що не повторюються, то такий періодичний дріб називається змішаним періодичним дробом.

Нескоротний звичайний дріб, знаменник якого разом з іншимимножниками містить множник 2 або 5 звертається в змішануперіодичний дріб.

Десятичним дробом називається дріб, у якого знаменник є натуральним ступенем числа 10. Такий, наприклад, є дріб Цей дріб можна записати в наступній формі: виписати в рядок цифри чисельника і відокремити комою праворуч стільки з них, скільки нулів міститься в знаменнику, а саме :

У такому записі цифри, що стоять ліворуч від коми, утворюють цілу частину, а цифри, що стоять праворуч від коми, - дрібну частину даного десяткового дробу.

Нехай p/q - якесь позитивне раціональне число. З арифметики добре відомий процес поділу, що дозволяє представляти число у вигляді десяткового дробу. Сутність процесу поділу полягає в тому, що спочатку знаходять, яке найбільше ціле число разів q міститься в p; якщо p - кратне q, то цьому процес поділу і закінчується. Інакше з'являється залишок. Далі знаходять, скільки в цьому залишку міститься десятих часток q, і на цьому етапі процес може закінчитися, або з'явиться новий залишок. В останньому випадку знаходять, скільки в ньому міститься сотих часток q, і т.д.

Якщо знаменник q не має жодних інших простих дільників, крім 2 або 5, то через кінцеве число кроків залишок виявиться рівним нулю, процес поділу закінчиться і цей звичайний дріб звернеться в кінцевий десятковий дріб. Справді, у вказаному випадку завжди можна підібрати таке ціле число, що після множення на нього чисельника і знаменника даного дробу вийде рівний їй дріб, у якого знаменник представлятиме натуральний ступінь десяти. Такою, наприклад, є дріб

яку можна уявити так:

Однак, не роблячи цих перетворень, розділивши чисельник на знаменник, читач отримає той самий результат:

Якщо знаменник нескоротного дробу має щонайменше один простий дільник, відмінний від 2 або 5, то процес розподілу на q не закінчиться ніколи (ніякий із чергових залишків на нуль не звернеться).

Виконавши поділ, знайдемо

Для запису результату, одержуваного в цьому прикладі, цифри 0 і 6, що періодично повторюються, укладають у круглі дужки і пишуть:

У цьому прикладі та в інших подібних випадках дія поділу не призводить до остаточного результату у вигляді десяткового дробу. Можна, узагальнюючи поняття десяткового дробу, все-таки говорити, що приватне 965/132 представлено нескінченним періодичним дробом.

Щоб усвідомити причину явища періодичності дробу, розберемо, наприклад, процес поділу на 7. Якщо поділ націло не виконується, то з'являється залишок, який може мати лише одне з наступних значень: 1, 2, 3, 4, 5, 6. І на кожному з наступних кроків залишок матиме знову одне з цих шести значень. Тому не пізніше ніж на сьомому кроці ми неминуче зустрінемося з одним із значень залишку, які раніше вже з'являлися. Починаючи з цього місця, процес розподілу набуде періодичного характеру. Періодично повторюватимуться значення залишків, і цифри приватного. Така міркування застосовна і у разі будь-якого іншого дільника.

Таким чином, будь-який звичайний дріб представляється кінцевим або нескінченним періодичним десятковим дробом. Чудово, що й, назад, будь-який періодичний десятковий дріб представимо у вигляді звичайного дробу. Покажемо, як виконується ця дія. При цьому використовується формула суми нескінченно спадної геометричної прогресії (п. 92).

можна розуміти так:

тут члени правої частини, починаючи з другого, утворюють нескінченну геометричну прогресію зі знаменником та першим членом

Користуючись формулою (92.2):

Зрозуміло, що цей процес дозволить будь-яку задану нескінченну періодичну дріб у вигляді звичайного дробу (і, як можна показати, саме того, з якого в процесі поділу в свою чергу виходить дана нескінченна періодичний дріб). Втім, тут є один виняток. Розглянемо дріб

і застосуємо до неї процес перетворення на звичайний дріб:

Ми прийшли до 1/2, яке представляється кінцевим десятковим дробом

Подібний результат вийде щоразу, коли період цієї нескінченної дробу має вигляд (9). Тому ми ототожнюємо такі пари чисел, як, наприклад,

Іноді корисно ще допускати записи виду

представляючи формально кінцеві десяткові дроби як нескінченні із періодом (0).

Все сказане про звернення звичайного дробу в десятковий періодичний дріб і назад належало до позитивних раціональних чисел. У разі негативного числа можна надійти подвійним чином.

1) Взяти позитивне число, протилежне цьому негативному, звернути його в десятковий дріб, а потім поставити перед нею знак мінус. Наприклад, для - 5/3 отримаємо

2) Дане негативне раціональне число подати у вигляді суми його цілої частини (негативної) та його дробової частини (ненегативної), а потім звернути в десятковий дріб тільки цю дробову частину числа. Наприклад:

Для запису чисел, представлених у вигляді суми своєї негативної цілої частини та кінцевого або нескінченного десяткового дробу, прийнято таке позначення (штучна форма запису негативного числа):

Тут знак мінус ставиться не перед усім дробом, а над цілою частиною, щоб підкреслити, що тільки ціла частина негативна, а наступна за комою дробова частина позитивна.

Такий запис створює однаковість у записі позитивних та негативних десяткових дробів і буде використаний у майбутньому в теорії десяткових логарифмів (п. 28). Пропонуємо читачеві для практики перевірити перехід від одного запису до іншого у прикладах:

Тепер уже можна сформулювати остаточний висновок: будь-яке раціональне число може бути представлене нескінченним десятковим періодичним дробом, і, назад, кожен такий дріб задає раціональне число. Кінцевий десятковий дріб допускає також дві форми запису у вигляді нескінченного десяткового дробу: з періодом (0) і з періодом (9).

У цій статті ми розберемо, як здійснюється переведення звичайних дробів у десяткові дроби, і навіть розглянемо зворотний процес – переведення десяткових дробів у прості дроби. Тут ми озвучимо правила обігу дробів та наведемо докладні рішення характерних прикладів.

Навігація на сторінці.

Переведення звичайних дробів у десяткові дроби

Позначимо послідовність, в якій ми розбиратимемося з переведенням звичайних дробів у десяткові дроби.

Спочатку ми розглянемо, як прості дроби зі знаменниками 10, 100, 1 000, … уявити як десяткових дробів . Це тим, що десяткові дроби насправді є компактною формою запису звичайних дробів зі знаменниками 10, 100, … .

Після цього ми підемо далі і покажемо, як будь-який звичайний дріб (не тільки зі знаменниками 10, 100, …) записати у вигляді десяткового дробу. За такого обігу звичайних дробів виходять як кінцеві десяткові дроби, і нескінченні періодичні десяткові дроби.

Тепер про все по порядку.

Переклад звичайних дробів із знаменниками 10, 100, … у десяткові дроби

Деякі правильні звичайні дроби перед переведенням у десяткові дроби потребують «попередньої підготовки». Це стосується звичайних дробів, кількість цифр у чисельнику яких менша, ніж кількість нулів у знаменнику. Наприклад, звичайний дріб 2/100 потрібно попередньо підготувати до переведення в десятковий дріб, а дріб 9/10 підготовки не потребує.

«Попередня підготовка» правильних звичайних дробів до переведення в десяткові дроби полягає в дописуванні ліворуч у чисельнику такої кількості нулів, щоб там загальна кількість цифр дорівнювала кількості нулів у знаменнику. Наприклад, дріб після дописування нулів матиме вигляд .

Після підготовки правильного звичайного дробу можна приступати до його обігу в десятковий дріб.

Дамо правило переведення правильного звичайного дробу зі знаменником 10, або 100, або 1 000, … в десятковий дріб. Воно складається із трьох кроків:

• записуємо 0;
• після нього ставимо десяткову кому;
• записуємо число з чисельника (разом із дописаними нулями, якщо ми їх дописували).

Розглянемо застосування цього правила під час вирішення прикладів.

приклад.

Переведіть правильний звичайний дріб 37/100 у десятковий.

Рішення.

У знаменнику знаходиться число 100, у запису якого два нулі. У чисельнику знаходиться число 37, у його записі дві цифри, отже, цей дріб не потребує підготовки до переведення в десятковий дріб.

Тепер записуємо 0 , ставимо десятковий ком, і записуємо число 37 з чисельника, при цьому отримуємо десятковий дріб 0,37 .

Відповідь:

0,37 .

Для закріплення навичок перекладу правильних звичайних дробів із чисельниками 10, 100, … у десяткові дроби розберемо рішення ще одного прикладу.

приклад.

Запишіть правильний дріб 107/10 000 000 у вигляді десяткового дробу.

Рішення.

Кількість цифр у чисельнику дорівнює 3, а кількість нулів у знаменнику дорівнює 7, тому цей звичайний дріб потребує підготовки до переведення в десятковий. Нам потрібно дописати 7-3=4 нуля ліворуч у чисельнику, щоб загальна кількість цифр там дорівнювала кількості нулів у знаменнику. Отримуємо.

Залишилося скласти потрібний десятковий дріб. Для цього, по-перше, записуємо 0, по-друге, ставимо кому, по-третє, записуємо число з чисельника разом з нулями 0000107, в результаті маємо десятковий дріб 0,0000107.

Відповідь:

0,0000107 .

Неправильні звичайні дроби не потребують підготовки під час переведення в десяткові дроби. Слід дотримуватися наступного правила переведення неправильних звичайних дробів із знаменниками 10, 100, … у десяткові дроби:

• записуємо число із чисельника;
• відокремлюємо десятковою комою стільки цифр праворуч, скільки нулів у знаменнику вихідного дробу.

Розберемо застосування цього правила під час вирішення прикладу.

приклад.

Переведіть неправильний звичайний дріб 56 888 038 009/100 000 у десятковий дріб.

Рішення.

По-перше, записуємо число з чисельника 56888038009, по-друге, відокремлюємо десятковою комою 5 цифр праворуч, так як у знаменнику вихідного дробу 5 нулів. У результаті маємо десятковий дріб 568 880,38009.

Відповідь:

568 880,38009 .

Для звернення до десяткового дробу змішаного числа , знаменником дробової частини якого є число 10 , або 100 , або 1 000, ... , Можна виконати переведення змішаного числа в неправильний звичайний дріб, після чого отриманий дріб звернути в десятковий дріб. Але можна скористатися і наступним правилом переведення змішаних чисел зі знаменником дробової частини 10, або 100, або 1000, … у десяткові дроби:

• за необхідності виконуємо «попередню підготовку» дробової частини вихідного змішаного числа, дописавши необхідну кількість нулів зліва в чисельнику;
• записуємо цілу частину вихідного змішаного числа;
• ставимо десяткову кому;
• записуємо число з чисельника разом із дописаними нулями.

Розглянемо приклад, при вирішенні якого виконаємо всі необхідні кроки для представлення змішаного числа у вигляді десяткового дробу.

приклад.

Переведіть змішане число в десятковий дріб.

Рішення.

У знаменнику дробової частини 4 нуля, у чисельнику ж знаходиться число 17 , що складається з 2 цифр, тому, нам потрібно дописати два нулі зліва в чисельнику, щоб там число знаків дорівнювало числу нулів у знаменнику. Виконавши це, у чисельнику виявиться 0017 .

Тепер записуємо цілу частину вихідного числа, тобто, число 23 , ставимо десяткову кому, після якої записуємо число з чисельника разом з дописаними нулями, тобто, 0017 при цьому отримуємо шуканий десятковий дріб 23,0017 .

Запишемо все рішення коротко: .

Безперечно, можна було спочатку уявити змішане число у вигляді неправильного дробу, після чого перевести його в десятковий дріб. За такого підходу рішення виглядає так: .

Відповідь:

23,0017 .

Переведення звичайних дробів у кінцеві та нескінченні періодичні десяткові дроби

У десятковий дріб можна перевести як звичайні дроби зі знаменниками 10, 100, … , але звичайні дроби коїться з іншими знаменниками. Нині ми розберемося, як це робиться.

У деяких випадках вихідний звичайний дріб легко приводиться до одного із знаменників 10 , або 100 , або 1 000, … (дивіться приведення звичайного дробу до нового знаменника), після чого не складає труднощі отриманий дріб уявити у вигляді десяткового дробу. Наприклад, очевидно, що дріб 2/5 можна привести до дробу зі знаменником 10 , для цього потрібно чисельник і знаменник помножити на 2 , що дасть дріб 4/10 , який за правилами, розібраними в попередньому пункті, легко переводиться в десятковий дріб 0, 4 .

В інших випадках доводиться використовувати інший спосіб переведення звичайного дробу в десятковий, до розгляду якого ми переходимо.

Для обігу звичайного дробу в десятковий дріб виконується розподіл чисельника дробу на знаменник, чисельник попередньо замінюється рівним йому десятковим дробом з будь-якою кількістю нулів після десяткової коми (про це ми говорили в розділі рівні та нерівні десяткові дроби). У цьому розподіл виконується як і, як розподіл стовпчиком натуральних чисел , а приватному ставиться десяткова кома, коли закінчується розподіл цілої частини поділеного. Все це стане зрозуміло з рішень прикладів, наведених нижче.

приклад.

Переведіть звичайний дріб 621/4 у десятковий дріб.

Рішення.

Число в чисельнику 621 представимо у вигляді десяткового дробу, додавши десяткову кому і кілька нулів після неї. Для початку допишемо 2 цифри 0, пізніше, за потреби, ми завжди можемо додати ще нулів. Отже, маємо 621,00.

Тепер виконаємо поділ стовпчиком числа 621,000 на 4 . Перші три кроки нічим не відрізняються від поділу стовпчиком натуральних чисел, після них приходимо до наступної картини:

Так ми дісталися десяткової коми в ділимому, а залишок при цьому відмінний від нуля. У цьому випадку в приватному ставимо десяткову кому, і продовжуємо поділ стовпчиком, не звертаючи уваги на коми:

На цьому розподіл закінчено, а в результаті ми отримали десятковий дріб 155,25, який відповідає вихідному звичайному дробу.

Відповідь:

155,25 .

Для закріплення матеріалу розглянемо рішення ще одного прикладу.

приклад.

Переведіть звичайний дріб 21/800 у десятковий дріб.

Рішення.

Для переведення цього звичайного дробу в десятковий, виконаємо поділ стовпчиком десяткового дробу 21,000 ... на 800 . Нам після першого ж кроку доведеться поставити десяткову кому в приватному, після чого продовжити поділ:

Нарешті ми отримали залишок 0, на цьому переведення звичайного дробу 21/400 в десятковий дріб закінчено, і ми прийшли до десяткового дробу 0,02625.

Відповідь:

0,02625 .

Може статися, що при розподілі чисельника на знаменник звичайного дробу ми не отримаємо в залишку 0 . У цих випадках поділ можна продовжувати як завгодно довго. Проте, починаючи з певного кроку, залишки начитають періодично повторюватися, у своїй повторюються і цифри у приватному. Це означає, що вихідний звичайний дріб переводиться в нескінченний періодичний десятковий дріб . Покажемо на прикладі.

приклад.

Запишіть звичайний дріб 19/44 у вигляді десяткового дробу.

Рішення.

Для переведення звичайного дробу в десятковий виконаємо поділ стовпчиком:

Вже зараз видно, що при розподілі почали повторюватися залишки 8 і 36, при цьому в приватному повторюються цифри 1 і 8. Таким чином, вихідний звичайний дріб 19/44 переводиться в періодичний десятковий дріб 0,43181818 ... = 0,43 (18) .

Відповідь:

0,43(18) .

На закінчення цього пункту розберемося, які прості дроби можна перевести в кінцеві десяткові дроби, а які - тільки в періодичні.

Нехай перед нами знаходиться нескоротний звичайний дріб (якщо дріб скоротитий, то попередньо виконуємо скорочення дробу), і нам потрібно з'ясувати, в який десятковий дріб його можна перевести - в кінцевий або періодичний.

Зрозуміло, що якщо звичайний дріб можна привести до одного із знаменників 10, 100, 1 000, … , то отриманий дріб легко перевести в кінцевий десятковий дріб за правилами, розібраними в попередньому пункті. Але до знаменників 10, 100, 1000 і т.д. наводяться далеко не всі прості дроби. До таких знаменників можна привести лише дроби, знаменники яких є хоча б одного з чисел 10, 100, А які числа можуть бути дільниками 10, 100, ...? Відповісти це питання нам дозволять чисел 10, 100, … , які такі: 10=2·5 , 100=2·2·5·5 , 1 000=2·2·2·5·5·5, … . Звідси випливає, що дільниками 10, 100, 1000 і т.д. можуть бути лише числа, розкладання яких на прості множники містять лише числа 2 та (або) 5 .

Тепер ми можемо зробити загальний висновок про переведення звичайних дробів у десяткові дроби:

• якщо в розкладанні знаменника на прості множники присутні лише числа 2 і (або) 5, то цей дріб можна перевести в кінцевий десятковий дріб;
• якщо крім двох і п'ятірок у розкладанні знаменника присутні інші прості числа, то цей дріб перекладається до нескінченного десяткового періодичного дробу.

приклад.

Не виконуючи переведення звичайних дробів у десяткові, скажіть, які з дробів 47/20 , 7/12 , 21/56 , 31/17 можна перевести в кінцевий десятковий дріб, а які - тільки в періодичний.

Рішення.

Розкладання на прості множники знаменника дробу 47/20 має вигляд 20 = 2 · 2 · 5 . У цьому розкладанні присутні лише двійки і п'ятірки, тому цей дріб може бути приведений до одного із знаменників 10, 100, 1 000, … (у цьому прикладі до знаменника 100), отже, може бути переведена в кінцевий десятковий дріб.

Розкладання на прості множники знаменника дробу 7/12 має вигляд 12 = 2 · 2 · 3 . Так як воно містить простий множник 3 , відмінний від 2 і 5 , то цей дріб не може бути представлений у вигляді кінцевого десяткового дробу, але може бути переведена в періодичний десятковий дріб.

Дріб 21/56 – скоротлива, після скорочення вона набуває вигляду 3/8 . Розкладання знаменника на прості множники містить три множники, рівних 2 , отже, звичайна дріб 3/8 , а отже і рівна їй дріб 21/56 може бути переведена в кінцевий десятковий дріб.

Нарешті, розкладання знаменника дробу 31/17 являє собою 17 , отже, цей дріб не можна звернути в кінцевий десятковий дріб, але можна звернути в нескінченну періодичну.

Відповідь:

47/20 і 21/56 можна перевести в кінцевий десятковий дріб, а 7/12 і 31/17 - тільки в періодичний.

Звичайні дроби не перетворюються на нескінченні неперіодичні десяткові дроби

Інформація попереднього пункту породжує питання: «Чи може при розподілі чисельника дробу на знаменник вийти нескінченний неперіодичний дріб»?

Відповідь: ні. При перекладі звичайного дробу може вийти або кінцевий десятковий дріб, або нескінченний періодичний десятковий дріб. Пояснимо, чому це так.

З теореми про ділимості з залишком ясно, що залишок завжди менший за дільник, тобто, якщо ми виконуємо розподіл деякого цілого числа на ціле число q , то залишком може бути лише одне з чисел 0, 1, 2, …, q−1 . Звідси випливає, що після завершення поділу стовпчиком цілої частини чисельника звичайного дробу на знаменник q , не більше ніж через крок q виникне одна з двох наступних ситуацій:

• або ми отримаємо залишок 0 , у цьому розподіл закінчиться, ми отримаємо кінцевий десятковий дріб;
• або ми отримаємо залишок, який вже з'являвся раніше, після цього залишки почнуть повторюватися як у попередньому прикладі (оскільки при розподілі рівних чисел на q виходять рівні залишки, що випливає з вже згаданої теореми про подільність), так буде отримано нескінченний періодичний десятковий дріб.

Інших варіантів бути не може, отже, при зверненні звичайного дробу в десятковий дріб не може вийти нескінченна неперіодична десяткова дріб.

З наведених у цьому пункті міркувань також випливає, що довжина періоду десяткового дробу завжди менше, ніж значення знаменника відповідного звичайного дробу.

Переведення десяткових дробів у звичайні дроби

Тепер розберемося, як перевести десятковий дріб у звичайний. Почнемо з переведення кінцевих десяткових дробів у звичайні дроби. Після цього розглянемо метод обігу нескінченних періодичних десяткових дробів. На закінчення скажемо про неможливість переведення нескінченних неперіодичних десяткових дробів у звичайні дроби.

Переведення кінцевих десяткових дробів у звичайні дроби

Отримати звичайний дріб, який записаний у вигляді кінцевого десяткового дробу, досить просто. Правило переведення кінцевого десяткового дробу у звичайний дрібскладається з трьох кроків:

• по-перше, записати цей десятковий дріб у чисельник, попередньо відкинувши десятковий ком і всі нулі зліва, якщо вони є;
• по-друге, у знаменник записати одиницю і до неї дописати стільки нулів, скільки цифр знаходиться після коми у вихідному десятковому дробі;
• по-третє, за необхідності виконати скорочення отриманого дробу.

Розглянемо рішення прикладів.

приклад.

Зверніть десятковий дріб 3,025 у звичайний дріб.

Рішення.

Якщо вихідного десяткового дробу прибрати десяткову кому, ми отримаємо число 3 025 . У ньому немає нулів зліва, які б ми відкинули. Отже, у чисельник дробу, що шукається, записуємо 3 025 .

У знаменник записуємо цифру 1 і праворуч до неї дописуємо 3 нуля, тому що у вихідному десятковому дробі після коми знаходяться 3 цифри.

Так ми отримали звичайний дріб 3025/1000 . Цей дріб можна скоротити на 25 .

Відповідь:

.

приклад.

Виконайте переведення десяткового дробу 0,0017 у звичайний дріб.

Рішення.

Без десяткової коми вихідний десятковий дріб має вигляд 00017 , відкинувши нулі зліва отримуємо число 17 , яке і є чисельником потрібного звичайного дробу.

У знаменник записуємо одиницю з чотирма нулями, тому що у вихідному десятковому дробі після коми 4 цифри.

Через війну маємо звичайну дріб 17/10 000 . Цей дріб нескоримий, і переведення десяткового дробу до звичайного закінчено.

Відповідь:

.

Коли ціла частина вихідного кінцевого десяткового дробу відмінна від нуля, то його можна відразу перевести в змішане число, минаючи звичайний дріб. Дамо правило переведення кінцевого десяткового дробу в змішане число:

• число до десяткової коми треба записати як цілу частину змішаного числа, що шукається;
• у чисельник дробової частини потрібно записати число, отримане з дробової частини вихідного десяткового дробу після відкидання в ньому всіх нулів зліва;
• у знаменнику дробової частини потрібно записати цифру 1 , до якої праворуч дописати стільки нулів, скільки цифр знаходиться в записі вихідного десяткового дробу після коми;
• при необхідності виконати скорочення дробової частини одержаного змішаного числа.

Розглянемо приклад переведення десяткового дробу в змішане число.

приклад.

Подайте десятковий дріб 152,06005 у вигляді змішаного числа