rasva põletamine

Bayesi ideed juhtidele. Bayesi teoreemi lihtne seletus

Kes on Bayes? Ja mis on sellel pistmist juhtimisega? – võib järgneda üsna õiglane küsimus. Praegu pidage meeles: see on väga oluline! .. ja huvitav (vähemalt minu jaoks).

Millise paradigma järgi tegutseb enamik juhte: kui ma midagi jälgin, siis milliseid järeldusi saan sellest teha? Mida Bayes õpetab: mis peab tegelikult olema, et ma saaksin seda midagi jälgida? Nii arenevad kõik teadused ja ta kirjutab sellest (tsiteerin mälu järgi): inimene, kellel pole teooriat peas, eemaldub erinevate sündmuste (vaatluste) mõjul ühest ideest teise. Ega asjata öeldakse: pole midagi praktilisemat kui hea teooria.

Näide praktikast. Minu alluv teeb vea ja mu kolleeg (teise osakonna juhataja) ütleb, et hooletule töötajale oleks vaja juhtimislikku mõju avaldada (ehk siis karistada/noomida). Ja ma tean, et see töötaja teeb 4-5 tuhat sama tüüpi toimingut kuus ja selle aja jooksul ei tee ta rohkem kui 10 viga. Kas tunnete paradigma erinevust? Minu kolleeg reageerib tähelepanekule ja mul on a priori teadmine, et töötaja teeb teatud arvu vigu, nii et teine vigu ei mõjutanud seda teadmist ... Kui nüüd kuu lõpus selgub, et neid on, näiteks 15 sellist viga! .. See on juba põhjus standarditele mittevastavuse põhjuste uurimiseks.

Kas olete veendunud Bayesi lähenemisviisi tähtsuses? Huvitatud? Loodan seda". Ja nüüd kärbes salvis. Kahjuks antakse Bayesi ideid harva esimese hooga. Ausalt öeldes mul ei vedanud, kuna tutvusin nende ideedega populaarse kirjanduse kaudu, mille lugemisele jäi palju küsimusi. Märkme kirjutamise plaanimisel kogusin kokku kõik, mida olin varem Bayesi järgi visandanud, ja uurisin ka seda, mida nad Internetis kirjutavad. Esitan teile oma parima oletuse sellel teemal. Sissejuhatus Bayesi tõenäosusesse.

Bayesi teoreemi tuletamine

Mõelge järgmisele katsele: nimetame segmendil mis tahes arvu ja fikseerime, kui see arv on näiteks vahemikus 0,1 kuni 0,4 (joonis 1a). Selle sündmuse tõenäosus on võrdne lõigu pikkuse ja lõigu kogupikkuse suhtega, eeldusel, et segmendil esinevad numbrid võrdtõenäoline. Matemaatiliselt saab seda kirja panna lk(0,1 <= x <= 0,4) = 0,3, или кратко R(X) = 0,3, kus R- tõenäosus, X on juhuslik muutuja vahemikus , X on juhuslik suurus vahemikus . See tähendab, et segmendi tabamise tõenäosus on 30%.

Riis. 1. Tõenäosuste graafiline tõlgendamine

Nüüd kaaluge ruutu x (joonis 1b). Oletame, et peame nimetama arvupaare ( x, y), millest igaüks on suurem kui null ja väiksem kui üks. Tõenäosus, et x(esimene number) on segmendi sees (sinine ala 1), mis on võrdne sinise ala pindala ja kogu ruudu pindala suhtega, see tähendab (0,4 - 0,1) ) * (1 - 0) / (1 * 1) = 0, 3, see tähendab sama 30%. Tõenäosus, et y on segmendi sees (roheline ala 2) võrdub haljasala pindala ja kogu ruudu pindala suhtega lk(0,5 <= y <= 0,7) = 0,2, или кратко R(Y) = 0,2.

Mida saab väärtuste kohta samal ajal õppida x ja y. Näiteks kui suur on tõenäosus, et mõlemad x ja y on vastavates etteantud segmentides? Selleks peate arvutama domeeni 3 pindala (rohelise ja sinise triibu ristumiskoht) ja kogu ruudu pindala: lk(X, Y) = (0,4 – 0,1) * (0,7 – 0,5) / (1 * 1) = 0,06.

Oletame nüüd, et tahame teada, milline on selle tõenäosus y on intervallis if x on juba vahemikus. See tähendab, et meil on filter ja kui kutsume paare ( x, y), siis viskame kohe kõrvale need paarid, mis ei vasta leidmise tingimusele x antud intervallis ja seejärel loeme filtreeritud paaridest need, mille jaoks y rahuldab meie tingimust ja arvesta tõenäosust paaride arvu suhtena, mille puhul y asub ülaltoodud segmendis filtreeritud paaride koguarvuni (st mille jaoks x asub segmendis). Selle tõenäosuse võime kirjutada kui lk(Y|X juures X tabas vahemikus." Ilmselgelt on see tõenäosus võrdne ala 3 pindala suhtega sinise ala 1 pindalaga. Piirkonna 3 pindala on (0,4 - 0,1) * (0,7 - 0,5) = 0,06 ja sinise ala pindala 1 ( 0,4 - 0,1) * (1 - 0) = 0,3, siis on nende suhe 0,06 / 0,3 = 0,2. Ehk siis leidmise tõenäosus y segmendil, tingimusel et x kuulub segmenti lk(Y|X) = 0,2.

Eelmises lõigus sõnastasime tegelikult identiteedi: lk(Y|X) = lk(X, Y) /p( X). Seal on kirjas: "löögi tõenäosus juures vahemikus, eeldusel, et X tabamus vahemikus on võrdne samaaegse tabamuse tõenäosuse suhtega X vahemikus ja juures vahemikus, kuni tabamise tõenäosuseni X vahemikku."

Analoogia põhjal kaaluge tõenäosust lk(X|Y). Kutsume paare x, y) ja filtreerige need, mille jaoks y jääb vahemikku 0,5–0,7, siis on tõenäosus, et x on segmendis tingimusel, et y segmenti kuuluv väärtus võrdub ala 3 pindala ja haljasala 2 pindala suhtega: lk(X|Y) = lk(X, Y) / lk(Y).

Pange tähele, et tõenäosus lk(X, Y) ja lk(Y, X) on võrdsed ja mõlemad on võrdsed 3. tsooni pindala ja kogu ruudu pindala suhtega, kuid tõenäosused lk(Y|X) ja lk(X|Y) pole võrdne; samas kui tõenäosus lk(Y|X) on võrdne ala 3 ja 1 pindala suhtega ja lk(X|Y) – domeenist 3 kuni domeenini 2. Pange tähele ka seda lk(X, Y) tähistatakse sageli kui lk(X&Y).

Seega on meil kaks määratlust: lk(Y|X) = lk(X, Y) /p( X) ja lk(X|Y) = lk(X, Y) / lk(Y)

Kirjutame need võrdsused ümber järgmiselt: lk(X, Y) = lk(Y|X)*p( X) ja lk(X, Y) = lk(X|Y) * lk(Y)

Kuna vasakpoolsed küljed on võrdsed, on ka paremad küljed võrdsed: lk(Y|X)*p( X) = lk(X|Y) * lk(Y)

Või võime viimase võrdsuse ümber kirjutada järgmiselt:

See on Bayesi teoreem!

Kas on võimalik, et nii lihtsatest (peaaegu tautoloogilistest) teisendustest sünnib suurepärane teoreem!? Ärge kiirustage järeldustega. Räägime uuesti sellest, mis meil on. Esialgne (a priori) tõenäosus oli olemas R(X) et juhuslik suurus X segmendil ühtlaselt jaotunud jääb vahemikku X. Mõni sündmus on juhtunud Y, mille tulemusena oleme saanud sama juhusliku suuruse a posteriori tõenäosuse X: R(X|Y) ja see tõenäosus erineb R(X) koefitsiendiga . Sündmus Y nimetatakse tõenditeks, mis enam-vähem kinnitavad või ümber lükkavad X. Seda koefitsienti nimetatakse mõnikord tõendite jõud. Mida tugevamad on tõendid, seda rohkem muudab vaatluse Y fakt eelnevat tõenäosust, seda rohkem erineb posteriorne tõenäosus priorist. Kui tõendid on nõrgad, on tagumine peaaegu võrdne eelnevaga.

Bayesi valem diskreetsete juhuslike muutujate jaoks

Eelmises jaotises tuletasime Bayesi valemi pidevate juhuslike muutujate x ja y jaoks, mis on määratletud intervallil . Vaatleme näidet diskreetsete juhuslike muutujatega, millest igaüks võtab kaks võimalikku väärtust. Rutiinse arstliku läbivaatuse käigus selgus, et neljakümneaastaselt põeb rinnavähki 1% naistest. 80% vähihaigetest naistest saavad positiivsed mammograafia tulemused. 9,6% tervetest naistest saavad ka positiivseid mammograafiatulemusi. Uuringu käigus sai selle vanuserühma naine positiivse mammogrammi tulemuse. Kui suur on tõenäosus, et tal on rinnavähk?

Arutluste/arvutuste käik on järgmine. 1% vähihaigetest annab mammograafia 80% positiivseid tulemusi = 1% * 80% = 0,8%. 99% tervetest naistest annab mammograafia 9,6% positiivseid tulemusi = 99% * 9,6% = 9,504%. Kokku on 10,304% (9,504% + 0,8%) positiivsete mammogrammitulemustega haigeid vaid 0,8% ja ülejäänud 9,504% terved. Seega tõenäosus, et positiivse mammogrammiga naisel on vähk, on 0,8% / 10,304% = 7,764%. Kas sa arvasid 80% või nii?

Meie näites on Bayesi valem järgmine:

Räägime veel kord selle valemi "füüsilisest" tähendusest. X on juhuslik muutuja (diagnoos), millel on järgmised väärtused: X 1- haige ja X 2- terve; Y- juhuslik suurus (mõõtmistulemus - mammograafia), mis võtab väärtused: Y 1- positiivne tulemus ja Y2- negatiivne tulemus; p(X 1)- haigestumise tõenäosus enne mammograafiat (a priori tõenäosus), võrdne 1%; R(Y 1 |X 1 ) - positiivse tulemuse tõenäosus, kui patsient on haige (tingimuslik tõenäosus, kuna see tuleb täpsustada ülesande tingimustes), võrdne 80%; R(Y 1 |X 2 ) – positiivse tulemuse tõenäosus, kui patsient on terve (ka tingimuslik tõenäosus), võrdne 9,6%; p(X 2)- tõenäosus, et patsient on enne mammograafiat terve (a priori tõenäosus), võrdne 99%; p(X 1|Y 1 ) – tõenäosus, et patsient on haige, arvestades positiivset mammogrammi tulemust (tagumine tõenäosus).

On näha, et tagumine tõenäosus (mida me otsime) on proportsionaalne eelneva tõenäosusega (esialgne) veidi keerulisema koefitsiendiga . Rõhutan veel kord. Minu arvates on see Bayesi lähenemisviisi põhiaspekt. Mõõtmed ( Y) lisas algselt kättesaadavale (a priori) teatud hulga infot, mis täpsustas meie teadmisi objekti kohta.

Näited

Kaetud materjali koondamiseks proovige lahendada mitu probleemi.

Näide 1 Seal on 3 urni; esimeses 3 valges pallis ja 1 must; teises - 2 valget ja 3 musta palli; kolmandas - 3 valget palli. Keegi läheneb juhuslikult ühele urnile ja tõmbab sealt 1 palli. See pall on valge. Leidke tagumised tõenäosused, et pall tõmmatakse 1., 2., 3. urnist.

Lahendus. Meil on kolm hüpoteesi: H 1 = (esimene urn valitud), H 2 = (valitud on teine urn), H 3 = (valitud kolmas urn). Kuna urn valitakse juhuslikult, on hüpoteeside a priori tõenäosused järgmised: Р(Н 1) = Р(Н 2) = Р(Н 3) = 1/3.

Katse tulemusena ilmnes sündmus A = (valitud urnist võeti välja valge pall). Sündmuse A tingimuslikud tõenäosused hüpoteeside H 1, H 2, H 3 korral: P(A|H 1) = 3/4, P(A|H 2) = 2/5, P(A|H 3) = 1. Näiteks esimene võrdus kõlab järgmiselt: "valge palli tõmbamise tõenäosus esimese urni valimisel on 3/4 (kuna esimeses urnis on 4 kuuli ja neist 3 on valged)".

Bayesi valemit rakendades leiame hüpoteeside posterioorsed tõenäosused:

Seega muutusid sündmuse A toimumise info valguses hüpoteeside tõenäosused: kõige tõenäolisemaks sai hüpotees H 3, kõige vähem tõenäoliseks - hüpotees H 2 .

Näide 2 Kaks laskurit lasevad iseseisvalt samasse märklauda, kumbki ühe lasu. Esimese laskuri märklaua tabamise tõenäosus on 0,8, teisel - 0,4. Pärast laskmist leiti märklauast üks auk. Leidke tõenäosus, et see auk kuulub esimesele laskurile (jätame tulemuse (mõlemad augud langesid kokku) kui ebatõenäolist).

Lahendus. Enne katset on võimalikud järgmised hüpoteesid: H 1 = (ei taba ei esimene ega teine nool), H 2 = (mõlemad nooled tabavad), H 3 - (esimene laskur tabab ja teine mitte. ), H 4 = (esimene laskur ei taba ja teine lööb). Hüpoteeside eelnevad tõenäosused:

P (H 1) = 0,2 * 0,6 \u003d 0,12; P (H 2) = 0,8 * 0,4 \u003d 0,32; P (H 3) = 0,8 * 0,6 \u003d 0,48; P (H 4) = 0,2 * 0,4 \u003d 0,08.

Vaadeldava sündmuse A = (sihtmärgis on üks auk) tingimuslikud tõenäosused nende hüpoteeside korral on: P(A|H 1) = P(A|H 2) = 0; P(A|H3) = P(A|H4) = 1

Pärast kogemust muutuvad hüpoteesid H 1 ja H 2 võimatuks ning hüpoteeside H 3 ja H 4 tagumised tõenäosused vastavalt Bayesi valemile on järgmised:

Bayes rämpsposti vastu

Bayesi valem on leidnud laialdast rakendust rämpspostifiltrite väljatöötamisel. Oletame, et soovite õpetada arvutit kindlaks tegema, millised meilid on rämpspost. Alustame sõnastikust ja sõnaühenditest, kasutades Bayesi hinnanguid. Loome esmalt hüpoteeside ruumi. Olgu meil iga tähe kohta 2 hüpoteesi: H A on rämpspost, H B ei ole rämpspost, vaid tavaline, vajalik täht.

Kõigepealt "koolitame" välja oma tulevase rämpspostivastase süsteemi. Võtame kõik meil olevad tähed ja jagame need kaheks 10-täheliseks "hunnikuks". Ühte paneme rämpsposti kirjad ja nimetame seda H A hunnikuks, teise paneme vajaliku kirjavahetuse ja kutsume seda H B hunnikuks. Nüüd vaatame: milliseid sõnu ja väljendeid leidub rämpspostis ja vajalikes kirjades ning millise sagedusega? Neid sõnu ja fraase nimetatakse tõenditeks ja tähistatakse E 1 , E 2 ... Selgub, et tavaliselt kasutatavad sõnad (näiteks sõnad "meeldib", "teie") hunnikutes H A ja H B esinevad ligikaudu sama sagedus. Seega ei ütle nende sõnade olemasolu kirjas meile midagi selle kohta, millisesse hunnikusse see kuulub (nõrk tõendusmaterjal). Määrame nendele sõnadele "rämpsposti" tõenäosuse hinnangu neutraalse väärtuse, näiteks 0,5.

Laske fraas "vestluskeelne inglise keel" esineda ainult 10 tähes ja sagedamini rämpspostis (näiteks 7 rämpspostis 10-st) kui õigetes (3-s 10-st). Anname sellele fraasile rämpsposti puhul kõrgema hinde 7/10 ja tavaliste e-kirjade puhul madalama hinde: 3/10. Ja vastupidi, selgus, et sõna "sõber" oli tavatähtedes tavalisem (6 10-st). Ja nii saime lühikese kirja: “Sõber! Kuidas teie inglise keele oskus on?. Proovime hinnata selle "rämpsposti". Paneme igasse hunnikusse kuulumise üldhinnangud P(H A), P(H B), kasutades mõnevõrra lihtsustatud Bayesi valemit ja meie ligikaudseid hinnanguid:

P(H A) = A/(A+B), kus A \u003d p a1 * p a2 * ... * pan, B \u003d p b1 * p b2 * ... * p b n \u003d (1 - p a1) * (1 - p a2) * ... * ( 1 - p an).

Tabel 1. Lihtsustatud (ja mittetäielik) Bayesi hindamine kirjutamisele

Nii sai meie hüpoteetiline kiri kuuluvuse tõenäosuse hinnangu rõhuasetusega "rämpsposti" suunal. Kas saame otsustada kirja ühte hunnikusse visata? Määrame otsustusläved:

Eeldame, et täht kuulub hunnikusse H i, kui P(H i) ≥ T.
Täht ei kuulu hunnikusse, kui P(H i) ≤ L.
Kui L ≤ P(H i) ≤ T, siis otsust teha ei saa.

Võite võtta T = 0,95 ja L = 0,05. Kuna kõnealuse kirja eest ja 0,05< P(H A) < 0,95, и 0,05 < P(H В) < 0,95, то мы не сможем принять решение, куда отнести данное письмо: к спаму (H A) или к нужным письмам (H B). Можно ли улучшить оценку, используя больше информации?

Jah. Arvutame iga tõendi hinde erineval viisil, nagu Bayes soovitas. Laske:

F a on rämpsposti koguarv;

F ai on sertifikaadiga tähtede arv i rämpsposti hunnikus;

F b on vajalike tähtede koguarv;

F bi on sertifikaadiga tähtede arv i vajalike (asjakohaste) kirjade hunnikus.

Siis: p ai = F ai /F a, p bi = F bi /F b. P(H A) = A/(A+B), P(H B) = B/(A+B), kusА = p a1 *p a2 *…*p an , B = p b1 *p b2 *…*p b n

Pange tähele, et tõendite sõnad p ai ja p bi on muutunud objektiivseks ja neid saab arvutada ilma inimese sekkumiseta.

Tabel 2. Täpsem (kuid mittetäielik) Bayesi hinnang saadaolevate funktsioonide kohta kirjast

Saime üsna kindla tulemuse - suure tõenäosusega saab tähe omistada vajalikele tähtedele, kuna P(H B) = 0,997 > T = 0,95. Miks tulemus muutus? Kuna kasutasime rohkem teavet - võtsime arvesse igas hunnikus olevate tähtede arvu ja, muide, määrasime hinnangud p ai ja p bi palju õigemini. Need määrati samamoodi nagu Bayes ise, arvutades tingimuslikud tõenäosused. Teisisõnu, p a3 on tõenäosus, et meilis ilmub sõna "sõber", arvestades, et meil kuulub juba rämpspostihunnikusse H A . Tulemust ei tulnud kaua oodata – tundub, et saame otsuse teha suurema kindlusega.

Bayes vs ettevõtte pettus

MAGNUS8 kirjeldas Bayesi lähenemisviisi huvitavat rakendust.

Minu praegune projekt (IS pettuste tuvastamiseks tootmisettevõttes) kasutab Bayesi valemit, et määrata pettuse (pettuse) tõenäosus mitme fakti olemasolul / puudumisel, mis kaudselt toetavad pettuse võimalikkuse hüpoteesi. Algoritm on iseõppiv (tagasiside), st. arvutab oma koefitsiendid (tingimuslikud tõenäosused) majandusjulgestusteenistuse kontrolli käigus pettuse tegelikul kinnitamisel või mittekinnitamisel.

Tõenäoliselt tasub öelda, et sellised meetodid algoritmide kujundamisel nõuavad arendajalt üsna kõrget matemaatilist kultuuri, sest väikseimgi viga arvutusvalemite tuletamisel ja/või rakendamisel nullib ja diskrediteerib kogu meetodi. Selles on eriti süüdi tõenäosuslikud meetodid, kuna inimese mõtlemine ei ole kohandatud tõenäosuslike kategooriatega töötamiseks ja vastavalt sellele puudub vahe- ja lõplike tõenäosuslike parameetrite "füüsiline tähendus" "nähtavus" ja arusaamine. Selline arusaam on olemas ainult tõenäosusteooria põhimõistete puhul ja siis tuleb lihtsalt väga hoolikalt keerulisi asju tõenäosusteooria seaduste järgi kombineerida ja tuletada - liitobjektide puhul terve mõistus enam ei aita. Eelkõige on see seotud üsna tõsiste metodoloogiliste lahingutega, mis toimuvad tänapäevaste tõenäosusfilosoofia raamatute lehekülgedel, aga ka suure hulga selleteemaliste sofismide, paradokside ja kurioosumitega.

Teine nüanss, millega pidin silmitsi seisma, on see, et kahjuks on peaaegu kõik enam-vähem PRAKTIKAS selle teema kohta kirjutatud inglise keeles. Venekeelsetes allikates on põhimõtteliselt vaid üldtuntud teooria koos näidisnäidetega vaid kõige primitiivsemate juhtumite kohta.

Nõustun täielikult viimase kommentaariga. Näiteks Google ei andnud midagi arusaadavat, kui püüdis leida midagi sellist nagu raamat "Bayesi tõenäosus". Tõsi, ta ütles, et Hiinas keelati Bayesi statistikaga raamat. (Statistikaprofessor Andrew Gelman teatas Columbia ülikooli ajaveebis, et tema raamat "Andmete analüüs regressiooni ja mitmetasandiliste/hierarhiliste mudelitega" keelati Hiinas avaldamiseks. tekst.) Huvitav, kas sarnane põhjus tõi kaasa Bayesi raamatute puudumise. tõenäosus Venemaal?

Konservatiivsus inimese infotöötluse protsessis

Tõenäosused määravad määramatuse astme. Tõenäosus on nii Bayesi kui ka meie intuitsiooni järgi lihtsalt arv nulli ja selle vahel, mis tähistab seda, kuivõrd idealiseeritud inimene usub, et väide on tõene. Põhjus, miks inimest mõnevõrra idealiseeritakse, on see, et tema kahe teineteist välistava sündmuse tõenäosuste summa peab võrduma tema tõenäosusega, et üks neist sündmustest aset leiab. Aditiivsuse omadusel on sellised tagajärjed, et vähesed tõelised inimesed suudavad neid kõiki võrrelda.

Bayesi teoreem on liitlikkuse omaduse triviaalne tagajärg, mida ei saa eitada ja millega nõustuvad kõik tõenäolised, nii Bayesi kui ka muud. Üks viis selle kirjutamiseks on järgmine. Kui P(H A |D) on järgnev tõenäosus, et hüpotees A oli pärast antud väärtuse D vaatlemist, P(H A) on selle eelnev tõenäosus enne antud väärtuse D vaatlemist, P(D|H A ) on tõenäosus, et vaadeldakse antud väärtust D, kui H A on tõene ja P(D) on antud väärtuse D tingimusteta tõenäosus, siis

(1) P(H A |D) = P(D|H A) * P(H A) / P(D)

P(D) on kõige parem käsitleda kui normaliseerivat konstandit, mis põhjustab posterioorsete tõenäosuste liitmise ühega võrreldes ammendavate üksteist välistavate hüpoteeside kogumiga, mida kaalutakse. Kui seda on vaja arvutada, võib see olla järgmine:

Kuid sagedamini P(D) elimineeritakse, mitte ei loeta. Mugav viis selle kõrvaldamiseks on teisendada Bayesi teoreem tõenäosuse-koefitsiendi seose vormiks.

Mõelge teisele hüpoteesile H B , mis välistab üksteist H A, ja muutke oma meelt selle suhtes sama antud suuruse põhjal, mis muutis teie meelt H A suhtes. Bayesi teoreem ütleb, et

(2) P(H B |D) = P(D|H B) * P(H B) / P(D)

Nüüd jagame võrrandi 1 võrrandiga 2; tulemus saab olema selline:

kus Ω 1 on H A kasuks järgnevad koefitsiendid H B suhtes, Ω 0 on eelnevad koefitsiendid ja L on statistikutele tuttav arv tõenäosuste suhtena. Võrrand 3 on sama asjakohane versioon Bayesi teoreemist kui võrrand 1 ja on sageli palju kasulikum, eriti hüpoteese hõlmavate katsete puhul. Bayesi pooldajad väidavad, et Bayesi teoreem on formaalselt optimaalne reegel, kuidas arvamusi uute andmete valguses revideerida.

Oleme huvitatud Bayesi teoreemiga määratletud ideaalse käitumise võrdlemisest inimeste tegeliku käitumisega. Et anda teile aimu, mida see tähendab, proovime teiega katset teha. See kott sisaldab 1000 pokkeri žetoone. Mul on kaks sellist kotti, millest ühes on 700 punast ja 300 sinist ning teises 300 punast ja 700 sinist. Viskasin münti, et otsustada, millist kasutada. Seega, kui meie arvamused on samad, on teie praegune tõenäosus joonistada kott rohkemate punaste laastudega 0,5. Nüüd valite juhuslikult, naastes pärast iga märki. 12 žetooniga saad 8 punast ja 4 sinist. Kui nüüd kõigele teadaolevale tuginedes on tõenäoline, et kotis on rohkem punaseid? On selge, et see on suurem kui 0,5. Palun ärge jätkake lugemist enne, kui olete oma hinnangu salvestanud.

Kui näete välja nagu tavaline subjekt, jääb teie skoor vahemikku 0,7–0,8. Kui teeksime vastava arvutuse, oleks aga vastus 0,97. Tõepoolest, on väga haruldane, et inimene, kellele pole varem konservatiivsuse mõju avaldunud, jõuab nii kõrgele hinnangule, isegi kui ta oli Bayesi teoreemiga tuttav.

Kui punaste laastude osakaal kotis on R, siis saamise tõenäosus r punased laastud ja ( n-r) sinine sisse n proovid tagastamisega - p r (1–p)n–r. Seega tüüpilises koti ja pokkerižetoonide eksperimendis, kui HA tähendab, et punaste laastude osakaal on r A ja HB tähendab, et aktsia on RB, siis tõenäosussuhe:

Bayesi valemi rakendamisel tuleb arvesse võtta ainult tegeliku vaatluse tõenäosust, mitte aga teiste vaatluste tõenäosust, mida ta oleks võinud teha, kuid mida ta ei teinud. Sellel põhimõttel on laialdased tagajärjed kõikidele Bayesi teoreemi statistilistele ja mittestatistilistele rakendustele; see on Bayesi mõtlemise kõige olulisem tehniline tööriist.

Bayesi revolutsioon

Teie sõbrad ja kolleegid räägivad millestki, mida nimetatakse "Bayesi teoreemiks" või "Bayesi reegliks" või millestki, mida nimetatakse Bayesi mõtlemiseks. Nad on sellest väga huvitatud, nii et lähete võrku ja leiate lehekülje Bayesi teoreemi kohta ja... See on võrrand. Ja see on kõik... Miks tekitab matemaatiline mõiste mõtetes sellist entusiasmi? Milline "Bayesi revolutsioon" toimub teadlaste seas ja väidetavalt võib isegi eksperimentaalset lähenemist ennast kirjeldada selle erijuhtumina? Mis on saladus, mida Bayesi järgijad teavad? Millist valgust nad näevad?

Bayesi revolutsioon teaduses ei toimunud, sest üha enam kognitiivteadlasi hakkas ühtäkki märkama, et vaimsetel nähtustel on Bayesi struktuur; mitte sellepärast, et iga valdkonna teadlased on Bayesi meetodit kasutama hakanud; vaid sellepärast, et teadus ise on Bayesi teoreemi erijuhtum; eksperimentaalsed tõendid on Bayesi tõendid. Bayesi revolutsionäärid väidavad, et kui teete eksperimenti ja saate tõendeid, mis "toetavad" või "lükavad ümber" teie teooriat, toimub see kinnitus või ümberlükkamine vastavalt Bayesi reeglitele. Näiteks peate arvestama mitte ainult sellega, et teie teooria suudab seda nähtust seletada, vaid ka sellega, et on ka teisi võimalikke seletusi, mis võivad seda nähtust samuti ennustada.

Varem oli kõige populaarsem teadusfilosoofia vana filosoofia, mille Bayesi revolutsioon nihutas. Karl Popperi idee, et teooriaid saab täielikult võltsida, kuid mitte kunagi täielikult kinnitada, on Bayesi reeglite teine erijuhtum; kui p(X|A) ≈ 1 - kui teooria teeb õigeid ennustusi, siis vaatlus ~X võltsib väga tugevalt A. Teisest küljest, kui p(X|A) ≈ 1 ja me jälgime X-i, siis see ei toeta teooria väga palju; võimalik on ka mõni muu tingimus B, nii et p(X|B) ≈ 1 ja mille korral X-i vaatlemine ei tõenda mitte A-t, vaid B-d. Et jälgida, et X kinnitab kindlalt A-d, ei peaks me teadma, et p( X|A) ≈ 1 ja p(X|~A) ≈ 0, mida me ei saa teada, kuna me ei suuda arvestada kõiki võimalikke alternatiivseid seletusi. Näiteks kui Einsteini üldrelatiivsusteooria ületas Newtoni väga kontrollitava gravitatsiooniteooria, muutis see kõik Newtoni teooria ennustused Einsteini erijuhtumiks.

Samamoodi võib Popperi väidet, et idee peab olema falsifitseeritav, tõlgendada kui Bayesi reegli ilmingut tõenäosuse säilitamise kohta; kui tulemus X on teooria positiivne tõend, siis peab tulemus ~X teooriat mingil määral võltsima. Kui proovite tõlgendada nii X-i kui ka ~X-i kui teooriat "toetavat", ütlevad Bayesi reeglid, et see on võimatu! Teooria tõenäosuse suurendamiseks peate selle läbima testid, mis võivad selle tõenäosust vähendada; see ei ole lihtsalt reegel teaduses šarlatanide tuvastamiseks, vaid Bayesi tõenäosusteoreemi tagajärg. Teisest küljest on Popperi ettekujutus, et vaja on ainult võltsimist ja kinnitust pole vaja, vale. Bayesi teoreem näitab, et võltsimine on kinnitamisega võrreldes väga tugev tõend, kuid võltsimine on siiski oma olemuselt tõenäosuslik; seda ei reguleeri põhimõtteliselt erinevad reeglid ega erine selle poolest kinnitusest, nagu väidab Popper.

Seega leiame, et paljud kognitiivteaduste nähtused pluss teadlaste kasutatavad statistilised meetodid ja teaduslik meetod ise on kõik Bayesi teoreemi erijuhud. See on Bayesi revolutsiooni eesmärk.

Tere tulemast Bayesi vandenõusse!

Kirjandus Bayesi tõenäosuse kohta

2. Nobeli majanduspreemia laureaat Kahneman (jt) kirjeldab suurepärases raamatus palju erinevaid Bayesi rakendusi. Ainuüksi selle väga suure raamatu kokkuvõttes lugesin kokku 27 viidet presbüteri ministri nimele. Miinimumvalemid. (.. mulle väga meeldis. Tõsi, see on keeruline, palju matemaatikat (ja kus ilma selleta), aga üksikud peatükid (näiteks 4. peatükk. Teave), selgelt teema kohta. Soovitan kõigile. Isegi kui matemaatika on teile raske, lugege rida läbi, jätke matemaatika vahele ja püüdke kasulikke teri ...

14. (15. jaanuari 2017 lisa), peatükk Tony Crilly raamatust. 50 ideed, mida pead teadma. Matemaatika.

Nobeli preemia laureaat füüsik Richard Feynman ütles kunagi ühest filosoofist eriti suure edevusega rääkides: „Mind ei ärrita üldse mitte filosoofia kui teadus, vaid selle ümber loodud pomp. Kui vaid filosoofid oskaksid enda üle naerda! Kui nad vaid saaksid öelda: "Ma ütlen, et see on nii, aga Von Leipzig arvas, et see on teistsugune ja ta teab sellest ka midagi." Kui nad vaid mäletaksid selgitada, et see on ainult nende .

Kui sündmus AGA saab juhtuda ainult siis, kui üks sündmustest, mis moodustavad kokkusobimatute sündmuste täielik rühm , siis sündmuse tõenäosus AGA arvutatakse valemiga

Seda valemit nimetatakse kogu tõenäosuse valem .

Vaatleme uuesti kokkusobimatute sündmuste kogu rühma, mille esinemise tõenäosus on . Sündmus AGA saab toimuda ainult koos sündmustega, mida me nimetame hüpoteesid . Seejärel kogu tõenäosuse valemi järgi

Kui sündmus AGA juhtus, võib see muuta hüpoteeside tõenäosust .

Tõenäosusteoreemi järgi

Samamoodi ka teiste hüpoteeside puhul

Saadud valemit nimetatakse Bayesi valem (Bayesi valem ). Hüpoteeside tõenäosusi nimetatakse tagumised tõenäosused , kusjuures - eelnevad tõenäosused .

Näide. Pood sai uusi tooteid kolmelt ettevõttelt. Nende toodete protsentuaalne koostis on järgmine: 20% - esimese ettevõtte tooted, 30% - teise ettevõtte tooted, 50% - kolmanda ettevõtte tooted; lisaks 10% esimese ettevõtte kõrgeima klassi toodangust, teises ettevõttes - 5% ja kolmandas - 20% kõrgeima klassi toodetest. Leidke tõenäosus, et juhuslikult ostetud uus toode on kõrgeima kvaliteediga.

Lahendus. Tähistage AT sündmus, mis seisneb selles, et ostetakse esmaklassilist toodet, tähistagem sündmusi, mis seisnevad vastavalt esimesele, teisele ja kolmandale ettevõttele kuuluvate toodete ostmises.

Saame rakendada kogu tõenäosuse valemit ja meie tähistuses:

Asendades need väärtused kogutõenäosuse valemisse, saame vajaliku tõenäosuse:

Näide.Üks kolmest laskurist kutsutakse tulejoonele ja teeb kaks lasku. Tõenäosus tabada sihtmärki ühe lasuga esimesel laskuril on 0,3, teisel - 0,5; kolmandale - 0,8. Sihtmärki ei tabata. Leidke tõenäosus, et lasud tulistas esimene laskur.

Lahendus. Võimalikud on kolm hüpoteesi:

Esimene laskur kutsutakse tulejoonele,

Teine laskur kutsutakse tulejoonele,

Kolmas laskur kutsuti tulejoonele.

Kuna iga laskuri kutsumine tulejoonele on samavõrra võimalik, siis

Katse tulemusel täheldati sündmust B – peale laskusid sihtmärki ei tabatud. Selle sündmuse tingimuslikud tõenäosused püstitatud hüpoteeside alusel on järgmised:

Bayesi valemit kasutades leiame hüpoteesi tõenäosuse pärast katset:

Näide. Kolmel automaatsel masinal töödeldakse sama tüüpi osi, mis saabuvad peale töötlemist ühisel konveieril. Esimene masin annab 2% tagasilükkamist, teine - 7%, kolmas - 10%. Esimese masina tootlikkus on 3 korda suurem kui teise ja kolmanda tootlikkus on 2 korda väiksem kui teisel.

a) Kui suur on konveieri defektide määr?

b) Millised on iga masina osade proportsioonid konveieril olevate defektsete osade vahel?

Lahendus. Võtame koosteliinilt juhuslikult ühe detaili ja võtame arvesse sündmust A – detail on defektne. Seda seostatakse hüpoteesidega selle kohta, kus see osa on töödeldud: - juhuslikult valitud detaili töödeldakse masinal.

Tingimuslikud tõenäosused (ülesande tingimusel on need antud protsentides):

Masina jõudluse vahelised sõltuvused tähendavad järgmist:

Ja kuna hüpoteesid moodustavad tervikliku rühma, siis .

Olles lahendanud saadud võrrandisüsteemi, leiame: .

a) Kogu tõenäosus, et koosteliinilt juhuslikult võetud osa on defektne:

Teisisõnu, koosteliinilt maha tulevate osade massis on defekt 4%.

b) Anna teada, et juhuslikult võetud detail on defektne. Bayesi valemit kasutades leiame hüpoteeside tingimuslikud tõenäosused:

Seega moodustab konveieri defektsete osade kogumassist esimese masina osa 33%, teise - 39%, kolmanda - 28%.

Praktilised ülesanded

1. harjutus

Ülesannete lahendamine tõenäosusteooria põhiosades

Eesmärk on omandada praktilised oskused probleemide lahendamisel

tõenäosusteooria osad

Ettevalmistus praktiliseks ülesandeks

Tutvuda selleteemalise teoreetilise materjaliga, uurida teoreetilise sisu ja kirjanduse vastavaid osasid

Ülesande täitmise järjekord

Lahendage 5 ülesannet vastavalt tabelis 1 toodud ülesande valiku numbrile.

Algandmete valikud

Tabel 1

	ülesande number

Ülesande 1 aruande koosseis

5 lahendatud ülesannet vastavalt variandi numbrile.

Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks

1.. Kas järgmised sündmuste rühmad on juhtumid: a) kogemus - mündi viskamine; arengud: A1- vapi välimus; A2- numbri välimus; b) kogemus - kahe mündi viskamine; arengud: IN 1- kahe riigivapi välimus; IN 2 - kahe numbri ilmumine; KELL 3- ühe vapi ja ühe numbri välimus; c) kogemus - täringu viskamine; arengud: C1 - mitte rohkem kui kahe punkti ilmumine; C2 - kolme või nelja punkti ilmumine; C3 - vähemalt viie punkti ilmumine; d) kogemus – lask sihtmärki; arengud: D1- lööma; D2- igatsema; e) kogemus - kaks lasku märklauda; arengud: E0- mitte ühtegi tabamust; E1- üks tabamus; E2- kaks tabamust; f) kogemus – kaardipakist kahe kaardi tõmbamine; arengud: F1- kahe punase kaardi ilmumine; F2- kahe musta kaardi ilmumine?

2. Urn A sisaldab valget ja B-d mustad pallid. Urnist tõmmatakse juhuslikult üks pall. Leidke tõenäosus, et see pall on valge.

3. Urnis A valge liiv B mustad pallid. Üks pall võetakse urnist välja ja pannakse kõrvale. See pall on valge. Pärast seda võetakse urnist veel üks pall. Leidke tõenäosus, et see pall on samuti valge.

4. Urnis A valged ja B mustad pallid. Üks pall võeti urnist välja ja pandi vaatamata kõrvale. Pärast seda võeti urnist veel üks pall. Ta osutus valgeks. Leidke tõenäosus, et esimene kõrvale pandud pall on samuti valge.

5. Urnist, mis sisaldas A valged ja B mustad pallid, võtke ükshaaval välja kõik pallid peale ühe. Leia tõenäosus, et viimane urni jäänud pall on valge.

6. Urnist, milles A valged pallid ja B must, võta järjest välja kõik selles olevad pallid. Leidke tõenäosus, et teine pall on valge.

7. Urnis A valgetest ja B mustadest pallidest (A > 2). Urnist võetakse korraga välja kaks palli. Leidke tõenäosus, et mõlemad pallid on valged.

8. Valge ja B urnis A mustad pallid (A > 2, B > 3). Urnist võetakse korraga välja viis palli. Leidke tõenäosus R neist kaks on valged ja kolm mustad.

9. Partei koosseisus X tooteid, seal on I defektne. Partiist valitakse kontrolliks I tooted. Leidke tõenäosus R milline neist täpselt J tooted on defektsed.

10. Täringut visatakse üks kord. Leidke järgmiste sündmuste tõenäosus: AGA - paarisarvu punktide ilmumine; AT- vähemalt 5 punkti ilmumine; ALATES- välimus mitte rohkem kui 5 punkti.

11. Täringut visatakse kaks korda. Leidke tõenäosus R et mõlemal korral ilmub sama arv punkte.

12. Visatakse korraga kahte täringut. Leidke järgmiste sündmuste tõenäosus: AGA- langenud punktide summa võrdub 8-ga; AT- langenud punktide korrutis on 8; ALATES- langenud punktide summa on suurem kui nende korrutis.

13. Visatakse kaks münti. Milline järgmistest sündmustest on tõenäolisem: AGA - mündid asuvad samadel külgedel; AT - Kas mündid asuvad erinevatel külgedel?

14. Urnis A valged ja B mustad pallid (A > 2; B > 2). Urnist võetakse korraga välja kaks palli. Milline sündmus on tõenäolisem: AGA- sama värvi pallid; AT - erinevat värvi pallid?

15. Kolm mängijat mängivad kaarte. Igale neist jagatakse 10 kaarti ja kaks kaarti jääb loosi. Üks mängijatest näeb, et tal on 6 teemantvärvi kaarti ja 4 mitte-teemantvärvi kaarti. Ta viskab neist neljast kaardist kaks ära ja võtab loosi. Leidke tõenäosus, et ta ostab kaks teemanti.

16. Urnist, mis sisaldab P nummerdatud pallid, võtke juhuslikult ükshaaval välja kõik selles olevad pallid. Leidke tõenäosus, et väljatõmmatud kuulide numbrid on järjekorras: 1, 2,..., P.

17. Sama urn, mis eelmises ülesandes, kuid pärast väljavõtmist pannakse iga pall tagasi ja segatakse teistega ning kirjutatakse üles selle number. Leia tõenäosus, et loomulik arvude jada kirjutatakse üles: 1, 2,..., n.

18. Täis kaardipakk (52 lehte) jagatakse juhuslikult kaheks võrdseks 26-leheliseks pakiks. Leidke järgmiste sündmuste tõenäosus: AGA - igas pakis on kaks ässa; AT- ühes pakis pole ässasid ja teises - kõik neli; S-inühes pakis on üks äss ja teises kolm.

19. Korvpalli meistrivõistlustel osaleb 18 võistkonda, kellest moodustatakse juhuslikult kaks 9-liikmelist gruppi. Võistlusel osalejate seas on 5 võistkonda

lisaklass. Leidke järgmiste sündmuste tõenäosus: AGA - kõik ekstraklassi võistkonnad langevad samasse gruppi; AT- kaks ekstraklassi võistkonda pääsevad ühte gruppi ja kolm - teise.

20. Numbrid on kirjutatud üheksale kaardile: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Kaks neist võetakse juhuslikult välja ja asetatakse ilmumise järjekorras lauale, seejärel loetakse saadud arv. , näiteks 07 (seitse), 14 ( neliteist) jne. Leidke tõenäosus, et arv on paaris.

21. Viiele kaardile on kirjutatud numbrid: 1, 2, 3, 4, 5. Kaks neist võetakse üksteise järel välja. Leidke tõenäosus, et teisel kaardil olev arv on suurem kui esimesel.

22. Sama küsimus, mis ülesandes 21, kuid esimene kaart pärast loosimist pannakse tagasi ja segatakse ülejäänutega ning sellel olev number kirjutatakse üles.

23. Urnis A valge, B mustad ja C punased pallid. Ükshaaval võetakse urnist välja kõik selles olevad pallid ja kirjutatakse üles nende värvid. Leidke tõenäosus, et valge ilmub selles loendis enne musta.

24. Urne on kaks: esimeses A valged ja B mustad pallid; teises C-s valge ja D must. Igast urnist tõmmatakse pall. Leidke tõenäosus, et mõlemad pallid on valged.

25. Leia ülesande 24 tingimustes tõenäosus, et joonistatud pallid on erinevat värvi.

26. Revolvri trumlis on seitse pesa, neist viis on padruneid laetud, kaks on tühjaks jäetud. Trummel pannakse pöörlema, mille tulemusena asetatakse üks pistikupesadest juhuslikult vastu tünni. Pärast seda vajutatakse päästikule; kui kamber oli tühi, siis laskmist ei toimu. Leidke tõenäosus R asjaolu, et korranud sellist katset kaks korda järjest, ei lase me mõlemal korral.

27. Leidke samadel tingimustel (vt ülesanne 26) tõenäosus, et mõlemal korral toimub lask.

28. Urnis on A; pallid märgistusega 1, 2, ..., juurde Urnist I kui üks pall on tõmmatud (I<к), palli number kirjutatakse üles ja pall pannakse tagasi urni. Leidke tõenäosus R et kõik salvestatud numbrid on erinevad.

29. Sõna "raamat" koosneb viiest poolitatud tähestiku tähest. Laps, kes ei osanud lugeda, ajas need tähed laiali ja pani need siis juhuslikus järjekorras kokku. Leidke tõenäosus R see, et ta sai jälle sõna "raamat".

30. Sõna "ananass" koosneb poolitatud tähestiku tähtedest. Laps, kes ei osanud lugeda, ajas need tähed laiali ja pani need siis juhuslikus järjekorras kokku. Leidke tõenäosus R asjaolu, et tal on jälle sõna "ananass".

31. Täis kaardipakist (52 lehte, 4 masti) võetakse korraga välja mitu kaarti. Mitu kaarti tuleb välja võtta, et suurema kui 0,50 tõenäosusega öelda, et nende hulgas on sama masti kaarte?

32. N inimesed istuvad juhuslikult ümara laua taha (N > 2). Leidke tõenäosus R et kaks fikseeritud nägu AGA ja AT saab olema lähedal.

33. Sama ülesanne (vt 32), kuid tabel on ristkülikukujuline ja N inimene istub juhuslikult piki selle ühte külge.

34. Numbrid 1-st N. Nendest N kaks tünni valitakse juhuslikult. Leidke tõenäosus, et mõlemale tünnile on kirjutatud arvud, mis on väiksemad kui k (2

35. Numbrid 1 kuni N. Nendest N kaks tünni valitakse juhuslikult. Leidke tõenäosus, et ühel tünnil on arv suurem kui k , ja teiselt poolt - vähem kui k . (2

36. Aku tühjaks M koosseisust koosneva rühma pihta tulistavad relvad N eesmärgid (M< N). Relvad valivad oma sihtmärgid järjestikku, juhuslikult, eeldusel, et kaks relva ei saa tulistada sama sihtmärki. Leidke tõenäosus R asjaolu, et tulistatakse sihtmärke numbritega 1, 2, ... M.

37.. Aku, mis koosneb juurde relvad, tulid rühma pihta, mis koosneb I lennukid (kuni< 2). Iga relv valib oma sihtmärgi juhuslikult ja teistest sõltumatult. Leidke tõenäosus, et kõik juurde relvad tulistavad sama sihtmärki.

38. Leia eelmise ülesande tingimustes tõenäosus, et kõik relvad lasevad erinevate sihtmärkide pihta.

39. Neli palli on juhuslikult hajutatud üle nelja augu; iga pall tabab ühte või teist auku sama tõenäosusega ja teistest sõltumatult (mitme palli samasse auku saamisel pole takistusi). Leidke tõenäosus, et ühes augus on kolm palli, teises üks ja kahes teises augus pole ühtegi palli.

40. Maša läks Petjaga tülli ega taha temaga ühes bussis sõita. 7-8 sõidab hostelist instituuti 5 bussi. Kellel nende busside jaoks aega ei ole, jäävad loengusse hiljaks. Kui mitmel viisil saavad Maša ja Petja erinevate bussidega instituuti jõuda ja loengusse mitte hiljaks jääda?

41. Panga infotehnoloogia osakonnas töötab 3 analüütikut, 10 programmeerijat ja 20 inseneri. Ületundide tegemiseks puhkusel peab osakonnajuhataja eraldama ühe töötaja. Kui mitmel viisil saab seda teha?

42. Panga turvateenistuse juht peab iga päev 10 ametikohale paigutama 10 valvurit. Kui mitmel viisil saab seda teha?

43. Panga uus president peab määrama 10 direktori hulgast 2 uut asepresidenti. Kui mitmel viisil saab seda teha?

44. Üks sõdivatest osapooltest vangistas 12 ja teine 15 vangi. Kui mitmel viisil saab 7 sõjavangi vahetada?

45. Petya ja Maša koguvad videoplaate. Petjal on 30 komöödiat, 80 märulifilmi ja 7 melodraama, Mašal 20 komöödiat, 5 märulifilmi ja 90 melodraama. Kui mitmel viisil saavad Petya ja Maša vahetada 3 komöödiat, 2 märulifilmi ja 1 melodraama?

46. Kui mitmel viisil saavad Petya ja Maša ülesande 45 tingimustes vahetada 3 melodraama ja 5 komöödiat?

47. Kui mitmel viisil saavad Petya ja Maša ülesande 45 tingimustes vahetada 2 märulifilmi ja 7 komöödiat.

48. Üks sõdivatest osapooltest vangistas 15 ja teine 16 vangi. Kui mitmel viisil saab 5 sõjavangi vahetada?

49. Mitu autot saab ühes linnas registreerida, kui number koosneb 3 numbrist ja 3 tähest )?

50. Üks sõdivatest osapooltest vangistas 14 ja teine 17 vangi. Kui mitmel viisil saab 6 sõjavangi vahetada?

51. Mitu erinevat sõna saab moodustada tähtede ümberpaigutamisel sõnas "ema"?

52. Korvis on 3 punast ja 7 rohelist õuna. Sellest võetakse välja üks õun. Leidke tõenäosus, et see on punane.

53. Korvis on 3 punast ja 7 rohelist õuna. Üks roheline õun võeti sealt välja ja pandi kõrvale. Seejärel võetakse korvist välja veel 1 õun. Kui suur on tõenäosus, et see õun on roheline?

54. 1000 ühikuga partiis on 4 defektiga. Kontrolliks valitakse 100 tootest koosnev partii. Kui suur on elukestva õppe programmi tõenäosus, et kontrollpartii ei ole defektne?

56. 80ndatel oli NSV Liidus populaarne sportloto 5/36 mäng. Mängija märkis kaardile 5 numbrit vahemikus 1 kuni 36 ja sai erineva nimiväärtusega auhindu, kui arvas loosikomisjoni poolt välja kuulutatud erineva arvu numbreid. Leidke tõenäosus, et mängija ei arvanud ühtegi numbrit.

57. 80ndatel oli NSV Liidus populaarne mäng “sportloto 5 36-st”. Mängija märkis kaardile 5 numbrit vahemikus 1 kuni 36 ja sai erineva nimiväärtusega auhindu, kui arvas loosikomisjoni poolt välja kuulutatud erineva arvu numbreid. Leidke tõenäosus, et mängija arvas ühe numbri.

58. 80ndatel oli NSV Liidus populaarne sportloto 5/36 mäng. Mängija märkis kaardile 5 numbrit vahemikus 1 kuni 36 ja sai erineva nimiväärtusega auhindu, kui arvas loosikomisjoni poolt välja kuulutatud erineva arvu numbreid. Leidke tõenäosus, et mängija arvas ära 3 numbrit.

59. 80ndatel oli NSV Liidus populaarne sportloto 5/36 mäng. Mängija märkis kaardile 5 numbrit vahemikus 1 kuni 36 ja sai erineva nimiväärtusega auhindu, kui arvas loosikomisjoni poolt välja kuulutatud erineva arvu numbreid. Leidke tõenäosus, et mängija ei arvanud ära kõiki 5 numbrit.

60. 80ndatel oli NSV Liidus populaarne sportloto 6/49-st mäng. Mängija märkis kaardile 6 numbrit vahemikus 1 kuni 49 ja sai erineva nimiväärtusega auhindu, kui arvas ära loosikomisjoni poolt välja kuulutatud erineva arvu numbreid. Leidke tõenäosus, et mängija arvas ära 2 numbrit.

61. 80ndatel oli NSV Liidus populaarne mäng "sportloto 6 49-st". Mängija märkis kaardile 6 numbrit vahemikus 1 kuni 49 ja sai erineva nimiväärtusega auhindu, kui arvas ära loosikomisjoni poolt välja kuulutatud erineva arvu numbreid. Leidke tõenäosus, et mängija ei arvanud ühtegi numbrit.

62. 80ndatel oli NSV Liidus populaarne mäng "sportloto 6 49-st". Mängija märkis kaardile 6 numbrit vahemikus 1 kuni 49 ja sai erineva nimiväärtusega auhindu, kui arvas ära loosikomisjoni poolt välja kuulutatud erineva arvu numbreid. Leidke tõenäosus, et mängija arvas ära kõik 6 numbrit.

63. 1000 ühikuga partiis on 4 defektiga. Kontrolliks valitakse 100 tootest koosnev partii. Kui suur on elukestva õppe programmi tõenäosus, et kontrollpartiis on ainult 1 defektne?

64. Mitu erinevat sõna saab moodustada sõnas "raamat" tähti ümber paigutades?

65. Mitu erinevat sõna saab moodustada sõnas "ananass" tähti ümber paigutades?

66. Lifti sisenes 6 inimest ja hostelil on 7 korrust. Kui suur on tõenäosus, et kõik 6 inimest väljuvad samal korrusel?

67. Liftist sisenes 6 inimest, hoone on 7-korruseline. Kui suur on tõenäosus, et kõik 6 inimest väljuvad erinevatel korrustel?

68. Äikese ajal tekkis juhtmekatkestus 40–79 km vahelisel elektriliini lõigul. Eeldades, et katkestus on võrdselt võimalik igal hetkel, leidke tõenäosus, et katkestus toimus 40. ja 45. kilomeetri vahel.

69. Gaasitoru 200-kilomeetrisel lõigul on kompressorjaamade A ja B vahel gaasileke, mis on võrdselt võimalik igas torujuhtme punktis. Kui suur on tõenäosus, et leke leiab aset 20 km raadiuses A-st

70. Gaasitoru 200-kilomeetrisel lõigul tekib kompressorijaamade A ja B vahel gaasileke, mis on võrdselt võimalik torujuhtme mis tahes punktis. Kui suur on tõenäosus, et leke on punktile A lähemal kui punktile B?

71. Liikluspolitsei inspektori radari täpsus on 10 km/h ja see tiirleb lähima küljeni. Mis juhtub sagedamini – ümardamine juhi või inspektori kasuks?

72. Maša veedab teel instituuti 40–50 minutit ja mis tahes aeg selles ajavahemikus on võrdselt tõenäoline. Kui suur on tõenäosus, et ta veedab teel 45–50 minutit?

73. Petja ja Maša leppisid kokku Puškini monumendi juures kohtumas kella 12–13, kuid keegi ei osanud täpset saabumise aega öelda. Nad leppisid kokku, et ootavad teineteist 15 minutit. Kui suur on nende kohtumise tõenäosus?

74. Kalurid püüdsid tiigist 120 kala, neist 10 rõngastati. Kui suur on tõenäosus rõngastatud kala püüda?

75. Võtke 3 punast ja 7 rohelist õuna sisaldavast korvist kõik õunad kordamööda välja. Kui suur on tõenäosus, et 2. õun on punane?

76. Võtke 3 punast ja 7 rohelist õuna sisaldavast korvist kõik õunad kordamööda välja. Kui suur on tõenäosus, et viimane õun on roheline?

77. Õpilased hindavad, et 50 piletist 10 on “hea”. Petya ja Maša tõmbavad kordamööda kumbki ühe pileti. Kui suur on tõenäosus, et Maša sai "hea" pileti?

78. Õpilased leiavad, et 50 piletist 10 on „hea“. Petya ja Maša tõmbavad kordamööda kumbki ühe pileti. Kui suur on tõenäosus, et mõlemad said "hea" pileti?

79. Maša tuli eksamile teades vastuseid 20 programmi küsimusele 25-st. Professor küsib 3 küsimust. Kui suur on tõenäosus, et Maša vastab kolmele küsimusele?

80. Maša tuli eksamile teades vastuseid 20 programmi küsimusele 25-st. Professor esitab 3 küsimust. Kui suur on tõenäosus, et Maša ei vasta ühelegi küsimusele?

81. Maša tuli eksamile teades vastuseid 20 programmi küsimusele 25-st. Professor esitab 3 küsimust. Kui suur on tõenäosus, et Maša vastab ühele küsimusele?

82. Pangalaenu taotluste statistika on järgmine: 10% - riik. ametiasutused, 20% - muud pangad, ülejäänud - eraisikud. Laenu maksejõuetuse tõenäosus on vastavalt 0,01, 0,05 ja 0,2. Kui suur osa laenudest on tagastamatu?

83. tõenäosus, et jäätisekaupmehe nädalakäive ületab 2000 rubla. on selge ilmaga 80%, vahelduva pilvisusega 50% ja vihmase ilmaga 10%. Kui suur on tõenäosus, et käive ületab 2000 rubla. kui selge ilma tõenäosus on 20% ja vahelduva pilvisusega ja vihmane - kumbki 40%.

84. Valge (b) ja C on urnis A mustad (h) pallid. Urnist võetakse välja kaks palli (samaaegselt või järjestikku). Leidke tõenäosus, et mõlemad pallid on valged.

85. Urnis A valged ja B

86. Urnis A valged ja B

87. Urnis A valged ja B mustad pallid. Üks pall võetakse urnist välja, märgitakse selle värv ja pall tagastatakse urni. Pärast seda võetakse urnist veel üks pall. Leidke tõenäosus, et need pallid on erinevat värvi.

88. Seal on kast üheksa uue tennisepalliga. Mängu jaoks võetakse kolm palli; pärast mängu pannakse need tagasi. Palle valides ei tee nad vahet mängitud ja mängimata pallidel. Kui suur on tõenäosus, et kolme mängu järel pole kastis ühtegi mängimata palli?

89. Korterist lahkumine, N iga külaline paneb selga kalossid;

90. Korterist lahkumine, N sama kingasuurusega külalised panevad pimedas kalossid jalga. Igaüks neist suudab eristada paremat kalossi vasakust, kuid ei suuda eristada enda oma kellegi teise omast. Leidke tõenäosus, et iga külaline paneb selga ühele paarile kuuluvad kalossid (võib-olla mitte enda omad).

91. Leia ülesande 90 tingimustes tõenäosus, et kõik lahkuvad oma kalossides kui külalised ei suuda eristada õiget kalossit vasakpoolsest ja võtavad lihtsalt kaks esimest kalossit, mis ette tulevad.

92. Lennuki juures, mille haavatavateks osadeks on kaks mootorit ja kokpit, käivad tulistused. Lennuki tabamiseks (keelamiseks) piisab, kui lüüa mõlemad mootorid kokku või kokpitti. Antud süütamistingimustes on esimese mootori tabamise tõenäosus p1 teine mootor p2, kokpit p3. Lennuki osad on mõjutatud üksteisest sõltumatult. Leidke tõenäosus, et lennuk tabatakse.

93. Kaks laskurit lasevad üksteisest sõltumatult kaks lasku (kumbki oma märklauda). Esimese laskuri ühe lasuga sihtmärgi tabamise tõenäosus p1 teise jaoks p2. Võistluse võidab laskur, kelle märklauas on rohkem auke. Leidke tõenäosus Rx mida esimene laskur võidab.

94. kosmoseobjekti taga tuvastatakse objekt tõenäosusega R. Objektide tuvastamine igas tsüklis toimub teistest sõltumatult. Leidke tõenäosus, et millal P tsüklit objekt tuvastatakse.

95. Lõigatud tähestikukaartidele on kirjutatud 32 vene tähestiku tähte. Viis kaarti tõmmatakse juhuslikult üksteise järel ja asetatakse lauale nende ilmumise järjekorras. Leidke tõenäosus, et sõna "lõpp" saadakse.

96. Kaks kuuli on hajutatud juhuslikult ja üksteisest sõltumatult üle nelja lahtri, mis paiknevad üksteise järel sirgjooneliselt. Iga pall sama tõenäosusega 1/4 tabab iga lahtrit. Leidke tõenäosus, et pallid kukuvad naaberrakkudesse.

97. Lennuki pihta tulistatakse süütemürske. Lennuki kütus on koondunud nelja paaki, mis asuvad üksteise järel keres. Paagi suurused on samad. Lennuki süütamiseks piisab, kui lüüa kaks mürsku kas samasse tanki või naabertankidesse. Teadaolevalt tabas tanki piirkonda kaks mürsku. Leidke tõenäosus, et lennuk süttib.

98. Täis kaardipakist (52 lehte) võetakse korraga välja neli kaarti. Leidke tõenäosus, et kõik need neli kaarti on sama värviga.

99. Täis kaardipakist (52 lehte) võetakse korraga välja neli kaarti, kuid iga kaart tagastatakse pärast väljavõtmist kaardipakki. Leidke tõenäosus, et kõik neli kaarti on sama värviga.

100. Kui süüde on sisse lülitatud, käivitub mootor tõenäoliselt R.

101. Seade võib töötada kahes režiimis: 1) tavaline ja 2) ebanormaalne. Tavarežiimi täheldatakse 80% kõigist seadme tööjuhtudest; ebanormaalne - 20%. Seadme õigeaegse rikke tõenäosus t tavarežiimis on 0,1; ebanormaalselt - 0,7. Leia kogu tõenäosus R seadme rike.

102. Kauplus saab kaupa 3 tarnijalt: 55% alates 1, 20 alates 2 ja 25% alates 3. Abiellumise osakaal on vastavalt 5, 6 ja 8 protsenti. Kui suur on tõenäosus, et ostetud defektiga toode pärines teiselt tarnijalt.

103. Autode voog tanklaid mööda koosneb 60% veoautodest ja 40% sõiduautodest. Kui suur on tõenäosus leida tanklast veok, kui tankimise tõenäosus on 0,1 ja sõiduauto 0,3

104. Autode voog tanklaid mööda koosneb 60% veoautodest ja 40% sõiduautodest. Kui suur on tõenäosus leida tanklast veok, kui tankimise tõenäosus on 0,1 ja sõiduauto 0,3

105. Kauplus saab kaupa 3 tarnijalt: 55% alates 1, 20 alates 2 ja 25% alates 3. Abiellumise osakaal on vastavalt 5, 6 ja 8 protsenti. Kui suur on tõenäosus, et ostetud defektiga toode pärines 1. tarnijalt.

106. Lõigatud tähestikukaartidele on kirjutatud 32 vene tähestiku tähte. Viis kaarti tõmmatakse juhuslikult üksteise järel ja asetatakse lauale nende ilmumise järjekorras. Leidke tõenäosus saada sõna "raamat".

107. Kauplus saab kaupa 3 tarnijalt: 55% alates 1, 20 alates 2 ja 25% alates 3. Abiellumise osakaal on vastavalt 5, 6 ja 8 protsenti. Kui suur on tõenäosus, et ostetud defektiga toode pärines 1. tarnijalt.

108. Kaks kuuli on hajutatud juhuslikult ja üksteisest sõltumatult üle nelja lahtri, mis paiknevad üksteise järel sirgjooneliselt. Iga pall sama tõenäosusega 1/4 tabab iga lahtrit. Leia tõenäosus, et 2 palli kukuvad samasse lahtrisse

109. Kui süüde on sisse lülitatud, hakkab mootor suure tõenäosusega tööle R. Leidke tõenäosus, et mootor hakkab süüte teistkordsel sisselülitamisel tööle;

110. Lennuki pihta tulistatakse süütemürske. Lennuki kütus on koondunud nelja paaki, mis asuvad üksteise järel keres. Paagi suurused on samad. Lennuki süütamiseks piisab, kui lüüa kaks kesta samasse tanki. Teadaolevalt tabas tanki piirkonda kaks mürsku. Leidke tõenäosus, et lennuk süttib

111. Lennuki pihta tulistatakse süütemürske. Lennuki kütus on koondunud nelja paaki, mis asuvad üksteise järel keres. Paagi suurused on samad. Lennuki süütamiseks piisab, kui lüüa kaks mürsku naabertankidesse. Teadaolevalt tabas tanki piirkonda kaks mürsku. Leidke tõenäosus, et lennuk süttib

112. Urnis A valged ja B mustad pallid. Üks pall võetakse urnist välja, märgitakse selle värv ja pall tagastatakse urni. Pärast seda võetakse urnist veel üks pall. Leidke tõenäosus, et mõlemad joonistatud pallid on valged.

113. Urnis A valged ja B mustad pallid. Urnist võetakse korraga välja kaks palli. Leidke tõenäosus, et need pallid on erinevat värvi.

114. Kaks kuuli on hajutatud juhuslikult ja üksteisest sõltumatult üle nelja lahtri, mis paiknevad üksteise järel sirgjooneliselt. Iga pall sama tõenäosusega 1/4 tabab iga lahtrit. Leidke tõenäosus, et pallid kukuvad naaberrakkudesse.

115. Maša tuli eksamile teades vastuseid 20 programmi küsimusele 25-st. Professor esitab 3 küsimust. Kui suur on tõenäosus, et Maša vastab kahele küsimusele?

116. Õpilased hindavad, et 50 piletist 10 on “hea”. Petya ja Maša tõmbavad kordamööda kumbki ühe pileti. Kui suur on tõenäosus, et mõlemad said "hea" pileti?

117. Pangalaenutaotluste statistika on järgmine: 10% - riik. ametiasutused, 20% - muud pangad, ülejäänud - eraisikud. Laenu maksejõuetuse tõenäosus on vastavalt 0,01, 0,05 ja 0,2. Kui suur osa laenudest on tagastamatu?

118. Lõigatud tähestikukaartidele on kirjutatud 32 vene tähestiku tähte. Viis kaarti tõmmatakse juhuslikult üksteise järel ja asetatakse lauale nende ilmumise järjekorras. Leidke tõenäosus, et sõna "lõpp" saadakse.

119 Pangalaenutaotluste statistika on järgmine: 10% - riik. ametiasutused, 20% - muud pangad, ülejäänud - eraisikud. Laenu maksejõuetuse tõenäosus on vastavalt 0,01, 0,05 ja 0,2. Kui suur osa laenudest on tagastamatu?

120. tõenäosus, et jäätisekaupmehe nädalakäive ületab 2000 rubla. on selge ilmaga 80%, vahelduva pilvisusega 50% ja vihmase ilmaga 10%. Kui suur on tõenäosus, et käive ületab 2000 rubla. kui selge ilma tõenäosus on 20% ja vahelduva pilvisusega ja vihmane - kumbki 40%.

Kogutõenäosuse valemi tuletamisel eeldati, et sündmus AGA, mille tõenäosust tuli kindlaks teha, võis juhtuda ühe sündmusega H 1 , N 2 , ... , H n, moodustades paarikaupa kokkusobimatute sündmuste täieliku rühma. Nende sündmuste (hüpoteeside) tõenäosused olid ette teada. Oletame, et on tehtud katse, mille tulemusena sündmus AGA On tulnud. See lisateave võimaldab meil hüpoteeside tõenäosusi ümber hinnata Tere , olles arvutanud P(Hi/A).

või kogu tõenäosuse valemit kasutades saame

Seda valemit nimetatakse Bayesi valemiks või hüpoteesi teoreemiks. Bayesi valem võimaldab teil hüpoteeside tõenäosusi "üle vaadata" pärast katse tulemuse teatavaks saamist, mille tulemusena sündmus ilmnes AGA.

Tõenäosused Р(Н i) on hüpoteeside a priori tõenäosused (need arvutati enne katset). Tõenäosused P(H i /A) on hüpoteeside a posteriori tõenäosused (need arvutatakse pärast katset). Bayesi valem võimaldab teil arvutada tagumised tõenäosused nende eelmiste tõenäosuste ja sündmuse tingimuslike tõenäosuste põhjal AGA.

Näide. Teatavasti on värvipimedad 5% kõigist meestest ja 0,25% naistest. Meditsiinikaardi numbri järgi juhuslikult valitud inimene kannatab värvipimeduse all. Kui suur on tõenäosus, et tegemist on mehega?

Lahendus. Sündmus AGA Inimene on värvipime. Eksperimendi elementaarsete sündmuste ruum - inimene valitakse meditsiinikaardi numbri järgi - Ω = ( H 1 , N 2 ) koosneb kahest sündmusest:

H 1 - mees on valitud,

H 2 - valitakse naine.

Neid sündmusi saab valida hüpoteesideks.

Vastavalt ülesande tingimusele (juhuslik valik) on nende sündmuste tõenäosused samad ja võrdsed P(H 1 ) = 0.5; P(H 2 ) = 0.5.

Sel juhul on tingimuslikud tõenäosused, et inimene kannatab värvipimeduse all, vastavalt:

P(A/N 1 ) = 0.05 = 1/20; P(A/N 2 ) = 0.0025 = 1/400.

Kuna on teada, et valitud isik on värvipime, st sündmus on toimunud, kasutame esimese hüpoteesi ümberhindamiseks Bayesi valemit:

Näide. Seal on kolm ühesugust kasti. Esimeses kastis on 20 valget palli, teises karbis on 10 valget ja 10 musta palli ning kolmandas kastis on 20 musta palli. Juhuslikult valitud kastist tõmmatakse valge pall. Arvutage tõenäosus, et pall tõmmatakse esimesest kastist.

Lahendus. Tähistage AGA sündmus - valge palli ilmumine. Kasti valiku kohta võib teha kolm oletust (hüpoteesi): H 1 ,H 2 , H 3 - vastavalt esimese, teise ja kolmanda kasti valik.

Kuna ükskõik millise kasti valimine on võrdselt võimalik, on hüpoteeside tõenäosused samad:

P(H 1 )=P(H 2 )=P(H 3 )= 1/3.

Vastavalt ülesande seisukorrale esimesest kastist valge palli tõmbamise tõenäosus

Teisest kastist valge palli tõmbamise tõenäosus

Valge palli tõmbamise tõenäosus kolmandast kastist

Leiame soovitud tõenäosuse Bayesi valemi abil:

Testide kordamine. Bernoulli valem.

On n katset, millest igaühes sündmus A võib toimuda või mitte ning sündmuse A tõenäosus igas üksikus katses on konstantne, s.t. ei muutu kogemusest kogemusse. Teame juba, kuidas ühes katses sündmuse A tõenäosust leida.

Erilist huvi pakub sündmuse A teatud arvu (m korda) esinemise tõenäosus n katses. sellised probleemid on kergesti lahendatavad, kui testid on sõltumatud.

Def. Nimetatakse mitmeid teste sõltumatu sündmuse suhtes A kui sündmuse A tõenäosus igaühes neist ei sõltu teiste katsete tulemustest.

Sündmuse A toimumise tõenäosus P n (m) täpselt m korda (n-m korra mittetoimumine, sündmus ) nendes n katsetes. Sündmus A ilmub erinevates järjestustes m korda).

- Bernoulli valem.

Järgmised valemid on ilmsed:

P n (m vähem k korda n katses.

P n (m>k) = P n (k+1) + P n (k+2) +…+ P n (n) - sündmuse A toimumise tõenäosus rohkem k korda n katses.

Bayesi valem
Bayesi teoreem- elementaartõenäosusteooria üks peamisi teoreeme, mis määrab sündmuse toimumise tõenäosuse tingimustes, mil sündmuste kohta on vaatluste põhjal teada vaid osaline info. Bayesi valemi järgi on võimalik tõenäosust täpsemalt ümber arvutada, võttes arvesse nii varem teadaolevat infot kui ka uute vaatluste andmeid.

"Füüsiline tähendus" ja terminoloogia

Bayesi valem võimaldab teil "põhjuse ja tagajärje ümber korraldada": sündmuse teadaolevat fakti arvestades arvutage välja tõenäosus, et selle põhjustas antud põhjus.

Sündmusi, mis kajastavad antud juhul "põhjuste" tegevust, nimetatakse tavaliselt hüpoteesid, sest nad on peaks selleni viinud sündmused. Hüpoteesi kehtivuse tingimusteta tõenäosust nimetatakse a priori(Kui tõenäoline on põhjus? üldiselt) ja tingimuslik – võttes arvesse sündmuse fakti – a posteriori(Kui tõenäoline on põhjus? osutus sündmuse andmete arvesse võtmiseks).

Tagajärg

Bayesi valemi oluline tagajärg on sündmuse kogutõenäosuse valem sõltuvalt mitu vastuolulised hüpoteesid ( ja ainult neilt!).
- sündmuse toimumise tõenäosus B, olenevalt paljudest hüpoteesidest A i kui on teada nende hüpoteeside usaldusväärsusastmed (näiteks katseliselt mõõdetuna);
Valemi tuletamine

Kui sündmus sõltub ainult põhjustest A i, siis kui juhtus, siis see tähendab, et mingid põhjused ilmtingimata juhtusid, s.t.

Bayesi valemi järgi

üleandmine P(B) paremale, saame soovitud avaldise.

Rämpsposti filtreerimise meetod

Rämpsposti filtreerimisel on edukalt rakendatud meetodit, mis põhineb Bayesi teoreemil.

Kirjeldus

Filtri treenimisel arvutatakse ja salvestatakse iga tähtedes esineva sõna jaoks selle "kaal" - tõenäosus, et selle sõnaga täht on rämpspost (kõige lihtsamal juhul klassikalise tõenäosuse määratluse kohaselt: "ilmub rämpspostis / kõige välimus”).

Äsja saabunud kirja kontrollimisel arvutatakse tõenäosus, et tegemist on rämpspostiga, ülaltoodud hüpoteeside kogumi valemi järgi. Sel juhul on "hüpoteesid" sõnad ja iga sõna puhul "hüpoteesi usaldusväärsus" -% sellest sõnast kirjas ja "sündmuse sõltuvus hüpoteesist" P(B | A i) - sõna varem arvutatud "kaal". See tähendab, et tähe "kaal" pole sel juhul midagi muud kui kõigi selle sõnade keskmine "kaal".

Kirja klassifitseeritakse "rämpspostiks" või "mitterämpspostiks" selle järgi, kas selle "kaal" ületab teatud kasutaja seatud lati (tavaliselt võtavad need 60-80%). Pärast kirja kohta otsuse tegemist uuendatakse andmebaasis selles sisalduvate sõnade “kaalud”.

Iseloomulik

See meetod on lihtne (algoritmid on elementaarsed), mugav (võimaldab teha ilma "mustade nimekirjade" jms kunstlike trikkideta), tõhus (pärast piisavalt suure valimiga treenimist lõikab see ära kuni 95–97% rämpspostist, ja vigade korral saab seda ümber õpetada). Üldiselt on kõik viited selle laialdasele kasutamisele, mis praktikas juhtubki - peaaegu kõik kaasaegsed rämpspostifiltrid on selle alusel ehitatud.

Kuid meetodil on ka üks põhimõtteline puudus: see oletuse põhjal, mida mõned sõnad on sagedamini rämpspostis, teised aga tavalistes meilides, ja on ebaefektiivne, kui see eeldus on vale. Kuid nagu praktika näitab, ei suuda isegi inimene sellist rämpsposti "silma järgi" kindlaks teha - alles pärast kirja lugemist ja selle tähenduse mõistmist.

Teine, mitte põhiline, rakendamisega seotud puudus - meetod töötab ainult tekstiga. Seda piirangut teades hakkasid rämpspostitajad reklaamteavet pildile panema, samas kui kirjas olev tekst kas puudub või pole sellel mõtet. Selle vastu tuleb kasutada kas tekstituvastustööriistu ("kallis" protseduur, mida kasutatakse ainult äärmisel vajadusel) või vanu filtreerimismeetodeid - "musti nimekirja" ja regulaaravaldisi (kuna sellistel kirjadel on sageli stereotüüpne vorm).

Vaata ka

Märkmed

Lingid

Kirjandus

Byrd Kiwi. Rev. Bayesi teoreem. // Ajakiri Computerra, 24. august 2001

Paul Graham. Rämpsposti plaan. // Paul Grahami isiklik veebisait.

Wikimedia sihtasutus. 2010 .

Vaadake, mis on "Bayesi valem" teistes sõnaraamatutes:

Valem, mis näeb välja selline: kus a1, A2, ..., An on ühildumatud sündmused, Üldskeem F. in. g.: kui sündmus B võib toimuda dekomp. tingimused, mille korral tehakse n hüpoteesi A1, A2, ..., An tõenäosustega P (A1), ... enne katset teada, ... ... Geoloogiline entsüklopeedia

Võimaldab arvutada huvipakkuva sündmuse tõenäosust selle sündmuse tingimuslike tõenäosuste kaudu, eeldades teatud hüpoteese, aga ka nende hüpoteeside tõenäosusi. Formulatsioon Olgu antud tõenäosusruum ja terve rühm paarikaupa ... ... Wikipedia

Võimaldab arvutada huvipakkuva sündmuse tõenäosust selle sündmuse tingimuslike tõenäosuste kaudu, eeldades teatud hüpoteese, aga ka nende hüpoteeside tõenäosusi. Formulatsioon Olgu antud tõenäosusruum ja terve sündmuste rühm, näiteks ... ... Wikipedia

- (või Bayesi valem) üks tõenäosusteooria peamisi teoreeme, mis võimaldab määrata sündmuse (hüpotees) toimumise tõenäosust ainult kaudsete tõendite (andmete) olemasolul, mis võivad olla ebatäpsed ... Wikipedia

Bayesi teoreem on elementaarse tõenäosusteooria üks peamisi teoreeme, mis määrab sündmuse toimumise tõenäosuse tingimustes, mil sündmuste kohta on vaatluste põhjal teada vaid osaline info. Bayesi valemi järgi saate ... ... Wikipedia

Bayes, Thomas Thomas Bayes Reverend Thomas Bayes Sünniaeg: 1702 (1702) Sünnikoht ... Wikipedia

Thomas Bayes Reverend Thomas Bayes Sünniaeg: 1702 (1702) Sünnikoht: London ... Wikipedia

Bayesi järeldus on üks statistilise järelduse meetoditest, mille puhul Bayesi valemit kasutatakse tõendite saabumisel hüpoteeside tõesuse tõenäosuslike hinnangute täpsustamiseks. Bayesi uuenduse kasutamine on eriti oluline ... ... Vikipeedias

Kas soovite seda artiklit täiustada?: otsige üles ja lisage joonealused märkused viidete kohta autoriteetsetele allikatele, mis kinnitavad kirjutatut. Joonealuseid märkusi tehes märkige täpsemad allikad. Pere ... Vikipeedia

Kas vangid reedavad üksteist, järgides oma isekaid huve, või vaikivad, vähendades seeläbi kogu vangistust? Vangi dilemma (ing. Prisoner's dilemma, nimetust "dilemma" kasutatakse harvem ... Wikipedia

Raamatud

Tõenäosusteooria ja probleemide matemaatiline statistika: rohkem kui 360 ülesannet ja harjutust, Borzykh D. Kavandatav käsiraamat sisaldab erineva keerukusega probleeme. Põhirõhk on aga pandud keskmise keerukusega ülesannetele. Seda tehakse tahtlikult, et julgustada õpilasi…

INFOTEHNOLOOGIA, ARVUTITEADUS JA HALDUS

Bayesi valemi rakendatavuse kohta

DOI 10.12737/16076

A. I. Dolgov**

1 Aktsiaselts "Juhtimis-, navigatsiooni- ja sidesüsteemide raadioseire projekteerimisbüroo", Rostov Doni ääres, Vene Föderatsioon

Bayesi" valemi rakendatavuse kohta*** A. I. Dolgov1**

1 "Juhtimis-, navigatsiooni- ja sidesüsteemide seire projekteerimisbüroo" JSC, Rostov Doni ääres, Vene Föderatsioon

Selle uuringu teemaks on Bayesi valem. Käesoleva töö eesmärk on analüüsida ja laiendada valemi ulatust. Esmane ülesanne on uurida sellele probleemile pühendatud publikatsioone, mis võimaldasid tuvastada Bayesi valemi rakendamise puudused, mis viisid ebaõigete tulemusteni. Järgmiseks ülesandeks on konstrueerida Bayesi valemi modifikatsioonid, mis võtavad arvesse erinevaid üksikuid tõendeid ja saadakse õiged tulemused. Ja lõpuks võrreldakse konkreetsete lähteandmete näitel Bayesi valemi abil saadud valesid tulemusi ja kavandatud muudatuste abil arvutatud õigeid tulemusi. Uuringus kasutati kahte meetodit. Esiteks viidi läbi Bayesi valemi ja selle modifikatsioonide kirjutamiseks kasutatud tuntud avaldiste koostamise põhimõtete analüüs. Teiseks viidi läbi tulemuste võrdlev hindamine (sh kvantitatiivne). Kavandatavad modifikatsioonid pakuvad Bayesi valemi laiemat rakendamist teoorias ja praktikas, sealhulgas rakendusprobleemide lahendamisel.

Võtmesõnad: tingimuslikud tõenäosused, kokkusobimatud hüpoteesid, ühilduvad ja mitteühilduvad tõendid, normaliseerimine.

Bayes" valem on uurimisobjekt. Töö eesmärk on analüüsida valemi rakendust ja laiendada selle rakendatavuse ulatust. Esmatähtis probleem hõlmab Bayesi" valemi puuduste väljaselgitamist asjakohaste väljaannete uurimise põhjal, mis viivad valedeni. tulemused. Järgmine ülesanne on konstrueerida Bayesi valemi modifikatsioonid, et anda õigete tulemuste saamiseks arvele erinevate üksikute näidustuste arv. Lõpuks võrreldakse valemi Bayes" rakendamisega saadud valesid tulemusi õigete tulemustega, mis on arvutatud valemi abil. pakutud valemimuudatused konkreetsete lähteandmete näitel. Uuringutes kasutatakse kahte meetodit. Esiteks analüüsitakse Bayesi valemi ja selle modifikatsioonide salvestamiseks kasutatavate tuntud avaldiste koostamise põhimõtteid. Teiseks viiakse läbi tulemuste võrdlev hindamine (sh kvantitatiivne). Kavandatud modifikatsioonid pakuvad Bayesi valemi laiemat rakendamist nii teoorias kui praktikas, sealhulgas rakendatud probleemide lahendamisel.

Märksõnad: tingimuslikud tõenäosused, vastuolulised hüpoteesid, ühilduvad ja mitteühilduvad näidustused, normaliseerimine.

Sissejuhatus. Bayesi valemit kasutatakse üha enam nii teoorias kui praktikas, sealhulgas rakenduslike ülesannete lahendamisel arvutitehnoloogia abil. Vastastikku sõltumatute arvutusprotseduuride kasutamine muudab selle valemi rakendamise eriti tõhusaks mitme protsessoriga arvutussüsteemide probleemide lahendamisel, kuna sel juhul toimub paralleelne realiseerimine üldskeemi tasemel ja järgmise algoritmi või ülesannete klassi lisamisel. , ei ole vaja paralleelsustöid uuesti teha.

Selle uuringu teemaks on Bayesi valemi rakendatavus ebajärjekindlate hüpoteeside tagumiste tingimuslike tõenäosuste võrdlevaks hindamiseks erinevate üksikute tõendite korral. Nagu analüüs näitab, on sellistel juhtudel normaliseeritud tõenäosused kokkusobimatute kombineeritud sündmuste kuulumiseks

S X<и ч и

ON eö JA ON X X<и H

„Töö viidi läbi omaalgatusliku uurimisprojekti raames.

** E-post: [e-postiga kaitstud]

"Uuringud tehakse sõltumatu teadus- ja arendustegevuse raames.

erinevate tervikürituste rühmade jaoks . Samas osutuvad võrreldavad tulemused tegelike statistiliste andmetega ebapiisavaks. See on tingitud järgmistest teguritest:

Kasutatakse ebaõiget normaliseerimist;

Arvesse ei võeta vaadeldavate tõendite ristumiskohtade olemasolu või puudumist.

Tuvastatud puuduste kõrvaldamiseks tehakse kindlaks Bayesi valemi rakendatavuse juhud. Kui määratud valem ei ole rakendatav, lahendatakse selle modifikatsiooni konstrueerimise probleem, mis tagab erinevate üksikute tõendite arvestamise õigete tulemuste saamiseks. Konkreetsete lähteandmete näitel viidi läbi tulemuste võrdlev hindamine:

Vale – saadud Bayesi valemi abil;

Õige – arvutatud kavandatud muudatuse alusel.

Lähtepositsioonid. Tõenäosussuhete säilitamise põhimõttel põhinevad järgmised väited: „Sündmuste tõenäosuste õige töötlemine on teostatav ainult siis, kui normaliseerida kasutades üht ühist normaliseerivat jagajat, mis tagab normaliseeritud tõenäosuste suhete võrdsuse vastava normaliseeritud suhtega. tõenäosused”. See põhimõte kujutab endast tõenäosusteooria subjektiivset alust, kuid seda ei kajastata korralikult tänapäevases õppe- ega teadus- ja tehnikakirjanduses.

Kui seda põhimõtet rikutakse, moonutatakse teavet vaadeldavate sündmuste võimalikkuse astme kohta. Moonutatud info põhjal saadud tulemused ja tehtud otsused osutuvad tegelike statistiliste andmetega ebaadekvaatseks.

Selles artiklis kasutatakse järgmisi mõisteid:

Elementaarsündmus on sündmus, mis ei ole elementideks jaotatav;

Kombineeritud sündmus - sündmus, mis esindab elementaarsete sündmuste üht või teist kombinatsiooni;

Ühilduvad sündmused - sündmused, mis mõnel juhul võivad nende tõenäosuse võrdleva hinnangu korral olla kokkusobimatud, teistel juhtudel aga ühised;

Kokkusobimatud sündmused on sündmused, mis ei ühildu kõigil juhtudel.

Tõenäosuse korrutamise teoreemi järgi arvutatakse elementaarsündmuste korrutise U ^ ja tõenäosus P (U ^ E).

E arvutatakse tõenäosuste P(Uk E) = P(E)P(U^E) korrutisena. Sellega seoses on Bayesi valem sageli

on kirjutatud kujul Р(Ик\Е) = - - - , mis kirjeldab a posteriori tingimuslike tõenäosuste definitsiooni

Hüpoteeside Uk (k = 1,...n) P(U^E), mis põhinevad arvesse võetud kombineeritud mitteühilduvate sündmuste I kuni E a priori tõenäosuste P(U^E) normaliseerimisel. Kõik need sündmused tähistavad toode, mille tegurid on üks kaalutletud hüpoteesidest ja üks arvestatav tõend. Samas mõeldakse kõike

uIKE sündmused (k = 1,...n) moodustavad uIKE-iga ühildumatute kombineeritud sündmuste täieliku rühma, kuna

millega nende tõenäosused P(Ik E) tuleks normaliseerida, võttes arvesse kogutõenäosuse valemit, mille järgi

sülem P(E) = 2 P(Uk)P(E\Uk). Seetõttu kirjutatakse Bayesi valem kõige sagedamini kõige sagedamini kasutataval kujul:

P(Uik) P(EIK)

P (Uk \ E) \u003d -. (üks)

^ Bayesi valemi katioon.

th Bayesi valemi konstruktsiooni omaduste analüüs, mille eesmärk on lahendada rakendusprobleeme, samuti näiteid

"ja selle praktiline rakendamine võimaldab meil teha olulise järelduse kombineeritud sündmuste täieliku rühma valimise kohta, mida võrreldakse võimalikkuse astme osas (millest igaüks on kahe elementaarse sündmuse tulemus - üks hüpoteesidest ja võetud tõendid arvesse). Sellise valiku teeb otsustaja subjektiivselt, lähtudes objektiivsetest lähteandmetest, mis on omased olukorra tüüpilistele tingimustele: hinnatud hüpoteeside liigid ja arv ning konkreetselt arvesse võetud tõendid.

Hüpoteeside võrreldamatud tõenäosused üksikute vastuoluliste tõenditega. Bayesi valemit kasutatakse traditsiooniliselt juhul, kui määratakse posterioorsed tingimuslikud tõenäosused, mis ei ole võimalikkuse astme poolest võrreldavad.

hüpoteeside H^ tõenäosus üksikute kokkusobimatute tõenditega, millest igaüks võib "ilmuda

ainult koos mõne nimetatud hüpoteesiga. Sel juhul valitakse täisrühmad ja HkE, kombineerituna

vanniüritused toodete kujul, mille tegurid on üheks tõendiks c. (1=1,...,m) ja üks

vaadeldavast n hüpoteesist.

Bayesi valemit kasutatakse iga sellise täieliku rühma kombineeritud sündmuste tõenäosuste võrdlevaks hindamiseks, mis erineb teistest täielikest rühmadest mitte ainult arvessevõetud tõendite e poolest, vaid ka üldiselt hüpoteeside tüüpide H ^ poolest. ja (või) nende arv n (vt näiteks )

RNky = P(Hk) P(eH)

% P(Hk) P(Er\Hk) k = 1

Erijuhul, kui n = 2

RNk\E,~ P(Hk) P(EN)

% P(Hk) P(E,\H k) k = 1

ja saadud tulemused on õiged, kuna järgitakse tõenäosussuhete säilimise põhimõtet:

P(H1E,) _ P(H 1)P(E,\H1) / P(H2) P(E,\H2) = P(H 1) P(E,\H1)

P(H 2 = % PW1!)

Täieliku kombineeritud sündmuste rühma valiku subjektiivsus võrreldes võimalikkuse määraga (koos

teatud muutuja elementaarsündmused) võimaldab valida terve sündmuste rühma ja Hk E ■ s

eitades elementaarsündmust E ■ () ja kirjutades Bayesi valem (1 = 1,.. ., m) järgmiselt:

P(Hk \ E) -= - RNSh ±.

% P(Hk)P(E, Hk)

Selline valem on samuti rakendatav ja võimaldab saada õigeid tulemusi, kui arvutatakse

normaliseeritud tõenäosusi võrreldakse erinevate kaalutud hüpoteeside, kuid mitte erinevate hüpoteeside alusel

ametiasutused. ¡^

Hüpoteeside võrreldavad tõenäosused ühe ebajärjekindla tõendi alusel. Tuntud publica-^ järgi otsustades

kasutatakse erinevate üksikute tõendite hüpoteeside a posteriori tingimuslike tõenäosuste võrdlevaks hindamiseks.

ametiasutused. Samas ei pöörata tähelepanu järgmisele asjaolule. Nendel juhtudel võrreldakse erinevatesse täielikesse sündmuste rühmadesse n kuuluvate mitteühilduvate (ühildumatute) kombineeritud sündmuste normaliseeritud ^ tõenäosusi. Sel juhul aga Bayesi valem ei ole rakendatav, kuna võrreldakse kombineeritud sündmusi, mis ei kuulu ühte täielikku rühma, mille tõenäosuste normaliseerimine toimub erinevate n normaliseerivate jagajate abil. Kokkusobimatute (ühildumatute) kombineeritud sündmuste normaliseeritud tõenäosusi saab võrrelda ainult siis, kui need kuuluvad samasse täielikku sündmuste rühma ja on normaliseeritud ¡3-ga, kasutades ühist jagajat, mis on võrdne kõigi täielikus §-s sisalduvate normaliseeritud sündmuste tõenäosuste summaga.

Üldiselt võib kokkusobimatuks tõendiks pidada järgmist:

kaks tõendit (näiteks tõend ja selle eitamine); ^

Kolm tõendit (näiteks mänguolukorras võit, kaotus ja viik); ^

Neli iseloomustust (eriti spordis, võitmine, kaotus, joonistamine ja kordusmäng) jne.

Vaatleme üsna lihtsat näidet (vastab punktis toodud näitele) Bayesi valemi ^ rakendamisest, et määrata hüpoteesi H ^ tagumised tingimuslikud tõenäosused kahe kokkusobimatu sündmuse korral

tõenditena L]- ja selle eitamine L]

P(H, k) - ^ . ^ P(A^k", (2)

] E P(Hk> P(A]\vk> k – 1

■ _ P(HkA ]) P(Hk> P(A ]\nk>).

P(H,\A,) ----k-]-. (3)

V k\A]> P(A > n

] E P(Hk) P(A]\Hk) k -1

Juhtudel (2) ja (3) võrreldi subjektiivselt valitud täisrühmi komplikatsiooni tõenäosuse osas.

binned sündmused on vastavalt hulgad ja H väärtuseks A ja ja H väärtuseks A. See kehtib juhul, kui valem

k-1 k ] k-1 k ]

Bayes ei ole rakendatav, kuna rikutakse tõenäosussuhete säilitamise põhimõtet - normaliseeritud tõenäosuste suhete võrdsust vastavate normaliseeritud tõenäosuste suhetega ei järgita:

P(H kuni A]] P(Hk) P(A]\Hk) / P(Hk) P(A]\Hk) P(Hk) P(A] Hk)

P(Hk E P(Hk) P(A]\Hk)/ E P(Hk) P(A]\Hk) P(Hk) P(A] Hk)

k - 1 /k - 1 Tõenäosussuhete säilitamise põhimõtte kohaselt on sündmuste tõenäosuste korrektne töötlemine teostatav ainult siis, kui normaliseeritakse üht ühist normaliseerivat jagajat, mis on võrdne kõigi võrreldavate normaliseeritud avaldiste summaga. Sellepärast

E P(Hk)P(A]\Hk) + E P(Hk)P(A]\Hk) - E P(Hk)[P(A]\Hk) + P(Hk) P(A]\Hk )] - EP (Hk) - 1. kuni -1 kuni -1 kuni -1 kuni -1

Seega selgub tõsiasi, et Bayesi valemiga on erinevaid sorte, mis erinevad

tuntud normaliseeriva jagaja puudumise tõttu:

A,) - P(H) P(A]\Hk), P(Hk A,) - P(H) P(A, Hk). (neli)

J I ■> juurde

Sel juhul täheldatakse normaliseeritud tõenäosuste ja vastavate normaliseeritud tõenäosuste suhete võrdsust:

m^A^ P(Hk) P(A]\Hk)

A,) P(H k) P(A, Hk)

Tuginedes mittetraditsiooniliselt salvestatud kokkusobimatute kombineeritud sündmuste täielike rühmade subjektiivsele valikule, on võimalik suurendada Bayesi valemi tõendeid sisaldavate modifikatsioonide arvu, aga ka nende eituste arvu. Näiteks kõige täielikum kombineeritud sündmuste rühm

u ja Hk /"./ ^ u ja Hk E\ vastavad (arvestades normaliseeriva jagaja puudumist) modifikatsioonivalemile =1 A"=1; \u003d 1 Bayesi keel

P(Hk\~) - P(Hk) ПЁ^^^

kus elementaarsündmus tõendi kujul E \ e II II / "/ on üks näidatud hulga elementidest

o Tõendite tagasilükkamise puudumisel, st kui E\ \u003d // e ja /"./,

^ P(H\E) P(Hk) P(E,\Hk)

E P(Hk) P(E \ Hk) k – 1

Seega on Bayesi valemi modifikatsioon, mille eesmärk on määrata kindlaks hüpoteeside tinglikud tõenäosused, mida võrreldakse üksikute kokkusobimatute tõendite tõenäosuse osas, järgmine. Lugeja sisaldab ühe kombineeritud kokkusobimatu sündmuse normaliseeritud tõenäosust, mis moodustavad täieliku rühma, väljendatuna a priori tõenäosuste korrutisena ja nimetaja sisaldab kõigi sündmuste summat.

normaliseeritud tõenäosused. Samal ajal järgitakse tõenäosussuhete säilitamise põhimõtet - ja saadud tulemus on õige.

Hüpoteeside tõenäosused ühe ühilduva tõendi alusel. Bayesi valemeid kasutatakse traditsiooniliselt hüpoteeside Hk (k = 1,...,n) tagumiste tingimuslike tõenäosuste määramiseks, mida võrreldakse ühe mitmest ühilduvast tõendist EL (1 = 1,... ,m). Eelkõige (vt

Näiteks ja ), a posteriori tingimuslike tõenäosuste Р(Н 1Е^) ja Р(Н 1 Е2) määramisel mõlema ühilduva tõendi Е1 ja Е2 jaoks kasutatakse järgmise vormi valemeid:

P(H 1) PE\H1) P(Hj) P(E2Hj) P(H J E1) = -1- ja P(HJE2) =--1-. (5)

I P(Hk) PE\Hk) I P(Hk) P(E2 Hk)

k = 1 k = 1 Pange tähele, et see on veel üks juhtum, kus Bayesi valem ei ole rakendatav. Lisaks tuleb sel juhul kõrvaldada kaks puudust:

Illustreeritud kombineeritud sündmuste tõenäosuste normaliseerimine on vale, kuna kuulub vaadeldavate sündmuste erinevatesse tervikrühmadesse;

Kombineeritud sündmuste HkEx ja HkE2 sümboolsed kirjed ei kajasta tõsiasja, et vaadeldavad tõendid E x ja E 2 on ühilduvad.

Viimase puuduse kõrvaldamiseks võib kasutada kombineeritud sündmuste üksikasjalikumat registrit, võttes arvesse asjaolu, et ühilduvad tõendid E1 ja E2 võivad mõnel juhul olla kokkusobimatud ning teistel juhtudel ühised:

HkE1 = HkE1 E2 ja HkE2 = HkE 1E2+HkE1 E2, kus E1 ja E 2 on E1 ja E 2 vastandlikud tõendid.

On ilmne, et sellistel juhtudel võetakse sündmuste korrutis Hk E1E2 arvesse kaks korda. Lisaks saab jälle eraldi arvesse võtta, aga seda ei juhtu. Fakt on see, et vaadeldavas olukorras mõjutavad hinnatud olukorda kolm tõenäoliselt kokkusobimatut kombineeritud sündmust: HkE1E2, HkE 1E2 ja

Hk E1E2. Samal ajal on otsustaja jaoks huvitav hinnata ainult võimalikkuse astet

kaks kokkusobimatut kombineeritud sündmust: HkE1 E2 ja HkE 1E2, mis vastab ainult g arvestamisele

üksikud tõendid. ¡C

Seega, kui luuakse Bayesi valemi modifikatsioon tagantjärele tingimuslike väärtuste määramiseks,

Ühe ühilduva tõendiga hüpoteeside tõenäosus peab põhinema järgmisel. Isik, kes võtab vastu ^

otsus, meid huvitab täpselt, millisest elementaarsest sündmusest, mida esindab üks või teine tõend

arv, mida peetakse konkreetsetes tingimustes, toimus tegelikult. Kui K-s toimub mõni muu elementaarne sündmus

ühtse sertifikaadi vormis on vajalik otsus uuesti läbi vaadata, tulenevalt n võrdleva hindamise tulemustest.

hüpoteeside a posteriori tingimuslikud tõenäosused koos muude tegelikku üldist mõjutavate tingimuste vältimatu arvestamisega

seadistus. 3

Tutvustame järgmist tähistust: HkE- ühe (ja ainult ühe) mitteühilduva kombineeritud kaas-^ jaoks

olemine, mis seisneb selles, et m > 1-st vaadeldi elementaarsündmusi Ei (i = 1,...,m) koos hüpoteesiga “

Hk, toimus üks elementaarsündmus Ex ja muid elementaarsündmusi ei toimunud. see"

Lihtsamal juhul võetakse arvesse kahte üksikut kokkusobimatut tõendit. Kui kinnitatakse

eeldatakse üht neist, tõendite tinglikkust üldkujul väljendatakse valemiga l

P(Hk E-) = P(Ei\Hk) -P(EjE^Hk) = P(Ei\Hk) -P(M^Hk)P(M^Hk) , i = 1, -2 (6) g

Valemi kehtivus on selgelt näha (joonis 1).

Riis. 1. P(Hk E-) arvutamise geomeetriline tõlgendus juhul / = 1,...,2 tingimuslikult sõltumatute tõenditega

P(K1K2\Hk) = p(E\Hk)P(E2\Hk),

seetõttu, võttes arvesse (6)

P(Hk E-) = PE Hk) - P(E1 Hk) P(E21Hk) , = 1,.,2. (7)

Samamoodi väljendatakse ühe kolmest (/ = 1,...,3) kokkusobimatust sündmusest HkE^ tõenäosust P(HkE-) valemiga

Näiteks kui i = 1:

p(HkEl) = P(Ei\Hk)-[ S P(Ei\Hk)P(Ej\Hk) ] + P(EiE2E3Hk)

p(HkE-) = P(E7|Hk)- P(E]E^Hk)- P(E7EjHk) + P(E]E2E3\Hk)

Selle valemi kehtivust kinnitab selgelt joonisel fig 1 esitatud geomeetriline tõlgendus.

Riis. 2. P(Hk E-) arvutamise geomeetriline tõlgendus, kui / = 1,...,3

Kasutades matemaatilise induktsiooni meetodit, saab tõestada tõenäosuse P(Hk E-) üldvalemit suvalise arvu tõendite e, 0=1,...,m korral:

P(HkE-) = P(E, Hk) - m PE\Hk) P(E]\Hk) + 1 P(E\Hk) P(E]\Hk) P(E^Hk) + ■■■ + (-1)

] = 1(] * 0 ],1 * 1

Tõenäosuse korrutamise teoreemi kasutades kirjutame tingimusliku tõenäosuse Р(НкЕ~-) kahel kujul:

^ millest järeldub, et

P(Hk E -) = P(Hk) P(E-|Hk) = P(E-) P(Hk

E-)= P(HkE-) "" P(E-)

Kasutades kogutõenäosuse valemit P(Ei) = S P(H£) P(Ei Hk) selgub, et

E-) \u003d P (HkET)

2 P(HkE-) k \u003d 1

Asendades saadud valemis Р(НкЕ-) avaldised (8) parema külje kujul, saame valemi lõpliku kuju hüpoteeside H^ (k = 1, a posteriori tingimuslike tõenäosuste) määramiseks. ...,n) ühe mitmest kokkusobimatust üksikust tõendist: (E^\Hk)

P(Hk)[P(E,\Hk) - 2 P(E,\Hk) P(Ep k) +...+ (-1)m-1 P(P P(Erk)] P(H, E ~) =-] = 1(] * ■----(9)

k 1 p t t t

2 P(Hk) 2 [P(E,\Hk) - 2 P(EgHk) P(E^Hk) + ...+ (-1)m-1 P(P P (Ep k)]

k=1 , = 1 ) = 1() *,) ■! =1

Võrdlevad hinnangud. Vaadeldakse üsna lihtsaid, kuid illustreerivaid näiteid, mis piirduvad kahe üksiku tõendiga kahe hüpoteesiga ühe arvutatud tagumise tingimusliku tõenäosuse analüüsiga. 1. Hüpoteeside tõenäosused kokkusobimatute üksikute tõendite alusel. Võrdleme Bayesi valemite (2) ja (3) abil saadud tulemusi kahe tõendi L. = L ja L. = L näitel algandmetega:

P(H1 = 0,7; P(H2) = 0,3; P(L| H^ = 0,1; P(L\n1) = 0,9; P(L\n1) = 0,6 P(A\H2) = 0,4 Vaadeldes näiteid hüpoteesiga H1, annavad traditsioonilised valemid (2) ja (3) järgmised tulemused:

P(N.) P(A\No 0 07

P (N, L) \u003d - 11 \u003d - \u003d 0,28,

2 P(Hk) P(A\Hk)k = 1

R(N L R(A\N 1) 0 63

P (N, L) \u003d - 11 \u003d - \u003d 0,84,

2 P(Hk) P(A\Hk) k = 1

moodustades jaotused P (H 1 L) \u003d P (H ^ P (L \ Hp \u003d 0,07; P (H ^ A) \u003d P (H 1) P (n | H ^ \u003d 0,63. 1 valemid seoses:

R<Н)Р(АНА-Р(А|Н1) _ 0,07

ja pakutud valemitega (4), millel ei ole normaliseerivaid jagajaid: „ja

Seega on väljapakutud valemite rakendamise korral normaliseeritud tõenäosuste suhe võrdne normaliseeritud tõenäosuste suhtega: K

rm f P(H 1) P(A\H 1) A11 |

Tuntud valemite kasutamisel sama suhtega -;-=-= 0,11 normaliseeritud veroni

P(H 1) P(A\H 1) «§

lugejates näidatud suhtarvud, saadud normaliseeritud tõenäosuste suhe: 2

P(H1) P(A\H1) P(A\H1) 0,63

P (H1 L) \u003d 0,28 P (H 1 L) = 0,84

See tähendab, et tõenäosussuhete säilitamise põhimõtet ei järgita ja saadakse valed tulemused. Sel juhul £

teadaolevate valemite rakendamise korral osutub hüpoteeside a posteriori tingimusliku ja tingimusliku tõenäosuse suhte (11) suhteline hälve õigetest tulemustest (10) väga oluliseks, kuna see on

°, 33 - °, P x 100 \u003d 242%.. I

2. Hüpoteeside tõenäosused ühilduva üksiku tõendi alusel. Võrrelgem Bayesi valemite (5) ja konstrueeritud õige modifikatsiooni (9) abil saadud tulemusi, kasutades järgmisi lähteandmeid:

P(H1 = 0,7; P(H2) = 0,3; P(E1H1) = 0,4; P(E2H1) = 0,8; P(E1\H2) = 0,7; P(E^ H2) = 0,2,113

Vaadeldavates näidetes hüpoteesiga H 2 traditsiooniliste valemite (5) kasutamise korral:

P(H2) P(E1H2) Q, 21

P(H2E1) =-2-!-2- = - = Q,429,

p(Hk) p(El Hk) k = 1

P(H 2) P(E 2 H 2) Q, Q6

P(H 2 E 2) \u003d -2-- \u003d - \u003d 0,097.

I P(Hk) P(E 2 Hk) k = 1

Pakutud valemi (9) rakendamisel, võttes arvesse (7), on P(H

P(H2) 0,168

E.) ----- 0,291,

Z P(Hk) Z "

P(H2) 0,018

E0) ----- 0,031.

Z P(Hk) Z k - 1 i - 1

Pakutud õigete valemite kasutamisel on samade nimetajate tõttu suhe P(H2) -

Normaliseeritud tõenäosused, mis on näidatud lugejates, on võrdne suhtega

P(H2)

normaliseeritud tõenäosused:

See tähendab, et järgitakse tõenäosussuhete säilimise põhimõtet.

Teadaolevate valemite rakendamisel aga lugejates näidatud normaliseeritud tõenäosuste suhtega

P (H 2) P (E1 \ H 2) _ 0,21 _3 5 P (H 2) P (E 2 H 2) 0,06,

normaliseeritud tõenäosuste suhe:

P (H 2 \u003d 0,429 \u003d 4,423. (13)

P(H2\e2) 0,097

See tähendab, et tõenäosussuhete säilitamise põhimõtet, nagu varem, ei järgita. Sel juhul osutub teadaolevate valemite rakendamisel väga oluliseks ka hüpoteeside a posteriori tingimuslike tõenäosuste suhte (13) suhteline hälve õigetest tulemustest (12):

9,387 4,423 x 100 = 52,9%.

Järeldus. Praktiliste probleemide lahendamiseks pakutud Bayesi valemit ja selle modifikatsioone rakendavate spetsiifiliste valemisuhete konstrueerimise analüüs võimaldab väita järgmist. Täieliku rühma võrreldavast kahest võimalikust kombineeritud sündmusest saab otsustaja subjektiivselt valida. See valik põhineb vaadeldavatel objektiivsetel lähteandmetel, mis on iseloomulikud tüüpilisele olukorrale (elementaarsete sündmuste konkreetsed tüübid ja arv - hinnangulised hüpoteesid ja tõendid). Praktilist huvi pakub kogu grupi muude võimaluste subjektiivne valik võrreldes võimalikkuse astmega.

kombineeritud sündmused - seega pakutakse Bayesi valemi modifikatsioonide mittetraditsiooniliste variantide koostamisel palju erinevaid valemisuhteid. See võib omakorda olla aluseks nii tarkvara juurutamise matemaatilise toe täiustamisele kui ka uute valemisuhete ulatuse laiendamisele rakenduslike ülesannete lahendamiseks.

Bibliograafiline loetelu

1. Gnedenko, B. V. Elementaarne sissejuhatus tõenäosusteooriasse / B. V. Gnedenko, A. Ya. Khinchin. - 114 New York: Doveri väljaanded, 1962. - 144 rubla.

2. Venttsel, E. S. Tõenäosusteooria / E. S. Venttsel. - 10. väljaanne, kustutatud. - Moskva: Kõrgkool, 2006. - 575 lk.

3. Andronov. A. M., Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika / A. M. Andronov, E. A. Kopytov, L. Ya. Gringlaz. - Peterburi: Peeter, 2004. - 481 lk.

4. Zmitrovitš, A. I. Intelligentsed infosüsteemid / A. I. Zmitrovich. - Minsk: TetraSistems, 1997. - 496 lk.

5. Tšernorutski, I. G. Otsustusmeetodid / I. G. Tšernorutski. - Peterburi: BHV-Peterburg, 2005. - 416 lk.

6 Naylor, C.-M. Ehitage oma ekspertsüsteem / C.-M. Naylor. - Chichester: John Wiley & Sons, 1987. - 289 lk.

7. Romanov, V.P. Arukad infosüsteemid majanduses / V.P. Romanov. - 2. väljaanne, kustutatud.

Moskva: eksam, 2007. - 496 lk.

8. Majanduslik efektiivsus ja konkurentsivõime / D. Yu. Muromtsev [ja teised]. - Tambov: Tambovi kirjastus. olek tehnika. un-ta, 2007.- 96 lk.

9. Dolgov, A. I. Paralleelprogrammeerimise Bayesi valemi õiged modifikatsioonid / A. I. Dolgov // Superarvutitehnoloogiad: 3. ülevenemaalise keele materjalid. teaduslik-tehniline konf. - Rostov Doni ääres. - 2014.- 1. kd - S. 122-126.

10. A. I. Dolgov, Bayesi valemi modifikatsioonide õigsusest / A. I. Dolgov, Vestnik Don. olek tehnika. ülikool

2014. - V. 14, nr 3 (78). - S. 13-20.

1. Gnedenko, B.V., Khinchin, A.Ya. Elementaarne sissejuhatus tõenäosusteooriasse. New York: Dover Publications, 1962, 144 lk.

2 Ventsel, E.S. Teoriya veroyatnostey. 10. väljaanne, reimpr. Moskva: Vysshaya shkola, 2006, 575 lk. (Vene keeles).

3. Andronov, A.M., Kopõtov, E.A., Gringlaz, L.Y. Teoriya veroyatnostey ja matematicheskaya statistika. Peterburi: Piter, 2004, 481 lk. (Vene keeles).

4. Zmitrovitš, A.1. Intellektuaalne "nye informatsionnye sistemy. Minsk: TetraSistems, 1997, 496 lk (vene keeles).

5. Tšernorutskiy, I.G. Metoodika prinyatiya resheniy. Peterburi: BKhV-Peterburg, 2005, 416 lk. (Vene keeles).

6 Naylor, C.-M. Looge oma ekspertsüsteem. Chichester: John Wiley & Sons, 1987, 289 lk.

7. Romanov, V.P. Intellektuaalne "nye informatsionnye sistemy v ekonomike. 2. väljaanne, reimpr. Moskva: Ekzamen, 2007, 496 lk (vene keeles).

8. Muromtsev, D.Y., et al. Ekonomicheskaya effektivnost" ja konkurentosposobnost". Tambov: Izd-vo Tamb. mine. tehnoloogia un-ta, 2007, 96 lk. (Vene keeles). IB

9. Dolgov, A1. Korrektnye modifikatsioonivormel Bayesa dlya paralleelne "nogo programmrovaniya. Superkomp" yuternye technologii: mat-ly 3-y vseros. teaduslik-tehniline. konf. Rostov Doni ääres, 2014, kd. 1, lk. 122-126 (vene keeles). ^

10. Dolgov, A1. O korrektnosti modifikatsioonid Bayesa. ^ DSTU Vestnik, 2014, kd. 14, nr. 3 (78), lk. 13-20 (vene keeles). *

Kas meeldis artikkel? Jaga sõpradega!
Jaga Facebook

Twitter

printida

Kas see artikkel oli abistav?

Jah

Mitte

Täname tagasiside eest!

Midagi läks valesti ja teie häält ei arvestatud.

Aitäh. Sinu sõnum on saadetud

Kas leidsite tekstist vea?

Valige see, klõpsake Ctrl+Enter ja me teeme selle korda!

Seotud näpunäited

Pariisi dakari autod. Dakari ajalugu. idee miljonis

Millist tüüpi basseini valida suveresidentsiks?

Milliseid klubisid toetavad Venemaa poliitikud Navalnõit Spartaki eest

"Zenith" võtab esimeses mängus oma uuel staadionil "Urali"

Aleksander Keržakov: elulugu, isiklik elu

hõlmab paljusid aspekte, sealhulgas sotsiaalseid, psühholoogilisi ja teaduslikke