Elliptiline paraboloidi konstruktsioon võrrandi järgi. Ellipsoid. Hüperboloidid. Paraboloidid. Vaba pinna asukoht anumas

Paraboloide on kahte tüüpi: elliptilised ja hüperboolsed.

Elliptiline paraboloid nimetatakse pinda, mis mõnes Descartes'i ristkülikukujuliste koordinaatide süsteemis on defineeritud võrrandiga

Elliptiline paraboloid on lõpmatu kumera kausi kujuga. Sellel on kaks üksteisega risti asetsevat sümmeetriatasapinda. Punkti, millega alguspunkt on joondatud, nimetatakse elliptilise paraboloidi tipuks; arve p ja q nimetatakse selle parameetriteks.

Hüperboolne paraboloid on võrrandiga määratletud pind

Hüperboolne paraboloid on sadula kujuga. Sellel on kaks üksteisega risti asetsevat sümmeetriatasapinda. Punkti, millega alguspunkt on joondatud, nimetatakse hüperboolse paraboloidi tipuks; numbrid R Ja q nimetatakse selle parameetriteks.

Harjutus 8.4. Mõelge vormi hüperboolse paraboloidi konstrueerimisele

Olgu vaja konstrueerida paraboloidi osa, mis asub vahemikes: xО[–3; 3], juuresО[–2; 2] sammuga D=0,5 mõlema muutuja puhul.

Esitus. Kõigepealt peate lahendama võrrandi muutuja suhtes z. Näites

Tutvustame muutuja väärtusi X veergu sisse A. Selleks lahtris A1 sisestage märk X. Rakku A2 sisestatakse argumendi esimene väärtus – vahemiku vasak piir (–3). Rakku A3- argumendi teine ​​väärtus - vahemiku vasak piir pluss ehitusetapp (–2,5). Seejärel valides lahtriploki A2:AZ, automaatse täitmisega saame kõik argumendi väärtused (venitame ploki alumise parema nurga taha lahtrisse A14).

Muutuvad väärtused juures ritta panna 1 . Selleks lahtris IN 1 sisestatakse muutuja esimene väärtus - vahemiku vasak piir (–2). Rakku C1- muutuja teine ​​väärtus - vahemiku vasak piir pluss ehitusetapp (– 1,5). Seejärel valides lahtriploki B1:C1, automaatse täitmisega saame kõik argumendi väärtused (venitame ploki alumise parema nurga taha lahtrisse J1).

Järgmisena sisestage muutuja väärtused z. Selleks tuleb asetada tabelikursor lahtrisse AT 2 ja sisestage valem - = $A2^2/18 -B$1^2/8, seejärel vajutage klahvi Sisenema. Lahtris AT 2 ilmub 0. Nüüd peate funktsiooni lahtrist kopeerima AT 2. Selleks kopeerige automaatne täitmine (libistage paremale) see valem kõigepealt vahemikku B2:J2, mille järel (alla lohistades) - vahemikku Q2: J14.

Selle tulemusena vahemikus Q2: J14 ilmub hüperboolse paraboloidi punktitabel.

Diagrammi koostamiseks tööriistaribal Standard nuppu tuleb vajutada Diagrammi viisard. Ilmuvas dialoogiboksis Diagrammiviisard (1. samm 4-st): diagrammi tüüp määrake diagrammi tüüp - Pind, ja vaata - Traadi (läbipaistev) pind(parempoolses aknas ülemine parem diagramm). Seejärel vajutame nuppu Edasi dialoogiboksis.

Ilmuvas dialoogiboksis Diagrammiviisard (samm 2/4): andmeallikas diagramme, peate valima vahekaardi Vahemik andmed ja valdkonnas Vahemik määrake hiirega andmevahemik Q2: J14.

Järgmiseks peate määrama ridades või veergudes, kus andmeseeriad asuvad. See määrab telgede orientatsiooni X Ja y. Näites lüliti Rida sisse hiirekursori abil veergude asukohta seadmine.

Valige vahekaart Rida ja väljal X-telje sildid määrake allkirjade vahemik. Selleks aktiveerige see väli, klõpsates sellel hiirekursoriga ja sisestage telje siltide vahemik X -A2:A14.

Sisestage telje siltide väärtused y. Selleks tööpõllul Rida valige esimene kirje 1. rida ja töövälja aktiveerimisega Nimi hiirekursoriga, sisestage muutuja esimene väärtus y: -2. Siis põllul Rida valige teine ​​kirje 2. rida ja tööpõllul Nimi sisestage muutuja teine ​​väärtus y: -1,5. Kordame sel viisil kuni viimase sissekandeni - 9. rida.

Pärast vajalike kirjete ilmumist klõpsake nuppu. Edasi.

Kolmandas aknas tuleb sisestada diagrammi pealkiri ja telgede nimed. Selleks valige vahekaart Pealkirjad klõpsates sellel hiirekursoriga. Siis tööpõllul Diagrammi pealkiri sisestage nimi klaviatuurilt: Hüperboolne paraboloid. Seejärel sisenege samal viisil tööväljadele X-telg (kategooriad),Y-telg (andmeseeria) Ja Z-telg (väärtused) asjakohased pealkirjad: x, y Ja z.

Teist järku pindade hulka kuulub ka hüperboolne paraboloid. Seda pinda ei saa saada, kui rakendada algoritmi, mis kasutab mingi sirge pöörlemist ümber fikseeritud telje.

Hüperboolse paraboloidi konstrueerimiseks kasutatakse spetsiaalset mudelit. See mudel sisaldab kahte parabooli, mis asuvad kahel üksteisega risti asetseval tasapinnal.

Olgu parabool I tasapinnas ja fikseeritud. Parabool II teeb keeruka liikumise:

▫ selle algasend ühtib tasapinnaga
, ja parabooli tipp langeb kokku lähtepunktiga: =(0,0,0);

▫ edasi liigub see parabool paralleelülekannet ja selle ülaosa
teeb trajektoori, mis langeb kokku parabooliga I;

▫ vaadeldakse kahte erinevat parabooli II algasendit: üks - parabooli oksad ülespoole, teine ​​- oksad allapoole.

Kirjutame üles võrrandid: esimese parabooli I jaoks:
- muutmata; teise parabooli II jaoks:
– algasend, liikumisvõrrand:
Seda on lihtne mõista
on koordinaadid:
. Kuna on vaja kuvada punkti liikumisseadust
: see punkt kuulub parabooli I, siis peavad alati olema täidetud järgmised seosed: =
Ja
.

Mudeli geomeetriliste tunnuste järgi on hästi näha, et liikuv parabool pühib mingi pind. Sel juhul on parabooliga II kirjeldatud pinna võrrand järgmine:

või →
. (1)

Saadud pinna kuju sõltub parameetrite märkide jaotusest
. Võimalikud on kaks juhtumit:

1). Koguste märgid lk Ja q langevad kokku: paraboolid I ja II asuvad tasapinna ühel küljel OXY. Võtame vastu: lk = a 2 Ja q = b 2 . Seejärel saame teadaoleva pinna võrrandi:

→ elliptiline paraboloid . (2)

2). Koguste märgid lk Ja q erinevad: paraboolid I ja II asuvad tasapinna vastaskülgedel OXY. Lase lk = a 2 Ja q = - b 2 . Nüüd saame pinna võrrandi:

→hüperboolne paraboloid . (3)

Pole raske ette kujutada võrrandiga (3) määratletud pinna geomeetrilist kuju, kui meenutada kahe liikumises osaleva parabooli vastastikmõju kinemaatilist mudelit.

Joonisel on tinglikult punasega kujutatud parabool I. Näidatud on ainult pinna naabrus alguspunktis. Tulenevalt asjaolust, et pinna kuju viitab ilmekalt ratsaväe sadulale, nimetatakse seda naabruskonda sageli - sadul .

Füüsikas võetakse protsesside stabiilsuse uurimisel kasutusele tasakaalutüübid: stabiilne - auk, allapoole kumer, ebastabiilne - ülespoole kumer pind ja vahepealne - sadul. Kolmandat tüüpi tasakaalu nimetatakse ka ebastabiilseks tasakaaluks ja ainult punasel joonel (parabool I) on tasakaal võimalik.

§ 4. Silindrilised pinnad.

Pöördepindade kaalumisel defineerisime kõige lihtsama silindrilise pinna - pöördesilindri, see tähendab ringikujulise silindri.

Elementaargeomeetrias defineeritakse silinder analoogselt prisma ülddefinitsiooniga. See on üsna keeruline:

▫ olgu meil ruumis tasane hulknurk
- tähistatud kui , ja hulknurk langeb sellega kokku
- tähistatud kui
;

▫ kohaldada hulknurgale
liikumise paralleeltõlge: punktid
liikuda mööda trajektoore paralleelselt antud suunaga ;

▫ kui lõpetate hulknurga liigutamise
, siis selle lennuk
paralleelselt tasapinnaga ;

▫ prisma pinda nimetatakse: hulknurkade hulk ,
– põhjustel prismad ja rööpkülikud
,
,... – külgpind prismad.

IN prisma ja selle pinna üldisema definitsiooni koostamiseks kasutame prisma elementaardefinitsiooni, nimelt eristame:

▫ piiramatu prisma on servadega piiratud hulktahuline keha ,,... ja tasapinnad nende servade vahel;

▫ piiratud prisma on servadega piiratud hulktahuline keha ,,... ja rööpkülikuid
,
,...; selle prisma külgpind on rööpkülikute hulk
,
,...; prisma alused – hulknurkade hulk ,
.

Võtame piiramatu prisma: ,,... Lõikame selle prisma suvalise tasapinnaga . Lõikame sama prisma teise tasapinnaga
. Jaotises saame hulknurga
. Üldiselt eeldame, et lennuk
mitte tasapinnaga paralleelne . See tähendab, et prismat ei ehitatud hulknurga paralleeltõlke teel .

Kavandatav prisma konstruktsioon hõlmab mitte ainult sirgeid ja kaldprismasid, vaid ka kõiki kärbitud prismasid.

Analüütilises geomeetrias mõistame silindrilisi pindu nii üldistatult, et piiramatu silinder sisaldab erijuhuna piiramatut prismat: tuleb vaid eeldada, et hulknurga saab asendada suvalise joonega, mis ei pruugi olla suletud. giid silinder. Suund helistas generatrix silinder.

Kõigest öeldust järeldub, et silindrilise pinna määramiseks on vaja määrata juhtjoon ja generatriksi suund.

Silindrilised pinnad saadakse 2. järku tasapinnakõverate alusel, serveerides juhendid Sest genereerivad .

Silindriliste pindade uurimise algfaasis teeme lihtsustavad eeldused:

▫ silindrilise pinna juhik olgu alati ühel koordinaattasandil;

▫ generatrixi suund langeb kokku ühe koordinaatteljega, st risti tasapinnaga, milles juhik on määratletud.

Aktsepteeritud piirangud ei too kaasa üldistuse kaotust, kuna see jääb võimalikuks tänu lõikude valikule lennukite kaupa Ja
luua suvalisi geomeetrilisi kujundeid: sirged, kaldus, kärbitud silindrid.

Elliptiline silinder .

Olgu silindri juhiks võtta ellips :
, mis asub koordinaattasandil

: elliptiline silinder.

hüperboolne silinder .

:

, ja generaatori suund määrab telje
. Sel juhul on silindri võrrand joon ise : hüperboolne silinder.

paraboolne silinder .

Olgu silindri juhiks võetud hüperbool :
asub koordinaattasandil
, ja generaatori suund määrab telje
. Sel juhul on silindri võrrand joon ise : paraboolsilinder.

Kommenteeri: võttes arvesse silindriliste pindade võrrandite koostamise üldreegleid, aga ka elliptiliste, hüperboolsete ja paraboolsete silindrite konkreetseid näiteid, märgime: silindri konstrueerimine mis tahes muu generaatori jaoks ei tohiks aktsepteeritud lihtsustamistingimuste korral tekita raskusi!

Vaatleme nüüd silindriliste pindade võrrandite koostamise üldisemaid tingimusi:

▫ silindrilise pinna juhik paikneb suvalises ruumitasandis
;

▫ generatrixi suund aktsepteeritud koordinaatsüsteemis suvaliselt.

Aktsepteeritud tingimused on kujutatud joonisel.

▫ silindriline pinnajuhik asub suvalises tasapinnas ruumi
;

▫ koordinaatsüsteem
saadud koordinaatsüsteemist
paralleelne ülekanne;

▫ juhtasend lennukis kõige eelistatavam: 2. järku kõvera puhul eeldame, et koordinaatide alguspunkt langeb kokku Keskus vaadeldava kõvera sümmeetria;

▫ generatrixi suund meelevaldne (saab määrata mis tahes viisil: vektor, otsene jne).

Järgnevalt eeldame, et koordinaatsüsteemid
Ja
kokku sobima. See tähendab, et paralleeltõlget kajastava silindriliste pindade konstrueerimise üldalgoritmi esimene samm:
→
, varem läbi viidud.

Meenutagem, kuidas paralleelülekannet üldiselt arvestatakse, vaadeldes lihtsat näidet.

Näide 6–13 : Koordinaadisüsteemis
nagu:
=0. Kirjutage selle juhendi võrrand süsteemi
.

Lahendus:

1). Tähistage suvalist punkti
: süsteemis
Kuidas
, ja süsteemis
Kuidas
.

2). Kirjutame vektori võrdsuse:
=
+
. Koordinaatide kujul saab selle kirjutada järgmiselt:
=
+
. Või kujul:
=
–
või:
=.

3). Kirjutame silindrijuhi võrrandi koordinaatsüsteemis
:

Vastus: juhendi teisendatud võrrand: =0.

Seega eeldame, et silindri juhikut kujutava kõvera keskpunkt asub alati koordinaatsüsteemi alguspunktis
lennukis .

Riis. IN . Põhijoonis silindri ehitamisel.

Teeme veel ühe eelduse, mis lihtsustab silindrilise pinna konstrueerimise viimaseid etappe. Kuna kasutatakse koordinaatsüsteemi pöörlemist, on telje suunda lihtne kombineerida
koordinaatsüsteemid
tavalise lennukiga ja telgede suunad
Ja
juhiku sümmeetriatelgedega , siis eeldame, et see on juhiku algpositsioon meil on tasapinnas paiknev kõver
, ja üks selle sümmeetriatelgedest ühtib teljega
ja teine ​​teljega
.

Kommenteeri: kuna tehte paralleeltõlke ja pöörlemise sooritamine ümber tehte fikseeritud telje on üsna lihtne, ei kitsenda tehtud eeldused väljatöötatud silindrilise pinna konstrueerimise algoritmi rakendatavust kõige üldisemal juhul!

Oleme näinud, et silindrilise pinna ehitamisel juhul, kui juhik asub lennukis
ja generatrix on teljega paralleelne
, piisab ainult juhendi määratlemisest .

Kuna silindrilist pinda saab üheselt määrata, määrates selle pinna lõigus saadud mis tahes joone suvalise tasapinnaga, võtame ülesande lahendamiseks kasutusele järgmise üldalgoritmi:

1 ▫ . Olgu generatrixi suund silindriline pind on antud vektoriga . Kujundame juhendi antud võrrandiga:
=0, generatriksi suunaga risti olevale tasapinnale st lennukis
. Selle tulemusena määratakse silindriline pind koordinaatsüsteemis
võrrand:
=0.

2 ▫
ümber telje
nurga peal
: nurga tähendus
süsteemiga ühilduv
, ja koonilise pinna võrrand teisendatakse võrrandiks:
=0.

3 ▫ . Rakenda koordinaatsüsteemi pöörlemist
ümber telje
nurga peal
: nurga tähendus jooniselt täiesti selge. Pöörlemise tulemusena koordinaatsüsteem
süsteemiga ühilduv
, ja koonilise pinna võrrand teisendatakse järgmiseks
=0. See on silindrilise pinna võrrand, mille jaoks oli antud juhend ja generatrix koordinaatsüsteemis
.

Allolev näide illustreerib kirjaliku algoritmi rakendamist ja selliste ülesannete arvutusraskusi.

Näide 6–14 : Koordinaadisüsteemis
antud silindrijuhi võrrandit nagu:
=9. Kirjutage võrrand silindrile, mille generaatorid on vektoriga paralleelsed =(2,–3,4).

R
lahendus:

1). Kujundame silindri juhiku tasapinnale, mis on sellega risti . On teada, et selline teisendus muudab antud ringi ellipsiks, mille teljed on: = 9 ja väike =
.

See joonis illustreerib tasapinnal määratletud ringi kujundust
koordinaattasandile
.

2). Ringi projitseerimise tulemuseks on ellips:
=1 või
. Meie puhul on see:
, Kus
==.

3
). Niisiis, silindrilise pinna võrrand koordinaatsüsteemis
saanud. Kuna vastavalt ülesande tingimusele peab meil olema koordinaatsüsteemis selle silindri võrrand
, siis jääb üle rakendada koordinaatide teisendus, mis tõlgib koordinaatsüsteemi
koordinaatsüsteemile
, koos silindri võrrandiga:
muutujatena väljendatud võrrandiks
.

4). Kasutame ära põhilised joonis ja kirjuta üles kõik ülesande lahendamiseks vajalikud trigonomeetrilised väärtused:

==,
==,
==.

5). Kirjutame valemid koordinaatide teisendamiseks süsteemist üleminekul
süsteemile
:
(IN)

6). Kirjutame valemid koordinaatide teisendamiseks süsteemist üleminekul
süsteemile
:
(KOOS)

7). Muutujate asendamine
süsteemist (B) süsteemi (C) ja võttes arvesse ka kasutatud trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi, kirjutame:

=
=
.

=
=
.

8). Üle jääb leitud väärtuste asendamine Ja silindri juhtvõrrandisse :
koordinaatsüsteemis
. Pärast lõpetamist hoolikalt kõik algebralised teisendused, saame koonilise pinna võrrandi koordinaatsüsteemis
: =0.

Vastus: koonuse võrrand: =0.

Näide 6–15 : Koordinaadisüsteemis
antud silindrijuhi võrrandit nagu:
=9, =1. Kirjutage võrrand silindrile, mille generaatorid on vektoriga paralleelsed =(2,–3,4).

Lahendus:

1). On hästi näha, et see näide erineb eelmisest ainult selle poolest, et juhendit on paralleelselt nihutatud 1 võrra ülespoole.

2). See tähendab, et suhetes (B) tuleks võtta: =-1. Võttes arvesse süsteemi (C) avaldisi, parandame muutuja kirjet :

=
.

3). Muudatust saab hõlpsasti arvesse võtta, parandades eelmise näite silindri võrrandi lõppkirjet:

Vastus: koonuse võrrand: =0.

Kommenteeri: on lihtne näha, et silindriliste pindade probleemide korral koordinaatsüsteemide mitmete teisenduste peamine raskus on täpsust Ja vastupidavus algebramaratonidel: elagu meie kauakannatanud riigis omaks võetud haridussüsteem!

Elliptiline paraboloid

Elliptiline paraboloid, kui a=b=1

Elliptiline paraboloid- vormi funktsiooniga kirjeldatud pind

Kus a Ja büks märk. Pinda kirjeldab paralleelsete ülespoole suunatud okstega paraboolide perekond, mille tipud kirjeldavad parabooli, kusjuures oksad on samuti suunatud ülespoole.

Kui a = b siis elliptiline parabool on pöördepind, mis tekib parabooli pöörlemisel ümber antud parabooli tippu läbiva vertikaaltelje.

Hüperboolne paraboloid

Hüperboolne paraboloid, kui a=b=1

Hüperboolne paraboloid(nimetatakse konstruktsioonis "gipar") - sadulakujuline pind, mida kirjeldatakse ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis vormi võrrandiga

Teisest esitusest on näha, et hüperboolne paraboloid on juhitav pind.

Pinna saab moodustada, liigutades allapoole suunatud parabooli piki parabooli, mille oksad on suunatud üles, eeldusel, et esimene parabool on kontaktis oma teise tipuga.

Paraboloidid maailmas

Inseneriteaduses

Kunstis

Kirjanduses

Insener Garini hüperboloidis kirjeldatud seade pidi olema paraboloid.

Wikimedia sihtasutus. 2010 .

• Elon Menachem
• Eltang

Vaadake, mis on "elliptiline paraboloid" teistes sõnaraamatutes:

ELLIPTILINE PARABOLOIID Suur entsüklopeediline sõnaraamat

elliptiline paraboloid- üks kahest paraboloidide tüübist. * * * ELLIPTILISE PARABOLOIDI ELLIPTILISE PARABOLOIDI, üks kahest tüüpi paraboloididest (vt PARABOLOIID) ... entsüklopeediline sõnaraamat

Elliptiline paraboloid- üks kahest paraboloidide tüübist (vt paraboloidid) ... Suur Nõukogude entsüklopeedia

ELLIPTILINE PARABOLOIID- teise järgu mittesuletud pind. Kanooniline E. p võrrand on kujul E. p. asub Oxy tasandi ühel küljel (vt joonis). Oxy tasandiga paralleelsete tasandite lõiked E. p. on võrdse ekstsentrilisusega ellipsid (kui p ... Matemaatiline entsüklopeedia

ELLIPTILINE PARABOLOIID- üks kahest paraboloidi tüübist ... Loodusteadus. entsüklopeediline sõnaraamat

PARABOLOIID- (kreeka keelest parabool parabool ja eidos sarnasus). Keha, mille moodustab pöörlev parabool. Vene keele võõrsõnade sõnastik. Chudinov A.N., 1910. PARABOLOID on geomeetriline keha, mis on tekkinud parabooli pöörlemisel, nii et ... ... Vene keele võõrsõnade sõnastik

PARABOLOIID- PARABOLOID, paraboloid, isane. (vt parabool) (mat.). Teist järku pind ilma keskpunktita. Pöördeparabool (moodustub parabooli pööramisel ümber oma telje). Elliptiline paraboloid. Hüperboolne paraboloid. Ušakovi seletav sõnaraamat ... Ušakovi seletav sõnaraamat

PARABOLOIID- PARABOLID, pind, mis saadakse parabooli liigutamisel, mille ülaosa libiseb mööda teist fikseeritud parabooli (mille sümmeetriatelg on paralleelne liikuva parabooli teljega), samal ajal kui selle endaga paralleelselt liikuv tasapind jääb ... ... Kaasaegne entsüklopeedia

Paraboloid- on teist järku pinnatüüp. Paraboloidi võib iseloomustada kui teist järku avatud, mittetsentraalset (st ilma sümmeetriakeskmeta) pinda. Kanoonilised paraboloidvõrrandid Descartes'i koordinaatides: kui ja üks ... ... Wikipedia

PARABOLOIID- teist järku mittekinnine mittekeskpind. Kanooniline parabolismi võrrandid: elliptiline paraboloid (p = q korral nimetatakse seda paraboolseks paraboloidiks) ja hüperboolne paraboloid. A. B. Ivanov ... Matemaatiline entsüklopeedia

Ellipsoid- pind kolmemõõtmelises ruumis, mis saadakse sfääri deformeerimisel mööda kolme üksteisega risti asetsevat telge. Ellipsoidi kanooniline võrrand Descartes'i koordinaatides, mis langeb kokku ellipsoidi deformatsioonitelgedega: .

Suurusi a, b, c nimetatakse ellipsoidi pooltelgedeks. Ellipsoidiks nimetatakse ka keha, mis on piiratud ellipsoidi pinnaga. Ellipsoid on teist järku pindade üks võimalikke kujundeid.

Juhul, kui pooltelgede paar on sama pikkusega, saab ellipsoidi saada, pöörates ellipsi ümber ühe selle telje. Sellist ellipsoidi nimetatakse pöördeellipsoidiks või sferoidiks.

Ellipsoid, täpsemalt kui kera, peegeldab Maa idealiseeritud pinda.

Ellipsoidi maht:.

Revolutsiooni ellipsoidi pindala:

Hüperboloid- see on teist järku pinna tüüp kolmemõõtmelises ruumis, mis on esitatud Descartes'i koordinaatides võrrandiga - (üheleheline hüperboloid), kus a ja b on reaalsed poolteljed ja c on kujuteldav pooltelg; või - (kaheleheline hüperboloid), kus a ja b on kujuteldavad poolteljed ja c on tegelik pooltelg.

Kui a = b, siis nimetatakse sellist pinda pöörde hüperboloidiks. Ühelehelise revolutsiooni hüperboloidi saab saada, pöörates hüperbooli ümber oma kujuteldava telje, kahelehelist ümber tegeliku telje. Kaheleheline pöördehüperboloid on ka punktide P asukoht, mille kauguste erinevuse moodul kahe antud punktini A ja B on konstantne: | AP−BP | = konst. Sel juhul nimetatakse A ja B hüperboloidi koldeks.

Üheleheline hüperboloid on kahekordselt juhitav pind; kui see on revolutsiooni hüperboloid, siis saab selle saada, pöörates joont ümber teise sirge, mis seda lõikuvat.

Paraboloid on teist järku pinnatüüp. Paraboloidi võib iseloomustada kui teist järku avatud, mittetsentraalset (st ilma sümmeetriakeskmeta) pinda.

Kanoonilised paraboolvõrrandid Descartes'i koordinaatides:

· kui a ja b on sama märgiga, siis nimetatakse paraboloidi elliptiliseks.

· kui a ja b märgid on erinevad, siis nimetatakse paraboloidi hüperboolseks.

Kui üks koefitsientidest on võrdne nulliga, nimetatakse paraboloidi paraboolsilindriks.

ü on elliptiline paraboloid, kus a ja b on sama märgiga. Pinda kirjeldab paralleelsete ülespoole suunatud okstega paraboolide perekond, mille tipud kirjeldavad parabooli, kusjuures oksad on samuti suunatud ülespoole. Kui a = b, siis elliptiline parabool on pöördepind, mis tekib parabooli pöörlemisel ümber antud parabooli tippu läbiva vertikaaltelje.

ü on hüperboolne paraboloid.

Ümber selle telje saate tavalise elliptilise kuju. See on õõnes isomeetriline keha, mille lõigud on ellipsid ja paraboolid. Elliptiline paraboloid on esitatud järgmiselt:
x^2/a^2+y^2/b^2=2z
Kõik paraboloidi peamised lõigud on paraboolid. XOZ ja YOZ tasapindade lõikamisel saadakse ainult paraboolid. Kui joonistate Xoy tasapinna suhtes risti oleva lõigu, saate ellipsi. Lisaks on paraboolideks olevad lõigud antud järgmise kuju võrranditega:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=2z
Ellipsi lõigud on antud teiste võrranditega:
x^2 /a^2+y^2/b^2=2h
Elliptiline paraboloid, mille a=b, muutub pöördeparaboloidiks. Paraboloidi ehitusel on mitmeid funktsioone, mida tuleb arvesse võtta. Alustage toimingut aluse - funktsiooni graafiku joonise - ettevalmistamisega.

Paraboloidi ehitamise alustamiseks peate esmalt ehitama parabooli. Joonistage Oxzi tasapinnale parabool, nagu näidatud. Andke tulevasele paraboloidile teatud kõrgus. Selleks tõmmake sirgjoon nii, et see puudutaks parabooli ülemisi punkte ja oleks paralleelne härja teljega. Seejärel tõmmake Yoz tasapinnas parabool ja tõmmake sirgjoon. Saad kaks paraboloidset tasapinda, mis on üksteisega risti. Pärast seda ehitage Xoy tasapinnal rööpkülik, mis aitab joonistada ellipsi. Kirjutage sellesse rööpkülikusse ellips nii, et see puudutab kõiki selle külgi. Pärast neid teisendusi kustutage rööpkülik ja paraboloidi kolmemõõtmeline kujutis jääb alles.

Samuti on hüperboolne paraboloid, mis on rohkem nõgus kui elliptiline. Selle sektsioonides on ka paraboolid ja mõnel juhul hüperboolid. Peamised lõigud piki Oxzi ja Oyzi, nagu ka elliptilise paraboloidi omad, on paraboolid. Need on antud järgmise vormi võrranditega:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=-2z
Kui joonistate lõigu ümber hapniku telje, saate hüperbooli. Hüperboolse paraboloidi koostamisel juhinduge järgmisest võrrandist:
x^2/a^2-y^2/b^2=2z – hüperboolse paraboloidi võrrand

Algul konstrueerige Oxzi tasapinnal fikseeritud parabool. Joonistage Oyzi tasapinnas liikuv parabool. Pärast seda määrake paraboloidi h kõrgus. Selleks märgi fikseeritud paraboolile kaks punkti, mis on veel kahe liikuva parabooli tipud. Seejärel joonistage hüperboolide joonistamiseks teine ​​koordinaatsüsteem O"x"y. Selle koordinaatsüsteemi keskpunkt peaks ühtima paraboloidi kõrgusega. Pärast kõigi konstruktsioonide tegemist joonistage need kaks ülalmainitud liigutatavat parabooli nii, et need puudutaksid äärmuslikke punkte Tulemuseks on hüperboolne paraboloid.