Mõnikord on see probleemi seisundis otseselt märgitud, kuid enamasti peate läbi viima sõltumatu analüüsi. Siin puudub ühemõtteline juhtnöör ja sündmuste sõltuvuse või sõltumatuse fakt tuleneb loomulikust loogilisest arutlusest.

Ebajärjekindlate tõenäosuste liitmise teoreemide ülesanded
ja sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamine

Tõenäosusteooria tõeline klassika:

5. ülesanne

Kaks laskurit lasid sihtmärki kumbki ühe lasu. Esimese laskuri tabamise tõenäosus on 0,8, teisel - 0,6. Leidke tõenäosus, et:

a) märklauda tabab ainult üks laskur;
b) vähemalt üks laskuritest tabab märklauda.

Lahendus: Ühe laskuri tabamuse/visamata jätmise tõenäosus on ilmselgelt sõltumatu teise laskuri sooritusest.

Mõelge sündmustele:
– 1. laskur tabab märklauda;
– 2. laskur tabab märklauda.

Tingimuste järgi:.

Leiame vastupidiste sündmuste tõenäosused - et vastavad nooled jäävad vahele:

a) Mõelge sündmusele: - ainult üks laskur tabab märklauda. See sündmus koosneb kahest kokkusobimatust tulemusest:

1. laskur tabab ja 2. möödalaskmine
või
1. jääb vahele ja 2. lööb.

Keele peal sündmuste algebrad selle fakti saab kirjutada järgmiselt:

Esiteks kasutame kokkusobimatute sündmuste tõenäosuste liitmise teoreemi, seejärel sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise teoreemi:

on tõenäosus, et tuleb ainult üks tabamus.

b) Arvestage sündmust: - vähemalt üks laskuritest tabab märklauda.

Meetod üks: sündmus koosneb kahest kokkusobimatust tulemusest: üks inimene tabab ( sündmus ) või mõlemad nooled tabasid, tähistame viimast sündmust tähega . Sellel viisil:

Sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise teoreemi kohaselt:
on tõenäosus, et esimene laskur tabab ja 2. laskur tabab.

Vastavalt mitteühilduvate sündmuste tõenäosuste liitmise teoreemile:
on vähemalt ühe sihtmärgi tabamuse tõenäosus.

Teine meetod: kaaluge vastupidist sündmust: – mõlemad laskurid jäävad vahele.

Vastavalt mitteühilduvate sündmuste tõenäosuste korrutusteoreemile:

Tulemusena:

Pöörake erilist tähelepanu teisele meetodile - üldiselt on see ratsionaalsem.

Kolmas meetod: sündmused on ühised, mis tähendab, et nende summa väljendab sündmust "vähemalt üks laskur tabab märki" Autor ühissündmuste tõenäosuste liitmise teoreem ja sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise teoreem:

Kontrollime: sündmused ja (vastavalt 0, 1 ja 2 tabamust) moodustavad täieliku rühma, seega peab nende tõenäosuste summa olema võrdne ühega:
, mida tuli kontrollida.

Vastus:

Tõenäosusteooriat põhjalikult uurides puutute kokku kümnete militaristliku sisuga ülesannetega ja tüüpiliselt ei taha pärast seda enam kedagi maha lasta - ülesanded on peaaegu kingitus. Miks mitte muuta malli veelgi lihtsamaks? Lühendame kirjet:

Lahendus: vastavalt tingimusele: , on vastavate laskurite tabamise tõenäosus. Siis on nende möödalaskmise tõenäosus:

a) Vastavalt mitteühilduvate sündmuste tõenäosuste liitmise ja sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise teoreemidele:
on tõenäosus, et sihtmärki tabab ainult üks laskur.

b) Sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise teoreemi järgi:
on tõenäosus, et mõlemad laskurid eksivad.

Siis: on tõenäosus, et vähemalt üks laskuritest tabab märklauda.

Vastus:

Praktikas saate kasutada mis tahes disainivalikut. Muidugi lähevad nad palju sagedamini lühikest teed, kuid ei tohiks unustada 1. meetodit - kuigi see on pikem, on see sisukam - see on selles selgem, mida, miks ja miks liidab ja korrutab. Mõnel juhul on sobiv hübriidstiil, kui on mugav märkida ainult mõned sündmused suurtähtedega.

Sarnased ülesanded iseseisvaks lahenduseks:

6. ülesanne

Tulekahjusignalisatsiooni jaoks on paigaldatud kaks iseseisvalt töötavat andurit. Tõenäosus, et andur tulekahju ajal tööle hakkab, on esimese ja teise anduri puhul vastavalt 0,5 ja 0,7. Leidke tõenäosus, et tulekahju korral:

a) mõlemad andurid ebaõnnestuvad;
b) mõlemad andurid töötavad.
c) kasutades tervikrühma moodustavate sündmuste tõenäosuste liitmise teoreem, leidke tõenäosus, et tulekahju ajal töötab ainult üks andur. Kontrollige tulemust selle tõenäosuse otsese arvutamise teel (kasutades liitmise ja korrutamise teoreeme).

Siin on seadmete töö sõltumatus otseselt seisukorras välja toodud, mis, muide, on oluline täpsustus. Näidislahendus on kujundatud akadeemilises stiilis.

Mis siis, kui sarnase ülesande puhul on antud samad tõenäosused, näiteks 0,9 ja 0,9? Täpselt sama peate otsustama! (mida tegelikult on näites juba näidatud 2 mündiga)

Ülesanne 7

Tõenäosus tabada sihtmärki esimese laskuri poolt ühe lasuga on 0,8. Tõenäosus, et märklauda ei tabata pärast esimese ja teise laskuri ühe lasku, on 0,08. Kui suur on tõenäosus tabada sihtmärki teise laskuri poolt ühe lasuga?

Ülesanne 8

Töötaja juhib kolme masinat. Tõenäosus, et vahetuse ajal vajab esimene masin reguleerimist, on 0,3, teine ​​- 0,75, kolmas - 0,4. Leidke tõenäosus, et vahetuse ajal:

a) kõik masinad vajavad reguleerimist;
b) reguleerimist vajab ainult üks masin;
c) vähemalt üks masin vajab reguleerimist.

Lahendus: kuna tingimus ei ütle midagi ühe tehnoloogilise protsessi kohta, siis tuleks iga masina tööd pidada sõltumatuks teiste masinate tööst.

Analoogiliselt ülesandega nr 5 saab siin võtta arvesse sündmusi, mis seisnevad selles, et vastavad masinad vajavad vahetuse ajal reguleerimist, panna kirja tõenäosused , leida vastupidiste sündmuste tõenäosused jne. Kuid kolme objektiga ei taha ma tegelikult ülesannet niimoodi koostada - see osutub pikaks ja tüütuks. Seetõttu on siin märgatavalt tulusam kasutada "kiiret" stiili:

Tingimuse järgi: - tõenäosus, et vahetuse ajal vajavad vastavad masinad häälestamist. Siis on tõenäosus, et need ei vaja tähelepanu:

a) Sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise teoreemi järgi:
on tõenäosus, et vahetuse ajal vajavad kõik kolm masinat reguleerimist.

b) Sündmus "Vahetuse ajal vajab reguleerimist ainult üks masin" koosneb kolmest kokkusobimatust tulemusest:

1) 1. masin nõuab tähelepanu ja 2. masin ei nõua ja 3. masin ei nõua
või:
2) 1. masin ei nõua tähelepanu ja 2. masin nõuab ja 3. masin ei nõua
või:
3) 1. masin ei nõua tähelepanu ja 2. masin ei nõua ja 3. masin nõuab.

Vastavalt mitteühilduvuse tõenäosuste liitmise ja sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise teoreemidele:

- tõenäosus, et vahetuse ajal vajab reguleerimist ainult üks masin.

Ma arvan, et nüüdseks peaks teile olema selge, kust see väljend tuli

c) Arvutage tõenäosus, et masinad ei vaja reguleerimist, ja seejärel vastupidise sündmuse tõenäosus:
– asjaolu, et vähemalt üks masin vajab reguleerimist.

Vastus:

Ülesanne 9

Kolm püssi tulistasid sihtmärki. Ühe lasuga tabamise tõenäosus ainult esimesest relvast on 0,7, teisest - 0,6, kolmandast - 0,8. Leia tõenäosus, et: 1) vähemalt üks mürsk tabab sihtmärki; 2) sihtmärki tabab ainult kaks mürsku; 3) sihtmärki tabatakse vähemalt kaks korda.

Ülesanne 10

Laskja tabab sihtmärki sama tõenäosusega iga lasuga. Kui suur on see tõenäosus, kui vähemalt ühe tabamuse tõenäosus kolmel lasul on 0,973.

Lahendus: tähistab - tõenäosust tabada sihtmärki iga lasuga.
ja läbi - iga löögiga möödalaskmise tõenäosus.

Paneme sündmused kirja:
- 3 lasuga tabab laskur sihtmärki vähemalt korra;
- tulistaja eksib 3 korda.

Vastavalt tingimusele, siis vastupidise sündmuse tõenäosus:

Teisest küljest, sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise teoreemi kohaselt:

Sellel viisil:

- iga löögi korral möödalaskmise tõenäosus.

Tulemusena:
on iga löögi tabamise tõenäosus.

Vastus: 0,7

Lahendused ja vastused:

Ülesanne 2: Lahendus:kokku: 10 + 6 = 16 nuppu karbi kohta.
viisid, kuidas saate karbist 2 nuppu eemaldada;
viisid, kuidas saate eemaldada 2 punast nuppu;
kuidas saate eemaldada 2 sinist nuppu.
Klassikalise määratluse järgi:
on tõenäosus, et kastist tõmmatakse kaks punast nuppu;
on tõenäosus, et kastist tõmmatakse kaks sinist nuppu.

on tõenäosus, et kastist tõmmatakse kaks sama värvi nuppu.
Vastus : 0,5

Ülesanne 4: Lahendus: arvestage järgmiste sündmustega: - vastavalt 1., 2. ja 3. urnist loositakse valge pall. Klassikalise tõenäosuse määratluse kohaselt:

tõenäosused:

Siis on vastavatest urnidest musta palli tõmbamise tõenäosus:

a) Mõelge sündmusele: – Igast urnist loositakse välja 1 valge pall.
Seda sündmust väljendatakse tootena (1. urnist tõmmatakse BS väljajaBS kaevandatakse 2. urnistjaBS võetakse 3. urnist).

b) Mõelge sündmusele – Igast urnist loositakse välja 1 must pall.
Sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise teoreemi kohaselt:

Mõelge sündmusele Kõik kolm palli on sama värvi. See sündmus koosneb kahest kokkusobimatust tulemusest: (Ekstraheeritakse 3 valgetvõi3 musta palli)
Vastavalt mitteühilduvate sündmuste tõenäosuste liitmise teoreemile:

Vastus :

Ülesanne 6:Lahendus : kaaluge järgmisi sündmusi:
- tulekahju korral töötab 1. andur;
- tulekahju korral töötab 2. andur.
Tingimuse järgi:
Arvutame välja vastupidiste sündmuste tõenäosused:
ja 2. relvadja igatsema 3. kohaltvõi
tabas 1. kohaltja igatsema 2. kohaltja tabamus 3. püssistvõi
igatsema alates 1ja tabas 2. kohaltja 3. relvad.
Vastavalt mitteühilduvuse tõenäosuste liitmise ja sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise teoreemidele:

on tõenäosus, et sihtmärki tabab ainult kaks mürsku.

3) Sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise teoreemi järgi:
on tõenäosus, et kõik kolm mürsku tabavad sihtmärki.
Vastavalt mitteühilduvate sündmuste tõenäosuste liitmise teoreemile:
on tõenäosus, et sihtmärki tabatakse vähemalt kaks korda

Vastus :

Laskur laseb märklauda 3 korda. Ühe lasuga sihtmärgi tabamise tõenäosus on 0,8. ja sain parima vastuse

Vastus Vlad Vasiliev[guru]
0,8*0,8*0,2

Vastus alates Yura Kim[algaja]
Kui teil on vaja arvutada mitme sündmuse tõenäosus, mis kõik peavad toimuma (st esimene ja teine ​​ja kolmas jne peavad toimuma), siis peate kõigi nende sündmuste tõenäosused korrutama.
Kui teil on vaja arvutada mitme sündmuse tõenäosus, millest vähemalt üks peab toimuma (ehk peab toimuma kas esimene, või teine, või kolmas jne), siis peate liitma kõigi nende sündmuste tõenäosused.
Meie puhul peavad toimuma kõik sündmused: 1. lask – tabamus, 2. lask – tabamus, 3. lask – tabamus, 4. lask – möödalask.
Tõenäosus, et laskur eksib, s.t ei taba P=1-0,5=0,5.
Seejärel:
P=0,5*0,5*0,5*0,5=0,0625
Vastus: 0,0625

Vastus alates Anna Anna[algaja]
Tõenäosus, et tulistaja mööda läheb, on 1? 0,8 = 0,2. Tõenäosus, et laskur tabas märklaudu kahel esimesel korral, on 0,82 = 0,64. Kust alates on tõenäosus sündmuseks, kus laskur tabab esmalt märklaudu kaks korda ja eksib kolmandal korral, 0,64 0,2 = 0,128.

Probleem nr 19 ( OGE – 2015)

Lauamänguväljaks on 5x5 ruut, mille lahtrid on malemustris mustaks ja punaseks värvitud ning musti lahtreid on rohkem. Mängija viskab väljakule kiibi. Leidke tõenäosus, et see maandub punasele ruudule.

Lahendus

Lahtrite väljal kokku - 5 * 5 = 25.

Kuna musti rakke on rohkem ja lahtrid on maalitud ruudukujuliselt, on väljal 12 punast rakku ja 13 musta lahtrit.

Siis on tõenäosus, et kiip erütrotsüütidele maandub, P = 12/25 = 0,48.

Vastus: 0,48.

Enne jalgpallimatši algust viskab kohtunik mündi, et teha kindlaks, milline meeskond saab palli esimesena. Meeskond A peab mängima kaks matši – meeskonnaga B ja meeskonnaga C. Leidke tõenäosus, et meeskond A saab mõlemas matšis palli esimesena.

Lahendus

Tõenäosus, et meeskond A saab palli esimesena võistkonna B vastu, on 1/2.

Samamoodi on 1/2 tõenäosus, et meeskond A saab palli esimesena võistkonna C vastu.

Seetõttu on tõenäosus, et meeskond A saab mõlemas matšis esimesena palli, 1/2*1/2 = 1/4 = 0,25.

Vastus: 0,25.

Ülesanne nr 19 (OGE-2015 ettevalmistamine, koolitusvõimalused)

Masha viskas maha 3 erineva nimiväärtusega münti. Kui suur on tõenäosus, et välja tõmmatud "kotkaste" arv erineb tõmmatud "sabade" arvust 1 võrra?

Lahendus

Vaatleme kõiki võimalikke variante.

kui "sabad" on P, "pead" on O. Siis on võimalikud järgmised kombinatsioonid:

LLC ORO ORR OOR ROO ROR RRO RRR

Seega on kokku 8 võimalust.

Neist meile sobivad 6 (ORO ORR OOR ROO ROR RRO).

Siis on soovitud tõenäosus P = 6/8 = 0,75.

Vastus: 0,75.

Ülesanne nr 19 (OGE-2015 ettevalmistamine, koolitusvõimalused)

Laskur laseb märklauda 3 korda. Ühe lasuga sihtmärgi tabamise tõenäosus on 0,8. Leidke tõenäosus, et laskur tabas sihtmärki esimesed 2 korda ja eksis viimasel korral.

Laskur laseb märklauda 3 korda. Ühe lasuga sihtmärgi tabamise tõenäosus on 0,8. Leidke tõenäosus, et laskur tabas sihtmärki esimesed 2 korda ja eksis viimasel korral.

Tõenäosuse korrutamise teoreem

Kolme sõltumatu sündmuse P(ABC) esinemise tõenäosuse leidmiseks on vaja arvutada nende sündmuste tõenäosuste korrutis:

P(ABC) = P(A) * P(B) * P(C);

Laske sündmustel:

• A - esimene lask sihtmärki;
• B - teine ​​lask sihtmärki;
• C – kolmas lask sihtmärki.

Leidke iga sündmuse tõenäosus

1. P(A) = 0,8;

Tingimuse järgi öeldakse, et esimese lasu sooritamisel peab laskur tabama märklauda, ​​seisukorrast märklaua tabamise tõenäosus on 0,8, siis P(A) = 0,8.

Teisel lasul peab laskur tabama ka märklauda, ​​samamoodi tõenäosus P(B) = 0,8.

Tingimusest kolmanda lasu sooritamisel peab laskur eksima. Möödajäämise tõenäosus P(C) on tabamuse pöördväärtus ja see arvutatakse järgmiselt:

• P(C) = 1 - (tabamuse tõenäosus);
• P(C) = 1 - 0,8 = 0,2;

Arvestage toodet

Tõenäosuse leidmiseks on vaja kõik eelnevalt leitud tõenäosused korrutada:

• P(ABC) = P(A) * P(B) * P(C);
• P(ABC) = 0,8 * 0,8 * 0,2 = 0,128;
• P(ABC) = 0,128 * 100% = 12,8%.

Probleemi lahendus:

Etteantud tõenäosuse leidmiseks peate iga juhtumi korral tulemuse tõenäosused korrutama.

Juhtum 1 – tulistaja tabas. Tõenäosus on 0,8.

Juhtum 2 – tulistaja tabas. Tõenäosus on 0,8.

Juhtum 3 – tulistaja ei tabanud. Tõenäosus on 0,2.

Seega on tõenäosus tabada kahel esimesel lasul ja puududa kolmandal:

0,8 * 0,8 * 0,2 = 0,128 või 12,8%

Vastus: Esimesel kahel lasul tabamise ja kolmandal möödalaskmise tõenäosus on 0,128 ehk 12,8%.

Tõenäosusteooria.

Laskmismissioonid.

№ 1. Laskur laseb märklauda ühe korra. Möödalaskmise korral laseb laskur samasse märklauda teise lasu. Ühe lasuga sihtmärgi tabamise tõenäosus on 0,8. Leidke tõenäosus, et sihtmärk tabatakse (kas esimese või teise lasuga).

Lahendus. Esimene viis.

Las A - sündmus, mis seisneb selles, et laskur tabab sihtmärki esimesest lasust, B - sündmus, mis seisneb selles, et märklauda tabatakse teisest lasust. Sündmuse tõenäosusA võrdub P (A) \u003d P 1 (A) \u003d 0,8. Sündmus B tekib siis, kui laskur esimest korda laskmisel mööda lasiP 1 () \u003d 1 - 0,8 \u003d 0,2 ja teist korda tulistades tabas P 2 (A ) = 0,8. Need on sõltumatud sündmused, nende tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste korrutisega: P (B ) = P 1 () ∙ P 2 (A ) = 0,2 0,8 = 0,16. Arengud A ja B kokkusobimatu, on nende summa tõenäosus võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga:P(A+ B) = P(A) + P(B) = 0,8 + 0,16 = 0,96.

Vastus: 0,96.

Teine viis.LaseAühe lasuga, B- sündmus, mis seisneb selles, et sihtmärki tabatakse (kas esimene või teine ​​lask).

Kuna ühe lasuga sihtmärgi tabamise tõenäosus on 0,8, see tähendab,P( A) = 0,8, siis tõenäosus, et esimest korda tulistades eksis laskur, on võrdne P-ga 1 () = 1 - 0,8 = 0,2. Tõenäosus, et tulistaja eksib teistkordsel tulistamisel, on võrdne P-ga 2 () = 1 - 0,8 = 0,2. Tõenäosus, et tulistaja eksis mõlemal korral on võrdne P-ga 1 () ∙ P 2 () = 0,2∙0,2 = 0,04. Vastupidise sündmuse tõenäosus (see ei lähe vähemalt korra vahele) on võrdneP( B)= 1 – 0,04 = 0,96.

Vastus: 0,96.

№ 2. Laskur laseb märklauda 4 korda. Ühe lasuga sihtmärgi tabamise tõenäosus on 0,7. Leidke tõenäosus, et tulistaja tabas esimesena.

tabas sihtmärki ja eksis viimased 3 korda.

Lahendus.LaseA- sündmus, mis seisneb selles, et laskur tabab sihtmärkiühe lasuga, B

Kuna ühe lasuga sihtmärgi tabamise tõenäosus on 0,7, siis esimese lasuga tabamise tõenäosus onP 1 ( A) \u003d 0,7, siis tõenäosus, et teist korda tulistades jättis tulistaja mööda, on võrdne P-ga 2 () = 1 - 0,7 = 0,3. Tõenäosus, et tulistaja eksib kolmandat korda tulistades, on võrdne P-ga 3 () = 1 - 0,8 = 0,2. Tõenäosus, et laskur eksib neljandal lasul on võrdne P-ga 3 () = 1 - 0,8 = 0,2. Kõik üritused on sõltumatud. Tõenäosus, et laskur tabab sihtmärki esimest korda ja viimast

3 korda vahele jäänud.P( B)= P 1 ( A)∙ P 2 ()∙ P 3 ()∙ P 4 () = 0,7∙0,3∙0,3∙0.3 = 0,0189

Vastus: 0,0189.

№ 3. Tõenäosus tabada sihtmärki ühe lasuga esimesel laskuril on 0,7 ja teisel - 0,8. Leidke tõenäosus, et ühes löögis tabab sihtmärki ainult üks laskuritest.

Lahendus.LaseA 1 A 2 FROM -tabas ainult ühte tulistajatest, see tähendab(esimene tabamus ja teine ​​tabamus) või (esimene möödalask ja teine ​​tabamus).

1
p()=1-p(A 1 )=1- 0,7 = 0,3.

2
p()=1-p(A 2 )=1 - 0,8 = 0,2.
p(C) = p(A 1 )∙p () + p(A 2 )∙р () = 0,7∙0,2 + 0,8∙0,3 = 0,38

Vastus on 0,38.

№ 4. Igaüks kolmest laskurist laseb sihtmärki ühe korra ja 1 laskuri tabamise tõenäosus on 80%, teine ​​- 70%, kolmas - 60%. Leidke tõenäosus, et kaks laskurit kolmest tabab märklauda.

Lahendus.

LaseA 1 - juhtum, kui sihtmärki tabab esimene laskur,A 2 - sündmus, kui märklauda tabab teine ​​laskur.A 3 FROM -sündmus, mis seisneb selles, et sihtmärkainult tabaskaks kolmestlaskuritelt,

Esimese laskuri märklaua tabamise tõenäosus p(A 1 )=0,8, selle möödalaskmise tõenäosus
p()=1-p(A 1 )=1- 0,8 = 0,2.

Teise laskuri sihtmärgi tabamise tõenäosus p (A 2 )=0,7, selle möödalaskmise tõenäosus
p()=1-p(A 2 )=1 – 0,7 = 0,3.

3
p()=1-p(A 2 )=1 – 0,6 = 0,4.

Tõenäosuse arvutamiseks (kaks tabamust kolmest) peate arvutama tõenäosused, kui:
1. Ainult esimene laskur eksis ning teine ​​ja kolmas tabamus.
2. Ainult teine ​​laskur tabas mööda, esimene ja kolmas tabamus.
3. Ainult kolmas laskur eksis ning esimene ja teine ​​tabamus.
Tõenäosus, et ainult esimene laskur tabas mööda ning teine ​​ja kolmas tabamus:P 1 = p ()∙ p (A 2 )∙ p (A 3 )= 0,2∙0,7∙0,6 = 0,084.
Tõenäosus, et tabas ainult teine ​​laskur ning esimene ja kolmas tabamusP 2 = p(A 1 ) ∙ r () r (A 3 )= 0,8∙0,3∙0,6 = 0,144.
Tõenäosus, et tabas ainult kolmas laskur ning esimene ja teine ​​tabamusP 3 = p(A 1 ) ∙ p (A 2 ) ∙ p () = 0,8∙0,7∙0,4 = 0,224.
Siit ka tõenäosus (2 tabamust 3-st)p(C)= P 1 + P 2 + P 3 = 0,084+0,144+0,224 = 0,452
Vastus: 0,452

№5. Laskur laseb märklauda 3 korda. Sihtmärgi tabamise tõenäosusüks löök on 0,8. Leidke tõenäosus, et tulistaja tabab 2 esimest korda

Lahendus.LaseA- sündmus, mis seisneb selles, et laskur tabab sihtmärkiühe lasuga, B- sündmus, mis seisneb sihtmärgi tabamises.

Kuna ühe lasuga sihtmärgi tabamise tõenäosus on 0,8, siis esimese lasuga tabamise tõenäosus onP 1 ( A) = 0,8, teise lasu tabamise tõenäosus onP 2 ( A) \u003d 0,8, tõenäosus, et kolmandat korda tulistades jättis tulistaja mööda, on võrdne P-ga 3 () = 1 - 0,8 = 0,2.

Kõik üritused on sõltumatud. Tõenäosus, etet tulistaja tabas 2 esimest kordasihtmärgil ja viimane kord, kui ta eksis.

P( B)= P 1 ( A)∙ P 2 (A)∙P 3 () = 0,8∙0,8∙0,2 = 0,128

Vastus: 0,128

№ 6. Laskesuusataja laseb märklauda 5 korda. Ühe lasuga sihtmärgi tabamise tõenäosus on 0,8.Kui suur on tõenäosus, et ta tabas sihtmärki 4 korda ja eksis ühe korra?

Lahendus.

Ta võis mööda lasta esimese, teise, ..viienda löögiga.
HOOOOO; OHOOOO; OOHOO; OOOHO; OOOOH.
Iga tulemuse tõenäosus on 0,8 4 ∙ 0,2 .
Tõenäosuste summeerimine: p = 5∙(0,8 4 ∙ 0,2) = 0,8 4 = 0,4096.
Vastus on 0,4096.

№ 7. Kolm noolt tulistavad sihtmärki. Esimese, teise ja kolmanda laskuri märklaua tabamise tõenäosus on vastavalt 0,6; 0,7 ja 0,75; Määrake vähemalt ühe sihtmärgi tabamuse tõenäosus, kui iga laskur tulistab ühe lasu.

Lahendus.

LaseA 1 - juhtum, kui sihtmärki tabab esimene laskur,A 2 - sündmus, kui märklauda tabab teine ​​laskur.A 3 - sündmus, kui märklauda tabab kolmas laskur.FROM -sündmus, mis seisneb selles, et sihtmärktabanud vähemalt korra.

Esimese laskuri märklaua tabamise tõenäosus p(A 1 )=0,6, selle möödalaskmise tõenäosus
p()=1-p(A 1 )=1- 0,6 = 0,4.

Teise laskuri sihtmärgi tabamise tõenäosus p (A 2 )=0,7, selle möödalaskmise tõenäosus
p()=1-p(A 2 )=1 – 0,7 = 0,3.

Tõenäosus tabada sihtmärki kolmanda laskuri poolt p(A 3 )=0,75, tema möödalaskmise tõenäosus
p()=1-p(A 2 )=1 – 0,75= 0,25.

Arvutame sündmuse tõenäosuse: keegi ei tabanud (st kõik jäid vahele):

P=p () ∙ p () ∙ p () \u003d 0,4 ∙ 0,3 ∙ 0,25 \u003d 0,03.
Tõenäosus tabada sihtmärki vähemalt üks, kui iga laskur sooritab ühe lasup (C) \u003d 1 - P = 1 - 0,03 \u003d 0,97.

Vastus on 0,97.

№ 8. Kolm laskurit lasevad ükshaaval märklauda. Esimese tabamise tõenäosus on 0,8. Teine - 0,75. Kolmas 0,7.
Kui suur on tõenäosus, et kõik kolm laskurit tabavad?

Lahendus.

LaseA 1 - juhtum, kui sihtmärki tabab esimene laskur,A 2 - sündmus, mis seisneb selles, et märklauda tabab teine ​​laskur.A 3 - sündmus, mis seisneb selles, et märklauda tabab kolmas laskur.FROM -sündmus, mis seisneb selles, et sihtmärktabas kõiki kolme noolt.

Esimese laskuri märklaua tabamise tõenäosus p(A 1 )=0,8. Teise laskuri sihtmärgi tabamise tõenäosus p (A 2 )=0,75. Tõenäosus tabada sihtmärki kolmanda laskuri poolt p(A 3 )=0,7.

Tõenäosus, et sihtmärkvajuta kõiki kolme noolt:

p(C) = p(A 1 )∙ p (A 1 )∙ p (A 1 )=0,8∙0,75∙0,7= 0,42

Vastus. 0,42.

№ 9. Kauboi John lööb kärbse seinale tõenäosusega 0,9 kui võrsed

laskerevolvrist. Kui John tulistab nägematust revolvrist, tabab ta kärbest tõenäosusega 0,2. Laual on 10 revolvrit, millest ainult 4 lastakse. Kauboi John näeb seinal kärbest, haarab juhuslikult esimese ettejuhtuva revolvri ja tulistab kärbse pihta. Leidke tõenäosus, et John jätab vahele.

Lahendus.1 viis.

LaseA 1 - sündmus, mis seisneb selles, et kauboi lööb revolvri maha,A 2 AT 1 AT 2 - sündmus, mis seisneb selles, et kauboi tabab nägematust revolvrist kärbest.FROM -sündmus, mida John vahele ei jäta.

Tõenäosus, et kauboi haarab paukrevolvri, on p(A 1) = 0,4. Tõenäosus, et kauboi tabab nägeva revolvriga kärbest, on p(B1) = 0,9. Tõenäosus, et revolver tabab ja John tabab, on P 1 \u003d p (A 1) ∙ p (B 1) \u003d 0,4 0,9 \u003d 0,36.

Tõenäosus, et kauboi haarab nägematu revolvri, on p(A 2) = 0,6. Tõenäosus, et kauboi tabab nägematu revolvriga kärbest, on p(B2) = 0,2. Tõenäosus, et nägematu revolver tabab ja John tabab, on P 1 = p (A 2) ∙ p (B 2) \u003d 0,6 0,2 \u003d 0,12.

Tõenäosus, etJohn ei jäta p(C) = P vahele 1 + P 2 = 0,36 +0,12 = 0,48.

Vastupidise sündmuse tõenäosus, et John jätab vahele p()= 1 – p(C) = 1 – 0,48 = 0,52.

Vastus. 0,52.

2 viis.

LaseA 1 - sündmus, mis seisneb selles, et kauboi lööb revolvri maha.A 2 - sündmus, mis seisneb selles, et kauboi võtab nägematu revolvri.AT 1 - sündmus, mis seisneb selles, et kauboi tabab lendrevolvrist kärbest.AT 2 - sündmus, mis seisneb selles, et kauboi tabab nägematust revolvrist kärbest. - sündmus, mis seisneb selles, et kauboi jätab nägeva revolvri vahele. - sündmus, mis seisneb selles, et kauboi jääb nägemata revolvrist vahele.FROM -sündmus, mida John igatseb.

Tõenäosus, et kauboi haarab paukrevolvri, on p(A 1) = 0,4. Tõenäosus, et kauboi tabab kärbest nägemisrevolvrist p (B 1) \u003d 0,9, möödalaskmise tõenäosus P () = 1 - p (B 1) \u003d 1 - 0,9 \u003d 0,1. Tõenäosus, et revolvrit tabatakse ja John mööda läheb, on P 1 = p (A 1)∙ p () = 0,4∙0,1 = 0,04.

Tõenäosus, et kauboi haarab nägematu revolvri, on p(A 2) = 0,6. Tõenäosus, et kauboi tabab nägematust revolvrist kärbest p (B 2) \u003d 0,2, möödalaskmise tõenäosus P () = 1 - p (B 1) \u003d 1 - 0,2 \u003d 0,8. Tõenäosus, et nägematu revolver saab pihta ja John jääb mööda, on P 2 = p (A 2) ∙ p () = 0,6∙0,8= 0,48.

Tõenäosus, et John jätab vahele p(C) = P 1 + P 2 = 0,04 +0,48 = 0,52.

Vastus. 0,52.

№10. Suurtükitulistamise ajal sooritab automaatsüsteem lasu sihtmärki. Kui sihtmärki ei hävitata, laseb süsteem uuesti. Laske korratakse, kuni sihtmärk on hävitatud. Teatud sihtmärgi hävitamise tõenäosus esimese lasuga on 0,4 ja iga järgneva lasuga 0,6. Mitu lasku on vaja selleks, et sihtmärgi hävitamise tõenäosus oleks vähemalt 0,98?

Lahendus. Sõnastame küsimuse ümber:

Mitu võtet oleks vaja, et möödalaskmise tõenäosus oleks väiksem kui 1 -0,98 = 0,02?

Esimesel lasul on möödalaskmise tõenäosus 1-0,4 = 0,6.

Iga järgmise löögiga on möödalaskmise tõenäosus 1 - 0,6 = 0,4.

Kahe löögiga möödalaskmise tõenäosus0,6∙0,4 = 0,24 (Esimene löök läheb mööda ja teine ​​lask mööda).

Kolme löögiga möödalaskmise tõenäosus

0,6∙0,4∙0,4 = 0,096

Nelja löögiga möödalaskmise tõenäosus

0,6∙0,4∙0,4 ∙0,4= 0,0384

Viie löögiga möödalaskmise tõenäosus

0,6∙0,4∙0,4 ∙0,4∙0,4 = 0,01536

Märkame, et 0.015360.2

Seega piisab viiest lasust, et sihtmärgi hävitamise tõenäosus oleks vähemalt 0,98.

Vastus: 5.

№11. Suurtükitulistamise ajal sooritab automaatsüsteem lasu sihtmärki. Kui sihtmärki ei hävitata, laseb süsteem uuesti. Laske korratakse, kuni sihtmärk on hävitatud. Teatud sihtmärgi hävitamise tõenäosus esimese lasuga on 0,6 ja iga järgneva lasuga 0,8. Mitu lasku on vaja selleks, et sihtmärgi hävitamise tõenäosus oleks vähemalt 0,95?

Ükskõik kui palju lasku tehakse, on kõik need sündmused (iga üksiklask) sõltumatud. Kui sõltumatud sündmused (antud juhul võtete rühm) toimuvad samaaegselt, võrdub sellise sündmuse tõenäosus nende sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutisega.

Tõenäosus tabada sihtmärki esimesel lasul on 0,6.

Seega on tõenäosus esimesest löögist mööda lasta 0,4.

Tõenäosus tabada sihtmärki iga järgneva lasuga (sekundiline jne) on 0,8.

See tähendab, et iga järgneva löögi korral on möödalaskmise tõenäosus 0,2.

Tuleb esitada küsimus: kuidas saab sihtmärki tabada?

Sihtmärki saab tabada kas esimese lasuga või teise lasuga või kolmanda, neljanda või viienda lasuga jne. …

Kõik loetletud sündmused on sõltumatud. Leiame nende tõenäosused.

Esmalt:

Lüüasaamise tõenäosus on 0,6.

Teise jaoks:

Lüüasaamise tõenäosus on 0,4 ∙ 0,8 = 0,32 (jäetud vahele).

See tähendab, et tõenäosus tabada sihtmärki mitte rohkem kui kahe lasuga on 0,6 + 0,32 = 0,92< 0,95

Kolmandal:

Lüüasaamise tõenäosus on 0,4 ∙ 0,2 ∙ 0,8 = 0,064 (löögi järgi).

See tähendab, et tõenäosus tabada sihtmärki mitte rohkem kui kolme lasuga on 0,6 + 0,32 + 0,064 = 0,984 > 0,95

Seega on vaja teha kolm lasku nii, et sihtmärk tabataks tõenäosusega vähemalt 0,95.

Vastus: 3

№ 12. Sihtmärgi tabamise tõenäosus on 0,6. Tehti kolm lasku. Kui suur on tõenäosus, et sihtmärki tabati vähemalt kaks korda?

Lahendus:

Tõenäosus, et kõik kolm lasku tabavad sihtmärki, on P 1 =0,6 3 =0,216.

Tõenäosus, et sihtmärk tabatakse kaks korda, on P 2 =3 ∙ (0,4 ∙ 0,6 ∙ 0,6)=3 ∙ 0,144 = 0,432. Siin korrutasime 3-ga, sest võimalikud on kolm võimalust (löök - ei tabanud - tabas, tabas - tabas - ei tabanud ja ei tabanud-löö-löök). Siis on soovitud tõenäosus võrdne P=P1+P 2 =0,216 +0,432 = 0,648.

Vastus on 0,648.