Види рівноваги. Центр важкості. Умови рівноваги твердого тіла

У механіці часто виникає питання, в яких положеннях тіло, на яке діє сила тяжіння, може скільки завгодно довго залишатися у спокої, якщо воно перебувало у спокої у початковий момент. Очевидно, для цього сили, що діють на тіло, мають взаємно врівноважуватись. Положення, у яких сили, які діють тіло, взаємно врівноважуються, називають положеннями рівноваги.

Але практично не в будь-якому положенні рівноваги тіло, що знаходилося в початковий момент у спокої, дійсно залишатиметься у спокої та в подальший час.

Справа в тому, що в реальних умовах, крім враховуваних нами сил (сила тяжіння, сила реакції підвісу, опори, осі тощо), на тіло діють і випадкові непереборні сили, що не враховуються: невеликі струси, коливання повітря і т. д. Під дією таких сил тіло буде хоча б трохи відхилятися від положення рівноваги, а в цьому випадку подальша поведінка тіла може бути різною.

У разі відхилення тіла від положення рівноваги сили, що діють на нього, як правило, зміниться і рівновага сил порушиться. Змінені сили викликатимуть рух тіла. Якщо ці сили такі, що під їх дією тіло повертається до положення рівноваги, то тіло, незважаючи на випадкові поштовхи, все-таки залишатиметься поблизу положення рівноваги. У цьому випадку ми говоримо про стійку рівновагу тіла. В інших випадках сили, що змінилися, такі, що вони викликають подальше відхилення тіла від положення рівноваги. Тоді буде достатньо найменшого поштовху, щоб сили, що змінилися, стали все більше відхиляти тіло від положення рівноваги; тіло вже не залишатиметься поблизу положення рівноваги, а піде від нього. Таке становище рівноваги називають нестійким.

Отже, для стійкості необхідно, щоб при відхиленні тіла від рівноваги виникали сили, що повертають тіло до початкового положення. Таке, наприклад, положення кульки на увігнутій підставці (рис. 131, а): при відхиленні кульки від положення рівноваги (найнижче положення) рівнодіюча сили реакції підставки і сили тяжіння повертає кульку до положення рівноваги: ​​рівновага стійка. У разі ж опуклої підставки (рис. 131 б) рівнодіюча видаляє кульку від положення рівноваги (найвище положення): рівновага нестійка.

Мал. 131. Стійка (а), нестійка (б) та байдужа (в) рівновага кульки на поверхні

Іншим прикладом може бути рівновага тіла, підвішеного в одній точці. Визначаючи положення центру тяжіння за способом підвішування, описаним у попередньому параграфі, ми завжди виявимо, що центр тяжіння лежить нижче точки підвісу і обов'язково на одній вертикалі з нею, оскільки інакше сила натягу нитки не могла б врівноважити силу тяжіння (рис. 132, а ). Тим часом сила тяжіння та сила натягу нитки можуть врівноважити один одного також і в тому випадку, коли центр тяжіння лежить на вертикалі над точкою підвісу (рис. 132, б). Дійсно, і в цьому випадку сила тяжіння і рівна їй за модулем сила натягу нитки врівноважували б одна одну. Однак, як легко переконатися на досвіді, підвішування тіла воно не залишатиметься в цьому другому положенні рівноваги. Хоча обидва випадки відповідають положенням рівноваги, але практично можна здійснити лише один із них – перший.

Мал. 132. а) Положення рівноваги при центрі ваги, розташованому нижче точки підвісу. б) Положення рівноваги при центрі ваги, розташованому вище точки підвісу. в) При відхиленні тіла з положення а) сила тяжкості створює момент, що повертає тіло в положення рівноваги. г) При відхиленні тіла з становища б) сила тяжіння створює момент, який віддаляє тіло від положення рівноваги

Причина цього в тому, що якщо тіло трохи відхилити від першого положення (рис. 132, в), то сила тяжіння створить момент, що обертає, щодо точки підвісу, який буде повертати тіло назад. Це - становище стійкої рівноваги. Навпаки, при відхиленні тіла від другого положення рівноваги (рис. 132, г) сила видалятиме його від цього положення. Це – становище нестійкої рівноваги. Зустрічаються і проміжні випадки рівноваги: ​​якщо кулька лежить на горизонтальній опорі, то зміщення кульки взагалі не порушує рівноваги, оскільки сила тяжіння і сила, що діє з боку площини, врівноважують один одного за будь-якого положення кульки. Таку рівновагу ми називаємо байдужою (рис. 131, е).

Інший приклад байдужої рівноваги – тіло, закріплене на горизонтальній або похилій осі, що проходить через центр тяжкості цього тіла. При повороті такого тіла навколо осі момент сили тяжіння щодо осі постійно залишається рівним нулю (сила тяжіння проходить через вісь обертання), і тіло залишається в рівновазі в будь-якому положенні. Цим користуються для перевірки правильності виготовлення коліс, якір генераторів електричного струмуі т. д. У точно виготовленому колесі центр ваги повинен лежати на осі. Тому точно зроблене колесо, вісь якого може обертатися в підшипниках, має залишатися в рівновазі за будь-якого повороту осі. Якщо воно саме повертається весь час в якесь одне положення, це вказує, що колесо не збалансоване, тобто центр тяжіння його не лежить точно на осі.

Тіло, закріплене на вертикальній осі, завжди знаходиться в байдужій рівновазі під дією сили тяжіння, незалежно від того, проходить вісь через центр тяжіння чи ні.

82.1. Випробуйте, в якому положенні рівноваги встановлюється переднє велосипедне колесо, якщо велосипед підняти. Що треба зробити для того, щоб колесо знаходилося в стані байдужої рівноваги?

1. Статика -
Розділ механіки, що вивчає умови рівноваги тіл, називається статикою.

2. Стійке
Рівнавага, при якому виведене з положення рівноваги тіло знову до нього повертається, називається стійким.

При стійкій рівновазі центр ваги тіла
Розташований нижче осі обертання і знаходиться на прямій вертикальній, що проходить через цю вісь.

3. Нестійка рівновага
Рівнову, при якій виведене з рівноваги тіло не повертається до початкового положення, називають нестійким.

4. байдужа рівновага
При відхиленні чи переміщенні тіла воно залишається у рівновазі.

5. За допомогою малюнка поясніть залежність стійкості тіла від положення його центру ваги.

6. Стійкість тіла залежить від
Кута нахилу.

7. Яке із двох положень платівки більш стійке? Чому?

Щоб судити про поведінку тіла в реальних умовах, мало знати, що воно знаходиться в рівновазі. Потрібно ще оцінити цю рівновагу. Розрізняють стійку, нестійку та байдужу рівновагу.

Рівновагу тіла називають стійкимякщо при відхиленні від нього виникають сили, що повертають тіло в положення рівноваги (рис. 1 положення 2). У стійкому рівновазі центр тяжкості тіла займає найнижчий з усіх близьких положень. Становище стійкого рівноваги пов'язані з мінімумом потенційної енергіїпо відношенню до всіх близьких сусідніх положень тіла.

Рівновагу тіла називають нестійким, якщо при незначному відхиленні від нього рівнодіючи сил, що діють на тіло, викликає подальше відхилення тіла від положення рівноваги (рис. 1 положення 1). У положенні нестійкої рівноваги висота центру тяжкості максимальна і максимальна потенційна енергія по відношенню до інших близьких положень тіла.

Рівновага, при якому зсув тіла в будь-якому напрямку не викликає зміни діючих на нього сил і рівновага тіла зберігається, називають байдужим(Рис. 1 положення 3).

Байдужна рівновага пов'язана з незмінною потенційною енергією всіх близьких станів, і висота центру ваги однакова у всіх досить близьких положеннях.

Тіло, що має вісь обертання (наприклад, однорідна лінійка, яка може обертатися навколо осі, що проходить через точку О, зображена на малюнку 2), знаходиться в рівновазі, якщо пряма вертикальна, що проходить через центр тяжіння тіла, проходить через вісь обертання. Причому якщо центр тяжкості вище осі обертання (рис. 2,1), то при будь-якому відхиленні від положення рівноваги потенційна енергія зменшується і момент сили тяжіння щодо осі Про відхиляє тіло далі від положення рівноваги. Це нестійке становище рівноваги. Якщо центр ваги знаходиться нижче осі обертання (рис. 2,2), то стійка рівновага. Якщо центр тяжкості та вісь обертання збігаються (рис. 2,3), то положення рівноваги байдуже.

Тіло, що має площу опори, знаходиться в рівновазі, якщо вертикальна пряма, що проходить через центр ваги тіла, не виходить за межі площі опори цього тіла, тобто. За межі контуру утвореного точками зіткнення тіла з опорою Рівновага в цьому випадку залежить не тільки від відстані між центром тяжкості та опорою (тобто від його потенційної енергії в гравітаційному полі Землі), а й від розташування та розмірів площі опори цього тіла.

На малюнку 2 зображено тіло, що має форму циліндра. Якщо його нахилити на малий кут, то воно повернеться до вихідне становище 1 або 2. Якщо його відхилити на кут (положення 3), тіло перекинеться. При заданій масі та площі опори стійкість тіла тим вища, що нижчий розташований його центр ваги, тобто. чим менше кут між прямою, що з'єднує центр ваги тіла і крайню точку зіткнення площі опори з горизонтальною площиною.

У VIII класі вирішують завдання, в яких центр тяжкості знаходять або на досвіді, або геометричним або аналітичним шляхом. Корисно також вирішити низку завдань декількома способами, щоб переконати учнів у тому правомірності. Поняття про центр тяжіння використовують потім під час вирішення завдань про види рівноваги та стійкості тіл. Для визначення стійкості тіла, що має площу опори, використовують правило про положення схилу, опущеного з центру тяжіння. Це правило слід обґрунтувати, використовуючи відомості про рівновагу тіла, що має вісь обертання.

417. Визначте на досвіді та обґрунтуйте теоретично положення центру тяжкості кола, прямокутника та трикутника, вирізаних із картону.

418. Де розташований центр ваги олівця, обруча? Чи завжди центр ваги розташовується усередині тіла?

419 (е). Використовуючи спиці та нитки, визначте центр ваги картоплини або буряків.

Рішення. Картопліну підвішують двічі-тричі в різних положеннях і протикають у напрямку нитки спицею. Розрізавши картоплину, виявляють, що всі отвори сходяться в одній точці – центрі тяжіння.

420 (е). За допомогою мідних монет визначте вагу лінійки.

Рішення. На кінець лінійки кладуть монети та врівноважують, як показано на малюнку 100, а. З малюнка видно, що . Вага лінійки чисельно дорівнює

До завдань цього учні нерідко роблять креслення,

подібні до зображеного на малюнку 100, б, і при рішенні враховують вагу важеля по обидві сторони від точки опори. У цьому немає потреби, оскільки рівнодіюча сил дорівнює вазі тіла і прикладена до центру тяжкості.

421. Знайти центр ваги двох вантажів по 4 та 1 н (рис. 101). Відстань між центрами вантажів вагою сполучного стрижня знехтувати.

Рішення 1. Центр тяжкості О - точка докладання рівнодіючої паралельних сил поділяє відстань на відрізки, обернено пропорційні силам. Тому

Рішення 2. Вантажі залишаться в рівновазі, якщо стрижень підперти в центрі тяжкості - точці, звідки або

Для завдань, у яких знаходять центр тяжіння двох тіл, обидва рішення є рівноцінними. Але якщо потрібно визначити центр тяжкості трьох або більше тіл, то рішення першим способом вимагатиме послідовного попарного складання всіх сил, що є нераціональним. Тому краще завданняцього вирішувати другим способом.

422. Де знаходиться центр ваги валу з двома шківами (рис. 102)? Довжина валу між шківами товщина шківів а вага валу і шківів відповідно дорівнює Відповідь дати з точністю до трьох значущих цифр. .

Рішення. Покажемо на кресленні напрямок і точки застосування сил тяжіння Центр тяжіння лежить між точками А і В. Система знаходиться в

рівноваги, отже, Взявши до уваги товщину шківів отримаємо: звідки див.

423. З однорідної круглої пластинки з радіусом вирізане коло вдвічі меншого радіусу, що стосується першого кола. Знайти центр ваги отриманої платівки.

Рішення 1. Розіб'ємо фігуру на частини, виділивши пунктиром коло, як показано на малюнку 103, а, і застосуємо той самий метод, що й у попередньому завданні, вважаючи сили тяжіння, що діють на окремі частини фігури, пропорційними їх площам. Площа «пелюстків» дорівнює Центр тяжіння лежить правіше від центру О великого кола. Площа малого кола дорівнює Зважаючи на те, що запишемо: - звідки

Рішення 2. Подумки заповнимо виріз. Це рівнозначно тому, що в точці А буде додана сила рівна силітяжкості, що діє на коло радіусу Для того щоб рівновага фігури не порушилася, потрібно прикласти вгору силу рівну за величиною Тепер на суцільне коло діють сили, що дорівнює силі тяжіння, що діє на суцільне коло (рис. 103, б):

З рішення 2 видно, що для знаходження центру тяжкості однорідних тіл з порожнинами можна вважати тіла суцільними, але при

цьому до центру тяжкості порожнин слід прикладати вгору сили, рівні за величиною силі тяжіння, що діє на речовину, що заповнила їх.

424. Стійке, нестійке чи байдуже положення рівноваги займають наступні тіла: маятник годинника, що висить вертикально; куля, що лежить на опуклій поверхні; куля, що лежить на увігнутій поверхні; куля, що знаходиться на горизонтальній поверхні? Відповідь обґрунтуйте, ґрунтуючись на умові рівноваги тіла, що має вісь обертання.

Рішення. Відхилимо маятник і кулю, що лежить на увігнутій поверхні, від положення рівноваги. Як видно з малюнка 104, а на них діятимуть моменти, що обертають, що змушують їх рухатися до положення рівноваги. Отже, ці тіла перебувають у положенні стійкої рівноваги.

На кулю, відхилену від положення рівноваги на опуклій поверхні, діє момент, що обертає, що змушує його котитися далі від положення рівноваги (рис. 104, б.). Отже, ця куля перебуває у положенні нестійкої рівноваги.

У будь-якому положенні на кулю, що лежить на горизонтальній поверхні, діють сили, що врівноважуються (рис. 104, е), тому куля знаходиться в положенні байдужої рівноваги.

425. Довга жердина, поставлена ​​вертикально, знаходиться в положенні нестійкої рівноваги. Як його утримує жонглер?

Відповідь. Жонглер злегка зміщує убік точку опори жердини, у результаті створюється крутний момент, що перешкоджає його падіння.

426. Дерев'яну лінійку закріпіть під кутом до горизонту і поставте на неї сірникові коробки, забезпечені схилами, як показано на малюнку 105, а. (Для того щоб коробки не зісковзували по лінійці, вставте в неї кнопки.) Яка коробка впаде раніше, якщо збільшувати кут нахилу лінійки? Чому? Покладіть коробки плашмя (рис. 105, б). Який стос перекинеться раніше, якщо збільшувати кут нахилу? Чому?

Рішення. На коробки діють сила тяжіння та реакція опори. Коробка буде в рівновазі, якщо або Поки виска не виходить за площу опори, момент

Повертає тіло в положення рівноваги і, навпаки, перекидає його, коли виска виходить за площу опори.

427. Як збільшують стійкість штативів, настільних ламп, підйомних кранів?

Визначення

Якщо тіло перебуває у стані спокою щодо інерційної системи відліку, то вважають, що воно перебуває в рівноваги.

Умови рівноваги вивчає розділ фізики, який називають статикою.

Умови рівноваги тіла

Першу умову рівноваги можна сформулювати виходячи з другого закону Ньютона: тіло може перебувати у стані спокою в деякій інерційній системі відліку тільки, якщо рівнодіюча всіх сил, прикладених до цього тіла (матеріальної точки) дорівнює нулю:

\[\sum\limits^N_(i=1)((\overline(F))_i=0\left(1\right).)\]

Вираз (1) називають необхідною умовоюрівноваги тіла.

Якщо тіло не підходить під визначення матеріальної точки, то першої умови рівноваги недостатньо.

Якщо тіло може обертатися біля деякої осі, воно перебуває у стані рівноваги, якщо сума моментів всіх діючих на нього сил щодо будь-якої осі обертання дорівнює нулю:

\[\sum\limits^N_(i=1)((\overline(M))_i=0\left(2\right).)\]

Друга умова рівноваги називають правилом моментів сил. $\ $\textit()

Вище зазначені умови є достатніми для того, щоб тіло вважати таким, що перебуває в рівновазі.

Види рівноваги

Рівнову можна розділити на: стійке, нестійке і байдуже.

Рівновагу тіла називають стійкою, якщо при невеликих зсувах, що діють на нього сили, прагнуть повернути його знову в положення рівноваги.

Положення рівноваги називають нестійким, якщо при малих зсувах сили, що впливають на тіло, виводять його з положення рівноваги ще більше.

Якщо при невеликих усуненнях з положення рівноваги сили, що діють на тіло та їх моменти, врівноважуються, як і раніше, таку рівновагу називають байдужою.

У стійкому положенні рівноваги центр ваги займає найнижче положення порівняно з усіма можливими сусідніми положеннями тіла.

1) Припустимо, що тіло може обертатися біля закріпленої осі. Тіло знаходиться у положенні рівноваги, якщо вісь проходить через центр мас тіла (байдужа рівновага). Якщо центр ваги тіла знаходиться нижче осі обертання, положення рівноваги тіла буде стійким. Нехай вісь обертання розташована нижче за центр мас тіла, то рівновага буде нестійкою.

2) У тому випадку, якщо тіло має точку опори (наприклад, кулька, що лежить на опорі), то тіло знаходиться в стані стійкої рівноваги, коли рівнодіюча всіх сил, прикладених до тіла, спрямована у бік положення рівноваги. Якщо рівнодіюча дорівнює нулю, то положення рівноваги байдуже. Положення тіла буде не стійкою рівновагою, якщо рівнодіюча сил, прикладених до тіла, спрямована від положення рівноваги.

3) Нехай тіло має площу опори. Тоді його рівновага буде стійкою, якщо вертикаль, що проводиться через центр мас цього тіла, перетне площу опори.

Потенційна енергія та стійка рівновага

Як було сказано, тіло може перебувати в стані рівноваги тільки, якщо рівнодіюча всіх сил, прикладених до тіла, дорівнює нулю. Отже, рівновазі відповідає точка мінімуму (M) чи максимуму (N) потенційної енергії ($E_p$), оскільки у цих точках сила стає рівною нулю. Але, слід зазначити, що точки максимуму і мінімуму енергії є рівноцінними (рис.1).

Якщо частка знаходиться в точці з мінімумом потенційної енергії, її координата на рис.1 $x_M$. На ділянці $x_1\le x\le x_M$ потенційна енергія зменшується, отже, на частку діє позитивна сила відштовхування, яка повертає частку в точку М.

На відрізку $x_M\le x\le x_2$ енергія $E_p$ збільшується, на частку впливає негативна сила тяжіння, яка знову повертає тіло в точку M.

Виходить, що якщо частинку, яка знаходиться в точці з мінімумом потенційної енергії вивести з положення рівноваги, то під дією сил вона повертатиметься назад у цю точку. Можна зробити наступний висновок: умовою стійкої рівноваги є мінімальна величина потенційної енергії

Якщо провести міркування, які аналогічні тим, що були вищими, отримаємо, що точка N, точка максимуму потенційної енергії - це точка нестійкої рівноваги.

Аналізуючи умови рівноваги, слід розглядати околицю точки поля найближчу до неї, де немає додаткових екстремумів енергії. Проводячи аналіз сил, які діють частинку, яку зміщували праворуч від т М ($x_2>x_M$) ми вважали, то частинку діють сили тяжіння. Це справедливо тоді, коли частка знаходиться лівіше за максимум енергії. Якщо частка переміщена далі вправо, ми отримуємо силу відштовхування і частка не повернеться в колишнє положення.

Приклади завдань із розв'язанням

Приклад 1

Завдання.Величина сили, що діє на матеріальну точку, що рухається по осі X, задана рівнянням: $ F = -Ax (де A> 0).

Рішення.Щоб визначити форму потенційної кривої знайдемо залежність потенційної енергії від координати матеріальної точки ($E_p(x)$). Для цього використовуємо формулу зв'язку між потенційною енергією та консервативною силою:

Підставимо в підінтегральний вираз рівняння $F=-Ax$, яке задає нашу силу:

Графік $E_p(x)$ , буде парабола (рис.2). Мінімум потенційної енергії перебуватиме в точці $E_p\left(x=0\right)=С.$

Відповідь.Точка З на рис.2 – положення стійкої рівноваги.

Приклад 2

Завдання.Чи буде рівновага кульки, підвішеної на нитці стійкою (рис.3)?

Рішення.Точку підвісу кульки 0 можна як вісь обертання. Цент мас кульки знаходиться нижче осі обертання, отже рівновага системи в точці А буде стійкою. Якщо кульку змістити з точки A в точку B, то на неї діятимуть сили, які повертають її в положення А (рівнодіюча сил $overline(F)$).

Відповідь.Рівнавага стійке.