dieedid

Kuidas võrrelda erinevate nimetajatega numbreid. Harilike murdude võrdlus. Segaarvude lahutamine. Rasked juhtumid

Võrrelge kahte murdosa- tähendab, et teha kindlaks, kumb murd on suurem, milline väiksem, või teha kindlaks, et murrud on võrdsed.

Samade nimetajatega murdude võrdlemine

Kahest sama nimetajaga murdest on suurem murdosa see, millel on suurem lugeja.

Näide. Murd on suurem kui murd, kuna osad mõlemas murdes on samad, kuid esimeses murdos on neid rohkem kui teises.

Kui kujutame ühikut segmendina ja jagame selle 8 osaks, siis on lihtne näha, et murdosa on suurem:

Sama lugejaga murdude võrdlemine

Kahest sama lugejaga murdest on väiksema nimetajaga murd suurem.

Näide. Murd on suurem kui murd, kuna mõlema murdosa osade arv on sama, kuid esimese murdosa osad on suuremad kui teises.

Joonistame kaks ühikut ringidena, jagame ühe 4 osaks, teise 6 osaks. Nüüd näete, et murdosa on suurem:

Erinevate nimetajate ja lugejatega murdude võrdlemine

Erinevate lugejate ja nimetajatega murdude võrdlemiseks peate need viima ühise nimetajani. Pärast seda võrreldakse neid samade nimetajatega murdude võrdlemise reegli järgi.

Näide. Võrdle murde: ja .

Lahendus:

Nüüd võrdleme neid samade nimetajatega murdude võrdlemise reegli järgi. Kuna , see tähendab .

Siin on veel üks viis erinevate nimetajate ja lugejatega murdude võrdlemiseks. Mõelge esmalt numbrilisele näitele.

Näide. Võrrelge murde ja .

Lahendus:

Toome need murrud ühise nimetaja juurde:

Selle näite lahendamisel näete, et pärast murdude taandamist ühisele nimetajale taandus võrdlusülesanne tegelikult korrutiste 2 7 ja 4 3 võrdlemisele. Kuna 2 7 = 14 ja 4 3 = 12, siis 2 7> 4 3. Seega, .

Nüüd lahendame sama probleemi üldsõnaliselt, kasutades tähemärki.

Näide. Olgu murrud ja antud, kus a ja c- null- või naturaalarvud, b ja d- täisarvud. Toome murrud ühise nimetaja juurde:

Järelikult:

Seega saime harilike murdude võrdlemiseks järgmise reegli:

Kahe hariliku murru võrdlemiseks võite korrutada ühe murru lugeja teise nimetajaga ja võrrelda saadud korrutisi.

Seda reeglit nimetatakse murdude võrdlemise ristreegel.

Murru võrdlemine naturaalarvuga

Iga õige murd on väiksem kui mis tahes naturaalarv.

Näide.

Vale murru võrdlemine naturaalarvuga taandub kahe murru võrdlemisele.

Vale murru võrdlemiseks naturaalarvuga peate esitama naturaalarvu vale murruna, mille nimetaja on 1, siis saab neid võrrelda kahel viisil: kasutades ristreeglit või taandada murrud ühiseks. nimetaja. Pärast seda võrreldakse neid samade nimetajatega murdude võrdlemise reegli järgi.

See artikkel käsitleb murdude võrdlemist. Siin saame teada, milline murd on suurem või väiksem, rakendame reeglit ja analüüsime lahenduse näiteid. Võrrelge sama ja erineva nimetajaga murde. Võrdleme tavalist murru naturaalarvuga.

Samade nimetajatega murdude võrdlemine

Samade nimetajatega murdude võrdlemisel töötame ainult lugejaga, mis tähendab, et võrdleme arvu murde. Kui on murd 3 7, siis sellel on 3 osa 1 7, siis murdosas 8 7 on 8 sellist osa. Teisisõnu, kui nimetaja on sama, võrreldakse nende murdude lugejaid, st 3 7 ja 8 7 võrreldakse numbreid 3 ja 8.

See eeldab samade nimetajatega murdude võrdlemise reeglit: saadaolevatest samade näitajatega murdudest loetakse suuremaks seda, mille lugeja on suurem ja vastupidi.

See viitab sellele, et peaksite pöörama tähelepanu lugejatele. Selleks kaaluge näidet.

Näide 1

Võrrelge antud murde 65 126 ja 87 126 .

Lahendus

Kuna murdude nimetajad on samad, siis liigume lugejate juurde. Arvudest 87 ja 65 on ilmne, et 65 on vähem. Samade nimetajatega murdude võrdlemise reegli põhjal saame, et 87126 on suurem kui 65126.

Vastus: 87 126 > 65 126 .

Erinevate nimetajatega murdude võrdlemine

Selliste murdude võrdlust saab võrrelda samade astendajatega murdude võrdlemisega, kuid erinevus on olemas. Nüüd tuleb murded taandada ühisele nimetajale.

Kui on erineva nimetajaga murde, on nende võrdlemiseks vaja:

leida ühisosa;
võrrelda murde.

Vaatame neid samme näite abil.

Näide 2

Võrrelge murde 5 12 ja 9 16 .

Lahendus

Esimene samm on viia murded ühisele nimetajale. Seda tehakse järgmiselt: leitakse LCM, st vähim ühine jagaja, 12 ja 16. See number on 48. Esimesele murdarvule 5 12 on vaja lisada täiendavad tegurid, see arv leitakse jagatisest 48: 12 = 4, teise murdosa jaoks 9 16 - 48: 16 = 3. Kirjutame selle üles järgmiselt: 5 12 = 5 4 12 4 = 20 48 ja 9 16 = 9 3 16 3 = 27 48.

Pärast murdude võrdlemist saame 20 48< 27 48 . Значит, 5 12 меньше 9 16 .

Vastus: 5 12 < 9 16 .

Erinevate nimetajatega murdude võrdlemiseks on veel üks võimalus. Seda tehakse ilma ühisnimetajasse taandamata. Vaatame näidet. Murdude a b ja c d võrdlemiseks taandame ühise nimetajani, siis b · d, st nende nimetajate korrutis. Siis on murdude lisategurid naabermurru nimetajad. See on kirjutatud kui a · d b · d ja c · b d · b . Kasutades samade nimetajatega reeglit, saame, et murdude võrdlus on taandatud korrutistele a · d ja c · b. Siit saame reegli erinevate nimetajatega murdude võrdlemiseks: kui a d > b c, siis a b > c d, aga kui a d< b · c , тогда a b < c d . Рассмотрим сравнение с разными знаменателями.

Näide 3

Võrrelge murde 5 18 ja 23 86.

Lahendus

Selles näites on a = 5, b = 18, c = 23 ja d = 86. Siis on vaja arvutada a · d ja b · c . Sellest järeldub, et a d = 5 86 = 430 ja b c = 18 23 = 414 . Aga 430 > 414 , siis antud murd 5 18 on suurem kui 23 86 .

Vastus: 5 18 > 23 86 .

Sama lugejaga murdude võrdlemine

Kui murdudel on samad lugejad ja erinevad nimetajad, saate võrrelda eelmise lõigu järgi. Võrdluse tulemus on võimalik nende nimetajate võrdlemisel.

Samade lugejatega murdude võrdlemiseks kehtib reegel : Kahest sama lugejaga murdest on suurem murd väiksema nimetajaga ja vastupidi.

Vaatame näidet.

Näide 4

Võrrelge murde 54 19 ja 54 31.

Lahendus

Meil on, et lugejad on samad, mis tähendab, et murd, mille nimetaja on 19, on suurem kui murd, mille nimetaja on 31. See selgub reeglist.

Vastus: 54 19 > 54 31 .

Vastasel juhul võite kaaluda näidet. Seal on kaks taldrikut, millel 1 2 pirukat, anna veel 1 16 . Kui sööd 12 pirukat, saad kõhu täis kiiremini kui 116. Siit ka järeldus, et suurim samade lugejatega nimetaja on murdude võrdlemisel väikseim.

Murru võrdlemine naturaalarvuga

Hariliku murru võrdlemine naturaalarvuga on sama, mis kahe murru võrdlemine kujul 1 kirjutatud nimetajatega. Üksikasjalikuma ülevaate saamiseks vaatame allolevat näidet.

Näide 4

On vaja läbi viia võrdlus 63 8 ja 9 .

Lahendus

Arv 9 tuleb esitada murdarvuna 9 1 . Siis on meil vaja võrrelda murde 63 8 ja 9 1 . Sellele järgneb taandamine ühise nimetajani lisategurite leidmisega. Pärast seda näeme, et peame võrdlema samade nimetajatega 63 8 ja 72 8 murde. Võrdlusreegli põhjal 63< 72 , тогда получаем 63 8 < 72 8 . Значит, заданная дробь меньше целого числа 9 , то есть имеем 63 8 < 9 .

Vastus: 63 8 < 9 .

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Selles õppetükis õpime, kuidas murde omavahel võrrelda. See on väga kasulik oskus, mida on vaja terve klassi keerukamate probleemide lahendamiseks.

Kõigepealt tuletan teile meelde murdude võrdsuse määratlust:

Murrud a /b ja c /d nimetatakse võrdseteks, kui ad = bc.

5/8 = 15/24, sest 5 24 = 8 15 = 120;
3/2 = 27/18, sest 3 18 = 2 27 = 54.

Kõigil muudel juhtudel on murrud ebavõrdsed ja nende puhul kehtib üks järgmistest väidetest:

Murd a /b on suurem kui fraktsioon c /d;
Murd a /b on väiksem kui murdosa c /d .

Murd a /b nimetatakse suuremaks kui murdosa c /d, kui a /b − c /d > 0.

Murdu x /y nimetatakse väiksemaks kui murdosa s /t, kui x /y − s /t< 0.

Määramine:

Seega taandatakse murdude võrdlus nende lahutamisele. Küsimus: kuidas mitte segi ajada märgetega "suurem kui" (>) ja "vähem kui" (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

Tšeki laienev osa on alati suunatud suurema numbri poole;
Noka terav nina näitab alati väiksemat numbrit.

Sageli panevad nad ülesannetes, kus soovite numbreid võrrelda, nende vahele märgi "∨". See on nina maas noaga, mis justkui vihjab: numbritest suurem pole veel kindlaks tehtud.

Ülesanne. Võrdle numbreid:

Järgides definitsiooni, lahutame üksteisest murrud:

Igas võrdluses pidime viima murrud ühise nimetajani. Eelkõige ristimeetodi kasutamine ja vähima ühiskordaja leidmine. Ma ei keskendunud meelega nendele punktidele, kuid kui midagi pole selge, vaadake õppetundi " Murdude liitmine ja lahutamine" - see on väga lihtne.

Kümnendarvude võrdlus

Kümnendmurdude puhul on kõik palju lihtsam. Siin pole vaja midagi lahutada – lihtsalt võrrelge numbreid. Ei ole üleliigne meeles pidada, milline on arvu oluline osa. Neile, kes on unustanud, soovitan korrata õppetundi " Kümnendmurdude korrutamine ja jagamine" - see võtab samuti vaid paar minutit.

Positiivne kümnendkoht X on suurem kui positiivne kümnendkoht Y, kui selle kümnendkoht on selline, et:

Selles numbris olev number murrus X on suurem kui vastav number murrus Y;

Kõik murdarvudes X ja Y antud numbrid on samad.

12.25 > 12.16. Esimesed kaks numbrit on samad (12 = 12) ja kolmas on suurem (2 > 1);
0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

Teisisõnu, me vaatame järjestikku komakohti ja otsime erinevust. Sel juhul vastab suurem arv suuremale murdarvule.

See määratlus vajab aga täpsustamist. Näiteks kuidas kirjutada ja võrrelda numbreid kümnendkohani? Pidage meeles: igale kümnendkoha kujul kirjutatud arvule saab määrata suvalise arvu nulle vasakul. Siin on veel paar näidet:

0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (речь идет о старшем разряде).
2300,5 > 0,0025, sest 0,0025 = 0000,0025 - vasakule lisati kolm nulli. Nüüd näete, et erinevus algab esimesest bitist: 2 > 0.

Muidugi oli antud näidetes nullidega selgesõnaline loend, kuid tähendus on täpselt selline: täitke vasakul puuduvad numbrid ja seejärel võrrelge.

Ülesanne. Võrdle murde:

0,029 ∨ 0,007;

14,045 ∨ 15,5;

0,00003 ∨ 0,0000099;

1700,1 ∨ 0,99501.

Definitsiooni järgi on meil:

0,029 > 0,007. Esimesed kaks numbrit on samad (00 = 00), siis algab erinevus (2 > 0);
14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
0,00003 > 0,0000099. Siin peate nullid hoolikalt lugema. Mõlema murru esimesed 5 numbrit on null, kuid edasi on esimeses murrus 3 ja teises - 0. Ilmselgelt 3 > 0;
1700,1 > 0,99501. Kirjutame teise murru ümber 0000.99501, lisades vasakule 3 nulli. Nüüd on kõik ilmne: 1 > 0 - erinevus leitakse esimesest numbrist.

Kahjuks ei ole ülaltoodud kümnendmurdude võrdlemise skeem universaalne. Seda meetodit saab ainult võrrelda positiivsed numbrid. Üldjuhul on töö algoritm järgmine:

Positiivne murd on alati suurem kui negatiivne;
Kahte positiivset murdu võrreldakse ülaltoodud algoritmi järgi;
Kahte negatiivset murdu võrreldakse samal viisil, kuid lõpus pööratakse ebavõrdsusmärk ümber.

Noh, kas pole nõrk? Vaatame nüüd konkreetseid näiteid - ja kõik saab selgeks.

Ülesanne. Võrdle murde:

0,0027 ∨ 0,0072;

−0,192 ∨ −0,39;

0,15 ∨ −11,3;

19,032 ∨ 0,0919295;

−750 ∨ −1,45.

0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
-0,192 > -0,39. Murrud on negatiivsed, 2 numbrit erinevad. üks< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
0,15 > -11,3. Positiivne arv on alati suurem kui negatiivne;
19,032 > 0,091. Piisab teise murru ümberkirjutamisest kujul 00.091, et näha, et erinevus esineb juba 1 numbriga;
−750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. Erinevus on esimeses kategoorias.

Tavaliselt võrreldakse murde, et teada saada, kumb on suurem ja kumb väiksem. Murdude võrdlemiseks tuleb need viia samasse nimetajasse, siis on suure lugejaga murd suur ja väiksemaga väiksem. Kõige raskem on välja mõelda, kuidas murdudel oleks sama nimetaja, kuid see pole nii raske, kui tundub. Näitame teile, kuidas seda kõike teha. Loe edasi!

Sammud

Uurige, kas murdude nimetajad on samad või mitte. Nimetaja on arv, mis asub murrujoone all, all ja lugeja on ülaosas. Näiteks murdudel 5/7 ja 9/13 ei ole sama nimetaja. Peate viima need samasse nimetajasse.
- Kui murdude nimetajad on samad, siis piisab, kui võrrelda lugejaid, et teada saada, milline murd on suurem.
Leidke ühine nimetaja. Murdude võrdlemiseks tuleb esmalt leida ühine nimetaja. See on vajalik võrdlemiseks, samuti matemaatiliste toimingute tegemiseks murdarvudega, liitmiseks, lahutamiseks jne. Liitmise või lahutamise puhul tuleb otsida väikseimat ühisnimetajat. Kuid sel juhul (murdude võrdlus) saate korrutada ainult mõlema murru nimetajad ja saadud arv on ühine nimetaja. Pidage meeles, et selline ühisnimetaja leidmise viis töötab AINULT murdude võrdlemisel (mitte liitmine, lahutamine jne).
- 7 x 13 = 91, on uueks ühiseks nimetajaks 91.
Muutke murdude lugejaid. Kui olete leidnud ühise nimetaja, antud juhul 91, peate muutma lugejaid, et murdosa väärtus jääks samaks. Selleks peate korrutama ühe murdosa lugejad teise nimetajaga ja teise lugeja esimese nimetajaga. Nagu nii:
- Algses murdosas 5/7 korrutasime 7 13-ga ja saime 91, nüüd peame uue lugeja saamiseks korrutama 5 13-ga. 5/7 x 13/13 = 65/91.
- 13. septembril korrutame 13 7-ga, et saada uus nimetaja 91, nüüd korrutame 9 7-ga, et saada uus lugeja. 9 x 7 = 63, nii et meie uus murd näeb välja nagu 63/91.

Igapäevaelus peame sageli võrdlema murdväärtusi. Enamasti ei põhjusta see probleeme. Tõepoolest, kõik saavad aru, et pool õuna on suurem kui veerand. Kuid kui on vaja see matemaatilise avaldisena üles kirjutada, võib see olla keeruline. Järgmisi matemaatilisi reegleid rakendades saate selle ülesande hõlpsalt lahendada.

Kuidas võrrelda sama nimetajaga murde

Neid murde on kõige lihtsam võrrelda. Sel juhul kasutage reeglit:

Kahest sama nimetaja, kuid erineva lugejaga murdest on suurem see, mille lugeja on suurem, ja väiksem on see, mille lugeja on väiksem.

Võrrelge näiteks murde 3/8 ja 5/8. Selle näite nimetajad on võrdsed, seega rakendame seda reeglit. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.

Tõepoolest, kui lõigata kaks pitsat 8 viiluks, on 3/8 viilu alati vähem kui 5/8.

Samade lugejate ja erinevate nimetajatega murdude võrdlemine

Sel juhul võrreldakse nimetaja osade suurusi. Kohaldatav reegel on:

Kui kahel murrul on sama lugeja, siis on suurem murd see, mille nimetaja on väiksem.

Võrrelge näiteks murde 3/4 ja 3/8. Selles näites on lugejad võrdsed, seega kasutame teist reeglit. 3/4 murd on väiksem nimetaja kui 3/8 murd. Seega 3/4>3/8

Tõepoolest, kui sa sööd 3 viilu pitsat, mis on jagatud 4 osaks, siis oled kõhu täis rohkem kui siis, kui sööd 3 pitsaviilu, mis on jagatud 8 osaks.

Erinevate lugejate ja nimetajatega murdude võrdlemine

Rakendame kolmandat reeglit:

Erinevate nimetajatega murdude võrdlemist tuleks võrrelda samade nimetajatega murdudega. Selleks peate viima murrud ühise nimetajani ja kasutama esimest reeglit.

Näiteks peate võrdlema murde ja . Suurema murdosa määramiseks ühendame need kaks murdosa ühise nimetajaga: