Kuidas parandada hetkekiiruse määramise täpsust. Kiirendus – keskmine, hetkeline, tangentsiaalne, normaalne, täis

Üldiselt on objekti kiiruse (v) leidmine lihtne ülesanne: peate jagama teatud aja (s) nihke (s) selle ajaga (t), st kasutage valemit v = s / t. Kuid sel viisil saadakse keha keskmine kiirus. Mõningaid arvutusi kasutades saate leida keha kiiruse mis tahes punktis teel. Seda kiirust nimetatakse kohene kiirus ja arvutatakse valemiga v = (ds)/(dt), see tähendab, et see on keha keskmise kiiruse arvutamise valemi tuletis. .

Sammud

1. osa

1. Hetkekiiruse arvutamiseks on vaja teada võrrandit, mis kirjeldab keha liikumist (tema asukohta teatud ajahetkel), see tähendab sellist võrrandit, mille ühel küljel on s (keha liikumine) ja teisel pool on terminid muutujaga t (aeg). Näiteks:
   

   s = -1,5t2 + 10t + 4

   • Selles võrrandis: nihe = s. Nihe – objekti läbitud tee. Näiteks kui keha liikus 10 m edasi ja 7 m tagasi, siis kogu keha liikumine on 10 - 7 = 3 m (ja 10 + 7 = 17 m). Aeg = t. Tavaliselt mõõdetakse sekundites.

2. Et leida hetkkiirust kehale, mille liikumist kirjeldab ülaltoodud võrrand, peate arvutama selle võrrandi tuletise. Tuletis on võrrand, mis võimaldab arvutada graafiku kalde igal hetkel (mis tahes ajahetkel). Tuletise leidmiseks erista funktsioon järgmiselt: kui y = a*x n , siis tuletis = a*n*x n-1 . See reegel kehtib polünoomi iga liikme kohta.

   • Teisisõnu, iga liikme tuletis muutujaga t on võrdne teguri korrutisega (enne muutujat) ja muutuja astme korrutisega muutujaga astmega, mis on võrdne algse võimsusega miinus 1. Vaba liige ( termin ilma muutujata, st arv) kaob, kuna see korrutatakse 0-ga. Meie näites:
     

     s = -1,5t2 + 10t + 4
     (2)–1,5 t (2–1) + (1) 10 t 1–1 + (0) 4 t 0
     -3t1 + 10t0
     -3t+10

3. Asendage "s" tähega "ds/dt", et näidata, et uus võrrand on algse võrrandi tuletis (st t-st tuletatud s). Tuletis on graafiku kalle teatud punktis (teatud ajahetkel). Näiteks funktsiooniga s = -1,5t 2 + 10t + 4 kirjeldatud sirge kalde leidmiseks t = 5 korral ühendage lihtsalt 5 tuletisvõrrandisse.

   • Meie näites peaks tuletisvõrrand välja nägema järgmine:
     

     ds/dt = -3t + 10

4. Asendage tuletisvõrrandis t vastav väärtus, et leida hetkkiirus teatud ajahetkel. Näiteks kui soovite leida hetkekiirust, kui t = 5, ühendage lihtsalt 5 (t asemel) tuletisvõrrandisse ds/dt = -3 + 10. Seejärel lahendage võrrand:
   

   ds/dt = -3t + 10
   ds/dt = -3 (5) + 10
   ds/dt = -15 + 10 = -5 m/s

   • Pöörake tähelepanu hetkekiiruse ühikule: m/s. Kuna meile on antud nihke väärtus meetrites ja aeg on sekundites ning kiirus võrdub nihke ja aja suhtega, siis on m/s ühik õige.

   2. osa

   Hetkekiiruse graafiline hindamine

   1. Koostage keha liikumise graafik. Eelmises peatükis arvutasite hetkkiiruse valemi abil (tuletisvõrrand, mis võimaldab leida graafiku kalde teatud punktis). Olles joonistanud keha liikumise graafiku, saate selle kalde leida mis tahes punktis ja seetõttu määrata hetkekiiruse teatud ajahetkel.

      • Y-teljel kujutatakse liikumist ja X-teljel aega. Hankige punktide (x, y) koordinaadid, asendades algsesse nihkevõrrandisse erinevad t väärtused ja arvutades vastavad s väärtused.
      • Graafik võib langeda allapoole X-telge.Kui keha liikumise graafik langeb allapoole X-telge, siis see tähendab, et keha liigub liikumise alguse punktist vastupidises suunas. Graafik reeglina Y-teljest kaugemale ei ulatu (negatiivsed x väärtused) – me ei mõõda ajas tagasi liikuvate objektide kiirust!

   2. Vali graafikul (kõveral) punkt P ja selle lähedal olev punkt Q. Graafiku kalde leidmiseks punktis P kasutame piiri mõistet. Limiit – olek, kus kõveral asetsevate 2 punkti P ja Q kaudu tõmmatud sekandi väärtus kipub nulli.

      • Näiteks vaatleme punkte P(1,3) ja Q(4,7) ning arvutame hetkekiiruse punktis P.

   3. Leidke lõigu PQ kalle. Lõigu PQ kalle on võrdne punktide P ja Q koordinaatide "y" väärtuste erinevuse ja punktide P ja Q koordinaatide "x" väärtuste erinevuse suhtega. Teisisõnu, H = (y Q - y P) / (x Q - x P), kus H - segmendi PQ kalle. Meie näites on segmendi PQ kalle:
      

      H = (y Q - y P)/(x Q - x P)
      H = (7–3)/(4–1)
      H = (4)/(3) = 1.33

   4. Korrake protsessi mitu korda, viies Q-punkti P-punktile lähemale. Mida väiksem on kahe punkti vaheline kaugus, seda lähemal on saadud lõikude kalde väärtus graafiku kaldele punktis P. Meie näites teostame punkti Q arvutused koordinaatidega (2.4.8), (1.5). .3.95) ja (1.25.3.49) (punkti koordinaadid R jäävad samaks.)
      

      Q = (2.4.8): H = (4,8–3)/(2–1)
      H = (1,8)/(1) = 1.8

      Q = (1,5, 3,95): H = (3,95–3)/(1,5–1)
      H = (.95)/(.5) = 1.9

      Q = (1,25, 3,49): H = (3,49-3)/(1,25-1)
      H = (.49)/(.25) = 1.96

   5. Mida väiksem on punktide P ja Q vaheline kaugus, seda lähemal on H väärtus graafiku kaldele punktis P. Kui punktide P ja Q vaheline kaugus on äärmiselt väike, on H väärtus võrdne graafiku kaldega punktis P. Kuna me ei saa mõõta ega arvutada kahe punkti vahelist äärmiselt väikest kaugust, annab graafiline meetod hinnangu graafiku kalle punktis P.

      • Meie näites, kui Q läheneb P-le, saame järgmised H väärtused: 1,8; 1,9 ja 1,96. Kuna need arvud kipuvad olema 2, võime öelda, et graafiku kalle punktis P on 2.
      • Pidage meeles, et graafiku kalle antud punktis on võrdne funktsiooni (millele see graafik on joonistatud) tuletis selles punktis. Graafik näitab keha liikumist ajas ja nagu eelmises osas märgitud, on keha hetkekiirus võrdne selle keha nihkevõrrandi tuletisega. Seega võib väita, et t = 2 juures on hetkekiirus 2 m/s (see on hinnanguline).

   3. osa

   Näited

   1. Arvutage hetkekiirus t = 4 korral, kui keha liikumist kirjeldab võrrand s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9. See näide sarnaneb esimese jaotise probleemiga, ainsaks erinevuseks on see, et tegemist on kolmandat järku võrrandiga (mitte teist järku võrrandiga).

      • Esiteks arvutame selle võrrandi tuletise:
        

        s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9
        s = (3) 5 t (3 - 1) - (2) 3 t (2 - 1) + (1) 2 t (1 - 1) + (0) 9 t 0 - 1
        15t (2) - 6t (1) + 2t (0)
        15t (2) – 6t + 2

        t = 1,01: s = 4 (1,01) 2 - (1,01)
        4 (1,0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, seega Q = (1,01,3,0704)

      • Nüüd arvutame H:
        

        Q = (2,14): H = (14–3)/(2–1)
        H = (11)/(1) = 11

        Q = (1,5, 7,5): H = (7,5–3)/(1,5–1)
        H = (4,5)/(,5) = 9

        Q = (1,1, 3,74): H = (3,74–3)/(1,1–1)
        H = (.74)/(.1) = 7.3

        Q = (1,01, 3,0704): H = (3,0704 - 3)/(1,01 - 1)
        H = (.0704)/(.01) = 7.04

      • Kuna saadud H väärtused kipuvad olema 7, siis võib öelda, et keha hetkekiirus punktis (1,3) on 7 m/s (hinnanguline väärtus).
   • Kiirenduse (kiiruse muutumise aja jooksul) leidmiseks kasutage nihkefunktsiooni tuletise saamiseks esimeses osas toodud meetodit. Seejärel võtke uuesti saadud tuletise tuletis. See annab teile võrrandi kiirenduse leidmiseks antud ajahetkel – peate vaid sisestama aja väärtuse.
   • Võrrand, mis kirjeldab y-d (nihet) versus x (aeg), võib olla väga lihtne, näiteks: y = 6x + 3. Sel juhul on tõus konstantne ja selle leidmiseks ei ole vaja tuletist. Joongraafikute teooria järgi on nende kalle võrdne muutuja x koefitsiendiga ehk meie näites =6.
   • Nihe on nagu kaugus, kuid sellel on kindel suund, mis teeb sellest vektorsuuruse. Nihe võib olla negatiivne, samas kui kaugus on ainult positiivne.

Püüdsime ebaühtlast liikumist taandada ühtlaseks ja selleks võtsime kasutusele keskmise liikumiskiiruse. Kuid see meid ei aidanud: teades keskmist kiirust, on võimatu lahendada mehaanika kõige olulisemat ülesannet - määrata keha asend igal ajal. Kas on võimalik muul viisil ebaühtlast liikumist ühtlaseks muuta?

Selgub, et seda ei saa teha, sest mehaaniline liikumine on pidev protsess. Liikumise pidevus seisneb selles, et kui näiteks keha (või punkt), mis liigub sirgjooneliselt kasvava kiirusega, on liikunud punktist A punkti B, siis peab ta kindlasti külastama kõiki A vahel asuvaid vahepunkte. ja B, ilma lünkadeta . Kuid see pole veel kõik. Oletame, et punktile A lähenedes liikus keha ühtlaselt kiirusega 5 m/sek ja pärast punkti B läbimist samuti ühtlaselt, kuid kiirusega 30 m/sek. Samal ajal kulus kehal AB lõigu läbimiseks 15 sekundit. Järelikult muutus lõigul AB keha kiirus 15 sekundiga 25 m/s. Kuid nii nagu liikuv keha ei saanud mööduda ühestki oma teel olevast punktist, pidi ka tema kiirus võtma kõik kiirused vahemikus 5–30 m/s. Samuti ei ühtegi passi! See on mehaanilise liikumise järjepidevus: ei keha koordinaadid ega kiirus ei saa hüpetel muutuda. Sellest saame teha väga olulise järelduse. Piirkonnas 5–30 m/s on lõpmatu arv erinevaid kiiruse väärtusi (matemaatikas on nende sõnul lõpmatult palju väärtusi). Kuid punktide A ja B vahel on ka lugematu arv (lõpmatult palju!) punkte ning 15-sekundiline ajavahemik, mille jooksul keha punktist A punkti B liikus, koosneb lugematutest ajavahemikest (aeg voolab ka ilma hüpeteta!) .

Järelikult oli kehal igas liikumistrajektoori punktis ja igal ajahetkel teatud kiirus.

Kiirust, mis kehal on antud ajahetkel ja trajektoori antud punktis, nimetatakse hetkekiiruseks.

Ühtlase sirgjoonelise liikumise korral määrab keha kiiruse selle nihke suhe ajavahemikku, mille jooksul see nihe lõppes. Mida tähendab kiirus antud punktis või ajahetkel?

Oletame, et mõni keha (nagu alati, peame tegelikult silmas selle keha mõnda konkreetset punkti) liigub sirgjooneliselt, kuid mitte ühtlaselt. Kuidas arvutada selle hetkekiirust mingis trajektoori punktis A? Valime sellel trajektooril väikese lõigu, sealhulgas punkti A (joonis 38). Kere väikest nihet selles jaotises tähistatakse tähisega

ja väike ajavahemik, mille jooksul see valmib, peale Jagamist saame selle lõigu keskmise kiiruse: kiirus ju muutub pidevalt ja 1. lõigu erinevates kohtades on see erinev.

Vähendame nüüd lõigu 1 pikkust. Valime lõigu 2 (vt joonis 38), mis sisaldab ka punkti A. Sellel väiksemal lõigul on nihe võrdne ja keha läbib selle teatud aja jooksul. on selge, et lõigus 2 on keha kiirusel aega vähem muutuda. Kuid see suhe annab meile ikkagi selle väiksema lõigu keskmise kiiruse. Veelgi väiksem on kiiruse muutus lõigul 3 (ka punkt A), mis on väiksem kui lõigud 1 ja 2, kuigi jagades liikumise ajaperioodiga saame jällegi keskmise kiiruse sellel väikesel trajektoorilõigul. Vähendame järk-järgult lõigu pikkust ja koos sellega ajavahemikku, mille jooksul keha selle lõigu läbib. Lõpuks tõmbame punktiga A külgneva trajektoori lõigu punkti A endaga kokku ja ajaintervalli ajapunktini. Siis saab keskmisest kiirusest hetkekiirus, sest piisavalt väikesel alal on kiiruse muutus nii väike, et seda võib ignoreerida, mis tähendab, et võime eeldada, et kiirus ei muutu.

Hetkekiirus ehk kiirus antud punktis on võrdne selle punktiga külgneva trajektoori väikese lõigu piisavalt väikese liikumise suhtega väikesesse ajaperioodi, mille jooksul see liikumine toimub.

On selge, et ühtlase sirgjoonelise liikumise kiirus on nii selle hetkeline kui ka keskmine kiirus.

Hetkekiirus on vektorsuurus. Selle suund langeb kokku liikumise (liikumise) suunaga antud punktis Vastuvõtt, mida me tähenduse selgitamiseks kasutasime

hetkkiirus, koosneb seega järgmisest. Trajektoori lõiku ja selle läbimise aega vähendame vaimselt järk-järgult, kuni lõiku ei ole enam võimalik eristada punktist, ajavahemikku ajahetkest ja ebaühtlast liikumist ühtlasest. Seda meetodit kasutatakse alati, kui uuritakse nähtusi, milles mängivad rolli mingid pidevalt muutuvad suurused.

Nüüd jääb meil üle välja selgitada, mida me peame teadma keha hetkekiiruse leidmiseks trajektoori mis tahes punktis ja igal ajal.

See on vektorfüüsikaline suurus, mis on arvuliselt võrdne piiriga, milleni keskmine kiirus lõpmatult väikesel ajavahemikul kaldub:

Teisisõnu, hetkekiirus on aja raadiuse vektor.

Kiiruse hetkvektor on alati suunatud tangentsiaalselt keha liikumise suunas keha trajektoorile.

Hetkeline kiirus annab täpset teavet liikumise kohta teatud ajahetkel. Näiteks mingil ajahetkel autos sõites vaatab juht spidomeetrit ja näeb, et seade näitab 100 km/h. Mõne aja pärast näitab spidomeetri nõel kiirusele 90 km / h ja mõne minuti pärast - 110 km / h. Kõik loetletud spidomeetri näidud on auto hetkekiiruse väärtused teatud ajahetkedel. Kiirus igal ajahetkel ja igas trajektoori punktis peab olema teada kosmosejaamade dokkimisel, lennukite maandumisel jne.

Kas mõistel "hetkkiirus" on füüsiline tähendus? Kiirus on ruumi muutumise tunnus. Et aga kindlaks teha, kuidas liikumine on muutunud, on vaja liikumist mõnda aega jälgida. Isegi kõige arenenumad kiiruse mõõtmise instrumendid, nagu radaripaigaldised, mõõdavad kiirust teatud aja jooksul – küll üsna väikesel, kuid see on siiski piiratud ajavahemik, mitte ajahetk. Väljend "keha kiirus antud ajahetkel" füüsika seisukohalt ei ole õige. Hetkekiiruse mõiste on aga matemaatilistes arvutustes väga mugav ja seda kasutatakse pidevalt.

Näited probleemide lahendamisest teemal "Kiire kiirus"

NÄIDE 1

NÄIDE 2

NÄIDE 3

Kiirus tähendab füüsikas objekti liikumise kiirust ruumis. See väärtus on erinev: lineaarne, nurkne, keskmine, kosmiline ja isegi superluminaalne. Kõigi olemasolevate sortide hulgas on ka hetkekiirus. Mis see väärtus on, mis on selle valem ja milliseid toiminguid on vaja selle arvutamiseks - täpselt seda arutatakse meie artiklis.

Hetkeline kiirus: olemus ja kontseptsioon

Juba algklassiõpilane teab, kuidas sirgjooneliselt liikuva objekti kiirust määrata: piisab, kui jagada läbitud vahemaa selliseks liikumiseks kulunud ajaga. Siiski tasub meeles pidada, et sel viisil saadud tulemus võimaldab hinnata, kui objekt liigub ebaühtlaselt, siis selle tee teatud lõikudes võib liikumiskiirus märgatavalt erineda. Seetõttu on mõnikord vaja sellist väärtust nagu hetkekiirus. See võimaldab teil hinnata materiaalse punkti liikumiskiirust igal liikumishetkel.

Hetkeline kiirus: arvutusvalem

See parameeter on võrdne nihke (koordinaatide erinevuse) ja ajavahemiku suhte piiriga (tähistatud piiriga, lühendatult lim), mille jooksul see muutus toimus, eeldusel, et see ajavahemik kipub jõudma nullini. Selle määratluse saab kirjutada järgmise valemiga:

v = Δs/Δt kui Δt → 0 või nii v = lim Δt → 0 (Δs/Δt)

Pange tähele, et hetkekiirus on Kui liikumine toimub sirgjooneliselt, siis muutub see ainult suurusjärgus ja suund jääb muutumatuks. Vastasel juhul suunatakse hetkkiiruse vektor igas vaadeldavas punktis liikumistrajektoorile tangentsiaalselt. Mis on selle indikaatori tähendus? Hetkeline kiirus võimaldab teil teada saada, millist liikumist objekt ajaühikus teeb, kui vaadeldavast hetkest liigub see ühtlaselt ja sirgjooneliselt.

Sel juhul pole raskusi: peate lihtsalt leidma vahemaa ja aja suhe, mille jooksul objekt selle ületas. Sel juhul on keha keskmine ja hetkekiirus võrdsed. Kui liikumine ei ole konstantne, siis on sel juhul vaja välja selgitada kiirenduse suurus ja määrata hetkekiirus igal konkreetsel ajahetkel. Vertikaalselt liikudes tuleks arvestada mõjuga Sõiduki hetkekiirust saab määrata radari või spidomeetri abil. Tuleb meeles pidada, et nihkumine tee mõnel lõigul võib olla negatiivse väärtusega.

Kiirenduse leidmiseks võib kasutada kiirendusmõõturit või teha liikumise funktsiooni ja kasutada valemit v=v0+a.t. Kui liikumine algab puhkeseisundist, siis v0 = 0. Arvutamisel tuleb arvestada asjaoluga, et keha aeglustamisel (kiiruse vähenemisel) on kiirendus miinusmärgiga. Kui objekt teeb oma liikumise hetkekiiruse, arvutatakse valemiga v= g.t. Sel juhul on ka algkiirus 0.

« Füüsika – 10. klass

Mis kiirust spidomeeter näitab?
Kas linnatransport saab liikuda ühtlaselt ja sirgjooneliselt?

Päris kehad (inimene, auto, rakett, laev jne) reeglina püsiva kiirusega ei liigu. Nad hakkavad liikuma puhkeseisundist ja nende kiirus suureneb järk-järgult, peatudes väheneb ka kiirus järk-järgult, mistõttu reaalsed kehad liiguvad ebaühtlaselt.

Ebaühtlane liikumine võib olla nii sirgjooneline kui ka kõverjooneline.

Punkti ebaühtlase liikumise täielikuks kirjeldamiseks peate teadma selle asukohta ja kiirust igal ajahetkel.

Punkti kiirust antud ajahetkel nimetatakse kohene kiirus.

Mida mõeldakse hetkekiiruse all?

Laske punkt, liikudes ebaühtlaselt ja mööda kõverat joont, mingil ajahetkel t võtta positsiooni M (joonis 1.24). Pärast aega Δt 1 alates sellest hetkest võtab punkt positsiooni M 1 , olles nihutanud Δ 1 . Jagades vektori Δ 1 ajaintervalliga Δt 1, leiame sellise ühtlase sirgjoonelise liikumise kiiruse, millega punkt peaks liikuma, et jõuda ajas Δt positsioonist M positsiooni M 1. Seda kiirust nimetatakse ajapunkti liikumise keskmiseks kiiruseks Δt 1 .

Tähistades seda läbi cp1 , kirjutame: Keskmine kiirus on suunatud piki sekanti MM 1 . Sama valemi abil leiame ühtlase sirgjoonelise liikumise punkti kiiruse.

Kiirust, millega punkt peab liikuma ühtlaselt ja sirgjooneliselt, et teatud aja jooksul algpositsioonist lõppasendisse jõuda, nimetatakse keskmine kiirus liikumine.

Kiiruse määramiseks antud ajahetkel, kui punkt hõivab positsiooni M, leiame keskmised kiirused järjest väiksemate ajavahemike jaoks:

Huvitav, kas järgnev hetkekiiruse definitsioon on õige: “Keha kiirust trajektoori antud punktis nimetatakse hetkekiiruseks”?

Ajaintervalli Δt vähenemisel vähenevad punkti nihked absoluutväärtuses ja muutuvad suunda. Vastavalt muutuvad ka keskmised kiirused nii absoluutväärtuses kui ka suunas. Kuid kui ajavahemik Δt läheneb nullile, erinevad keskmised kiirused üksteisest üha vähem. Ja see tähendab, et kui ajavahemik Δt kipub olema null, kaldub suhe teatud vektorile kui selle piirväärtusele. Mehaanikas nimetatakse sellist suurust punkti kiiruseks antud ajahetkel või lihtsalt kohene kiirus ja tähistada

Vahetu kiirus punkt on väärtus, mis on võrdne nihke Δ ja ajavahemiku Δt suhte piiriga, mille jooksul see nihe toimus, kui intervall Δt kipub olema null.

Uurime nüüd, kuidas hetkkiiruse vektor on suunatud. Suvalises trajektoori punktis suunatakse hetkekiiruse vektor samamoodi nagu piiril, kui ajavahemik Δt kipub nulli, suunatakse keskmine liikumiskiirus. See keskmine kiirus ajavahemikul Δt on suunatud samamoodi nagu nihkevektor Δ Joonis 1.24 näitab, et ajaintervalli Δt vähenemisel pöörleb samaaegselt ka vektor Δ, vähendades selle pikkust. Mida lühemaks muutub vektor Δ, seda lähemal on see antud punktis M trajektoorile tõmmatud puutujale, st sekant muutub puutujaks. Järelikult

hetkkiirus on suunatud trajektoorile tangentsiaalselt (vt joon. 1.24).

Eelkõige on sellele ringile tangentsiaalselt suunatud piki ringi liikuva punkti kiirus. Seda on lihtne kontrollida. Kui pöörlevast kettast eraldada väikesed osakesed, lendavad nad tangentsiaalselt, kuna eraldumise hetkel on nende kiirus võrdne ketta ümbermõõdu punktide kiirusega. Seetõttu lendab külglibiseva auto rataste alt tulev mustus tangentsiaalselt rataste ümbermõõdule (joon. 1.25).

Hetkekiiruse mõiste on üks kinemaatika põhimõisteid. See mõiste viitab punktile. Seetõttu võib edaspidi, rääkides keha kiirusest, mida ei saa pidada punktiks, rääkida mõne tema punkti kiirusest.

Liikumise kirjeldamiseks kasutatakse lisaks keskmisele liikumiskiirusele sagedamini ka keskmist maakiirust cps.

Keskmine maakiirus määratakse tee ja ajavahemiku suhtega, mille jooksul see tee läbiti:

Kui me ütleme, et rong sõitis Moskvast Peterburi kiirusega 80 km/h, siis peame silmas täpselt rongi keskmist maakiirust nende linnade vahel. Sel juhul on keskmise sõidukiiruse moodul väiksem kui keskmine sõidukiirus, kuna s > |Δ|.

Ebaühtlase liikumise korral kehtib ka kiiruste liitmise seadus. Sel juhul hetkkiirused liidetakse.