Üldiselt on objekti kiiruse (v) leidmine lihtne ülesanne: peate jagama teatud aja (s) nihke (s) selle ajaga (t), st kasutage valemit v = s / t. Kuid sel viisil saadakse keha keskmine kiirus. Mõningaid arvutusi kasutades saate leida keha kiiruse mis tahes punktis teel. Seda kiirust nimetatakse kohene kiirus ja arvutatakse valemiga v = (ds)/(dt), see tähendab, et see on keha keskmise kiiruse arvutamise valemi tuletis. .

Sammud

1. osa

1. Hetkekiiruse arvutamiseks on vaja teada võrrandit, mis kirjeldab keha liikumist (tema asukohta teatud ajahetkel), see tähendab sellist võrrandit, mille ühel küljel on s (keha liikumine) ja teisel pool on terminid muutujaga t (aeg). Näiteks:
   

   s = -1,5t2 + 10t + 4

   • Selles võrrandis: nihe = s. Nihe – objekti läbitud tee. Näiteks kui keha liikus 10 m edasi ja 7 m tagasi, siis kogu keha liikumine on 10 - 7 = 3 m (ja 10 + 7 = 17 m). Aeg = t. Tavaliselt mõõdetakse sekundites.

2. Et leida hetkkiirust kehale, mille liikumist kirjeldab ülaltoodud võrrand, peate arvutama selle võrrandi tuletise. Tuletis on võrrand, mis võimaldab arvutada graafiku kalde igal hetkel (mis tahes ajahetkel). Tuletise leidmiseks erista funktsioon järgmiselt: kui y = a*x n , siis tuletis = a*n*x n-1 . See reegel kehtib polünoomi iga liikme kohta.

   • Teisisõnu, iga liikme tuletis muutujaga t on võrdne teguri korrutisega (enne muutujat) ja muutuja astme korrutisega muutujaga astmega, mis on võrdne algse võimsusega miinus 1. Vaba liige ( termin ilma muutujata, st arv) kaob, kuna see korrutatakse 0-ga. Meie näites:
     

     s = -1,5t2 + 10t + 4
     (2)–1,5 t (2–1) + (1) 10 t 1–1 + (0) 4 t 0
     -3t1 + 10t0
     -3t+10

3. Asendage "s" tähega "ds/dt", et näidata, et uus võrrand on algse võrrandi tuletis (st t-st tuletatud s). Tuletis on graafiku kalle teatud punktis (teatud ajahetkel). Näiteks funktsiooniga s = -1,5t 2 + 10t + 4 kirjeldatud sirge kalde leidmiseks t = 5 korral ühendage lihtsalt 5 tuletisvõrrandisse.

   • Meie näites peaks tuletisvõrrand välja nägema järgmine:
     

     ds/dt = -3t + 10

4. Asendage tuletisvõrrandis t vastav väärtus, et leida hetkkiirus teatud ajahetkel. Näiteks kui soovite leida hetkekiirust, kui t = 5, ühendage lihtsalt 5 (t asemel) tuletisvõrrandisse ds/dt = -3 + 10. Seejärel lahendage võrrand:
   

   ds/dt = -3t + 10
   ds/dt = -3 (5) + 10
   ds/dt = -15 + 10 = -5 m/s

   • Pöörake tähelepanu hetkekiiruse ühikule: m/s. Kuna meile on antud nihke väärtus meetrites ja aeg on sekundites ning kiirus võrdub nihke ja aja suhtega, siis on m/s ühik õige.

   2. osa

   Hetkekiiruse graafiline hindamine

   1. Koostage keha liikumise graafik. Eelmises peatükis arvutasite hetkkiiruse valemi abil (tuletisvõrrand, mis võimaldab leida graafiku kalde teatud punktis). Olles joonistanud keha liikumise graafiku, saate selle kalde leida mis tahes punktis ja seetõttu määrata hetkekiiruse teatud ajahetkel.

      • Y-teljel kujutatakse liikumist ja X-teljel aega. Hankige punktide (x, y) koordinaadid, asendades algsesse nihkevõrrandisse erinevad t väärtused ja arvutades vastavad s väärtused.
      • Graafik võib langeda allapoole X-telge.Kui keha liikumise graafik langeb allapoole X-telge, siis see tähendab, et keha liigub liikumise alguse punktist vastupidises suunas. Graafik reeglina Y-teljest kaugemale ei ulatu (negatiivsed x väärtused) – me ei mõõda ajas tagasi liikuvate objektide kiirust!

   2. Vali graafikul (kõveral) punkt P ja selle lähedal olev punkt Q. Graafiku kalde leidmiseks punktis P kasutame piiri mõistet. Limiit – olek, kus kõveral asetsevate 2 punkti P ja Q kaudu tõmmatud sekandi väärtus kipub nulli.

      • Näiteks vaatleme punkte P(1,3) ja Q(4,7) ning arvutame hetkekiiruse punktis P.

   3. Leidke lõigu PQ kalle. Lõigu PQ kalle on võrdne punktide P ja Q koordinaatide "y" väärtuste erinevuse ja punktide P ja Q koordinaatide "x" väärtuste erinevuse suhtega. Teisisõnu, H = (y Q - y P) / (x Q - x P), kus H - segmendi PQ kalle. Meie näites on segmendi PQ kalle:
      

      H = (y Q - y P)/(x Q - x P)
      H = (7–3)/(4–1)
      H = (4)/(3) = 1.33

   4. Korrake protsessi mitu korda, viies Q-punkti P-punktile lähemale. Mida väiksem on kahe punkti vaheline kaugus, seda lähemal on saadud lõikude kalde väärtus graafiku kaldele punktis P. Meie näites teostame punkti Q arvutused koordinaatidega (2.4.8), (1.5). .3.95) ja (1.25.3.49) (punkti koordinaadid R jäävad samaks.)
      

      Q = (2.4.8): H = (4,8–3)/(2–1)
      H = (1,8)/(1) = 1.8

      Q = (1,5, 3,95): H = (3,95–3)/(1,5–1)
      H = (.95)/(.5) = 1.9

      Q = (1,25, 3,49): H = (3,49-3)/(1,25-1)
      H = (.49)/(.25) = 1.96

   5. Mida väiksem on punktide P ja Q vaheline kaugus, seda lähemal on H väärtus graafiku kaldele punktis P. Kui punktide P ja Q vaheline kaugus on äärmiselt väike, on H väärtus võrdne graafiku kaldega punktis P. Kuna me ei saa mõõta ega arvutada kahe punkti vahelist äärmiselt väikest kaugust, annab graafiline meetod hinnangu graafiku kalle punktis P.

      • Meie näites, kui Q läheneb P-le, saame järgmised H väärtused: 1,8; 1,9 ja 1,96. Kuna need arvud kipuvad olema 2, võime öelda, et graafiku kalle punktis P on 2.
      • Pidage meeles, et graafiku kalle antud punktis on võrdne funktsiooni (millele see graafik on joonistatud) tuletis selles punktis. Graafik näitab keha liikumist ajas ja nagu eelmises osas märgitud, on keha hetkekiirus võrdne selle keha nihkevõrrandi tuletisega. Seega võib väita, et t = 2 juures on hetkekiirus 2 m/s (see on hinnanguline).

   3. osa

   Näited

   1. Arvutage hetkekiirus t = 4 korral, kui keha liikumist kirjeldab võrrand s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9. See näide sarnaneb esimese jaotise probleemiga, ainsaks erinevuseks on see, et tegemist on kolmandat järku võrrandiga (mitte teist järku võrrandiga).

      • Esiteks arvutame selle võrrandi tuletise:
        

        s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9
        s = (3) 5 t (3 - 1) - (2) 3 t (2 - 1) + (1) 2 t (1 - 1) + (0) 9 t 0 - 1
        15t (2) - 6t (1) + 2t (0)
        15t (2) – 6t + 2

        t = 1,01: s = 4 (1,01) 2 - (1,01)
        4 (1,0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, seega Q = (1,01,3,0704)

      • Nüüd arvutame H:
        

        Q = (2,14): H = (14–3)/(2–1)
        H = (11)/(1) = 11

        Q = (1,5, 7,5): H = (7,5–3)/(1,5–1)
        H = (4,5)/(,5) = 9

        Q = (1,1, 3,74): H = (3,74–3)/(1,1–1)
        H = (.74)/(.1) = 7.3

        Q = (1,01, 3,0704): H = (3,0704 - 3)/(1,01 - 1)
        H = (.0704)/(.01) = 7.04

      • Kuna saadud H väärtused kipuvad olema 7, siis võib öelda, et keha hetkekiirus punktis (1,3) on 7 m/s (hinnanguline väärtus).
   • Kiirenduse (kiiruse muutumise aja jooksul) leidmiseks kasutage nihkefunktsiooni tuletise saamiseks esimeses osas toodud meetodit. Seejärel võtke uuesti saadud tuletise tuletis. See annab teile võrrandi kiirenduse leidmiseks antud ajahetkel – peate vaid sisestama aja väärtuse.
   • Võrrand, mis kirjeldab y-d (nihet) versus x (aeg), võib olla väga lihtne, näiteks: y = 6x + 3. Sel juhul on tõus konstantne ja selle leidmiseks ei ole vaja tuletist. Joongraafikute teooria järgi on nende kalle võrdne muutuja x koefitsiendiga ehk meie näites =6.
   • Nihe on nagu kaugus, kuid sellel on kindel suund, mis teeb sellest vektorsuuruse. Nihe võib olla negatiivne, samas kui kaugus on ainult positiivne.

Hetkeline liikumiskiirus.

Pöördume nüüd ühe teile füüsikast tuntud probleemi juurde. Mõelge punkti liikumisele piki sirgjoont. Olgu punkti x-koordinaat ajahetkel t x(t). Nagu füüsikas, eeldame, et liikumine on pidev ja sujuv. Teisisõnu räägime päriselus täheldatud liikumistest. Kindluse mõttes eeldame, et räägime auto liikumisest mööda sirget maanteelõiku.

Paneme ülesande püsti: kasutades teadaolevat sõltuvust x(t) määrake kiirus, millega auto liigub ajahetkel t (teatavasti nimetatakse seda kiirust nn. kohene kiirus). Kui sõltuvus x(t) on lineaarne, on vastus lihtne: igal ajahetkel on kiirus läbitud vahemaa ja aja suhe. Kui liikumine pole ühtlane, on ülesanne raskem.

See, et auto liigub igal ajahetkel teatud (selleks hetkeks) kiirusega, on ilmne.Seda kiirust on lihtne leida tehes spidomeetrist foto ajahetkel t 0. (Sidomeetri näit näitab hetkekiiruse väärtust ajahetkel t). Kiiruse v inst (t 0) leidmiseks, teades x (t), tegite füüsikatundides järgmist

Keskmine kiirus teatud aja jooksul |Δt| t 0 kuni t 0 + Δt on järgmine:

Nagu oleme eeldanud, liigub keha sujuvalt. Seetõttu on loomulik eeldada, et kui ?t on väga väike, siis kiirus selle aja jooksul praktiliselt ei muutu. Kuid siis keskmine kiirus (sellel intervallil) praktiliselt ei erine väärtusest v inst (t 0), mida me otsime. See soovitab hetkkiiruse määramiseks järgmist: leida v cf (Δt) ja vaadata, millisele väärtusele see on lähedane, kui eeldame, et Δt praktiliselt ei erine nullist.

Vaatleme konkreetset näidet. Leiame kiirusega V 0 ülesvisatud keha hetkkiiruse. Selle kõrgus hetkel t leitakse tuntud valemiga

1) Leiame esmalt Δh:

3) Nüüd vähendame Δt, viies selle nullile lähemale. Lühiduse mõttes ütleme, et Δt kipub olema null. See on kirjutatud järgmiselt: Δt → 0

Ja kuna väärtused V 0 ja –gt 0 ning seega ka V 0 -gt 0 on konstantsed, saame valemist (1):

Niisiis, punkti hetkkiirus ajahetkel t 0 leitakse valemiga

See on vektorfüüsikaline suurus, mis on arvuliselt võrdne piiriga, milleni keskmine kiirus lõpmatult väikesel ajavahemikul kaldub:

Teisisõnu, hetkekiirus on aja raadiuse vektor.

Kiiruse hetkvektor on alati suunatud tangentsiaalselt keha liikumise suunas keha trajektoorile.

Hetkeline kiirus annab täpset teavet liikumise kohta teatud ajahetkel. Näiteks mingil ajahetkel autos sõites vaatab juht spidomeetrit ja näeb, et seade näitab 100 km/h. Mõne aja pärast näitab spidomeetri nõel kiirusele 90 km / h ja mõne minuti pärast - 110 km / h. Kõik loetletud spidomeetri näidud on auto hetkekiiruse väärtused teatud ajahetkedel. Kiirus igal ajahetkel ja igas trajektoori punktis peab olema teada kosmosejaamade dokkimisel, lennukite maandumisel jne.

Kas mõistel "hetkkiirus" on füüsiline tähendus? Kiirus on ruumi muutumise tunnus. Et aga kindlaks teha, kuidas liikumine on muutunud, on vaja liikumist mõnda aega jälgida. Isegi kõige arenenumad kiiruse mõõtmise instrumendid, nagu radaripaigaldised, mõõdavad kiirust teatud aja jooksul – küll üsna väikesel, kuid see on siiski piiratud ajavahemik, mitte ajahetk. Väljend "keha kiirus antud ajahetkel" füüsika seisukohalt ei ole õige. Hetkekiiruse mõiste on aga matemaatilistes arvutustes väga mugav ja seda kasutatakse pidevalt.

Näited probleemide lahendamisest teemal "Kiire kiirus"

NÄIDE 1

NÄIDE 2

NÄIDE 3

« Füüsika – 10. klass

Mis kiirust spidomeeter näitab?
Kas linnatransport saab liikuda ühtlaselt ja sirgjooneliselt?

Päris kehad (inimene, auto, rakett, laev jne) reeglina püsiva kiirusega ei liigu. Nad hakkavad liikuma puhkeseisundist ja nende kiirus suureneb järk-järgult, peatudes väheneb ka kiirus järk-järgult, mistõttu reaalsed kehad liiguvad ebaühtlaselt.

Ebaühtlane liikumine võib olla nii sirgjooneline kui ka kõverjooneline.

Punkti ebaühtlase liikumise täielikuks kirjeldamiseks peate teadma selle asukohta ja kiirust igal ajahetkel.

Punkti kiirust antud ajahetkel nimetatakse kohene kiirus.

Mida mõeldakse hetkekiiruse all?

Laske punkt, liikudes ebaühtlaselt ja mööda kõverat joont, mingil ajahetkel t võtta positsiooni M (joonis 1.24). Pärast aega Δt 1 alates sellest hetkest võtab punkt positsiooni M 1 , olles nihutanud Δ 1 . Jagades vektori Δ 1 ajaintervalliga Δt 1, leiame sellise ühtlase sirgjoonelise liikumise kiiruse, millega punkt peaks liikuma, et jõuda ajas Δt positsioonist M positsiooni M 1. Seda kiirust nimetatakse ajapunkti liikumise keskmiseks kiiruseks Δt 1 .

Tähistades seda läbi cp1 , kirjutame: Keskmine kiirus on suunatud piki sekanti MM 1 . Sama valemi abil leiame ühtlase sirgjoonelise liikumise punkti kiiruse.

Kiirust, millega punkt peab teatud aja jooksul ühtlaselt ja sirgjooneliselt liikuma, et jõuda algpositsioonist lõppasendisse, nimetatakse keskmine kiirus liikumine.

Kiiruse määramiseks antud ajahetkel, kui punkt hõivab positsiooni M, leiame keskmised kiirused järjest väiksemate ajavahemike jaoks:

Huvitav, kas järgnev hetkekiiruse definitsioon on õige: “Keha kiirust trajektoori antud punktis nimetatakse hetkekiiruseks”?

Ajaintervalli Δt vähenemisel vähenevad punkti nihked absoluutväärtuses ja muutuvad suunda. Vastavalt muutuvad ka keskmised kiirused nii absoluutväärtuses kui ka suunas. Kuid kui ajavahemik Δt läheneb nullile, erinevad keskmised kiirused üksteisest üha vähem. Ja see tähendab, et kui ajavahemik Δt kipub olema null, kaldub suhe teatud vektorile kui selle piirväärtusele. Mehaanikas nimetatakse sellist suurust punkti kiiruseks antud ajahetkel või lihtsalt kohene kiirus ja tähistada

Vahetu kiirus punkt on väärtus, mis on võrdne nihke Δ ja ajavahemiku Δt suhte piiriga, mille jooksul see nihe toimus, kui intervall Δt kipub olema null.

Uurime nüüd, kuidas hetkkiiruse vektor on suunatud. Suvalises trajektoori punktis suunatakse hetkekiiruse vektor samamoodi nagu piiril, kui ajavahemik Δt kipub nulli, suunatakse keskmine liikumiskiirus. See keskmine kiirus ajavahemikul Δt on suunatud samamoodi nagu nihkevektor Δ Joonis 1.24 näitab, et ajaintervalli Δt vähenemisel pöörleb samaaegselt ka vektor Δ, vähendades selle pikkust. Mida lühemaks muutub vektor Δ, seda lähemal on see antud punktis M trajektoorile tõmmatud puutujale, st sekant muutub puutujaks. Järelikult

hetkkiirus on suunatud trajektoorile tangentsiaalselt (vt joon. 1.24).

Eelkõige on sellele ringile tangentsiaalselt suunatud piki ringi liikuva punkti kiirus. Seda on lihtne kontrollida. Kui pöörlevast kettast eraldada väikesed osakesed, lendavad nad tangentsiaalselt, kuna eraldumise hetkel on nende kiirus võrdne ketta ümbermõõdu punktide kiirusega. Seetõttu lendab külglibiseva auto rataste alt tulev mustus tangentsiaalselt rataste ümbermõõdule (joon. 1.25).

Hetkekiiruse mõiste on üks kinemaatika põhimõisteid. See mõiste viitab punktile. Seetõttu võib edaspidi, rääkides keha kiirusest, mida ei saa pidada punktiks, rääkida mõne tema punkti kiirusest.

Liikumise kirjeldamiseks kasutatakse lisaks keskmisele liikumiskiirusele sagedamini ka keskmist maakiirust cps.

Keskmine maakiirus määratakse tee ja ajavahemiku suhtega, mille jooksul see tee läbiti:

Kui me ütleme, et rong sõitis Moskvast Peterburi kiirusega 80 km/h, siis peame silmas täpselt rongi keskmist maakiirust nende linnade vahel. Sel juhul on keskmise sõidukiiruse moodul väiksem kui keskmine sõidukiirus, kuna s > |Δ|.

Ebaühtlase liikumise korral kehtib ka kiiruste liitmise seadus. Sel juhul hetkkiirused liidetakse.

Ebaühtlaseks liikumiseks loetakse muutuva kiirusega liikumist. Kiirus võib suunda muuta. Võib järeldada, et igasugune liikumine MITTE sirgel teel on ebaühtlane. Näiteks keha liikumine ringis, kaugusesse visatud keha liikumine jne.

Kiirus võib varieeruda sõltuvalt numbrilisest väärtusest. See liikumine on samuti ebaühtlane. Sellise liikumise erijuhtum on ühtlaselt kiirendatud liikumine.

Mõnikord esineb ebaühtlane liikumine, mis seisneb erinevat tüüpi liigutuste vaheldumises, näiteks algul buss kiirendab (liikumine on ühtlaselt kiirenenud), siis liigub mõnda aega ühtlaselt ja siis peatub.

Vahetu kiirus

Ebaühtlast liikumist on võimalik iseloomustada ainult kiirusega. Kuid kiirus muutub alati! Seetõttu saame rääkida ainult kiirusest antud ajahetkel. Autoga reisides näitab spidomeeter Sulle hetkelist liikumiskiirust sekundis. Kuid sel juhul tuleks aega vähendada mitte sekundini, vaid arvestada palju väiksema ajaperioodiga!

keskmine kiirus

Mis on keskmine kiirus? Vale on arvata, et on vaja kõik hetkkiirused kokku liita ja nende arvuga jagada. See on kõige levinum eksiarvamus keskmise kiiruse kohta! Keskmine kiirus on kogu tee jagatud ajaga. Ja seda ei määratleta muul viisil. Kui arvestada auto liikumist, siis saame hinnata selle keskmisi kiirusi tee esimesel poolel, teisel, kogu teekonnal. Nendel lõikudel võivad keskmised kiirused olla samad või erinevad.

Keskmiste väärtuste korral tõmmatakse peale horisontaaljoon.

Keskmine liikumiskiirus. Keskmine maakiirus

Kui keha liikumine ei ole sirgjooneline, on keha läbitav teekond suurem kui selle nihkumine. Sel juhul erineb keskmine sõidukiirus keskmisest maakiirusest. Maapinna kiirus on skalaar.

Peaasi, mida meeles pidada

1) Ebaühtlase liikumise määratlus ja liigid;
2) keskmise ja hetkkiiruse vahe;
3) Keskmise liikumiskiiruse leidmise reegel

Sageli peate lahendama probleemi, kus kogu tee on jagatud võrdne lõikudel on iga lõigu jaoks antud keskmised kiirused, tuleb leida kogu tee keskmine kiirus. Vale otsus on see, kui liidate keskmised kiirused ja jagate nende arvuga. Allpool on valem, mida saab kasutada selliste probleemide lahendamiseks.

Hetkelise kiiruse saab määrata liikumisgraafiku abil. Keha hetkkiiruse graafiku mis tahes punktis määrab vastava punkti kõvera puutuja kalle. Hetkekiirus – funktsiooni graafiku puutuja kalde puutuja.

Harjutused

Autoga sõites võeti igal minutil spidomeetri näitu. Kas nende andmete põhjal on võimalik määrata auto keskmist kiirust?

See on võimatu, kuna üldjuhul ei võrdu keskmise kiiruse väärtus hetkekiiruste aritmeetilise keskmise väärtusega. Aga teed ja aega pole ette antud.

Millist vahelduva liikumise kiirust näitab auto spidomeetri näit?

hetkeseisu lähedal. Sulge, kuna ajaintervall peaks olema lõpmata väike ja spidomeetrilt näitude võtmisel pole aega sel viisil võimalik hinnata.

Millisel juhul on hetk- ja keskmine kiirus üksteisega võrdsed? Miks?

Ühtlase liikumisega. Sest kiirus ei muutu.

Haamri kiirus kokkupõrkel on 8m/s. Mis on kiirus: keskmine või hetkeline?