У загальних цілях знаходження швидкості об'єкта (v) - просте завдання: потрібно розділити переміщення (s) протягом певного часу (s) на цей час (t), тобто скористатися формулою v = s/t. Однак у такий спосіб отримують середню швидкість тіла. Використовуючи деякі обчислення, можна знайти швидкість тіла у будь-якій точці шляху. Така швидкість називається миттєвою швидкістюта обчислюється за формулою v = (ds)/(dt), тобто є похідною від формули для обчислення середньої швидкості тіла. .

Кроки

Частина 1

1. Для обчислення миттєвої швидкості необхідно знати рівняння, що описує переміщення тіла (його позицію у певний момент часу), тобто таке рівняння, з одного боку якого перебуває s (переміщення тіла), але в іншому боці – члени зі змінною t (час). Наприклад:
   

   s = -1.5t 2 + 10t + 4

   • У цьому рівнянні: Переміщення = s. Переміщення – пройдений об'єктом шлях. Наприклад, якщо тіло перемістилося на 10 м вперед і 7 м назад, то загальне переміщення тіла дорівнює 10 - 7 = 3 м (а на 10 + 7 = 17 м). Час = t. Зазвичай вимірюється за секунди.

2. Щоб знайти миттєву швидкість тіла, чиї переміщення описуються наведеним вище рівнянням, ви повинні обчислити похідну рівняння. Похідна - це рівняння, що дозволяє обчислити нахил графіка у будь-якій точці (у будь-який момент часу). Щоб знайти похідну, продиференціюйте функцію так: якщо y = a*x n , то похідна = a*n*x n-1 . Це правило застосовується до кожного члена багаточлена.

   • Іншими словами, похідна кожного члена зі змінною t дорівнює добутку множника (який стоїть перед змінною) та ступеня змінної, помноженому на змінну в ступеню, рівну вихідному ступеню мінус 1. Вільний член (член без змінної, тобто число) зникає, тому що множиться на 0. У нашому прикладі:
     

     s = -1.5t 2 + 10t + 4
     (2)-1.5t (2-1) + (1)10t 1 - 1 + (0)4t 0
     -3t 1 + 10t 0
     -3t + 10

3. Замініть "s" на "ds/dt", щоб показати, що нове рівняння – це похідна від вихідного рівняння (тобто похідна s від t). Похідна - це нахил графіка у певній точці (у певний момент часу). Наприклад, щоб знайти нахил лінії, що описується функцією s = -1.5t 2 + 10t + 4 при t = 5, просто підставте 5 рівняння похідної.

   • У прикладі рівняння похідної має виглядати так:
     

     ds/dt = -3t + 10

4. Для рівняння похідної підставте відповідне значення t, щоб знайти миттєву швидкість у певний момент часу. Наприклад, якщо ви хочете знайти миттєву швидкість при t = 5, просто підставте 5 (замість t) до рівняння похідної ds/dt = -3 + 10. Потім розв'яжіть рівняння:
   

   ds/dt = -3t + 10
   ds/dt = -3(5) + 10
   ds/dt = -15 + 10 = -5 м/с

   • Зверніть увагу на одиницю виміру миттєвої швидкості: м/с. Так як нам дано значення переміщення в метрах, а час – у секундах, і швидкість дорівнює відношенню переміщення часу, то одиниця виміру м/с – правильна.

   Частина 2

   Графічна оцінка миттєвої швидкості

   1. Побудуйте графік руху тіла.У попередньому розділі ви обчислювали миттєву швидкість за формулою (рівнянню похідної, що дозволяє знайти нахил графіка у певній точці). Побудувавши графік переміщення тіла, ви можете знайти його нахил у будь-якій точці, а відтак визначити миттєву швидкість у певний момент часу.

      • По осі Y відкладайте переміщення, а осі Х - час. Координати точок (х,у) отримаєте через підстановку різних значень t вихідне рівняння переміщення та обчислення відповідних значень s.
      • Графік може опускатися нижче осі Х. Якщо графік переміщення тіла опускається нижче осі Х, це означає, що тіло рухається у напрямку від точки початку руху. Як правило, графік не буде поширюватися за вісь Y (негативні значення х) – ми не вимірюємо швидкість об'єктів, що рухаються назад у часі!

   2. Виберіть на графіці (кривий) точку Р та близьку до неї точку Q.Щоб знайти нахил графіка у точці Р, використовуємо поняття межі. Межа - стан, при якому величина січної, проведеної через 2 точки P і Q, що лежать на кривій, прагне нуля.

      • Наприклад, розглянемо точки Р(1,3) і Q(4,7) та обчислимо миттєву швидкість у точці Р.

   3. Знайдіть нахил відрізка РQ.Нахил відрізка РQ дорівнює відношенню різниці значень координат «у» точок P і Q до різниці значень координат «х» точок P і Q. Тобто H = (y Q - y P)/(x Q - x P), де H – нахил відрізка PQ. У нашому прикладі нахил відрізка PQ дорівнює:
      

      H = (y Q - y P)/(x Q - x P)
      H = (7 - 3) / (4 - 1)
      H = (4)/(3) = 1.33

   4. Повторіть процес кілька разів, наближаючи точку Q до точки Р.Чим менша відстань між двома точками, тим ближче значення нахилу отриманих відрізків до нахилу графіка в точці Р. У нашому прикладі зробимо обчислення точки Q з координатами (2,4.8), (1.5,3.95) і (1.25,3.49) (координати точки Р залишаються колишніми):
      

      Q = (2,4.8): H = (4.8 - 3) / (2 - 1)
      H = (1.8) / (1) = 1.8

      Q = (1.5,3.95): H = (3.95 – 3)/(1.5 – 1)
      H = (.95)/(.5) = 1.9

      Q = (1.25,3.49): H = (3.49 – 3)/(1.25 – 1)
      H = (.49)/(.25) = 1.96

   5. Чим менша відстань між точками Р і Q, тим ближчі значення Н до нахилу графіка в точці Р.При гранично малій відстані між точками Р і Q, значення Н дорівнюватиме нахилу графіка в точці Р. Так як ми не можемо виміряти або обчислити гранично малу відстань між двома точками, графічний спосіб дає оцінне значення нахилу графіка в точці Р.

      • У прикладі при наближенні Q до P ми отримали такі значення Н: 1.8; 1.9 та 1.96. Оскільки ці числа прагнуть 2, можна сказати, що нахил графіка у точці Р дорівнює 2.
      • Пам'ятайте, що нахил графіка у цій точці дорівнює похідної функції (за якою побудований цей графік) у цій точці. Графік відображає переміщення тіла з часом і, як зазначалося у попередньому розділі, миттєва швидкість тіла дорівнює похідній від рівняння переміщення цього тіла. Отже, можна сказати, що з t = 2 миттєва швидкість дорівнює 2 м/с (це оцінне значення).

   Частина 3

   Приклади

   1. Обчисліть миттєву швидкість при t = 4, якщо рух тіла описується рівнянням s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9.Цей приклад схожий завдання з першого розділу з тією різницею, що тут дано рівняння третього порядку (а чи не другого).

      • Спочатку обчислимо похідну цього рівняння:
        

        s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9
        s = (3)5t (3 - 1) - (2)3t (2 - 1) + (1)2t (1 - 1) + (0)9t 0 - 1
        15t(2) - 6t(1) + 2t(0)
        15t (2) - 6t + 2

        t = 1.01: s = 4(1.01) 2 - (1.01)
        4(1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, so Q = (1.01,3.0704)

      • Тепер обчислимо H:
        

        Q = (2,14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
        H = (11)/(1) = 11

        Q = (1.5,7.5): H = (7.5 – 3)/(1.5 – 1)
        H = (4.5)/(.5) = 9

        Q = (1.1,3.74): H = (3.74 – 3)/(1.1 – 1)
        H = (.74)/(.1) = 7.3

        Q = (1.01,3.0704): H = (3.0704 - 3) / (1.01 - 1)
        H = (.0704)/(.01) = 7.04

      • Оскільки отримані значення H прагнуть 7, можна сказати, що миттєва швидкість тіла у точці (1,3) дорівнює 7 м/с (оцінкове значення).
   • Щоб знайти прискорення (зміна швидкості з часом), використовуйте метод у частині першій, щоб отримати похідну функцію переміщення. Потім візьміть ще раз похідну від отриманої похідної. Це дасть вам рівняння, щоб знайти прискорення в даний момент часу - все, що вам потрібно зробити, це підставити значення для часу.
   • Рівняння, яке описує залежність у (переміщення) від х (час), може бути дуже простим, наприклад: у = 6x + 3. У цьому випадку нахил є постійним і не треба брати похідну, щоб його знайти. Відповідно до теорії лінійних графіків, їх нахил дорівнює коефіцієнту при змінній х, тобто у прикладі =6.
   • Переміщення подібне до відстані, але воно має певний напрямок, що робить його векторною величиною. Переміщення може бути негативним, тоді як відстань буде лише позитивною.

Миттєва швидкість руху.

Звернемося тепер до завдання, відомого вам із фізики. Розглянемо рух точки прямою. Нехай координата точки в момент часу t дорівнює x(t). Як і в курсі фізики, припускаємо, що рух здійснюється безперервно та плавно. Іншими словами, йдеться про рухи, які спостерігаються в реальному житті. Для певності вважатимемо, що йдеться про рух автомобіля прямолінійною ділянкою шосе.

Поставимо завдання: за відомою залежністю x(t) визначити швидкість, з якою рухається автомобіль у момент часу t (як ви знаєте, ця швидкість називається миттєвою швидкістю). Якщо залежність х(t) лінійна, відповідь проста: у будь-який момент часу швидкість є відношення пройденого шляху до часу. Якщо рух не рівномірний, завдання складніше.

Той факт, що в будь-який момент часу автомобіль рухається з якоюсь певною (для цього моменту) швидкістю, очевидна ця швидкість легко знайти, зробивши в момент часу t 0 фотографію спідометра. (Показ спідометра вказує значення миттєвої швидкості в момент t). Щоб знайти швидкість v мгн (t 0), знаючи х(t), на уроках фізики ви чинили наступним чином

Середня швидкість за період тривалістю |Δt| від t 0 до t 0 + Δt наступна:

Як ми припустили, тіло рухається плавно. Тому природно вважати: якщо t дуже мало, то за цей проміжок часу швидкість практично не змінюється. Але тоді середня швидкість (на цьому проміжку) практично не відрізняється від значення vмгн (t0), яке ми шукаємо. Це підказує наступний спосіб визначення миттєвої швидкості: знайти v ср (Δt) і подивитися, якого значення воно близько, якщо вважати, що Δt практично не відрізняється від нуля.

Розглянемо конкретний приклад. Знайдемо миттєву швидкість тіла, кинутого нагору зі швидкістю V 0 . Висота його в момент t знаходиться за відомою формулою

1) Знайдемо спочатку Δh:

3) Тепер зменшуватимемо Δt, наближаючи його до нуля. Для стислості кажуть, що Δt прагне нуля. Це записується так: Δt → 0 Як легко зрозуміти, у разі значення -gΔt/2 теж прагне нулю, тобто.

А оскільки величини V 0 -gt 0 , а значить, і V 0 -gt 0 постійні, з формули (1) отримуємо:

Отже, миттєва швидкість точки на момент часу t 0 перебуває за формулою

Це векторна фізична величина, чисельно рівна межі, якого прагне середня швидкість за нескінченно малий проміжок часу:

Іншими словами, миттєва швидкість – це радіус-вектор за часом.

Вектор миттєвої швидкості завжди спрямований по траєкторії тіла в бік руху тіла.

Миттєва швидкість дає точну інформацію про рух у певний час. Наприклад, при їзді в автомобілі в деякий момент водій дивиться на спідометр і бачить, що прилад показує 100 км/год. Через деякий час стрілка спідометра вказує на величину 90 км/год, а через кілька хвилин – на величину 110 км/год. Всі перелічені показання спідометра – це значення миттєвої швидкості автомобіля у певні моменти часу. Швидкість у кожний момент часу та у кожній точці траєкторії необхідно знати при стиковці космічних станцій, при посадці літаків тощо.

Чи має поняття «миттєвої швидкості» фізичне значення? Швидкість – це характеристика зміни простору. Однак для того, щоб визначити, як змінилося переміщення, необхідно спостерігати за рухом протягом деякого часу. Навіть найдосконаліші прилади для вимірювання швидкості, такі як радарні установки, вимірюють швидкість за проміжок часу – нехай досить малий, проте це все-таки кінцевий часовий інтервал, а не момент часу. Вираз «швидкість тіла у час» з погляду фізики перестав бути коректним. Проте, поняття миттєвої швидкості дуже зручне у математичних розрахунках, і вони постійно користуються.

Приклади розв'язання задач на тему «Миттєва швидкість»

ПРИКЛАД 1

ПРИКЛАД 2

ПРИКЛАД 3

« Фізика – 10 клас»

Яку швидкість показує спідометр?
Чи може міський транспорт рухатися рівномірно та прямолінійно?

Реальні тіла (людина, автомобіль, ракета, теплохід тощо. буд.), зазвичай, не рухаються з постійною швидкістю. Вони починають рухатися зі стану спокою, і їхня швидкість збільшується поступово, при зупинці швидкість зменшується також поступово, таким чином, реальні тіла рухаються нерівномірно.

Нерівномірний рух може бути як прямолінійним, і криволінійним.

Щоб повністю описати нерівномірний рух точки, треба знати її положення та швидкість у кожний момент часу.

Швидкість точки в даний момент називається миттєвою швидкістю.

Що розуміють під миттєвою швидкістю?

Нехай точка, рухаючись нерівномірно і кривою лінії, у певний момент часу t займає положення М (рис. 1.24). Після часу Δt 1 від цього моменту точка займе положення М 1 , здійснивши переміщення Δ 1 . Поділивши вектор Δ 1 на проміжок часу Δt 1 знайдемо таку швидкість рівномірного прямолінійного руху з якою мала б рухатися точка, щоб за час Δt потрапити з положення М в положення М 1 . Цю швидкість називають середньою швидкістю переміщення точки за Δt 1 .

Позначивши її через ср1 , запишемо: Середня швидкість спрямована вздовж сік ММ 1 . За тією ж формулою знаходимо швидкість точки при рівномірному прямолінійному русі.

Швидкість, з якою повинна рівномірно і прямолінійно рухатися точка, щоб потрапити з початкового положення в кінцеве за певний проміжок часу, називається середньою швидкістюпереміщення.

Для того щоб визначити швидкість в даний момент часу, коли точка займає положення М, знайдемо середні швидкості за менші і менші проміжки часу:

Цікаво, чи таке визначення миттєвої швидкості: «Швидкість тіла в даній точці траєкторії називається миттєвою швидкістю»?

При зменшенні проміжку часу Δt переміщення точки зменшуються за модулем і змінюються у напрямку. Відповідно до цього середні швидкості також змінюються як за модулем, так і за напрямом. Але з наближенням проміжку часу Δt до нуля середні швидкості все менше і менше відрізнятимуться один від одного. А це означає, що при прагненні проміжку часу Δt до нуля ставлення прагне певного вектора як свого граничного значення. У механіці таку величину називають швидкістю точки в даний момент часу або просто миттєвою швидкістюі позначають

Миттєва швидкістьточки є величина, що дорівнює межі відношення переміщення Δ до проміжку часу Δt, протягом якого це переміщення відбулося, при прагненні проміжку Δt до нуля.

З'ясуємо тепер, як спрямований вектор миттєвої швидкості. У будь-якій точці траєкторії вектор миттєвої швидкості спрямований так, як у межі, при прагненні проміжку часу Δt до нуля, спрямована середня швидкість переміщення. Ця середня швидкість протягом проміжку часу Δt спрямована так, як спрямований вектор переміщення Δ З малюнка 1.24 видно, що при зменшенні проміжку часу Δt вектор зменшуючи довжину, одночасно повертається. Чим коротшим стає вектор Δ, тим ближчим він до дотичної, проведеної до траєкторії в даній точці М, тобто січна переходить у дотичну. Отже,

миттєва швидкість спрямована щодо траєкторії (див. рис. 1.24).

Зокрема, швидкість точки, що рухається по колу, спрямована по дотичній до цього кола. У цьому неважко переконатись. Якщо маленькі частинки відокремлюються від диска, що обертається, то вони летять по дотичній, оскільки мають в момент відриву швидкість, рівну швидкості точок на колі диска. Ось чому бруд з-під коліс автомашини, що буксує, летить по дотичній до кола коліс (рис. 1.25).

Поняття миттєвої швидкості – одне з основних понять кінематики. Це поняття відноситься до точки. Тому надалі, говорячи про швидкість руху тіла, яке не можна вважати точкою, ми можемо говорити про швидкість якоїсь його точки.

Крім середньої швидкості переміщення, для опису руху частіше користуються середньою швидкістю cps .

Середня шляхова швидкістьвизначається ставленням шляху до проміжку часу, за який цей шлях пройдено:

Коли ми говоримо, що шлях від Москви до Санкт-Петербурга поїзд пройшов зі швидкістю 80 км/год, ми маємо на увазі саме середню швидкість руху поїзда між цими містами. Модуль середньої швидкості переміщення при цьому буде меншим за середню колійну швидкість, оскільки s > |Δ|.

Для нерівномірного руху також справедливий закон складання швидкостей. І тут складаються миттєві швидкості.

Нерівномірним вважається рух із швидкістю, що змінюється. Швидкість може змінюватися у напрямку. Можна зробити висновок, що будь-який рух НЕ по прямій траєкторії є нерівномірним. Наприклад, рух тіла по колу, рух тіла кинутого вдалину та ін.

Швидкість може змінюватись за чисельним значенням. Такий рух також буде нерівномірним. Особливий випадок такого руху – рівноприскорений рух.

Іноді зустрічається нерівномірний рух, який складається з чергування різного виду рухів, наприклад, спочатку автобус розганяється (рух рівноприскорений), потім якийсь час рухається рівномірно, а потім зупиняється.

Миттєва швидкість

Охарактеризувати нерівномірний рух можна лише швидкістю. Але швидкість завжди змінюється! Тому можна говорити лише про швидкість цієї миті часу. Подорожуючи машиною спідометр щомиті демонструє вам миттєву швидкість руху. Але час при цьому треба зменшити не до секунди, а розглядати менший проміжок часу!

Середня швидкість

Що таке середня швидкість? Невірно думати, що необхідно скласти всі миттєві швидкості і поділити їх кількість. Це найпоширеніша помилка про середню швидкість! Середня швидкість – це весь шлях поділити на витрачений час. І жодними іншими способами вона не визначається. Якщо розглянути рух автомобіля, можна оцінити його середні швидкості на першій половині шляху, на другій по всьому шляху. Середні швидкості можуть бути однаковими, а можуть бути різними на цих ділянках.

У середніх величин малюють зверху горизонтальну межу.

Середня швидкість руху. Середня шляхова швидкість

Якщо рух тіла не є прямолінійним, то пройдений тілом шлях буде більшим, ніж його переміщення. У цьому випадку середня швидкість переміщення відрізняється від середньої дорожньої швидкості. Шляхова швидкість - скаляр.

Головне запам'ятати

1) Визначення та види нерівномірного руху;
2) Відмінність середньої та миттєвої швидкостей;
3) Правило знаходження середньої швидкості руху

Часто потрібно вирішити завдання, де весь шлях розбитий на рівніділянки, дані середні швидкості кожному ділянці, потрібно знайти середню швидкість руху по всьому шляху. Неправильне рішення буде, якщо скласти середні швидкості і поділити їх кількість. Нижче виводиться формула, яку можна використовувати під час вирішення подібних завдань.

Миттєву швидкість можна визначити за допомогою графіка руху. Миттєва швидкість тіла у будь-якій точці на графіку визначається нахилом дотичної до кривої у відповідній точці.Миттєва швидкість - тангенс кута нахилу щодо графіку функції.

Вправи

Під час їзди автомобілем через кожну хвилину знімалися показання спідометра. Чи можна за цими даними визначити середню швидкість руху автомобіля?

Не можна, оскільки у випадку величина середньої швидкості не дорівнює середньому арифметичному значенню величин миттєвих швидкостей. А шлях та час не дано.

Яку швидкість змінного руху показує спідометр автомобіля?

Близьку до миттєвої. Близьку, тому що проміжок часу повинен бути нескінченно малий, а при знятті свідчень зі спідометра так про час судити не можна.

У якому разі миттєва та середня швидкості рівні між собою? Чому?

При рівномірному русі. Тому що швидкість не змінюється.

Швидкість руху молотка при ударі дорівнює 8м/с. Яка це швидкість: середня чи миттєва?