Дієти

Як порівняти числа з різними знаменниками. Порівняння звичайних дробів. Віднімання змішаних чисел. Складні випадки

Порівняти два дроби- означає визначити, який із дробів більший, який менший або встановити, що дроби рівні.

Порівняння дробів з однаковими знаменниками

З двох дробів з однаковими знаменниками більше той дріб, у якого чисельник більший.

приклад.Дроби більше ніж дріб, тому що частки в обох дробах однакові, але в першому дробі їх більше, ніж у другому.

Якщо зобразимо одиницю відрізком і розділимо його на 8 часток, то легко побачити, що дріб більше:

Порівняння дробів з однаковими чисельниками

З двох дробів з однаковими чисельниками більший той дріб, у якого знаменник менший.

приклад.Дроби більше ніж дріб , тому що кількість часток в обох дробах однакова, але в першому дробі частки більша, ніж у другому.

Зобразимо дві одиниці як кіл, один розділимо на 4 частки, другий на 6 часток. Тепер можна побачити, що дріб більше:

Порівняння дробів з різними знаменниками та чисельниками

Щоб порівняти дроби, у яких різні чисельники та знаменники, потрібно привести їх до спільного знаменника. Після цього їх порівнюють за правилом порівняння дробів, у яких однакові знаменники.

приклад.Порівняйте дроби: і .

Рішення:

Тепер порівнюємо їх за правилом порівняння дробів, у яких однакові знаменники. Тому що, значить.

Наведемо ще один спосіб порівняння дробів з різними знаменниками та чисельниками. Розглянемо спочатку числовий приклад.

приклад.Порівняємо дроби та .

Рішення:

Наводимо ці дроби до спільного знаменника:

Вирішуючи даний приклад можна помітити, що після приведення дробів до спільного знаменника, завдання порівняння звелося фактично до порівняння творів 2 · 7 і 4 · 3. Так як 2 · 7 = 14, а 4 · 3 = 12, то 2 · 7 > 4 · 3. Отже, .

Тепер вирішимо це завдання в загальному вигляді, використовуючи буквений запис.

приклад.Нехай дані дроби і , де aі c- нуль чи натуральні числа, bі d- натуральні числа. Наведемо дроби до спільного знаменника:

Отже:

Таким чином, ми отримали наступне правило порівняння звичайних дробів:

Щоб порівняти два звичайні дроби, можна чисельник одного дробу помножити на знаменник іншого та отримані твори порівняти.

Це правило називається перехресним правилом порівняння дробів.

Порівняння дробу з натуральним числом

Будь-який правильний дріб менший від будь-якого натурального числа.

приклад.

Порівняння неправильного дробу з натуральним числом зводиться до порівняння двох дробів.

Щоб порівняти неправильний дріб із натуральним числом, потрібно натуральне число подати у вигляді неправильного дробу зі знаменником 1, потім їх можна порівняти одним із двох способів: використовуючи перехресне правило, або привести дроби до спільного знаменника. Після цього їх порівнюють за правилом порівняння дробів, у яких однакові знаменники.

Ця стаття розглядає порівняння дробів. Тут ми з'ясуємо, який із дробів більший чи менший, застосуємо правило, розберемо приклади рішення. Порівняємо дроби як з однаковими, і різними знаменниками. Зробимо порівняння звичайного дробу з натуральним числом.

Порівняння дробів з однаковими знаменниками

Коли проводиться порівняння дробів з однаковими знаменниками, ми працюємо лише з чисельником, а отже, порівнюємо частки числа. Якщо є дріб 3 7 , то він має 3 частки 1 7 тоді дроб 8 7 має 8 таких часток. Інакше висловлюючись, якщо знаменник однаковий, проводиться порівняння чисельників цих дробів, тобто 3 7 і 8 7 порівнюються числа 3 і 8 .

Звідси випливає правило порівняння дробів з однаковими знаменниками: з наявних дробів з однаковими показниками вважається більшим той дріб, у якого чисельник більший і навпаки.

Це свідчить, що слід звернути увагу до чисельники. Для цього розглянемо приклад.

Приклад 1

Зробити порівняння заданих дробів 65126 і 87126 .

Рішення

Оскільки знаменники дробів однакові, переходимо до чисельників. З чисел 87 та 65 очевидно, що 65 менше. З правила порівняння дробів з однаковими знаменниками маємо, що 87 126 більше 65 126 .

Відповідь: 87 126 > 65 126 .

Порівняння дробів із різними знаменниками

Порівняння таких дробів можна співвіднести з порівнянням дробів з однаковими показниками, але є різниця. Тепер необхідно дроби приводити до спільного знаменника.

Якщо є дроби з різними знаменниками, їх порівняння необхідно:

знайти спільний знаменник;
порівняти дроби.

Розглянемо дані дії з прикладу.

Приклад 2

Зробити порівняння дробів 5 12 і 9 16 .

Рішення

Насамперед необхідно привести дроби до спільного знаменника. Це робиться таким чином: знаходиться НОК, тобто найменший спільний дільник, 12 та 16 . Це число 48. Необхідно надписати додаткові множники до першого дробу 5 12 , це число з приватного 48: 12 = 4 , для другого дробу 9 16 – 48: 16 = 3 . Запишемо таке: 5 12 = 5 · 4 12 · 4 = 20 48 і 9 16 = 9 · 3 16 · 3 = 27 48 .

Після порівняння дробів отримуємо, що 20 48< 27 48 . Значит, 5 12 меньше 9 16 .

Відповідь: 5 12 < 9 16 .

Є ще один спосіб порівняння дробів із різними знаменниками. Він виконується без приведення до спільного знаменника. Розглянемо з прикладу. Щоб порівняти дроби a b і c d приводимо до спільного знаменника, тоді b · d, тобто добуток цих знаменників. Тоді додаткові множники для дробів будуть знаменники сусіднього дробу. Це запишеться так a · d b · d і c · b d · b. Використовуючи правило з однаковими знаменниками, маємо, що порівняння дробів звелося до порівнянь творів a · d і c · b. Звідси отримуємо правило порівняння дробів з різними знаменниками: якщо a · d > b · c тоді a b > c d, але якщо a · d< b · c , тогда a b < c d . Рассмотрим сравнение с разными знаменателями.

Приклад 3

Зробити порівняння дробів 5 18 і 23 86 .

Рішення

Цей приклад має a = 5 , b = 18 , c = 23 і d = 86 . Тоді необхідно обчислити a · d і b · c. Звідси випливає, що a · d = 5 · 86 = 430 і b · c = 18 · 23 = 414 . Але 430 > 414 тоді заданий дріб 5 18 більше, ніж 23 86 .

Відповідь: 5 18 > 23 86 .

Порівняння дробів з однаковими чисельниками

Якщо дроби мають однакові чисельники та різні знаменники, тоді можна виконувати порівняння за попереднім пунктом. Результат порівняння можливий при порівнянні їх знаменників.

Є правило порівняння дробів з однаковими чисельниками : із двох дробів з однаковими чисельниками більший той дріб, який має менший знаменник і навпаки.

Розглянемо з прикладу.

Приклад 4

Зробити порівняння дробів 54 19 та 54 31 .

Рішення

Маємо, що чисельники однакові, означає, що дріб, що має знаменник 19 більший за дроб, який має знаменник 31 . Це зрозуміло, з правила.

Відповідь: 54 19 > 54 31 .

Інакше можна розглянути з прикладу. Є дві тарілки, у яких 1 2 пирога, анна інший 1 16 . Якщо з'їсти 1 2 пирога, то наситишся швидше, ніж тільки 1 16 . Звідси висновок, що найбільший знаменник за однакових чисельників є найменшим при порівнянні дробів.

Порівняння дробу з натуральним числом

Порівняння звичайного дробу з натуральним числом йде як і порівняння двох дробів із записом знаменників як 1 . Для детального розгляду нижче наведемо приклад.

Приклад 4

Необхідно виконати порівняння 63 8 та 9 .

Рішення

Необхідно подати число 9 як дробу 9 1 . Тоді маємо необхідність порівняння дробів 63 8 та 9 1 . Далі слідує приведення до спільного знаменника шляхом знаходження додаткових множників. Після цього бачимо, що потрібно порівняти дроби з однаковими знаменниками 638 і 728. Виходячи з правила порівняння, 63< 72 , тогда получаем 63 8 < 72 8 . Значит, заданная дробь меньше целого числа 9 , то есть имеем 63 8 < 9 .

Відповідь: 63 8 < 9 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

У цьому уроці ми навчимося порівнювати дроби між собою. Це дуже корисна навичка, яка необхідна для вирішення цілого класу складніших завдань.

Для початку нагадаю визначення рівності дробів:

Дроби a/b і c/d називаються рівними, якщо ad = bc.

5/8 = 15/24, оскільки 5 · 24 = 8 · 15 = 120;
3/2 = 27/18, оскільки 3 · 18 = 2 · 27 = 54.

У решті випадків дроби є нерівними, і їм справедливо одне з таких тверджень:

Дроб а/b більший, ніж дріб c/d;
Дроб а/b менший, ніж дріб c/d.

Дроб a / b називається більшим, ніж дріб c / d , якщо a / b − c / d > 0.

Дроб x / y називається меншим, ніж дріб s /t , якщо x / y − s /t< 0.

Позначення:

Таким чином, порівняння дробів зводиться до їх віднімання. Питання: як не заплутатися з позначеннями «більше» (>) і «менше» (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

Частина галки, що розширюється, завжди спрямована до більшого числа;
Гострий ніс галки завжди вказує на меншу кількість.

Часто в завданнях, де потрібно порівняти числа, поміж ними ставлять знак «∨». Це - галка носом вниз, що ніби натякає: більше чисел поки не визначено.

Завдання. Порівняти числа:

Дотримуючись визначення, віднімемо дроби один з одного:

У кожному порівнянні нам потрібно було приводити дроби до спільного знаменника. Зокрема, використовуючи метод «хрест-навхрест» та пошук найменшого загального кратного. Я навмисно не акцентував увагу на цих моментах, але якщо щось незрозуміло, загляньте в урок «Складання та віднімання дробів» - він дуже легкий.

Порівняння десяткових дробів

У випадку з десятковими дробами все набагато простіше. Тут не треба нічого віднімати – досить просто порівняти розряди. Не зайвим буде згадати, що таке значну частину числа. Тим, хто забув, пропоную повторити урок «Множення та розподіл десяткових дробів» – це також займе буквально пару хвилин.

Позитивний десятковий дріб X більший за позитивний десятковий дроб Y , якщо в ньому знайдеться такий десятковий розряд, що:

Цифра, що стоїть у цьому розряді в дробі X більша за відповідну цифру в дробі Y ;

Усі розряди старші від даного у дробів X і Y збігаються.

12,25> 12,16. Перші два розряди збігаються (12 = 12), а третій – більше (2 > 1);
0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

Інакше кажучи, ми послідовно переглядаємо десяткові розряди і шукаємо різницю. При цьому більшій цифрі відповідає і великий дріб.

Однак це визначення вимагає пояснення. Наприклад, як записувати та порівнювати розряди до десяткової точки? Згадайте: до будь-якого числа, записаного в десятковій формі, можна приписувати ліворуч будь-яку кількість нулів. Ось ще пара прикладів:

0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (речь идет о старшем разряде).
2300,5> 0,0025, т.к. 0,0025 = 0000,0025 - приписали три нулі зліва. Тепер видно, що відмінність починається у першому ж розряді: 2 > 0.

Звичайно, в наведених прикладах з нулями був явний перебір, але сенс саме такий: заповнити розряди, що не вистачають, зліва, а потім порівняти.

Завдання. Порівняйте дроби:

0,029 ∨ 0,007;

14,045 ∨ 15,5;

0,00003 ∨ 0,0000099;

1700,1 ∨ 0,99501.

За визначенням маємо:

0,029> 0,007. Перші два розряди збігаються (00 = 00), далі починається відмінність (2> 0);
14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
0,00003> 0,0000099. Тут треба уважно рахувати нулі. Перші 5 розрядів в обох дробах нульові, але далі в першому дробі стоїть 3, а в другому – 0. Очевидно, 3 > 0;
1700,1> 0,99501. Перепишемо другий дріб у вигляді 0000,99501, додавши 3 нулі зліва. Тепер все очевидно: 1 > 0 – відмінність виявлено у першому ж розряді.

На жаль, наведена схема порівняння десяткових дробів не є універсальною. Цим методом можна порівнювати лише позитивні числа. У загальному випадку алгоритм роботи наступний:

Позитивний дріб завжди більший за негативний;
Два позитивні дроби порівнюються за наведеним вище алгоритмом;
Два негативні дроби порівнюються так само, але в кінці знак нерівності змінюється на протилежний.

Ну, як, неслабо? Зараз розглянемо конкретні приклади – і все стане зрозумілим.

Завдання. Порівняйте дроби:

0,0027 ∨ 0,0072;

−0,192 ∨ −0,39;

0,15 ∨ −11,3;

19,032 ∨ 0,0919295;

−750 ∨ −1,45.

0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
−0,192 > −0,39. Дроби негативні, 2 розряди різні. 1< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
0,15> -11,3. Позитивне число завжди більше від'ємного;
19,032> 0,091. Достатньо другий дріб переписати у вигляді 00,091, щоб побачити, що різниця виникає вже в 1 розряді;
−750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001,45. Відмінність – у першому ж розряді.

Порівнюють дроби зазвичай для того, щоб дізнатися, яка більша, а яка менша. Щоб порівняти дроби, вам потрібно привести їх до одного знаменника, тоді дріб з великим чисельником більший, а з меншим - менший. Найскладніше – це усвідомити, як робити так, щоб дроби мали однакові знаменники, але все не так складно, як здається. Ми розповімо, як це все робити. Читайте далі!

Кроки

Дізнайтеся, які у дробів знаменники – однакові чи ні.Знаменник – це число під дробовою лінією, внизу, а чисельник – вгорі. Наприклад, у дробу 5/7 та 9/13 не однакові знаменники. Вам потрібно привести їх до одного знаменника.
- Якщо знаменники у дробів однакові, тоді вам потрібно лише порівняти чисельники, щоб дізнатися, який дріб більше.
Знайдіть спільний знаменник.Щоб порівняти дроби, насамперед потрібно знайти спільний знаменник. Це потрібно для порівняння, а також для проведення математичних дій з дробами, додавання, віднімання і так далі. У разі складання чи віднімання необхідно шукати найменший спільний знаменник. Однак у цьому випадку (порівняння дробів) можна лише помножити знаменники обох дробів, і число, що вийшло, буде загальним знаменником. Пам'ятайте, цей спосіб знаходження спільного знаменника працює ТІЛЬКИ при порівнянні дробів (а не додаванні, відніманні, і так далі)
- 7 x 13 = 91, новий спільний знаменник 91.
Змініть чисельники дробів.Коли ви знайдете спільний знаменник, у цьому випадку це 91, вам потрібно буде змінити чисельники, щоб значення дробу залишилося тим самим. Для цього потрібно помножити чисельники одного дробу на знаменник другого, а чисельник другого на знаменник першого. Ось так:
- У початковому дробі 5/7 ми помножили 7 на 13 і отримали 91, тепер треба помножити 5 на 13 щоб отримати новий чисельник. 5/7 x 13/13 = 65/91.
- У дробі 9/13 ми помножили 13 на 7 щоб отримати новий знаменник 91, тепер множимо 9 на 7 і отримуємо новий чисельник. 9 x 7 = 63, так що наш новий дріб виглядає так 63/91.

У повсякденні нам часто доводиться порівнювати дробові величини. Найчастіше це не викликає жодних труднощів. Справді, всім зрозуміло, що половина яблука більше ніж чверть. Але коли необхідно записати це у вигляді математичного виразу, це може спричинити труднощі. Використовуючи такі математичні правила, ви легко можете впоратися з цим завданням.

Як порівнювати дроби з однаковими знаменниками

Такі дроби порівнювати найзручніше. У цьому випадку використовуйте правило:

З двох дробів з однаковими знаменниками, але різними чисельниками, більшим буде той, чисельник якого більший, а меншим – той, чисельник якого менший.

Наприклад, порівняти дроби 3/8 та 5/8. Знаменники у цьому прикладі рівні, отже, застосовуємо це правило. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.

І справді, якщо розрізати дві піци на 8 часток, то 3/8 частки завжди менше, ніж 5/8.

Порівняння дробів з однаковими чисельниками та різними знаменниками

У цьому випадку порівнюють розміри часток-знаменників. Слід застосовувати правило:

Якщо у двох дробів чисельники рівні, то більший той дріб, знаменник якого менший.

Наприклад, порівняти дроби 3/4 та 3/8. У цьому прикладі чисельники рівні, отже, використовуємо друге правило. У дробу 3/4 знаменник менший, ніж у дробу 3/8. Відтак 3/4>3/8

Якщо ви з'їсте 3 шматки піци, розділеної на 4 частини, то будете більш ситі, ніж якби з'їли 3 шматки піци, розділеної на 8 частин.

Порівняння дробів з різними чисельниками та знаменниками

Застосовуємо третє правило:

Порівняння дробів із різними знаменниками потрібно призвести до порівняння дробів із однаковими знаменниками. Для цього необхідно привести дроби до спільного знаменника та використати перше правило.

Наприклад, необхідно порівняти дроби та . Для визначення більшого дробу наведемо ці два дроби до спільного знаменника: