Вправи

Порівняння дробів із різними. Порівняння дробів: правила, приклади, розв'язки. Порівняння правильних, неправильних та змішаних дробів між собою

У цьому уроці ми навчимося порівнювати дроби між собою. Це дуже корисна навичка, яка необхідна для вирішення цілого класу складніших завдань.

Для початку нагадаю визначення рівності дробів:

Дроби a/b і c/d називаються рівними, якщо ad = bc.

5/8 = 15/24, оскільки 5 · 24 = 8 · 15 = 120;
3/2 = 27/18, оскільки 3 · 18 = 2 · 27 = 54.

У решті випадків дроби є нерівними, і їм справедливо одне з таких тверджень:

Дроб а/b більший, ніж дріб c/d;
Дроб а/b менший, ніж дріб c/d.

Дроб a / b називається більшим, ніж дріб c / d , якщо a / b − c / d > 0.

Дроб x / y називається меншим, ніж дріб s /t , якщо x / y − s /t< 0.

Позначення:

Таким чином, порівняння дробів зводиться до їх віднімання. Питання: як не заплутатися з позначеннями «більше» (>) і «менше» (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

Частина галки, що розширюється, завжди спрямована до більшого числа;
Гострий ніс галки завжди вказує на меншу кількість.

Часто в завданнях, де потрібно порівняти числа, поміж ними ставлять знак «∨». Це - галка носом вниз, що ніби натякає: більше чисел поки не визначено.

Завдання. Порівняти числа:

Дотримуючись визначення, віднімемо дроби один з одного:

У кожному порівнянні нам потрібно було приводити дроби до спільного знаменника. Зокрема, використовуючи метод «хрест-навхрест» та пошук найменшого загального кратного. Я навмисно не акцентував увагу на цих моментах, але якщо щось незрозуміло, загляньте в урок «Складання та віднімання дробів» - він дуже легкий.

Порівняння десяткових дробів

У випадку з десятковими дробами все набагато простіше. Тут не треба нічого віднімати – досить просто порівняти розряди. Не зайвим буде згадати, що таке значну частину числа. Тим, хто забув, пропоную повторити урок «Множення та розподіл десяткових дробів» – це також займе буквально пару хвилин.

Позитивний десятковий дріб X більший за позитивний десятковий дроб Y , якщо в ньому знайдеться такий десятковий розряд, що:

Цифра, що стоїть у цьому розряді в дробі X більша за відповідну цифру в дробі Y ;

Усі розряди старші від даного у дробів X і Y збігаються.

12,25> 12,16. Перші два розряди збігаються (12 = 12), а третій – більше (2 > 1);
0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

Інакше кажучи, ми послідовно переглядаємо десяткові розряди і шукаємо різницю. При цьому більшій цифрі відповідає і великий дріб.

Однак це визначення вимагає пояснення. Наприклад, як записувати та порівнювати розряди до десяткової точки? Згадайте: до будь-якого числа, записаного в десятковій формі, можна приписувати ліворуч будь-яку кількість нулів. Ось ще пара прикладів:

0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (речь идет о старшем разряде).
2300,5> 0,0025, т.к. 0,0025 = 0000,0025 - приписали три нулі зліва. Тепер видно, що відмінність починається у першому ж розряді: 2 > 0.

Звичайно, в наведених прикладах з нулями був явний перебір, але сенс саме такий: заповнити розряди, що не вистачають, зліва, а потім порівняти.

Завдання. Порівняйте дроби:

0,029 ∨ 0,007;

14,045 ∨ 15,5;

0,00003 ∨ 0,0000099;

1700,1 ∨ 0,99501.

За визначенням маємо:

0,029> 0,007. Перші два розряди збігаються (00 = 00), далі починається відмінність (2> 0);
14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
0,00003> 0,0000099. Тут треба уважно рахувати нулі. Перші 5 розрядів в обох дробах нульові, але далі в першому дробі стоїть 3, а в другому – 0. Очевидно, 3 > 0;
1700,1> 0,99501. Перепишемо другий дріб у вигляді 0000,99501, додавши 3 нулі зліва. Тепер все очевидно: 1 > 0 – відмінність виявлено у першому ж розряді.

На жаль, наведена схема порівняння десяткових дробів не є універсальною. Цим методом можна порівнювати лише позитивні числа. У загальному випадку алгоритм роботи наступний:

Позитивний дріб завжди більший за негативний;
Два позитивні дроби порівнюються за наведеним вище алгоритмом;
Два негативні дроби порівнюються так само, але в кінці знак нерівності змінюється на протилежний.

Ну, як, неслабо? Зараз розглянемо конкретні приклади – і все стане зрозумілим.

Завдання. Порівняйте дроби:

0,0027 ∨ 0,0072;

−0,192 ∨ −0,39;

0,15 ∨ −11,3;

19,032 ∨ 0,0919295;

−750 ∨ −1,45.

0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
−0,192 > −0,39. Дроби негативні, 2 розряди різні. 1< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
0,15> -11,3. Позитивне число завжди більше від'ємного;
19,032> 0,091. Достатньо другий дріб переписати у вигляді 00,091, щоб побачити, що різниця виникає вже в 1 розряді;
−750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001,45. Відмінність – у першому ж розряді.

Завдання уроку:

Навчальні:навчити порівнювати прості дроби різних видів, використовуючи різні прийоми;
Розвиваючі:розвиток основних прийомів мисленнєвої діяльності, узагальнення порівняння, виділення головного; розвиток пам'яті, мови.
Виховні:вчитися слухати один одного, виховання взаємовиручки, культури спілкування та поведінки.

Етапи уроку:

1. Організаційний.

Почнемо урок словами французького письменника А.Франса: “Вчитися можна весело….Щоб переварити знання, треба поглинати їх із апетитом”.

Підемо цій пораді, постараємося бути уважними, поглинатимемо знання з великим бажанням, т.к. вони стануть у нагоді нам надалі.

2. Актуалізація знань учнів.

1.)Фронтальна усна робота учнів.

Мета: повторити пройдений матеріал, потрібний щодо нового:

А) правильні та неправильні дроби;
Б) приведення дробів до нового знаменника;
В) знаходження найменшого спільного знаменника;

(Проводиться робота з файлами. Учні мають їх у наявності кожному уроці. На них пишуть відповіді фламастером, а потім непотрібна інформація стирається.)

Завдання для усної роботи.

1. Назвати зайвий дріб серед ланцюжка:

А) 5/6; 1/3; 7/10; 11/3; 4/7.
Б) 2/6; 6/18; 1/3; 4/5; 4/12.

2. Привести дроби до нового знаменника 30:

1/2; 2/3; 4/5; 5/6; 1/10.

Знайти найменший спільний знаменник дробів:

1/5 та 2/7; 3/4 та 1/6; 2/9 та 1/2.

2.) Ігрова ситуація.

Діти, наш знайомий клоун (учні познайомилися з ним на початку навчального року) попросили мене допомогти вирішити йому завдання. Але я вважаю, що ви, хлопці, можете без мене допомогти нашому другу. А завдання таке.

“Порівняти дроби:

а) 1/2 та 1/6;
б) 3/5 та 1/3;
в) 5/6 та 1/6;
г) 12/7 та 4/7;
д) 3 1/7 та 3 1/5;
е) 7 5/6 та 3 1/2;
ж) 1/10 та 1;
з) 10/3 та 1;
і) 7/7 та 1.”

Хлопці, щоб допомогти клоуну, чого ми маємо навчитися?

Мета уроку, завдання (учні формулюють самостійно).

Вчитель допомагає їм, запитуючи:

а) а які пари дробів ми зможемо вже порівняти?

б) який інструмент порівняння дробів нам необхідний?

3. Хлопці у групах (у постійних різнорівневих).

Кожній групі видається завдання та інструкція для його виконання.

Перша група : Порівняти змішані дроби:

а) 1 1/2 та 2 5/6;
б) 3 1/2 та 3 4/5

і вивести правило рівняння змішаних дробів з однаковими та з різними цілими частинами.

Інструкція: Порівняння змішаних дробів (використовується числовий промінь)

порівняйте цілі частини дробів і зробіть висновок;
порівняйте дробові частини (правило порівняння дробових частин не виводити);
складіть правило - алгоритм:

Друга група: Порівняти дроби з різними знаменниками та різними чисельниками. (використовувати числовий промінь)

а) 6/7 та 9/14;
б) 5/11 та 1/22

Інструкція

Порівняйте знаменники
Подумайте, чи не можна привести дробу до спільного знаменника
Правило почніть зі слів: “Щоб порівняти дроби з різними знаменниками, треба…”

Третя група: Порівняння дробів із одиницею.

а)2/3 та 1;
б) 8/7 та 1;
в) 10/10 та 1 і сформулювати правило.

Інструкція

Розгляньте всі випадки: (використовуйте числовий промінь)

а) Якщо чисельник дробу дорівнює знаменнику, ………;
б) Якщо чисельник дробу менший за знаменник,………;
в) Якщо чисельник дробу більший за знаменник,………. .

Сформулюйте правило.

Четверта група: Порівняйте дроби:

а) 5/8 та 3/8;
б) 1/7 та 4/7 та сформулюйте правило порівняння дробів з однаковим знаменником.

Інструкція

Використовуйте числовий промінь.

Порівняйте чисельники і зробіть висновок, починаючи словами: "З двох дробів з однаковими знаменниками ...".

П'ята група: Порівняйте дроби:

а) 1/6 та 1/3;
б) 4/9 і 4/3, використовуючи числовий промінь:

0__.__.__1/6__.__.__1/3__.__.4/9__.__.__.__.__.__.__.__.__.__1__.__.__.__.__.__4/3__.__

Сформулюйте правило порівняння дробів із однаковими чисельниками.

Інструкція

Порівняйте знаменники і зробіть висновок, починаючи зі слів:

“З двох дробів із однаковими чисельниками………..”.

Шоста група: Порівняйте дроби:

а) 4/3 та 5/6; б) 7/2 і 1/2, використовуючи числовий промінь

0__.__.__1/2__.__5/6__1__.__4/3__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__7/2__.__

Сформулюйте правило порівняння правильних та неправильних дробів.

Інструкції.

Подумайте, який дріб завжди більший, правильний чи неправильний.

4. Обговорення висновків, зроблених у групах.

Слово кожній групі. Формулювання правил учнів та порівняння їх із еталонами відповідних правил. Далі видаються роздруківки правила порівняння різних видів звичайних дробів кожному учню.

5. Повертаємося до завдання, поставленого на початку уроку. (Вирішуємо завдання клоуна разом).

6. Робота у зошитах. Використовуючи правила порівняння дробів, учні під керівництвом вчителя порівнюють дроби:

а) 8/13 та 8/25;
б) 11/42 та 3/42;
в) 7/5 та 1/5;
г) 18/21 та 7/3;
д) 2 1/2 та 3 1/5;
е) 5 1/2 та 5 4/3;

(можливе запрошення учня до дошки).

7. Учням пропонується виконати тест порівняно дробів на два варіанти.

1 варіант.

1) порівняти дроби: 1/8 та 1/12

а) 1/8> 1/12;
б) 1/8<1/12;
в) 1/8 = 1/12

2) Що більше: 5/13 чи 7/13?

а) 5/13;
б) 7/13;
в) рівні

3) Що менше: 23 або 4/6?

а) 2/3;
б) 4/6;
в) рівні

4) Який із дробів менше 1: 3/5; 17/9; 7/7?

а) 3/5;
б) 17/9;
в) 7/7

5) Який із дробів більше 1: ?; 7/8; 4/3?

а) 1/2;
б) 7/8;
в) 4/3

6) Порівняти дроби: 2 1/5 та 1 7/9

а) 2 1/5<1 7/9;
б) 2 1/5 = 1 7/9;
в) 2 1/5 >1 7/9

2 варіант.

1) порівняти дроби: 3/5 та 3/10

а) 3/5 > 3/10;
б) 3/5<3/10;
в) 3/5 = 3/10

2) Що більше: 10/12 чи 1/12?

а) рівні;
б) 10/12;
в) 1/12

3) Що менше: 3/5 чи 1/10?

а) 3/5;
б) 1/10;
в) рівні

4) Який із дробів менший за 1: 4/3;1/15;16/16?

а) 4/3;
б) 1/15;
в) 16/16

5) Який із дробів більший за 1: 2/5;9/8 ;11/12 ?

а) 2/5;
б) 9/8;
в) 11/12

6) Порівняти дроби: 3 1/4 та 3 2/3

а) 3 1/4 = 3 2/3;
б) 3 1/4 > 3 2/3;
в) 3 1/4< 3 2/3

Відповіді до тесту:

1 варіант: 1а, 2б, 3в, 4а, 5б, 6а

2 варіант: 2а, 2б, 3б, 4б, 5б, 6в

8. Ще раз повертаємось до мети уроку.

Перевіряємо правила порівняння та даємо диференційоване домашнє завдання:

1,2,3 групи - придумати на кожне правило порівняння по два приклади та вирішити їх.

4,5,6 групи - №83 а,б,в, №84 а,б,в (з підручника).

Два нерівні дроби підлягають подальшому порівнянню для з'ясування, який дріб більший, а який дріб менше. Для порівняння двох дробів існує правило порівняння дробів, яке ми сформулюємо нижче, а також розберемо приклади застосування цього правила при порівнянні дробів з однаковими та різними знаменниками. Насамкінець покажемо, як порівняти дроби з однаковими чисельниками, не приводячи їх до спільного знаменника, а також розглянемо, як порівняти звичайний дріб з натуральним числом.

Навігація на сторінці.

Порівняння дробів з однаковими знаменниками

Порівняння дробів з однаковими знаменникамипо суті є порівнянням кількості однакових часток. Наприклад, звичайна дріб 3/7 визначає 3 частки 1/7 , а дріб 8/7 відповідає 8 часткам 1/7 тому порівняння дробів з однаковими знаменниками 3/7 і 8/7 зводиться до порівняння чисел 3 і 8 , тобто , порівняно чисельників.

З цих міркувань випливає правило порівняння дробів з однаковими знаменниками: із двох дробів з однаковими знаменниками більше той дріб, чисельник якого більший, і менший той дріб, чисельник якого менший.

Озвучене правило пояснює, як порівняти дроби з однаковими знаменниками. Розглянемо приклад застосування правила порівняння дробів із однаковими знаменниками.

приклад.

Який дріб більший: 65/126 або 87/126?

Рішення.

Знаменники порівнюваних звичайних дробів рівні, а чисельник 87 дробу 87/126 більший за чисельник 65 дробу 65/126 (при необхідності дивіться порівняння натуральних чисел). Тому, згідно з правилом порівняння дробів з однаковими знаменниками, дріб 87/126 більший від дробу 65/126 .

Відповідь:

Порівняння дробів із різними знаменниками

Порівняння дробів із різними знаменникамиможна звести порівняння дробів з однаковими знаменниками. Для цього лише потрібно порівнювані прості дроби привести до спільного знаменника.

Отже, щоб порівняти два дроби з різними знаменниками, потрібно

привести дроби до спільного знаменника;
порівняти отримані дроби з однаковими знаменниками.

Розберемо рішення прикладу.

приклад.

Порівняйте дріб 5/12 із дробом 9/16 .

Рішення.

Спочатку наведемо ці дроби з різними знаменниками до спільного знаменника (дивіться правило і приклади приведення дробів до спільного знаменника). Як спільний знаменник візьмемо найменший загальний знаменник, рівний НОК (12, 16) = 48 . Тоді додатковим множником дробу 5/12 буде число 48:12=4, а додатковим множником дробу 9/16 буде число 48:16=3. Отримуємо і .

Порівнявши отримані дроби, маємо . Отже, дріб 5/12 менший, ніж дріб 9/16 . На цьому порівняння дробів із різними знаменниками завершено.

Відповідь:

Отримаємо ще один спосіб порівняння дробів з різними знаменниками, який дозволить виконувати порівняння дробів без їх приведення до спільного знаменника та всіх складнощів, пов'язаних із цим процесом.

Для порівняння дробів a/b і c/d їх можна привести до спільного знаменника b·d , рівному добутку знаменників порівнюваних дробів. У цьому випадку додатковими множниками дробів a/b та c/d є числа d і b відповідно, а вихідні дроби наводяться до дробів і із загальним знаменником bd. Згадавши правило порівняння дробів з однаковими знаменниками, укладаємо, що порівняння вихідних дробів a/b та c/d звелося до порівняння творів ad і cb.

Звідси випливає таке правило порівняння дробів із різними знаменниками: якщо a·d>b·c , то , а якщо a·d

Розглянемо порівняння дробів із різними знаменниками цим способом.

приклад.

Порівняйте прості дроби 5/18 і 23/86 .

Рішення.

У цьому прикладі a = 5, b = 18, c = 23 і d = 86. Обчислимо твори a d і b c . Маємо a·d=5·86=430 і b·c=18·23=414 . Так як 430> 414, то дріб 5/18 більше, ніж дріб 23/86.

Відповідь:

Порівняння дробів з однаковими чисельниками

Дроби з однаковими чисельниками та різними знаменниками, безперечно, можна порівнювати за допомогою правил, розібраних у попередньому пункті. Однак результат порівняння таких дробів легко отримати, порівнявши знаменники цих дробів.

Існує таке правило порівняння дробів з однаковими чисельниками: із двох дробів з однаковими чисельниками більший той, у якого менший знаменник, і менший той дріб, знаменник якого більший.

Розглянемо рішення прикладу.

приклад.

Порівняйте дроби 54/19 та 54/31 .

Рішення.

Так як чисельники порівнюваних дробів рівні, а знаменник 19 дробу 54/19 менше знаменника 31 дробу 54/31, то 54/19 більше 54/31.

Продовжуємо вивчати дроби. Сьогодні ми поговоримо про їхнє порівняння. Тема цікава та корисна. Вона дозволить новачкові відчути себе вченим у білому халаті.

Суть порівняння дробів у тому, щоб дізнатися який із двох дробів більше чи менше.

Щоб відповісти на запитання, який з двох дробів більше або менше, користуються , такими як більше (>) або менше (<).

Вчені-математики вже подбали про готові правила, що дозволяють відразу відповісти на запитання який дріб більше, а який менше. Ці правила можна сміливо застосовувати.

Ми розглянемо ці правила і спробуємо розібратися, чому відбувається саме так.

Зміст уроку

Порівняння дробів з однаковими знаменниками

Дрібниці, які потрібно порівняти, трапляються різні. Найзручніший випадок це коли у дробів однакові знаменники, але різні чисельники. У цьому випадку застосовують таке правило:

З двох дробів з однаковими знаменниками більше той дріб, у якого чисельник більший. І відповідно меншим буде той дріб, у якого чисельник менший.

Наприклад, порівняємо дроби та й відповімо, який із цих дробів більше. Тут однакові знаменники, але різні чисельники. У дробу чисельник більший, ніж у дробу . Значить дріб більше, ніж . Так і відповідаємо. Відповідати потрібно за допомогою піктограми більше (>)

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піци, розділені на чотири частини. піци більше, ніж піци:

Порівняння дробів з однаковими чисельниками

Наступний випадок, в який ми можемо потрапити, це коли числа дробів однакові, але знаменники різні. Для таких випадків передбачено таке правило:

З двох дробів з однаковими чисельниками більший той дріб, у якого знаменник менший. І відповідно менший той дріб, у якого знаменник більший.

Наприклад, порівняємо дроби та . У цих дробів однакові чисельники. У дробу знаменник менший, ніж у дробу . Значить дріб більше, ніж дріб . Так і відповідаємо:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піци, які розділені на три та чотири частини. піци більше, ніж піци:

Кожен погодиться з тим, що перша піца більша, ніж друга.

Порівняння дробів з різними чисельниками та різними знаменниками

Нерідко трапляється так, що доводиться порівнювати дроби з різними чисельниками та різними знаменниками.

Наприклад, порівняти дроби та . Щоб відповісти на запитання, який із цих дробів більший або менший, потрібно привести їх до однакового (загального) знаменника. Потім можна буде легко визначити який дріб більший або менший.

Наведемо дроби і до однакового (загального) знаменника. Знайдемо (НОК) знаменників обох дробів. НОК знаменників дробів і число 6.

Тепер знаходимо додаткові множники для кожного дробу. Розділимо НОК на знаменник першого дробу. НОК це число 6, а знаменник першого дробу це число 2. Ділимо 6 на 2, отримуємо додатковий множник 3. Записуємо його над першим дробом:

Тепер знайдемо другий додатковий множник. Розділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 6, а знаменник другого дробу це число 3. Ділимо 6 на 3, отримуємо додатковий множник 2. Записуємо його над другим дробом:

Помножимо дроби на свої додаткові множники:

Ми прийшли до того, що дроби, які мали різні знаменники, перетворилися на дроби, у яких однакові знаменники. А як порівнювати такі дроби ми знаємо. З двох дробів з однаковими знаменниками більше той дріб, у якого чисельник більший:

Правило правилом, а ми спробуємо розібратися чомусь більше, ніж . Для цього виділимо цілу частину в дробі. У дробі нічого виділяти не потрібно, оскільки цей дріб вже правильний.

Після виділення цілої частини в дробі отримаємо наступне вираз:

Тепер можна легко зрозуміти, чому більше, ніж . Давайте намалюємо ці дроби у вигляді піци:

2 цілі піци та піци, більше ніж піци.

Віднімання змішаних чисел. Складні випадки.

Віднімаючи змішані числа, іноді можна виявити, що все йде не так гладко, як хотілося б. Часто трапляється так, що при вирішенні якогось прикладу відповідь виходить не такою, якою вона має бути.

При відніманні чисел зменшуване має бути більше віднімається. Тільки в цьому випадку буде отримано нормальну відповідь.

Наприклад, 10-8 = 2

10 - зменшуване

8 - віднімається

2 - різниця

Зменшуване 10 більше віднімається 8, тому ми отримали нормальну відповідь 2.

А тепер подивимося, що буде якщо зменшуване виявиться менше віднімається. Приклад 5−7=−2

5 - зменшуване

7 — віднімання

−2 — різниця

У цьому випадку ми виходимо за межі звичних для нас чисел і потрапляємо у світ негативних чисел, де нам ходити поки що рано, а то й небезпечно. Щоб працювати з негативними числами, потрібна відповідна математична підготовка, яку ми ще отримали.

Якщо при вирішенні прикладів на віднімання ви виявите, що менше, що зменшується віднімається, то можете поки пропустити такий приклад. Працювати з негативними числами можна лише після їх вивчення.

З дробами ситуація та сама. Зменшуване має бути більше віднімається. Тільки в цьому випадку можна буде отримати нормальну відповідь. А щоб зрозуміти чи більше зменшуваний дріб, ніж віднімається, потрібно вміти порівняти ці дроби.

Наприклад, розв'яжемо приклад .

Це приклад на віднімання. Щоб вирішити його, потрібно перевірити чи зменшуваний дріб більше, ніж віднімається. більше ніж

тому сміливо можемо повернутись до прикладу і вирішити його:

Тепер вирішимо такий приклад

Перевіряємо чи зменшуваний дріб більше, ніж віднімається. Виявляємо, що вона менша:

У цьому випадку розумніше зупинитись і не продовжувати подальше обчислення. Повернемося до цього прикладу, коли вивчимо негативні числа.

Змішані числа перед відніманням теж бажано перевіряти. Наприклад, знайдемо значення виразу.

Спочатку перевіримо чи зменшуване більше змішане число, ніж віднімається. Для цього переведемо змішані числа до неправильних дробів:

Отримали дроби з різними чисельниками та різними знаменниками. Щоб порівняти такі дроби, необхідно привести їх до однакового (загального) знаменника. Не докладно розписуватимемо, як це зробити. Якщо ви відчуваєте труднощі, обов'язково повторіть .

Після приведення дробів до однакового знаменника, отримуємо такий вираз:

Тепер потрібно порівняти дроби та . Це дроби з однаковими знаменниками. З двох дробів з однаковими знаменниками більше той дріб, у якого чисельник більший.

У дробу чисельник більший, ніж у дробу . Значить дріб більше, ніж дріб .

А це означає, що зменшуване більше, ніж віднімається

Отже ми можемо повернутися до нашого прикладу і сміливо вирішити його:

приклад 3.Знайти значення виразу

Перевіримо чи зменшуване, ніж віднімається.

Перекладемо змішані числа в неправильні дроби:

Отримали дроби з різними чисельниками та різними знаменниками. Наведемо ці дроби до однакового (загального) знаменника:

Тепер порівняємо дроби та . У дробу чисельник менше, ніж у дробу , значить дріб менше, ніж дріб

Порівняти два дроби- означає визначити, який із дробів більший, який менший або встановити, що дроби рівні.

Порівняння дробів з однаковими знаменниками

З двох дробів з однаковими знаменниками більше той дріб, у якого чисельник більший.

приклад.Дроби більше ніж дріб, тому що частки в обох дробах однакові, але в першому дробі їх більше, ніж у другому.

Якщо зобразимо одиницю відрізком і розділимо його на 8 часток, то легко побачити, що дріб більше:

Порівняння дробів з однаковими чисельниками

З двох дробів з однаковими чисельниками більший той дріб, у якого знаменник менший.

приклад.Дроби більше ніж дріб , тому що кількість часток в обох дробах однакова, але в першому дробі частки більша, ніж у другому.

Зобразимо дві одиниці як кіл, один розділимо на 4 частки, другий на 6 часток. Тепер можна побачити, що дріб більше:

Порівняння дробів з різними знаменниками та чисельниками

Щоб порівняти дроби, у яких різні чисельники та знаменники, потрібно привести їх до спільного знаменника. Після цього їх порівнюють за правилом порівняння дробів, у яких однакові знаменники.

приклад.Порівняйте дроби: і .

Рішення:

Тепер порівнюємо їх за правилом порівняння дробів, у яких однакові знаменники. Тому що, значить.

Наведемо ще один спосіб порівняння дробів з різними знаменниками та чисельниками. Розглянемо спочатку числовий приклад.

приклад.Порівняємо дроби та .

Рішення:

Наводимо ці дроби до спільного знаменника:

Вирішуючи даний приклад можна помітити, що після приведення дробів до спільного знаменника, завдання порівняння звелося фактично до порівняння творів 2 · 7 і 4 · 3. Так як 2 · 7 = 14, а 4 · 3 = 12, то 2 · 7 > 4 · 3. Отже, .

Тепер вирішимо це завдання в загальному вигляді, використовуючи буквений запис.

приклад.Нехай дані дроби і , де aі c- нуль чи натуральні числа, bі d- натуральні числа. Наведемо дроби до спільного знаменника:

Отже:

Таким чином, ми отримали наступне правило порівняння звичайних дробів:

Щоб порівняти два звичайні дроби, можна чисельник одного дробу помножити на знаменник іншого та отримані твори порівняти.

Це правило називається перехресним правилом порівняння дробів.

Порівняння дробу з натуральним числом

Будь-який правильний дріб менший від будь-якого натурального числа.

приклад.

Порівняння неправильного дробу з натуральним числом зводиться до порівняння двох дробів.

Щоб порівняти неправильний дріб із натуральним числом, потрібно натуральне число подати у вигляді неправильного дробу зі знаменником 1, потім їх можна порівняти одним із двох способів: використовуючи перехресне правило, або привести дроби до спільного знаменника. Після цього їх порівнюють за правилом порівняння дробів, у яких однакові знаменники.