Як перетворити просте число на дріб. Види дробів. Перетворення. Переведення нескінченних періодичних десяткових дробів у звичайні дроби

Буває, що для зручності розрахунків потрібно перевести звичайний дріб у десятковий і навпаки. Про те, як це робити, ми поговоримо у цій статті. Розберемо правила переведення звичайних дробів у десяткові та назад, а також наведемо приклади.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ми будемо розглядати переведення звичайних дробів у десяткові, дотримуючись певної послідовності. По-перше, розглянемо, як у десяткові переводяться прості дроби зі знаменником, кратним 10: 10, 100, 1000 і т.д.Дроби з такими знаменниками, по суті, є, більш громіздким записом десяткових дробів.

Далі ми розглянемо, як переводити в десяткові дроби звичайні дроби з будь-яким, не лише кратним 10 знаменником. Зазначимо, що з обігу звичайних дробів у десяткові виходять як кінцеві десяткові, а й нескінченні періодичні десяткові дроби.

Почнемо!

Переклад звичайних дробів із знаменниками 10, 100, 1000 і т.д. у десяткові дроби

Насамперед, скажімо, що деякі дроби потребують певної підготовки перед зверненням до десяткового вигляду. У чому вона полягає? Перед цифрою, що стоїть у чисельнику, необхідно дописати стільки нулів, щоб кількість цифр чисельника дорівнювала числу нулів у знаменнику. Наприклад, для дробу 3100 число 0 необхідно один раз дописати ліворуч від 3 у чисельнику. Дроб 610, згідно з викладеним вище правилом, не потребує доопрацювання.

Розглянемо ще один приклад, після чого сформулюємо правило, яким особливо зручно користуватися спочатку, поки досвіду в обігу дробів не так багато. Так, дріб 1610000 після дописування нулів у чисельнику матиме вигляд 001510000.

Як перекласти звичайний дріб зі знаменником 10, 100, 1000 і т.д. у десяткову?

Правило переведення звичайних правильних дробів у десяткові

1. Записуємо 0 і ставимо після нього кому.
2. Записуємо число із чисельника, яке вийшло після дописування нулів.

Тепер перейдемо до прикладів.

Приклад 1. Переведення звичайних дробів у десяткові

Перекладемо звичайний дріб 39 100 у десятковий.

Спочатку дивимося на дріб і бачимо, що ніяких підготовчих дій проводити не потрібно – кількість цифр у чисельнику збігається з кількістю нулів у знаменнику.

Дотримуючись правила, записуємо 0, ставимо після нього десяткову кому і записуємо число з чисельника. Отримуємо десятковий дріб 0 , 39 .

Розберемо рішення ще одного прикладу на цю тему.

Приклад 2. Переведення звичайних дробів у десяткові

Запишемо дріб 105 10000000 у вигляді десяткового дробу.

Кількість нулів у знаменнику дорівнює 7 , а чисельнику лише три цифри. Допишемо перед числом у чисельнику ще 4 нуля:

0000105 10000000

Тепер записуємо 0, ставимо після нього десяткову кому і записуємо число з чисельника. Отримуємо десятковий дріб 0,0000105.

Розглянуті у всіх прикладах дроби - звичайні правильні дроби. Але як перевести неправильний звичайний дріб у десятковий? Відразу скажемо, що необхідність підготовки з дописуванням нулів для таких дробів відпадає. Сформулюємо правило.

Правило переведення звичайних неправильних дробів у десяткові

1. Записуємо число, яке знаходиться у чисельнику.
2. Десятковою комою відокремлюємо стільки цифр праворуч, скільки нулів є у знаменнику вихідної звичайного дробу.

Нижче наведемо приклад використання цього правила.

Приклад 3. Переведення звичайних дробів у десяткові

Перекладемо дріб 56888038009 100000 із звичайної неправильної до десяткової.

Спочатку запишемо число з чисельника:

Тепер праворуч відокремимо десятковою комою п'ять цифр (кількість нулів у знаменнику – п'ять). Отримаємо:

Наступне питання, яке закономірно виникає: як перевести в десятковий дріб змішане число, якщо знаменником його дробової частини є число 10, 100, 1000 і т.д. Для звернення до десяткового дробу такого числа можна скористатися наступним правилом.

Правило переведення змішаних чисел у десяткові дроби

1. Виконуємо підготовку дробової частини числа, якщо це потрібно.
2. Записуємо цілу частину вихідного числа і ставимо після нього кому.
3. Записуємо число з чисельника дробової частини разом із дописаними нулями.

Звернемося, наприклад.

Приклад 4. Переведення змішаних чисел у десяткові дроби

Переведемо змішане число 23 17 10000 у десятковий дріб.

У дробовій частині маємо вираз 17 10000 . Виконаємо його підготовку і допишемо зліва від чисельника ще два нулі. Отримаємо: 0017 10000 .

Тепер записуємо цілу частину числа і ставимо після нього кому: 23 , . .

Після коми записуємо число з чисельника разом із нулями. Отримуємо результат:

23 17 10000 = 23 , 0017

Переведення звичайних дробів у кінцеві та нескінченні періодичні дроби

Звичайно, можна переводити в десяткові дроби та звичайні дроби зі знаменником, що не дорівнює 10, 100, 1000 і т.д.

Часто дріб можна легко привести до нового знаменника, а потім вже скористатися правилом, викладеним у першому пункті цієї статті. Наприклад, достатньо помножити чисельник і знаменник дробу 25 на 2, і ми отримаємо дріб 410, який легко наводиться до десяткового виду 0,4.

Однак такий спосіб переведення звичайного дробу в десятковий вдається використовувати не завжди. Нижче розглянемо, як чинити, якщо застосувати розглянутий спосіб неможливо.

Важливо новий спосібзвернення звичайного дробу до десяткового зводиться до поділу чисельника на знаменник стовпчиком. Ця операція дуже схожа на розподіл натуральних чисел стовпчиком, але має особливості.

Чисельник при розподілі представляється у вигляді десяткового дробу - праворуч від останньої цифри чисельника ставиться кома і дописуються нулі. У приватному, що вийшов, десяткова кома ставиться тоді, коли закінчується розподіл цілої частини чисельника. Як саме працює цей спосіб, стане зрозумілим після розгляду прикладів.

Приклад 5. Переведення звичайних дробів у десяткові

Перекладемо звичайний дріб 621 4 у десятковий вигляд.

Подаємо число 621 з чисельника у вигляді десяткового дробу, додавши після коми кілька нулів. 621 = 621, 00

Тепер розділимо стовпчиком 621 00 на 4 . Перші три кроки розподілу будуть такими ж, як при розподілі натуральних чисел, і ми отримаємо.

Коли ми дісталися до десяткової коми в ділимому, а залишок відмінний від нуля, ставимо в приватному десяткову кому, і продовжуємо ділити, не звертаючи більше уваги на кому в ділимому.

У результаті ми отримуємо десятковий дріб 155 , 25 , який і є результатом обігу звичайного дробу 621 4

621 4 = 155 , 25

Розглянемо рішення ще одного прикладу, щоб закріпити матеріал.

Приклад 6. Переведення звичайних дробів у десяткові

Обернемо звичайний дріб 21 800 .

Для цього в стовпчик розділимо дріб 21 000 на 800 . Розподіл цілої частини закінчиться на першому ж кроці, тому відразу після нього ставимо в приватному десяткову кому і продовжуємо поділ, не звертаючи уваги на кому в поділеному до того моменту, поки не отримаємо залишок, що дорівнює нулю.

В результаті ми отримали: 21800 = 0,02625.

Але як бути, якщо при розподілі ми так і не отримаємо в залишку 0. У таких випадках розподіл можна продовжувати нескінченно довго. Однак, починаючи з певного кроку, залишки періодично повторюватимуться. Відповідно, повторюватимуться і цифри у приватному. Це означає, що звичайний дріб переводиться в десятковий нескінченний періодичний дріб. Проілюструємо сказане з прикладу.

Приклад 7. Переведення звичайних дробів у десяткові

Обернемо звичайний дріб 19 44 в десятковий. Для цього виконаємо поділ стовпчиком.

Ми, що при розподілі повторюються залишки 8 і 36 . При цьому приватно повторюються цифри 1 і 8 . Це і є період у десятковому дробі. Під час запису ці цифри беруться у дужки.

Таким чином, вихідний звичайний дріб переведений у нескінченний періодичний десятковий дріб.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Нехай перед нами нескорочний звичайний дріб. Якого вигляду вона приведеться? Які звичайні дроби перетворюються на кінцеві десяткові, а які - на нескінченні періодичні?

По-перше, скажімо, що якщо дріб вдається привести до одного із знаменників 10, 100, 1000.., то він матиме вигляд кінцевого десяткового дробу. Щоб дріб приводився до одного з таких знаменників, його знаменник має бути дільником хоча б одного з чисел 10, 100, 1000 і т.д. З правил розкладання чисел прості множники випливає, що дільник чисел 10, 100, 1000 тощо. повинен, при розкладанні на прості множники, містити лише числа 2 та 5.

Підсумуємо сказане:

1. Звичайний дріб можна привести до вигляду кінцевого десяткового дробу, якщо його знаменник можна розкласти на прості множники 2 та 5.
2. Якщо крім чисел 2 та 5 у розкладанні знаменника присутні інші прості числа, дріб наводиться до вигляду нескінченного періодичного десяткового дробу.

Наведемо приклад.

Приклад 8. Переведення звичайних дробів у десяткові

Який із цих дробів 47 20 , 7 12 , 21 56 , 31 17 переводиться в кінцевий десятковий дріб, а який - тільки в періодичний. Дамо відповідь на це питання, не виконуючи безпосередньо переведення звичайного дробу до десяткового.

Дроб 47 20 , як легко помітити, множенням чисельника та знаменника на 5 приводиться до нового знаменника 100 .

47 20 = 235 100 . Звідси робимо висновок, що цей дріб переводиться в кінцевий десятковий дріб.

Розкладання знаменника дробу 7 12 на множники дає 12 = 2 · 2 · 3 . Так як простий множник 3 відмінний від 2 і від 5 , цей дріб не може бути представлений у вигляді кінцевого десяткового дробу, а матиме вигляд нескінченного періодичного дробу.

По-перше, треба скоротити. Після скорочення на 7 отримаємо нескоротний дріб 3 8 розкладання знаменника якої на множники дає 8 = 2 · 2 · 2 . Отже, це кінцевий десятковий дріб.

У випадку з дробом 31 17 розкладання знаменника на множники є найпростішим числом 17 . Відповідно, цей дріб можна звернути в нескінченний періодичний десятковий дріб.

Звичайний дріб не можна перевести в нескінченний і неперіодичний десятковий дріб

Вище ми говорили тільки про кінцеві та нескінченні періодичні дроби. Але чи може якийсь звичайний дріб бути перетворений на вигляд нескінченного неперіодичного дробу?

Відповідаємо: ні!

Важливо!

При перекладі біс кінцевого дробуу десятковий виходить або кінцевий десятковий дріб, або нескінченний періодичний десятковий дріб.

Залишок від поділу завжди менший за дільник. Іншими словами, згідно з теоремою про подільність, якщо ми ділимо якесь натуральне числона число q, то залишок поділу в жодному разі не може бути більшим, ніж q-1. Після закінчення розподілу можлива одна з таких ситуацій:

1. Ми отримуємо в залишку 0, і на цьому поділ закінчується.
2. Ми отримуємо залишок, який при подальшому розподілі повторюється, в результаті ми маємо нескінченний періодичний дріб.

Інших варіантів при обігу звичайного дробу в десятковий не може бути. Скажімо також, що довжина періоду (кількість цифр) у нескінченному періодичному дробі завжди менша, ніж число цифр у знаменнику відповідного звичайного дробу.

Переведення десяткових дробів у звичайні дроби

Тепер настав час розглянути зворотний процеспереведення десяткового дробу у звичайний. Сформулюємо правило перекладу, що включає три етапи. Як перевести десятковий дріб у звичайний?

Правило переведення десяткових дробів у звичайні дроби

1. У чисельник записуємо число з вихідного десяткового дробу, відкинувши кому і всі нулі зліва, якщо вони є.
2. До знаменника записуємо одиницю і за нею стільки нулів, скільки цифр є у вихідному десятковому дробі після коми.
3. При необхідності скорочуємо отриманий звичайний дріб.

Розглянемо застосування цього правилана прикладах.

Приклад 8. Переведення десяткових дробів у звичайні

Уявімо число 3 , 025 у вигляді звичайного дробу.

1. У чисельник записуємо самий десятковий дріб, відкинувши ком: 3025 .
2. У знаменнику пишемо одиницю, а після неї три нулі - саме стільки цифр міститься у вихідному дробі після коми: 3025 1000 .
3. Отриманий дріб 3025 1000 можна скоротити на 25 , у результаті ми отримаємо: 3025 1000 = 121 40 .

Приклад 9. Переведення десяткових дробів у звичайні

Перекладемо дріб 0,0017 з десяткових у звичайні.

1. У чисельнику запишемо дріб 0 , 0017 , відкинувши кому і нулі зліва. Вийде 17 .
2. До знаменника записуємо одиницю, а після неї пишемо чотири нулі: 17 10000 . Цей дріб нескоротний.

Якщо в десятковому дробі є ціла частина, то такий дріб можна одразу перевести у змішане число. Як це зробити?

Сформулюємо ще одне правило.

Правило переведення десяткових дробів у змішані числа.

1. Число, що стоїть у дробі до коми, записуємо як цілу частину змішаного числа.
2. У чисельнику записуємо число, що стоїть у дробі після коми, відкинувши нулі зліва, якщо вони є.
3. У знаменнику дробової частини дописуємо одиницю і стільки нулів, скільки цифр є в дробовій частині після коми.

Звернемося до прикладу

Приклад 10. Переведення десяткового дробу в змішане число

Представимо дріб 155 06005 у вигляді змішаного числа.

1. Записуємо число 155 як цілу частину.
2. У чисельнику записуємо цифри після коми, відкинувши нуль.
3. У знаменнику записуємо одиницю та п'ять нулів

Повчаємо змішане число: 155 6005 100 000

Дробну частину можна зменшити на 5 . Скорочуємо і отримуємо фінальний результат:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Переведення нескінченних періодичних десяткових дробів у звичайні дроби

Розберемо на прикладах, як здійснювати переведення періодичних десяткових дробів у прості. Перш ніж почати, уточнимо: будь-який періодичний десятковий дріб можна перевести у звичайний.

Найпростіший випадок - період дробу дорівнює нулю. Періодична дріб з нульовим періодом замінюється на кінцевий десятковий дріб, а процес обігу такого дробу зводиться до обігу кінцевого десяткового дробу.

Приклад 11. Переведення періодичного десяткового дробу у звичайний

Обернемо періодичний дріб 3 , 75 (0) .

Відкинувши нулі праворуч, отримаємо кінцевий десятковий дріб 3 , 75 .

Звертаючи цей дріб у звичайний алгоритм, розібраний у попередніх пунктах, отримуємо:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Як бути, якщо період дробу відмінний від нуля? Періодичну частину слід розглядати як суму членів геометричної прогресії, яка зменшується. Пояснимо це на прикладі:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Для суми членів нескінченної спадної геометричної прогресії існує формула. Якщо перший член прогресії дорівнює b, а знаменник q такий, що 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Розглянемо кілька прикладів із застосуванням цієї формули.

Приклад 12. Переведення періодичного десяткового дробу у звичайний

Нехай у нас є періодичний дріб 0, (8) і нам потрібно перевести її у звичайну.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Тут ми маємо нескінченну спадну геометричну прогресію з першим членом 0 , 8 і знаменником 0 , 1 .

Застосуємо формулу:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Це і шуканий звичайний дріб.

Для закріплення матеріалу розглянемо ще один приклад.

Приклад 13. Переведення періодичного десяткового дробу у звичайний

Обернемо дріб 0 , 43 (18) .

Спочатку записуємо дріб у вигляді нескінченної суми:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Розглянемо доданки в дужках. Цю геометричну прогресію можна представити у такому вигляді:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Отримане додаємо до кінцевого дробу 0,43 = 43100 і отримуємо результат:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Після складання даних дробів та скорочення отримаємо остаточну відповідь:

0 , 43 (18) = 19 44

На завершення цієї статті скажемо, що неперіодичні нескінченні десяткові дроби не можна перевести у вигляд звичайних дробів.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Десятковий дріб складається з двох частин, які розділені комами. Перша частина - це ціла одиниця, друга частина - це десятки (якщо число після коми одне), сотні (два числа після коми, як два нулі за сто), тисячні ітд. Подивимося на приклади десяткового дробу: 0, 2; 7, 54; 235,448; 5,1; 6,32; 0,5. Все це – десяткові дроби. Як же перевести десятковий дріб у звичайний?

Приклад перший

У нас є дріб, наприклад, 0,5. Як вже писалося вище, вона складається з двох частин. Перше число 0 показує, скільки цілих одиниць у дробу. У нашому випадку їх нема. Друге число демонструє десятки. Дроб навіть читається нуль цілих п'ять десятих. Десяткова кількість перевести в дрібтепер не складе труднощів, пишемо 5/10. Якщо бачите, що цифри мають спільний дільник, можете скоротити дріб. У нас це число 5, поділивши обидві частини дробу на 5, отримуємо – 1/2.

Приклад другий

Візьмемо більше складний дріб- 2,25. Читається вона так - дві аж двадцять п'ять сотих. Зверніть увагу - сотих, тому що чисел після коми дві. Тепер можна перевести у звичайний дріб. Записуємо – 2 25/100. Ціла частина – 2, дробова 25/100. Як і першому прикладі, цю частину можна скоротити. Спільним дільником для цифр 25 та 100 є число 25. Зауважте, що ми завжди підбираємо найбільший спільний дільник. Розділивши обидві частини дробу на НОД, отримали 1/4. Отже, 2, 25 це 2 1/4.

Приклад третій

І для закріплення матеріалу візьмемо десятковий дріб 4,112 – чотири цілих і сто дванадцять тисячних. Чому тисячних, гадаю, ясно. Записуємо тепер 4112/1000. За алгоритмом знаходимо НОД чисел 112 і 1000. У нашому випадку – це число 6. Отримуємо 4 14/125.

Висновок

1. Розбиваємо дріб на цілу та дробову частини.
2. Дивимося скільки цифр після коми. Якщо одна – це десятки, дві – сотні, три-тисячні ітд.
3. Записуємо дріб у звичайному вигляді.
4. Скорочуємо чисельник та знаменник дробу.
5. Записуємо отриманий дріб.
6. Виконуємо перевірку, ділимо верхню частинудроби на нижню. Якщо є ціла частина, додаємо до отриманого десяткового дробу. Вийшов вихідний варіант - чудово, отже, ви все зробили правильно.

На прикладах я показала, як можна перевести десятковий дріб у звичайний. Як бачите, зробити це дуже легко та просто.

Використовуються надзвичайно широко, причому у найрізноманітніших сферах людської діяльності чи то наукові та прикладні обчислення, розробка та експлуатація різної техніки, економічний розрахунок тощо. З огляду на різні причини нерідко доводиться здійснювати обіг десяткового дробу, Як і процес, зворотний їй. Слід зазначити, що такі перетвореннявиробляються відносно легко, причому відповідно до певними правиламита методиками, що існують у математиці вже протягом багатьох сотень років.

Звернення десяткового дробу у просту

Перетворення десяткового дробуу дріб «звичайну» виробляється досить легко і просто. Для цього використовується наступна методика: як чисельник нового дробу береться число, яке розташовується праворуч від десяткової точки вихідного числа, як знаменник використовується число десять, в ступеня, що дорівнює кількості розрядів чисельника. Що стосується цілої частини, що залишилася, то вона зберігається незмінною. Якщо ж ціла частина дорівнює нулю, після перетворення вона просто опускається.

П'ятдесят цілих двадцять п'ять сотих дорівнює п'ятдесят цілих і двадцять п'ять розділити на сто дорівнює п'ятдесят цілих одна четверта.

Звернення простого дробу до десяткового

Перетворення простого дробу на десятковий, по суті, є зворотною обігу десяткового дробу до простого. Її здійснення також не викликає жодних труднощів і є, по суті, досить простим арифметичним дією. Для того щоб звернути простий дрібу десятковуНеобхідно розділити чисельник її знаменник відповідно до певними правилами.

Необхідно здійснити перетворення звичайного дробуп'ять восьмих у десятковий дріб.

При розподілі п'яти на вісім виходить десятковий дрібнуль цілих шістсот двадцять п'ять тисячних.

Округлення результату перетворення простого дробу на десятковий

Слід зазначити, що, на відміну такого процесу, як перетворення десяткового дробу, ця процедура часто може тривати нескінченно довго. У таких випадках кажуть, що результат процедури звернення звичайного дробу до десятковогоне може бути точним. Втім, практика показує, що у переважній більшості отримання ідеально точного результату не потрібно. Як правило, процес розподілу закінчується тоді, коли в його ході вже отримані значення тих десяткових часток, які становлять у кожному конкретному випадку практичний інтерес.

Потрібно розрізати шматок олії вагою один кілограм на дев'ять однакових за своєю масою частин. При виконанні цієї процедури виявляється, що маса кожної з них дорівнює 1/9 кілограма. Якщо за всіма правилами здійснювати перетворенняцією звичайного дробув дріб десятковий, то вийде, що маса кожної з частин, що виходять, дорівнює нуль цілих і один в періоді кілограма.

Округлення ведеться по стандартним правилам, передбачених в арифметиці: якщо перша з цифр, що «відкидаються», має значення 5 і більше, то остання зі значущих збільшується на одиницю. Інакше вона залишається незмінною.

Перетворити звичайний дрібодна восьма в дріб десяткову.

При розподілі одиниці на вісім виходить нуль цілих сто двадцять п'ять тисячних або заокруглено - нуль цілих тринадцять сотих.

Перетворення звичайного дробу на десятковий

Припустимо, ми хочемо перетворити звичайний дріб 11/4 на десятковий. Найпростіше зробити це так:

Це вдалося нам тому, що в даному випадкурозкладання знаменника на прості множники складається лише з двійок. Ми доповнили це розкладання ще двома п'ятірками, скористалися тим, що 10 = 2∙5 і отримали десятковий дріб. Подібна процедура можлива, очевидно, тоді і лише тоді, коли розкладання знаменника на прості множники не містить нічого, крім двійок та п'ятірок. Якщо в розкладанні знаменника є будь-яке інше просте число, то такий дріб у десятковий перетворити не можна. Тим не менш, ми спробуємо це зробити, але тільки іншим способом, з яким ми познайомимося на прикладі того самого дробу 11/4. Давайте поділимо 11 на 4 «куточком»:

У рядку відповіді ми отримали цілу частину ( 2 ), і ще ми маємо залишок ( 3 ). Раніше ми поділ на цьому закінчували, але тепер ми знаємо, що до поділеного ( 11 ) можна приписати праворуч кому і кілька нулів, що ми тепер подумки і зробимо. Слідом після коми йде розряд десятих. Нуль, який стоїть у поділеного в цьому розряді, припишемо до отриманого залишку ( 3 ):

Тепер поділ можна продовжувати як ні в чому не бувало. Треба тільки не забути поставити в рядку відповіді кому після цілої частини:

Тепер приписуємо до залишку ( 2 ) нуль, який стоїть у діленого в розряді сотих і доводимо поділ до кінця:

В результаті отримуємо, як і раніше,

Спробуємо тепер точно таким же способом обчислити, чому дорівнює дріб 27/11:

Ми отримали у рядку відповіді число 2,45, а у рядку залишку – число 5 . Але такий залишок нам раніше зустрічався. Тому ми вже одразу можемо сказати, що, якщо ми продовжимо наш поділ «куточком», то наступною цифрою у рядку відповіді буде 4, потім піде цифра 5, потім – знову 4 і знову 5, і так далі до нескінченності:

27 / 11 = 2,454545454545...

Ми отримали так звану періодичнудесятковий дріб з періодом 45. Для таких дробів застосовується компактніший запис, в якому період виписується тільки один раз, але при цьому він полягає в круглі дужки:

2,454545454545... = 2,(45).

Взагалі кажучи, якщо ділити «куточком» одне натуральне число на інше, записуючи відповідь у вигляді десяткового дробу, то можливо тільки два результати: (1) або рано чи пізно в рядку залишку ми отримаємо нуль, (2) або там виявиться такий залишок, який вже нам раніше зустрічався (набір можливих залишків обмежений, оскільки всі вони свідомо менші від дільника). У першому випадку результатом поділу є кінцевий десятковий дріб, у другому випадку – періодичний.

Перетворення періодичного десяткового дробу на звичайний

Нехай нам дано позитивний періодичний десятковий дріб з нульовим цілою частиною, наприклад:

a = 0,2(45).

Як перетворити цей дріб назад у звичайний?

Помножимо її на число 10 k, де k- це число цифр, що стоять між комою і круглою дужкою, що відкриває, що позначає початок періоду. В даному випадку k= 1 та 10 k = 10:

a∙ 10 k = 2,(45).

Отриманий результат помножимо на 10 n, де n- «Довжина» періоду, тобто число цифр, укладених між круглими дужками. В даному випадку n= 2 та 10 n = 100:

a∙ 10 k ∙ 10 n = 245,(45).

Тепер обчислимо різницю

a∙ 10 k ∙ 10 n − a∙ 10 k = 245,(45) − 2,(45).

Оскільки дробові частини у зменшуваного і віднімається однакові, то у різниці дробова частина дорівнює нулю, і ми приходимо до простого рівняння щодо a:

a∙ 10 k ∙ (10 n − 1) = 245 − 2.

Вирішується це рівняння за допомогою таких перетворень:

a∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.

a∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.

Ми спеціально поки не доводимо обчислення до кінця, щоб було видно, як можна відразу виписати цей результат, опускаючи проміжні міркування. Зменшуване в чисельнику ( 245 ) - це дробова частина числа

a = 0,2(45)

якщо в її записі стерти дужки. Віднімається в чисельнику ( 2 ) - це неперіодична частина числа а, що розташовується між комою і дужкою, що відкриває. Перший співмножник у знаменнику ( 10 ) - це одиниця, до якої приписано стільки нулів, скільки цифр у неперіодичній частині ( k). Другий співмножник у знаменнику ( 99 ) - це стільки дев'яток, скільки цифр містить період ( n).

Тепер наші обчислення можна довести до кінця:

Тут у чисельнику стоїть період, а у знаменнику – стільки дев'яток, скільки цифр у періоді. Після скорочення на 9 отриманий дріб виявляється рівним

Подібним чином,

Десяткові числа, такі як 0,2; 1,05; 3,017 і т.п. як чуються, так і пишуться. Нуль цілих дві десятих, отримуємо дріб. Одна ціла п'ять сотих, отримуємо дріб. Три цілих сімнадцять тисячних, отримуємо дріб. Цифри до коми в десятковому числі це ціла частина дробу. Цифра після коми - чисельник майбутнього дробу. Якщо після коми однозначне число – у знаменнику буде 10, якщо двозначне – 100, тризначне – 1000 тощо. Деякі отримані дроби можна скоротити. У наших прикладах

Перетворення дробу на десяткове число

Це обернене до попереднього перетворення. Десятковий дріб чим характерний? У неї в знаменнику завжди коштує 10, або 100, або 1000, або 10000 і таке інше. Якщо ваша звичайний дрібмає такий знаменник, проблем немає. Наприклад, або

Якщо дріб, наприклад . У цьому випадку необхідно скористатися основною властивістю дробу і перетворити знаменник до 10 або 100, або 1000. десяткового числа 0,12.

Деякі дроби простіше поділити, ніж перетворити знаменник. Наприклад,

Деякі дроби неможливо перетворити на десяткові числа!
Наприклад,

Перетворення змішаного дробу на неправильний

Змішаний дріб, наприклад, легко перетворити на неправильний. Для цього необхідно цілу частину помножити на знаменник (низ) та скласти з чисельником (верх), знаменник (низ) залишити без зміни. Тобто

При перетворенні змішаного дробув неправильну, можна згадати, що можна використовувати додавання дробів

Перетворення неправильного дробу на змішану (виділення цілої частини)

Неправильний дріб можна перевести в змішану, виділивши цілу частину. Розглянемо приклад, . Визначаємо, скільки цілих разів "3" вміщується в "23". Або 23 ділимо на 3 на калькуляторі, ціле число до коми - шукане. Це "7". Далі визначаємо чисельник майбутнього дробу: отриману "7" множимо на знаменник "3" і з чисельника "23" віднімаємо отримане. Як би знаходимо те зайве, що залишається від чисельника "23", якщо вилучити максимальна кількість"3". Знаменник залишаємо без зміни. Все зроблено, записуємо результат