Основні математичні формули. Формула обігу кінцевого десяткового дробу в раціональний дріб. Властивості числових нерівностей

На цій сторінці зібрані всі формули, необхідні для здачі контрольних та самостійних робіт, екзаменів з алгебри, геометрії, тригонометрії, стереометрії та інших розділів математики

Тут ви можете завантажити або подивитися онлайн всі основні тригонометричні формули, формулу площі кола, формули скороченого множення, формула довжини кола, формули приведення та багато інших.

Можна також роздрукувати необхідні збірки математичних формул.

Успіхів в навчанні!

Формули Арифметики:

Формули Алгебри:

Геометричні Формули:

Арифметичні формули:

Закони дій над числами

Переміщувальний закон складання: a + b = b + a.

Сполучний закон складання: (a + b) + c = a + (b + c).

Переміщувальний закон множення: ab = ba.

Сполучний закон множення: (ab) з = a (bc).

Розподільний закон множення щодо складання: (a + b) с = aс + bс.

Розподільний закон множення щодо віднімання: (a - b) с = aс - bс.

Деякі математичні позначення та скорочення:

Ознаки подільності

Ознаки подільності на «2»

Число, що ділиться на «2» без залишку називається парним, що не ділиться - непарним. Число ділиться на «2» без залишку, якщо його остання цифра парна (2, 4, 6, 8) або нуль

Ознаки подільності на «4»

Число ділиться на «4» без залишку, якщо дві останні його цифри нулі або у сумі утворюють число, що ділиться без залишку на «4»

Ознаки подільності на «8»

Число ділиться на «8» без залишку, якщо три останні його цифри нулі або у сумі утворюють число, що ділиться без залишку на «8» (приклад: 1000 - три останні цифри «00», а при розподілі 1000 на 8 виходить 125; 104 - дві останні цифри "12" діляться на 4, а при розподілі 112 на 4 виходить 28; і т.д.)

Ознаки подільності на «3» та на «9»

Без залишку на «3» діляться лише ті числа, які мають суму цифр ділиться без залишку на «3»; на «9» — лише ті, у яких сума цифр ділиться без залишку на «9»

Ознаки подільності на «5»

Без залишку на "5" діляться числа, остання цифра яких "0" або "5"

Ознаки подільності на «25»

Без залишку на «25» діляться числа, дві останні цифри яких нулі або у сумі утворюють число, що ділиться без залишку на «25» (тобто числа, що закінчуються на «00», «25», «50», «75») »

Ознаки подільності на «10», «100» та «1 000»

Без залишку на «10» діляться лише ті числа, остання цифра яких нуль, на «100» — лише ті числа, які мають дві останні цифри нулі, на «1000» — лише ті числа, у яких три останні цифри нулі

Ознаки подільності на «11»

Без залишку на «11» діляться лише ті числа, у яких сума цифр, що займають непарні місця, або дорівнює сумі цифр, що займають парні місця, або відрізняється від неї на число, що ділиться на «11»

Абсолютна величина - формули (модуль)

|a| ? 0, причому | a | = 0, тільки якщо a = 0; |-a|=|a| |a2|=|a|2=a2 | ab | = | a | * | b | |a/b|=|a|/|b|, причому b? 0; |a+b|?|a|+|b| |a-b|?|a|-|b|

Формули Дії з дробами

Формула обігу кінцевого десяткового дробу в раціональний дріб:

Пропорції

Два рівні відносини утворюють пропорцію:

Основна властивість пропорції

Знаходження членів пропорції

Пропорції, рівносильні пропорції : Похідна пропорція- Наслідок даної пропорціїу вигляді

Середні величини

Середнє арифметичне

Двох величин: nвеличин:

Середнє геометричне (середнє пропорційне)

Двох величин: nвеличин:

Середнє квадратичне

Двох величин: nвеличин:

Середнє гармонійне

Двох величин: nвеличин:

Деякі кінцеві числові ряди

Властивості числових нерівностей

1) Якщо a< b , то за будь-якого c: a + с< b + с .

2) Якщо a< b і з > 0, то aс< bс .

3) Якщо a< b і c< 0 , то aс > bс.

4) Якщо a< b , aі bодного знака, то 1/a > 1/b.

5) Якщо a< b і c< d , то a + с< b + d , a - d< b — c .

6) Якщо a< b , c< d , a > 0, b > 0, з > 0, d > 0, то ac< bd .

7) Якщо a< b , a > 0, b > 0, то

8) Якщо , то

• Формули Прогресії:

• 

• Похідна

• Логарифми:
• Координати та вектори

  1. Відстань між точками A1(x1;y1) та A2(x2;y2) знаходиться за формулою:

  2. Координати (x; y) середини відрізка з кінцями A1 (x1; y1) і A2 (x2; y2) знаходиться за формулами:

  

  3. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом та початковою ординатою має вигляд:

  Кутовий коефіцієнт k являє собою значення тангенса кута, утвореного прямою з позитивним напрямом осі Ox, а початкова ордината q – значення ординати точки перетину прямої з віссю Oy.

  4. Загальне рівняння прямої має вигляд: ax + by + c = 0.

  5. Рівняння прямих, паралельних відповідно до осей Oy і Ox, мають вигляд:

  Ax+by+c=0.

  6. Умови паралельності та перпендикулярності прямих y1=kx1+q1 та y2=kx2+q2 відповідно мають вигляд:

  

  7. Рівняння кіл з радіусом R і з центром відповідно в точках O(0;0) і C(xo;yo) мають вигляд:

  8. Рівняння:

  являє собою рівняння параболи з вершиною в точці, абсцис якої

• Прямокутна декартова система координат у просторі

  1. Відстань між точками A1(x1;y1;z1) та A2(x2;y2;z2) знаходиться за формулою:

  2. Координати (x;y;z) середини відрізка з кінцями A1(x1;y1;z1) і A2(x2;y2;z2) знаходяться за формулами:

  3. Модуль вектора, заданого своїми координатами, знаходиться за формулою:

  

  4. При складанні векторів їх відповідні координати складаються, а при множенні вектора число всі його координати множаться цього число, тобто. справедливі формули:

  5. Одиничний вектор, спрямований з вектором, знаходиться за формулою:

  6. Скалярним твором векторів називається число:

  

  де - Кут між векторами.

  7. Скалярне твір векторів

  

  8. Косинус кута між векторами і знаходиться за формулою:

  9. Необхідне та достатня умоваперпендикулярності векторів і має вигляд:

  10. Загальне рівняння площини, перпендикулярної вектору має вигляд:

  Ax+by+cz+d=0.

  11. Рівняння площини, перпендикулярної вектору і проходить через точку (xo; yo; zo), має вигляд:

  A(x - xo) + b (y - yo) + c (z - zo) = 0.

  12. Рівняння сфери із центром O(0;0;0) записується у вигляді.

Сесія наближається, і час нам переходити від теорії до практики. На вихідних ми сіли і подумали, що багатьом студентам було б непогано мати під рукою добірку основних фізичних формул. Сухі формули з поясненням: стисло, лаконічно, нічого зайвого. Дуже корисна штукапід час вирішення завдань, знаєте. Та й на іспиті, коли з голови може «вискочити» саме те, що напередодні було найжорстокіше визубрене, така добірка буде чудовою службою.

Найбільше завдань зазвичай задають за трьома найпопулярнішими розділами фізики. Це механіка, термодинамікаі молекулярна фізика, електрика. Їх і візьмемо!

Основні формули з фізики динаміка, кінематика, статика

Почнемо з найпростішого. Старий-добрий улюблений прямолінійний і рівномірний рух.

Формули кінематики:

Звичайно, не забуватимемо про рух по колу, а потім перейдемо до динаміки та законів Ньютона.

Після динаміки саме час розглянути умови рівноваги тіл і рідин, тобто. статику та гідростатику

Тепер наведемо основні формули на тему «Робота та енергія». Куди ж нам без них!

Основні формули молекулярної фізики та термодинаміки

Закінчимо розділ механіки формулами з коливань і хвиль і перейдемо до молекулярної фізикита термодинаміки.

Коефіцієнт корисної дії, закон Гей-Люссака, рівняння Клапейрона-Менделєєва - всі ці милі серцю формули зібрані нижче.

До речі! Для всіх наших читачів зараз діє знижка 10% на .

Основні формули з фізики: електрика

Час переходити до електрики, хоч його і люблять менше термодинаміки. Починаємо з електростатики.

І, під барабанний дріб, закінчуємо формулами для закону Ома, електромагнітної індукції та електромагнітних коливань.

На цьому все. Звичайно, можна було б привести ще цілу гору формул, але це ні до чого. Коли формул стає занадто багато, можна легко заплутатися, а там і зовсім розплавити мозок. Сподіваємося, наша шпаргалка основних формул з фізики допоможе вирішувати улюблені завдання швидше та ефективніше. А якщо хочете уточнити щось чи не знайшли потрібної формули: запитайте експертів студентського сервісу. Наші автори пам'ятають сотні формул і клацають завдання, як горішки. Звертайтеся, і незабаром будь-яке завдання буде вам «по зубах».

Освіта - те, що залишається після того, як забуто все, чого навчали у школі.

Ігор Хмелінський, новосибірський вчений, що нині працює в Португалії, доводить, що без прямого запам'ятовування текстів та формул розвиток абстрактної пам'яті у дітей важко. Наведу витяг з його статті "Уроки освітніх реформ у Європі та країнах колишнього СРСР"

Заучування напам'ять та довготривала пам'ять

Незнання таблиці множення має більш серйозні наслідки, ніж нездатність виявити помилки у розрахунках на калькуляторі. Наша довготривала пам'ять працює за принципом асоціативної бази даних, тобто одні елементи інформації при запам'ятовуванні виявляються пов'язаними з іншими на основі асоціацій, встановлених в момент знайомства з ними. Тому, щоб у голові утворилася база знань у будь-якій предметній галузі, наприклад, в арифметиці, потрібно спочатку вивчити хоч щось напам'ять. Далі, інформація, що надходить, потрапить з короткочасної пам'яті в довгострокову, якщо протягом короткого проміжку часу (кілька днів) ми зіткнемося з нею багаторазово, і, бажано, в різних обставин(що сприяє створенню корисних асоціацій). Однак за відсутності в постійній пам'яті знань з арифметики, елементи інформації, що знову надходять, пов'язуються з елементами, які до арифметики жодного відношення не мають – наприклад, особистістю викладача, погодою на вулиці тощо. Очевидно, таке запам'ятовування ніяке реальної користіучню не принесе – оскільки асоціації ведуть із даної предметної області, то жодних знань, які стосуються арифметики, учень згадати зможе, крім невиразних ідей у ​​тому, що він начебто щось колись про це повинен був чути. Для таких учнів роль асоціацій, що бракують, зазвичай виконують різного роду підказки – списати у колеги, скористатися навідними питаннями в самій контрольній, формулами зі списку формул, яким користуватися дозволено, і т.п. У реального життя, без підказок, така людина виявляється абсолютно безпорадною і нездатною застосувати знання, що є у неї в голові.

Формування математичного апарату, у якому формули не заучуються, відбувається повільніше, ніж інакше. Чому? По-перше, нові властивості, теореми, взаємозв'язки між математичними об'єктами майже завжди використовують якісь особливості раніше вивчених формул та понять. Концентрувати увагу учня на новому матеріалі буде складніше, якщо ці особливості не зможуть витягуватися з пам'яті короткий проміжокчасу. По-друге, незнання формул напам'ять перешкоджає пошуку вирішення змістовних завдань з великою кількістюдрібних операцій, у яких потрібно як провести певні перетворення, а й виявити послідовність цих ходів, аналізуючи застосування кількох формул на два-три кроки вперед.

Практика показує, що інтелектуальне та математичний розвитокдитини, формування його бази знань і навичок, відбувається значно швидше, якщо більшість використовуваної інформації (властивості та формули) бути в голові. І чим міцніше і довше вона там утримується, тим краще.