Скорочення дробів, правило та приклади скорочення дробів. Арифметичні дії над десятковими дробами. Приведення звичайних дробів до нескоротного виду

Перед нами (див. відеоурок) одне ціле яблуко. Якщо ми його розріжемо на дві рівні частини, то отримаємо дві часточки, кожна з яких дорівнює одній другій яблука. Тобто, якщо все яблуко - це "один", то одна часточка - це "одна друга".

А тепер розріжемо таке ж яблуко на чотири рівні частини. І тут уже одна часточка дорівнюватиме одній четвертій всього яблука. А дві часточки? Дві четверті.

І ось що цікаво - дві четверті яблука - це стільки ж, скільки і одна друга такого ж яблука. І тут, і тут ми отримали половину яблука. А це означає, що "одна друга" дорівнює "дві четверті".

А що було б, якби ми розрізали таке саме яблуко на шість рівних частині взяли б три з них. Три часточки з шести - це половина яблука. Значить "три шостих" дорівнює одній другій і двом четвертим. І так далі.

А чим відрізняються такі дроби? Дивіться: якщо ми чисельник і знаменник дробу "одна друга" помножимо на число два, то отримаємо дріб "дві четвертих", а якщо чисельник і знаменник дробу "одна друга" помножимо на три, то отримаємо рівний їй дріб "три шостих". І взагалі на яке б число (крім нуля) ми не помножили чисельник і знаменник будь-якого дробу, ми завжди отримаємо дріб, рівний вихідному. Це і є основна властивість дробу. Воно дуже важливе і на його основі виконуються практично всі дії з дробами!

Отже, давайте сформулюємо основну властивість дробу ще раз: "Якщо чисельник і знаменник дробу помножити (або розділити) на те саме число,то вихідний дріб не зміниться" . Важливий моменттут - множити чи ділити на якесь число ми маємо і чисельник та знаменник одночасно!При цьому дріб зміниться тільки зовні, але він залишиться рівним того дробу, який у нас був спочатку.

Навіщо нам все це потрібне? Основна властивість дробу виявляється дуже корисною при розв'язанні багатьох завдань, що містять дроби. Зокрема, зовсім не обійтись без цієї властивості при скороченні дробів.

Скорочення дробівзастосовується для того, щоб зробити дріб простіше. Взагалі скорочення дробу - це розподіл її чисельника та знаменника на одне й те число.Відповідно до основної властивості дробу ми маємо право ділити чисельник і знаменник одночасно на одне й те число.І якщо є таке число, на яке ділиться і чисельникі знаменник, то після цього поділу дріб, безперечно, стане простіше.

Наприклад, перед нами дріб "шістнадцять п'ятдесят других". І 16, і 52 діляться на 4. Ось і ділимо. Отримуємо "чотири... тринадцятих". Став дріб простіше? Звісно. Ось для цього і використовується скорочення дробів.

"Ну це все легко, а бувають приклади і куди складніше"– скажете ви. Погоджуся з вами. Але правило є одне і підходить для всіх прикладів. Ось, наприклад, дріб "1174 тисячі 400 десятих". Її також можна спростити. Для цього необхідно скоротити її на найбільше чисел, на які діляться одночасно і чисельник, і знаменник. Але що за число? Важко сказати. У разі ми можемо скорочувати дріб у кілька етапів. Очевидно, що і 1170, і 4410 діляться на 2. Ось і ділимо... Отримуємо: 585 і 2205. Видно, що ці обидва числа діляться на 5. Ділимо... Залишилося 117 і 441. Вже дріб виглядає простіше. Але це ще не все. Обидва ці числа діляться на три. І вийде: 39 і 147... І ще раз можна поділити на 3... У результаті отримали "тринадцять сорок дев'ятих". Більше скорочувати не можемо.

Тепер дивіться: ми розділили і чисельник, і знаменник дробу "1144400" спочатку на два, потім на п'ять, а потім на 3 і ще раз на 3. І отримали дріб "тринадцять сорок дев'ятих". Але два помножити на п'ять помножити на три і помножити на три - це 90. І якби ми відразу наш дріб скоротили на 90, то отримали б "тринадцять сорок дев'ятих". Але ж ми не знали, що 90 і є те найбільше число, на яке ділиться одночасно і чисельник і знаменник нашого дробу... Таким чином, дріб можна або відразу скоротити на найбільше з можливих чисел, або поступово скорочувати кілька разів, поки це можливо.

Другий варіант - це запасний вихід для випадку, коли ми не знаємо найбільшого числа, на яке ділиться і чисельник, і знаменник одночасно.Але іноді буває складно сказати, чи ділиться чисельник та знаменник хоч на якесь загальне число. Ось, наприклад, коли я сказав, що і 117, і 441 діляться на 3, чи був для вас цей момент такий же очевидний? Якщо ні, то ви забули ознаки ділимості. Зараз ми їх згадаємо, і у вас із цим проблем не буде:

Отже, будь-яке число ділиться націло на 2, якщо остання цифрацього числа ділиться на 2(тобто, якщо число парне);

Будь-яке число ділиться націло на 3 якщо сума цифр даного числа ділиться на 3(наприклад, число 137961 ділиться втричі, оскільки 1+3+7+9+6+1=27, а 27, знаємо з таблиці множення, ділиться втричі);

Будь-яке число ділиться націло на 4 - якщо число, що складаєтьсяз двох останніх цифр, ділиться на 4, або ці дві цифри – нулі(наприклад, 13516 ділиться на 4, оскільки 16 ділиться на 4; або ж 12500 - так само ділиться на 4, оскількидві останні цифри нулі);

Будь-яке число ділиться націло на 5, якщо число закінчується на 5 або 0(Тут все зрозуміло);

Будь-яке число ділиться націло на 6, якщо число ділиться одночасно на 3(за сумою цифр) та на 2(за останньою цифрою);

І будь-яке число ділиться націло на 9, якщо сума цифрділиться на 9(аналогічно до ознаки ділимості на 3).

Запам'ятайте ці ознаки, і тоді зі скороченням дробів у вас не буде жодних проблем!

Ну, а тепер давайте на прикладі закріпимо все те, про що ми зараз говорили.

Наприклад, нам необхідно скоротити дріб "сто шістдесят один сорок другий". Те, що цей дріб неправильний нехай вас не лякає; пам'ятайте, ми говорили, що всі дії з правильними, а також неправильними дробамивиконуються однаково.

Отже, сказати відразу на найбільше число ділиться і 161, і 42 складно. Тож почнемо по порядку. На що ділиться 161? Хоч зачекайте. Навіщо нам перебирати усі числа, на які ділиться 161? Набагато простіше розпочати із меншого числа - сорока двох. Адже якщо сорок два на якесь число не ділиться, то навіщо перевіряти, чи ділиться на нього 161? Чудово. Тому починаємо із сорока двох. Відразу бачимо, що воно ділиться на 2, але на два не ділиться 161. Йдемо далі. 42 ділиться на 3, оскільки 4+2=6, а 6 ділиться на 3. Але 161 ділиться на 3. Далі. 42 не ділиться на 4, не ділиться на 5, але ділиться на 6. А 161? Воно не ділиться на 6. Далі: 42 ділиться на 7 (це знаємо з таблиці множення) і вийде 6. А ось 161 на 7 ділиться? Оскільки ознаки поділу на сім ми не знаємо, то перевірятимемо. Ділимо в стовпчик 161 на 7 ... Беремо по 2. 16-14 = 2 ... і 1 зносимо ... беремо по 3 ... нуль ... отримали 23 ... Таким чином, скоротили наш дріб на 7 і отримали дріб "двадцять три шостих". Її вже ні на що скоротити не вдасться.

Перетворимо цей дріб на змішане число.

Двадцять три розділимо на шість. Отримаємо 3 цілих та 5 у залишку. Тобто "три аж п'ять шостих". Ось і все.

Часткою одиниці і представляється у вигляді \frac(a)(b).

Чисельник дробу (a)- Число, що знаходиться над межею дробу і показує кількість часток, на які була поділена одиниця.

Знаменник дробу (b)- Число, що знаходиться під межею дробу і показує на скільки часток поділили одиницю.

Приховати Показати

Основна властивість дробу

Якщо ad = bc, то два дроби \frac(a)(b)і \frac(c)(d)вважаються рівними. Наприклад, рівними будуть дроби \frac35і \frac(9)(15), Так як 3 \ cdot 15 = 15 \ cdot 9 , \frac(12)(7)і \frac(24)(14), Так як 12 \ cdot 14 = 7 \ cdot 24 .

З визначення рівності дробів випливає, що рівними будуть дроби \frac(a)(b)і \frac(am)(bm), так як a (bm) = b (am) - наочний прикладзастосування сполучного та переміщувального властивостей множення натуральних чисел у дії.

Значить \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- Так виглядає основна властивість дробу.

Іншими словами, ми отримаємо дріб, рівний даній, помноживши або розділивши чисельник і знаменник вихідного дробу на те саме натуральне число.

Скорочення дробу- Це процес заміни дробу, при якому новий дріб виходить рівною вихідною, але з меншим чисельником і знаменником.

Скорочувати дроби прийнято, спираючись на основну властивість дробу.

Наприклад, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(числитель та знаменник ділиться на число 3); отриманий дріб знову можна скоротити, розділивши на 5 , тобто \frac(15)(20)=\frac 34.

Нескоротний дріб- це дріб виду \frac 34, де чисельник і знаменник є взаємно простими числами. Основна мета скорочення дробу - зробити дріб нескоротним.

Приведення дробів до спільного знаменника

Візьмемо як приклад два дроби: \frac(2)(3)і \frac(5)(8)з різними знаменниками 3 та 8 . Для того, щоб привести ці дроби до спільного знаменника і спочатку перемножимо чисельник і знаменник дробу \frac(2)(3)на 8 . Отримуємо наступний результат: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Потім множимо чисельник і знаменник дробу \frac(5)(8)на 3 . Отримуємо в результаті: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Отже, вихідні дроби наведено до спільного знаменника 24 .

Арифметичні події над звичайними дробами

Додавання звичайних дробів

а) При однакових знаменникахчисельник першого дробу складають із чисельником другого дробу, залишаючи знаменник колишнім. Як видно з прикладу:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

б) При різних знаменникахдроби спочатку призводять до спільного знаменника, а потім виконують додавання чисельників за правилом а) :

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

Віднімання звичайних дробів

а) При однакових знаменниках з чисельника першого дробу віднімають чисельник другого дробу, залишаючи знаменник тим самим:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

б) Якщо ж знаменники дробів різні, спочатку дроби призводять до спільного знаменника, та був повторюють дії як у пункті а) .

Розмноження звичайних дробів

Примноження дробів підпорядковується наступному правилу:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

тобто перемножують окремо чисельники та знаменники.

Наприклад:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

Розподіл звичайних дробів

Розподіл дробів виробляють наступним способом:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

тобто дріб \frac(a)(b)множиться на дріб \frac(d)(c).

Приклад: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

Взаємно зворотні числа

Якщо ab=1 то число b є зворотним числомдля числа a.

Приклад: для числа 9 оберненим є \frac(1)(9), так як 9 \cdot \frac(1)(9)=1для числа 5 - \frac(1)(5), так як 5 \cdot \frac(1)(5)=1.

Десяткові дроби

Десятичним дробомназивається правильний дріб, знаменник якої дорівнює 10, 1000, 10,000, ..., 10^n .

Наприклад: \frac(6)(10)=0,6;\enspace \frac(44)(1000)=0,044.

Так само пишуться неправильні зі знаменником 10^n або змішані числа.

Наприклад: 5\frac(1)(10)=5,1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7,63.

У вигляді десяткового дробу представляється кожен звичайний дріб зі знаменником, який є дільником певного ступеня числа 10 .

Приклад: 5 — дільник числа 100 тому дроб \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0,2.

Арифметичні дії над десятковими дробами

Додавання десяткових дробів

Для складання двох десяткових дробів, потрібно їх розташувати так, щоб один під одним виявилися однакові розряди і кома під комою, а потім виконати додавання дробів як звичайних чисел.

Віднімання десяткових дробів

Виконується аналогічно до додавання.

Розмноження десяткових дробів

При множенні десяткових чиселдостатньо перемножити задані числа, не звертаючи уваги на коми (як натуральні числа), а в отриманій відповіді комою праворуч відокремлюється стільки цифр, скільки їх коштує після коми в обох множниках сумарно.

Давайте виконаємо множення 2,7 на 1,3. Маємо 27 \cdot 13 = 351. Відокремлюємо праворуч дві цифри коми (у першого та другого числа — одна цифра після коми; 1+1=2). У результаті отримуємо 2,7 1,3 = 3,51.

Якщо в отриманому результаті виходить менше цифр, ніж треба відокремити комою, то попереду пишуть нулі, що бракують, наприклад:

Для множення на 10, 100, 1000, треба в десятковому дробі перенести кому на 1, 2, 3 цифри вправо (у разі необхідності праворуч приписується певна кількість нулів).

Наприклад: 1,47 \cdot 10\,000 = 14700 .

Розподіл десяткових дробів

Розподіл десяткового дробу на натуральне число роблять також, як і розподіл натурального числа на натуральне. Кома в приватному ставиться після того, як закінчено розподіл цілої частини.

Якщо ціла частинаділимого менше дільника, то у відповіді виходить нуль цілих, наприклад:

Розглянемо розподіл десяткового дробу на десятковий. Нехай потрібно розділити 2,576 на 1,12. Насамперед, помножимо ділене і дільник дробу на 100 , тобто перенесемо кому вправо в ділимому і дільнику на стільки знаків, скільки їх коштує в дільнику після коми (у даному прикладі на дві). Потім потрібно виконати поділ дробу 257,6 на натуральне число 112 тобто завдання зводиться до вже розглянутого випадку:

Буває так, що не завжди виходить кінцевий десятковий дріб при розподілі одного числа на інше. В результаті виходить нескінченний десятковий дріб. У разі переходять до звичайним дробам.

2,8: 0,09= \frac(28)(10) : \frac(9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31 \frac(1)(9).

Ця стаття продовжує тему перетворення алгебраїчних дробів: розглянемо таку дію як скорочення дробів алгебри. Дамо визначення самому терміну, сформулюємо правило скорочення та розберемо практичні приклади.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Сенс скорочення алгебраїчного дробу

У матеріалах про звичайний дроб ми розглядали її скорочення. Ми визначили скорочення звичайного дробу як розподіл її чисельника та знаменника на загальний множник.

Скорочення дробу алгебри являє собою аналогічну дію.

Визначення 1

Скорочення алгебраїчного дробу– це розподіл її чисельника та знаменника на загальний множник. При цьому, на відміну від скорочення звичайного дробу (загальним знаменником може бути тільки число), загальним множником чисельника і знаменника дробу алгебри може служити многочлен, зокрема, одночлен або число.

Наприклад, алгебраїчний дріб 3 · x 2 + 6 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 може бути скорочена на число 3, в результаті отримаємо: x 2 + 2 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Цей же дріб ми можемо скоротити на змінну х, і це дасть нам вираз 3 · x + 6 · y 6 · x 2 · y + 12 · x · y 2 . Також заданий дріб можна скоротити на одночлен 3 · xабо будь-який з багаточленів x + 2 · y, 3 · x + 6 · y , x 2 + 2 · x · y або 3 · x 2 + 6 · x · y.

Кінцевою метоюскорочення алгебраїчного дробу є дріб більше простого вигляду, в найкращому випадку- Нескоротний дріб.

Чи всі дроби алгебри підлягають скороченню?

Знову ж таки з матеріалів про звичайні дроби ми знаємо, що існують скорочені і нескоротні дроби. Нескоротні – це дроби, які мають загальних множників чисельника і знаменника, відмінних від 1 .

З алгебраїчними дробами так само: вони можуть мати спільні множники чисельника і знаменника, можуть і не мати. Наявність загальних множників дозволяє спростити вихідний дріб за допомогою скорочення. Коли спільних множників немає, оптимізувати заданий дріб способом скорочення неможливо.

У загальних випадках щодо заданому видудроби досить складно зрозуміти, чи підлягає вона скороченню. Звичайно, в деяких випадках наявність загального множника чисельника та знаменника очевидна. Наприклад, в алгебраїчному дробі 3 · x 2 3 · y зрозуміло, що загальним множником є ​​число 3 .

У дробі - x · y 5 · x · y · z 3 також ми відразу розуміємо, що скоротити її можливо на х, або y, або на х · y. І все ж таки набагато частіше зустрічаються приклади алгебраїчних дробів, коли загальний множник чисельника і знаменника не так просто побачити, а ще частіше - він просто відсутній.

Наприклад, дріб x 3 - 1 x 2 - 1 ми можемо скоротити на х - 1 при цьому зазначений загальний множник у записі відсутній. А ось дріб x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 піддати дії скорочення неможливо, оскільки чисельник і знаменник не мають спільного множника.

Таким чином, питання з'ясування скоротливості алгебраїчного дробу не таке просте, і найчастіше простіше працювати з дробом заданого виду, ніж намагатися з'ясувати, чи вона скоротлива. При цьому мають місце такі перетворення, які в окремих випадках дозволяють визначити загальний множник чисельника і знаменника або зробити висновок про нескоротність дробу. Розглянемо детально це питання у наступному пункті статті.

Правило скорочення алгебраїчних дробів

Правило скорочення алгебраїчних дробівскладається з двох послідовних дій:

• знаходження загальних множників чисельника та знаменника;
• у разі знаходження таких здійснення безпосередньо впливу скорочення дробу.

Найзручнішим методом відшукання загальних знаменників є розкладання на множники многочленів, що у чисельнику і знаменнику заданої алгебраїчної дробу. Це дозволяє відразу побачити наявність чи відсутність загальних множників.

Саме вплив скорочення алгебраїчної дробу виходить з основному властивості алгебраїчної дробу, що виражається рівністю undefined , де a , b , c – деякі многочлены, причому b і c – ненульові. Першим кроком дріб наводиться до вигляду a · c b · c, в якому ми відразу помічаємо загальний множник c. Другим кроком – виконуємо скорочення, тобто. перехід до дробу виду a b.

Характерні приклади

Незважаючи на певну очевидність, уточнимо про окремий випадокколи чисельник і знаменник алгебраїчної дробу рівні. Подібні дроби тотожно рівні 1 на всій ОДЗ змінних цього дробу:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 · x 3 - 3, 2 · x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y;

Оскільки звичайні дроби є окремим випадком алгебраїчних дробів, нагадаємо, як здійснюється їх скорочення. Натуральні числа, записані в чисельнику та знаменнику, розкладаються на прості множники, потім загальні множники скорочуються (якщо є).

Наприклад, 24 1260 = 2 · 2 · 2 · 3 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 2 3 · 5 · 7 = 2 105

Добуток простих однакових множників можна записати як ступеня, і в процесі скорочення дробу використовувати властивість поділу ступенів з однаковими основами. Тоді вищезгадане рішення було б таким:

24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 · 5 · 7 = 2 105

(числитель та знаменник розділені на загальний множник 2 2 · 3). Або для наочності, спираючись на властивості множення та поділу, вирішенню дамо такий вигляд:

24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 2 2 · 3 3 2 · 1 5 · 7 = 2 1 · 1 3 · 1 35 = 2 105

За аналогією здійснюється скорочення алгебраїчних дробів, у яких у чисельнику та знаменнику є одночлени з цілими коефіцієнтами.

Приклад 1

Задано алгебраїчну дріб - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Необхідно зробити її скорочення.

Рішення

Можливо записати чисельник та знаменник заданого дробу як добуток простих множників та змінних, після чого здійснити скорочення:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 · a 3 2 · c 6

Однак, раціональнішим способом буде запис рішення у вигляді виразу зі ступенями:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .

Відповідь:- 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 9 · a 3 2 · c 6

Коли в чисельнику і знаменнику алгебраїчної дробу є дробові числові коефіцієнти, можливо два шляхи подальших дій: або окремо здійснити поділ цих дробових коефіцієнтів, або попередньо позбутися дробових коефіцієнтів, помноживши чисельник і знаменник на якесь натуральне число. Останнє перетворення проводиться в силу основної якості алгебраїчної дробу (про нього можна почитати в статті «Приведення дробу алгебри до нового знаменника»).

Приклад 2

Задано дроб 2 5 · x 0, 3 · x 3 . Необхідно здійснити її скорочення.

Рішення

Можливо скоротити дріб таким чином:

2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 2 5 3 10 · x x 3 = 4 3 · 1 x 2 = 4 3 · x 2

Спробуємо вирішити завдання інакше, попередньо позбавившись дробових коефіцієнтів – помножимо чисельник і знаменник на найменше загальне кратне знаменників цих коефіцієнтів, тобто. на НОК (5, 10) = 10 . Тоді отримаємо:

2 5 · x 0, 3 · x 3 = 10 · 2 5 · x 10 · 0, 3 · x 3 = 4 · x 3 · x 3 = 4 3 · x 2 .

Відповідь: 2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 4 3 · x 2

Коли ми скорочуємо алгебраїчні дроби загального вигляду, у яких чисельники і знаменники можуть бути як одночленами, і многочленами, можлива проблема, коли загальний множник який завжди відразу видно. Або більше, він просто не існує. Тоді для визначення загального множника або фіксації факту про його відсутність чисельник і знаменник дробу алгебри розкладають на множники.

Приклад 3

Задано раціональний дріб 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Потрібно її скоротити.

Рішення

Розкладемо на множники багаточлени в чисельнику та знаменнику. Здійснимо винесення за дужки:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 - 49)

Ми бачимо, що вираз у дужках можна перетворити з використанням формул скороченого множення:

2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 - 49) = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7)

Добре помітно, що можна скоротити дріб на загальний множник b 2 · (a + 7). Зробимо скорочення:

2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a - 7) = 2 · a + 14 a · b - 7 · b

Коротке рішення без пояснень запишемо як ланцюжок рівностей:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 a + 49) b 3 · (a 2 - 49) = = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a - 7) = 2 · a + 14 a · b - 7 · b

Відповідь: 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · a + 14 a · b - 7 · b .

Трапляється, що загальні множники приховані числовими коефіцієнтами. Тоді при скороченні дробів оптимально числові множники при старших ступенях чисельника та знаменника винести за дужки.

Приклад 4

Дано алгебраїчну дріб 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Необхідно здійснити її скорочення, якщо це можливо.

Рішення

На перший погляд у чисельника та знаменника не існує спільного знаменника. Однак спробуємо перетворити заданий дріб. Винесемо за дужки множник х у чисельнику:

1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = x · 1 5 - 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2

Тепер видно певну схожість виразу в дужках і виразу в знаменнику за рахунок x 2 · y . Винесемо за дужку числові коефіцієнти при старших ступенях цих багаточленів:

x · 1 5 - 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = x · - 2 7 · - 7 2 · 1 5 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 1 5 · 3 1 2 = = - 2 7 · x · - 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 7 10

Тепер стає видно загальний множник, здійснюємо скорочення:

2 7 · x · - 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 7 10 = - 2 7 · x 5 = - 2 35 · x

Відповідь: 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = - 2 35 · x.

Зробимо акцент на тому, що навичка скорочення раціональних дробівзалежить від уміння розкладати багаточлени на множники.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Мають основною властивістю дробу:

Зауваження 1

Якщо чисельник і знаменник дробу буде помножений або розділений на те саме натуральне число, то в результаті отримаємо дріб, рівний вихідному:

$\frac(a\cdot n)(b\cdot n)=\frac(a)(b)$

$\frac(a\div n)(b\div n)=\frac(a)(b)$

Приклад 1

Нехай дано квадрат, розбитий на $4$ рівних частин. Якщо зафарбувати $2$ із $4$ частин, отримаємо зафарбовані $\frac(2)(4)$ всього квадрата. Якщо подивитися на цей квадрат, то зрозуміло, що зафарбована рівно його половина, тобто. $(1)(2)$. Таким чином, отримуємо $ frac (2) (4) = frac (1) (2) $. Розкладемо числа $2$ і $4$ на множники:

Підставимо ці розкладання в рівність:

$\frac(1)(2)=\frac(2)(4)$,

$\frac(1)(2)=\frac(1\cdot 2)(2\cdot 2)$,

$\frac(1)(2)=\frac(2\div 2)(4\div 2)$.

Приклад 2

Чи можна отримати рівний дріб, якщо і чисельник і знаменник заданого дробу помножити на $18$, а потім розділити на $3$?

Рішення.

Нехай дано деякий звичайний дріб $\frac(a)(b)$. За умовою чисельник та знаменник цього дробу помножили на $18$, отримали:

$\frac(a\cdot 18)(b\cdot 18)$

$\frac(a\cdot 18)(b\cdot 18)=\frac(a)(b)$

$\frac(a\div 3)(b\div 3)$

Відповідно до основної властивості дробу:

$\frac(a\div 3)(b\div 3)=\frac(a)(b)$

Таким чином, отримали в результаті дріб, що дорівнює вихідному.

Відповідь: Можна отримати дріб, що дорівнює вихідному.

Застосування основної властивості дробу

Основну властивість дробу найчастіше застосовують для:

• приведення дробів до нового знаменника:
• скорочення дробів.

Приведення дробу до нового знаменника– заміна заданого дробу таким дробом, який їй дорівнює, але мати більше чисельник і більше знаменник. Для цього чисельник і знаменник дробу множать на те саме натуральне число, внаслідок чого за основною властивістю дробу отримують дріб, рівний вихідному, але з великими чисельником і знаменником.

Скорочення дробу– заміна заданого дробу таким дробом, який йому дорівнює, але мати менший чисельник і менший знаменник. Для цього чисельник і знаменник дробу ділять на позитивний загальний дільник чисельника та знаменника, відмінний від нуля, в результаті чого за основною властивістю дробу отримують дріб, рівний вихідному, але з меншими чисельником і знаменником.

Якщо поділити (скоротити) чисельник та знаменник на їх НІД, то в результаті отримують нескоротний вид вихідного дробу.

Скорочення дробів

Як відомо, звичайні дроби поділяються на скорочуваніі нескоротні.

Для скорочення дробу необхідно виконати розподіл і чисельника, і знаменника дробу з їхньої позитивний спільний дільник, не рівний нулю. При скороченні дробу одержують новий дріб з меншим чисельником і знаменником, за основною властивістю дробу дорівнює вихідному.

Приклад 3

Скоротити дріб $\frac(15)(25)$.

Рішення.

Скоротимо дріб на $5$ (розділимо його чисельник і знаменник на $5$):

$\frac(15)(25)=\frac(15\div 5)(25\div 5)=\frac(3)(5)$

Відповідь: $\frac(15)(25)=\frac(3)(5)$.

Отримання нескоротного дробу

Найчастіше дріб скорочують для отримання нескоротного дробу, що дорівнює вихідному скоротливому дробу. Такого результату можна досягти, якщо розділити і чисельник, і знаменник вихідного дробу з їхньої НОД.

$ \ frac (a \ div НОД (a, b)) (b \ div НОД (a, b)) $ - Нескоротний дріб, т.к. згідно з властивостями НОД чисельник та знаменник даного дробу – взаємно прості числа.

НОД (a, b) - найбільша кількість, На яку можна розділити і чисельник, і знаменник дробу $ frac (a) (b) $. Таким чином, для приведення дробу до нескоротного виду необхідно його чисельник і знаменник розділити на НОД.

Зауваження 2

Правило скорочення дробу: 1. Знайти НОД двох чисел, які стоять у чисельнику та знаменнику дробу. 2. Виконати розподіл чисельника та знаменника дробу на знайдений НОД.

Приклад 4

Привести дріб $6/36$ до нескоротного вигляду.

Рішення.

Скоротимо цей дріб на НОД $ (6,36) = 6 $, т.к. $36\div 6 = 6 $. Отримаємо:

$\frac(6)(36)=\frac(6\div 6)(36\div 6)=\frac(1)(6)$

Відповідь: $\frac(6)(36)=\frac(1)(6)$.

Фактично фраза «скоротити дріб» передбачає, що треба привести дріб до нескоротного виду.